अवकलज

This article is about the term as used in calculus. For a less technical overview of the subject, see differential calculus. For other uses, see अवकलज (disambiguation).

एक फ़ंक्शन का ग्राफ़, काले रंग में खींचा गया है, और उस ग्राफ़ की स्पर्श रेखा, लाल रंग में खींची गई है। स्पर्शरेखा रेखा का ढलान चिह्नित बिंदु पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर है।

गणित में, एक वास्तविक चर के एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक फ़ंक्शन (इनपुट मान) के अपने तर्क में परिवर्तन के संबंध में फ़ंक्शन मान (आउटपुट मान) के परिवर्तन की संवेदनशीलता को मापता है। डेरिवेटिव कैलकुलस का एक मूलभूत उपकरण है। उदाहरण के लिए, समय के संबंध में गतिमान वस्तु की स्थिति का व्युत्पन्न वस्तु का वेग है: यह मापता है कि समय बढ़ने पर वस्तु की स्थिति कितनी जल्दी बदल जाती है।

किसी चुने हुए इनपुट मान पर एकल चर के फ़ंक्शन का व्युत्पन्न, जब वह मौजूद होता है, उस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा का ढलान होता है। स्पर्श रेखा उस इनपुट मान के पास फ़ंक्शन का सबसे अच्छा रेखीय सन्निकटन है। इस कारण से, व्युत्पन्न को अक्सर परिवर्तन की तात्कालिक दर के रूप में वर्णित किया जाता है, आश्रित चर में तात्कालिक परिवर्तन का अनुपात स्वतंत्र चर के अनुपात में होता है।

डेरिवेटिव को कई वास्तविक चरों के कार्य करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। इस सामान्यीकरण में, व्युत्पन्न को एक रैखिक परिवर्तन के रूप में पुनर्व्याख्या की जाती है जिसका ग्राफ (उचित अनुवाद के बाद) मूल कार्य के ग्राफ के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है। जैकबियन मैट्रिक्स मैट्रिक्स (गणित) है जो स्वतंत्र और निर्भर चर के विकल्प द्वारा दिए गए आधार के संबंध में इस रैखिक परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। इसकी गणना स्वतंत्र चर के संबंध में आंशिक डेरिवेटिव के संदर्भ में की जा सकती है। कई चरों के वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन के लिए, जेकोबियन मैट्रिक्स ग्रेडिएंट वेक्टर में कम हो जाता है।

व्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया को भेदभाव कहा जाता है। रिवर्स प्रोसेस को 'antiderivative' कहा जाता है। कलन का मूलभूत प्रमेय प्रतिविभेदन को समाकलन से संबंधित करता है। विभेदीकरण और एकीकरण एकल-चर कलन में दो मूलभूत संचालन का गठन करते हैं।

परिभाषा

एक वास्तविक चर का एक कार्य f(x) एक बिंदु पर अवकलनीय है a किसी फ़ंक्शन के अपने डोमेन का, यदि उसके डोमेन में एक खुला अंतराल है I युक्त a, और सीमा (गणित)

$L=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

मौजूद। इसका मतलब है कि, हर सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए $\varepsilon$ (यहां तक ​​कि बहुत छोटा), वहाँ एक सकारात्मक वास्तविक संख्या मौजूद है $\delta$ ऐसा है कि, हर के लिए h ऐसा है कि $|h|<\delta$ तथा $h\neq 0$ फिर $f(a+h)$ परिभाषित किया गया है, और

$\left|L-{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\right|<\varepsilon ,$

जहां लंबवत पट्टियां निरपेक्ष मान दर्शाती हैं (देखें (ε, δ)-सीमा की परिभाषा)।

यदि समारोह f पर अवकलनीय है a, वह है अगर सीमा L मौजूद है, तो इस सीमा को व्युत्पन्न कहा जाता है f पर a, और निरूपित $f'(a)$ (के रूप में पढ़ेंf के प्रमुख a) या ${\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$ (के व्युत्पन्न के रूप में पढ़ें f इसके संबंध में x पर a,dy द्वारा dx पर a, याdy ऊपर dx पर a); देखना § Notation (details), नीचे।

निरंतरता और भिन्नता

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इस फ़ंक्शन का चिह्नित बिंदु पर कोई डेरिवेटिव नहीं है, क्योंकि फ़ंक्शन वहां निरंतर नहीं है (विशेष रूप से, इसमें कूदना बंद करो है)।

यदि f पर अवकलनीय है a, फिर f पर भी निरंतर कार्य करना चाहिए a. एक उदाहरण के रूप में, एक बिंदु चुनें a और जाने f चरण फ़ंक्शन बनें जो सभी के लिए मान 1 लौटाता है x से कम a, और सभी के लिए भिन्न मान 10 लौटाता है x इससे बड़ा या इसके बराबर a. f पर व्युत्पन्न नहीं हो सकता a. यदि h नकारात्मक है, तो a + h कदम के निचले हिस्से पर है, इसलिए छेदक रेखा से a प्रति a + h बहुत खड़ी है, और के रूप में h शून्य की ओर जाता है ढलान अनंत की ओर जाता है। यदि h सकारात्मक है, तो a + h सीढी के ऊँचे भाग पर है, अत: से छेदक रेखा a प्रति a + h ढलान शून्य है। नतीजतन, छेदक रेखाएँ किसी एक ढलान तक नहीं पहुँचती हैं, इसलिए अंतर भागफल की सीमा मौजूद नहीं होती है।

निरपेक्ष मान फलन निरंतर है, लेकिन पर अवकलनीय होने में विफल रहता है x = 0 चूँकि स्पर्शरेखा ढलान बाईं ओर से उसी मान तक नहीं पहुँचती है जैसा कि वे दाईं ओर से करते हैं।

हालाँकि, भले ही एक बिंदु पर एक कार्य निरंतर हो, यह वहाँ भिन्न नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, द्वारा दिया गया निरपेक्ष मान फ़ंक्शन f(x) = |x| पर निरंतर है x = 0, लेकिन यह वहां भिन्न नहीं है। यदि h धनात्मक है, तो छेदक रेखा का ढलान 0 से h एक है, जबकि अगर h ऋणात्मक है, तो छेदक रेखा का ढलान 0 से h एक नकारात्मक है। इसे ग्राफ़िक रूप से ग्राफ़ में किंक या कस्प के रूप में देखा जा सकता है x = 0. यहां तक ​​​​कि एक चिकनी ग्राफ वाला फ़ंक्शन भी उस बिंदु पर भिन्न नहीं होता है जहां इसकी लंबवत स्पर्शरेखा होती है: उदाहरण के लिए, दिया गया फ़ंक्शन f(x) = x^1/3 पर अवकलनीय नहीं है x = 0.

सारांश में, एक ऐसा फलन जिसमें एक अवकलज होता है, सतत होता है, लेकिन ऐसे सतत फलन होते हैं जिनका कोई अवकलज नहीं होता।

अभ्यास में होने वाले अधिकांश कार्यों में सभी बिंदुओं पर या लगभग हर जगह डेरिवेटिव होते हैं। कैलकुलस के इतिहास के आरंभ में, कई गणितज्ञों ने यह मान लिया था कि एक सतत फलन अधिकांश बिंदुओं पर अवकलनीय था। हल्की परिस्थितियों में, उदाहरण के लिए यदि फ़ंक्शन एक मोनोटोन समारोह या लिप्सचिट्ज़ समारोह है, तो यह सत्य है। हालाँकि, 1872 में वेइरस्ट्रास ने एक ऐसे कार्य का पहला उदाहरण पाया जो हर जगह निरंतर है लेकिन कहीं भी भिन्न नहीं है। यह उदाहरण अब वीयरस्ट्रैस समारोह के रूप में जाना जाता है। 1931 में, स्टीफन बानाच ने साबित किया कि किसी बिंदु पर डेरिवेटिव वाले फ़ंक्शंस का सेट सभी निरंतर फ़ंक्शंस के स्थान पर एक अल्प सेट है। अनौपचारिक रूप से, इसका मतलब यह है कि किसी भी यादृच्छिक निरंतर कार्यों का एक बिंदु पर भी व्युत्पन्न होता है।

एक समारोह के रूप में व्युत्पन्न

अवकलनीय फलन के विभिन्न बिंदुओं पर व्युत्पन्न। इस मामले में, व्युत्पन्न के बराबर है:$\sin \left(x^{2}\right)+2x^{2}\cos \left(x^{2}\right)$

होने देना f ऐसा फलन हो जिसका फलन के अपने क्षेत्र में प्रत्येक बिंदु पर एक अवकलज हो। हम तब एक फ़ंक्शन को परिभाषित कर सकते हैं जो हर बिंदु को मैप करता है x के व्युत्पन्न के मूल्य के लिए f पर x. यह समारोह लिखा है f′ और इसे डेरिवेटिव फंक्शन या डेरिवेटिव कहा जाता है f.

कभी-कभी f इसके डोमेन के अधिकांश बिंदुओं पर डेरिवेटिव है, लेकिन सभी नहीं। वह फ़ंक्शन जिसका मान at a बराबरी f′(a) जब भी f′(a) परिभाषित किया गया है और कहीं और अपरिभाषित है, इसे व्युत्पन्न भी कहा जाता है f. यह अभी भी एक कार्य है, लेकिन इसका डोमेन के डोमेन से छोटा हो सकता है f.

इस विचार का उपयोग करते हुए, भेदभाव कार्यों का एक कार्य बन जाता है: व्युत्पन्न एक ऑपरेटर (गणित) है जिसका डोमेन उन सभी कार्यों का सेट है जिनके डोमेन के प्रत्येक बिंदु पर डेरिवेटिव हैं और जिनकी सीमा कार्यों का एक सेट है। यदि हम इस ऑपरेटर को निरूपित करते हैं D, फिर D(f) कार्य है f′. तब से D(f) एक कार्य है, इसका मूल्यांकन एक बिंदु पर किया जा सकता है a. व्युत्पन्न समारोह की परिभाषा के द्वारा, D(f)(a) = f′(a).

तुलना के लिए, द्वारा दिए गए दोहरीकरण समारोह पर विचार करें f(x) = 2x; f एक वास्तविक संख्या का वास्तविक-मूल्यवान कार्य है, जिसका अर्थ है कि यह संख्याओं को इनपुट के रूप में लेता है और संख्याओं को आउटपुट के रूप में रखता है:

${\begin{aligned}1&{}\mapsto 2,\\2&{}\mapsto 4,\\3&{}\mapsto 6.\end{aligned}}$

परिचालक Dहालांकि, अलग-अलग नंबरों पर परिभाषित नहीं किया गया है। यह केवल कार्यों पर परिभाषित किया गया है:

${\begin{aligned}D(x\mapsto 1)&=(x\mapsto 0),\\D(x\mapsto x)&=(x\mapsto 1),\\D\left(x\mapsto x^{2}\right)&=(x\mapsto 2\cdot x).\end{aligned}}$

क्योंकि का उत्पादन D एक फ़ंक्शन है, का आउटपुट D एक बिंदु पर मूल्यांकन किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कब D स्क्वायर फ़ंक्शन पर लागू होता है, x ↦ x², D दोहरीकरण समारोह को आउटपुट करता है x ↦ 2xजिसे हमने नाम दिया है f(x). इस आउटपुट फ़ंक्शन का मूल्यांकन प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है f(1) = 2, f(2) = 4, और इसी तरह।

उच्च व्युत्पन्न

होने देना f एक अवकलनीय कार्य हो, और चलो f ′ इसका व्युत्पन्न हो। का व्युत्पन्न f ′ (यदि है तो) लिखा हुआ है f ′′ और का दूसरा व्युत्पन्न कहा जाता है f. इसी प्रकार, दूसरे व्युत्पन्न का व्युत्पन्न, यदि यह मौजूद है, लिखा गया है f ′′′ का तीसरा व्युत्पन्न कहा जाता है f. इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, परिभाषित किया जा सकता है, यदि यह मौजूद है, तो nवें व्युत्पन्न के व्युत्पन्न के रूप में (n−1)वें व्युत्पन्न। इन दोहराए गए डेरिवेटिव को उच्च-क्रम डेरिवेटिव कहा जाता है। n'}}वें अवकलज को क्रम का अवकलज भी कहा जाता है nऔर # लैग्रेंज का अंकन f ⁽ⁿ⁾.

यदि x(t) समय पर किसी वस्तु की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है t, फिर के उच्च-क्रम के डेरिवेटिव x भौतिकी में विशिष्ट व्याख्याएँ हैं। का पहला व्युत्पन्न x वस्तु का वेग है। का दूसरा व्युत्पन्न x त्वरण है। का तीसरा व्युत्पन्न x झटका (भौतिकी) है। और अंत में, चौथे से छठे डेरिवेटिव के x हैं उछाल|स्नैप, क्रैकल, और पॉप; खगोल भौतिकी के लिए सबसे अधिक लागू।

एक समारोह f व्युत्पन्न होने की आवश्यकता नहीं है (उदाहरण के लिए, यदि यह निरंतर नहीं है)। इसी तरह, भले ही f एक व्युत्पन्न है, इसका दूसरा व्युत्पन्न नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, चलो

$f(x)={\begin{cases}+x^{2},&{\text{if }}x\geq 0\\-x^{2},&{\text{if }}x\leq 0.\end{cases}}$

गणना यह दर्शाती है f एक अवकलनीय फलन है जिसका व्युत्पन्न है $x$ द्वारा दिया गया है

$f'(x)={\begin{cases}+2x,&{\text{if }}x\geq 0\\-2x,&{\text{if }}x\leq 0.\end{cases}}$

f'(x) पर निरपेक्ष मान फलन का दुगुना है $x$, और इसका शून्य पर व्युत्पन्न नहीं है। समान उदाहरण दिखाते हैं कि एक फलन में a हो सकता है kप्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए वें व्युत्पन्न k लेकिन नहीं (k + 1)वें व्युत्पन्न। एक समारोह जिसमें है k उत्तरोत्तर व्युत्पन्न कहलाते हैंk बार अलग करने योग्य। अगर इसके अलावा kवां अवकलज सतत है, तो फलन अवकलनीयता वर्ग का कहा जाता है C^k. (यह होने की तुलना में एक मजबूत स्थिति है k डेरिवेटिव, जैसा कि दूसरे उदाहरण द्वारा दिखाया गया है Smoothness § Examples।) एक ऐसा फलन जिसके अपरिमित रूप से अनेक अवकलज होते हैं, अपरिमित रूप से अवकलनीय या चिकनापन कहलाता है।

वास्तविक रेखा पर, प्रत्येक बहुपद फलन अपरिमित रूप से अवकलनीय होता है। मानक भेदभाव नियमों द्वारा, यदि डिग्री का बहुपद n विभेदित है n समय, तो यह एक निरंतर कार्य बन जाता है। इसके बाद के सभी डेरिवेटिव समान रूप से शून्य हैं। विशेष रूप से, वे मौजूद हैं, इसलिए बहुपद सहज कार्य हैं।

एक समारोह के डेरिवेटिव f एक बिंदु पर x उस फ़ंक्शन के पास बहुपद सन्निकटन प्रदान करें x. उदाहरण के लिए, यदि f तब दो बार अवकलनीय है

$f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h+{\tfrac {1}{2}}f''(x)h^{2}$

इस अर्थ में कि

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)-f'(x)h-{\frac {1}{2}}f''(x)h^{2}}{h^{2}}}=0.$

यदि f असीम रूप से भिन्न है, तो यह टेलर श्रृंखला की शुरुआत है f पर मूल्यांकन किया गया x + h चारों ओर x.

विभक्ति बिंदु

Main article: Inflection point

एक बिंदु जहां किसी फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न संकेत बदलता है, एक विभक्ति बिंदु कहलाता है। एक विभक्ति बिंदु पर, दूसरा व्युत्पन्न शून्य हो सकता है, जैसा कि विभक्ति बिंदु के मामले में होता है x = 0 द्वारा दिए गए समारोह का $f(x)=x^{3}$, या यह अस्तित्व में विफल हो सकता है, जैसा कि विभक्ति बिंदु के मामले में है x = 0 द्वारा दिए गए समारोह का $f(x)=x^{\frac {1}{3}}$. एक मोड़ बिंदु पर, एक फ़ंक्शन उत्तल फ़ंक्शन होने से अवतल फ़ंक्शन या इसके विपरीत होने पर स्विच करता है।

अंकन (विवरण)

Main article: Notation for differentiation

लीबनिज का अंकन

Main article: Leibniz's notation

प्रतीक $dx$, $dy$, तथा ${\frac {dy}{dx}}$ 1675 में Gottfried Leibniz द्वारा पेश किए गए थे। यह तब भी आमतौर पर प्रयोग किया जाता है जब समीकरण y = f(x) निर्भर और स्वतंत्र चर के बीच कार्यात्मक संबंध के रूप में देखा जाता है। फिर पहले व्युत्पन्न द्वारा निरूपित किया जाता है

${\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {df}{dx}},{\text{ or }}{\frac {d}{dx}}f,$

और एक बार एक अतिसूक्ष्म भागफल के रूप में सोचा गया था। उच्च डेरिवेटिव्स को संकेतन का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}},{\text{ or }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f$

के n वें व्युत्पन्न के लिए $y=f(x)$. ये डेरिवेटिव ऑपरेटर के कई अनुप्रयोगों के लिए संक्षिप्त रूप हैं। उदाहरण के लिए,

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).$

लीबनिज के अंकन के साथ, हम का व्युत्पन्न लिख सकते हैं $y$ बिंदु पर $x=a$ दो अलग-अलग तरीकों से:

$\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}={\frac {dy}{dx}}(a).$

लीबनिज के अंकन से विभेदीकरण (हर में) के लिए चर निर्दिष्ट करने की अनुमति मिलती है, जो आंशिक व्युत्पन्न में प्रासंगिक है। इसका उपयोग श्रृंखला नियम को लिखने के लिए भी किया जा सकता है

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.$

लैग्रेंज का अंकन

कभी-कभी प्राइम नोटेशन के रूप में जाना जाता है, भेदभाव के लिए सबसे आम आधुनिक नोटेशन में से एक जोसेफ-लुई लाग्रेंज के कारण है और प्राइम (प्रतीक) का उपयोग करता है, ताकि किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न हो सके $f$ निरूपित किया जाता है $f'$. इसी तरह, दूसरे और तीसरे डेरिवेटिव को निरूपित किया जाता है

$(f')'=f''$ तथा $(f'')'=f'''.$

इस बिंदु से परे डेरिवेटिव की संख्या को निरूपित करने के लिए, कुछ लेखक सबस्क्रिप्ट और सुपरस्क्रिप्ट में रोमन अंकों का उपयोग करते हैं, जबकि अन्य संख्या को कोष्ठक में रखते हैं:

$f^{\mathrm {iv} }$ या $f^{(4)}.$

बाद वाला अंकन संकेतन प्राप्त करने के लिए सामान्यीकृत करता है $f^{(n)}$ के n वें व्युत्पन्न के लिए $f$ - यह संकेतन सबसे उपयोगी होता है जब हम व्युत्पन्न के बारे में एक कार्य के रूप में बात करना चाहते हैं, क्योंकि इस मामले में लाइबनिज संकेतन बोझिल हो सकता है।

न्यूटन का अंकन

अवकलन के लिए न्यूटन के अंकन, जिसे डॉट संकेतन भी कहा जाता है, समय व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करने के लिए फ़ंक्शन नाम पर एक बिंदु रखता है। यदि $y=f(t)$, फिर

${\dot {y}}$ तथा ${\ddot {y}}$

निरूपित, क्रमशः, के पहले और दूसरे डेरिवेटिव $y$. यह संकेतन विशेष रूप से समय या चाप की लंबाई के संबंध में डेरिवेटिव के लिए उपयोग किया जाता है। यह आमतौर पर भौतिकी और अंतर ज्यामिति में अंतर समीकरणों में प्रयोग किया जाता है। डॉट नोटेशन, हालांकि, उच्च-ऑर्डर डेरिवेटिव (ऑर्डर 4 या अधिक) के लिए असहनीय हो जाता है और कई स्वतंत्र चर के साथ काम नहीं कर सकता।

यूलर का अंकन

लियोनहार्ड यूलर का अंकन अवकल संकारक का उपयोग करता है $D$, जो एक समारोह पर लागू होता है $f$ पहला व्युत्पन्न देने के लिए $Df$. Nth डेरिवेटिव को निरूपित किया जाता है $D^{n}f$.

यदि y = f(x) एक आश्रित चर है, तो अक्सर स्वतंत्र चर x को स्पष्ट करने के लिए सबस्क्रिप्ट x को D से जोड़ा जाता है। इसके बाद यूलर का अंकन लिखा जाता है

$D_{x}y$ या $D_{x}f(x)$,

हालाँकि यह सबस्क्रिप्ट अक्सर छोड़ दिया जाता है जब चर x को समझा जाता है, उदाहरण के लिए जब यह अभिव्यक्ति में मौजूद एकमात्र स्वतंत्र चर है।

रैखिक अवकल समीकरणों को बताने और हल करने के लिए यूलर का संकेतन उपयोगी है।

गणना के नियम

Main article: Differentiation rules

एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न, सिद्धांत रूप में, अंतर भागफल पर विचार करके और इसकी सीमा की गणना करके परिभाषा से गणना की जा सकती है। व्यवहार में, एक बार कुछ सरल कार्यों के डेरिवेटिव ज्ञात हो जाने के बाद, सरल कार्यों से अधिक जटिल कार्यों के डेरिवेटिव प्राप्त करने के लिए अन्य कार्यों के डेरिवेटिव को नियमों का उपयोग करके अधिक आसानी से गणना की जाती है।

बुनियादी कार्यों के लिए नियम

यहां सबसे सामान्य बुनियादी कार्यों के डेरिवेटिव के नियम हैं, जहां एक वास्तविक संख्या है।

• शक्ति नियम:

  ${\frac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}.$

• घातीय कार्य और लघुगणक कार्य:

  ${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.$

  ${\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln(a),\qquad a>0$

  ${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad x>0.$

  ${\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}},\qquad x,a>0$

• त्रिकोणमितीय फलन:

  ${\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x).$

  ${\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).$

  ${\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x).$

• व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्य:

  ${\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad -1<x<1.$

  ${\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad -1<x<1.$

  ${\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$

संयुक्त कार्यों के लिए नियम

बुनियादी कार्यों के डेरिवेटिव से फ़ंक्शन संरचना के व्युत्पन्न को निकालने के लिए यहां कुछ सबसे बुनियादी नियम दिए गए हैं।

• स्थिर नियम: यदि f(x) स्थिर है, तो

  $f'(x)=0.$

• विभेदन की रैखिकता:

  $(\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'$ सभी कार्यों f और g और सभी वास्तविक संख्याओं के लिए$\alpha$तथा$\beta$.

• प्रॉडक्ट नियम:

  $(fg)'=f'g+fg'$ सभी कार्यों के लिए एफ और जी। एक विशेष मामले के रूप में, इस नियम में तथ्य शामिल है $(\alpha f)'=\alpha f'$ जब भी $\alpha$ एक स्थिर है, क्योंकि $\alpha 'f=0\cdot f=0$ निरंतर नियम से।

• भागफल नियम:

  $\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$ सभी कार्यों के लिए एफ और जी सभी इनपुट पर जहां g ≠ 0.

• समग्र कार्यों के लिए चेन नियम: यदि $f(x)=h(g(x))$, फिर

  $f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).$

संगणना उदाहरण

द्वारा दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

$f(x)=x^{4}+\sin \left(x^{2}\right)-\ln(x)e^{x}+7$

है

${\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln(x){\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}$

यहाँ दूसरे पद की गणना श्रृंखला नियम का उपयोग करके और तीसरे पद की गणना उत्पाद नियम का उपयोग करके की गई है। प्रारंभिक कार्यों x के ज्ञात डेरिवेटिव^{2</सुप>, एक्स4, sin(x), ln(x) और exp(x) = ex, साथ ही साथ स्थिरांक 7 का भी उपयोग किया गया था।}

हाइपररियल्स के साथ परिभाषा

अति वास्तविक संख्या एक्सटेंशन के सापेक्ष R ⊂ ^⁎R वास्तविक संख्याओं का, वास्तविक फलन का अवकलज y = f(x) एक वास्तविक बिंदु पर x भागफल की छाया (गणित) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है ∆y/∆x अनंत के लिए ∆x, कहाँ पे ∆y = f(x + ∆x) − f(x). यहाँ का स्वाभाविक विस्तार है f हाइपररियल्स को अभी भी निरूपित किया गया है f. यहाँ कहा जाता है कि व्युत्पत्ति का अस्तित्व है यदि छाया चुने हुए अपरिमेय से स्वतंत्र है।

उच्च आयामों में

See also: Vector calculus and Multivariable calculus

वेक्टर-मूल्यवान कार्य

एक वास्तविक चर का सदिश-मूल्यवान फ़ंक्शन y कुछ सदिश स्थान R में सदिशों को वास्तविक संख्याएँ भेजता है^एन. एक वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन को इसके समन्वय कार्यों में विभाजित किया जा सकता है y₁(t), y₂(t), ..., y_n(t), जिसका अर्थ है कि y(t) = (y₁(t), ..., y_n(t)). इसमें शामिल है, उदाहरण के लिए, आर में पैरामीट्रिक वक्र² या आर^{3</उप>। समन्वय कार्य वास्तविक मूल्यवान कार्य हैं, इसलिए व्युत्पन्न की उपरोक्त परिभाषा उन पर लागू होती है। Y(t) के व्युत्पन्न को वेक्टर (ज्यामितीय) के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसे वक्रों की विभेदक ज्यामिति कहा जाता है, जिसके निर्देशांक समन्वय कार्यों के व्युत्पन्न हैं। वह है,}

$\mathbf {y} '(t)=(y'_{1}(t),\ldots ,y'_{n}(t)).$

समान रूप से,

$\mathbf {y} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {y} (t+h)-\mathbf {y} (t)}{h}},$

अगर सीमा मौजूद है। अंश में घटाव सदिशों का घटाव है, अदिश राशियों का नहीं। यदि y का व्युत्पन्न t के प्रत्येक मान के लिए मौजूद है, तो y' एक अन्य सदिश-मूल्यवान फलन है।

यदि e₁, ..., e_n R का मानक आधार हैⁿ, तो 'y'(t) को इस रूप में भी लिखा जा सकता है y₁(t)e₁ + ⋯ + y_n(t)e_n. अगर हम मानते हैं कि वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन का व्युत्पन्न भेदभाव संपत्ति की रैखिकता को बरकरार रखता है, तो y(t) का व्युत्पन्न होना चाहिए

$y'_{1}(t)\mathbf {e} _{1}+\cdots +y'_{n}(t)\mathbf {e} _{n}$

क्योंकि प्रत्येक आधार सदिश एक स्थिर है।

यह सामान्यीकरण उपयोगी है, उदाहरण के लिए, यदि y(t) समय t पर किसी कण का स्थिति सदिश है; तब व्युत्पन्न y′(t) समय t पर कण का वेग सदिश है।

आंशिक डेरिवेटिव

Main article: Partial derivative

मान लीजिए कि f एक ऐसा फलन है जो एक से अधिक चरों पर निर्भर करता है—उदाहरण के लिए,

$f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.$

f को अन्य चर द्वारा अनुक्रमित एक चर के कार्यों के परिवार के रूप में पुनर्व्याख्या की जा सकती है:

$f(x,y)=f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.$

दूसरे शब्दों में, x का प्रत्येक मान एक फलन चुनता है, जिसे f से निरूपित किया जाता है_x, जो कि एक वास्तविक संख्या का फलन है। वह है,

$x\mapsto f_{x},$

$f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.$

एक बार x का मान चुने जाने के बाद, a कहें f(x, y) एक समारोह एफ निर्धारित करता है_aजो y को भेजता है a² + ay + y²:

$f_{a}(y)=a^{2}+ay+y^{2}.$

इस अभिव्यक्ति में, एक स्थिर है, एक चर नहीं है, इसलिए एफ_aकेवल एक वास्तविक चर का फलन है। नतीजतन, एक चर के एक समारोह के लिए व्युत्पन्न की परिभाषा लागू होती है:

$f_{a}'(y)=a+2y.$

उपरोक्त प्रक्रिया किसी भी विकल्प के लिए की जा सकती है। डेरिवेटिव को एक साथ एक फ़ंक्शन में इकट्ठा करना एक ऐसा फ़ंक्शन देता है जो y दिशा में f की भिन्नता का वर्णन करता है:

${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x+2y.$

यह y के संबंध में f का आंशिक व्युत्पन्न है। यहाँ ∂ एक गोलाकार d है जिसे 'आंशिक व्युत्पन्न प्रतीक' कहा जाता है। अक्षर d से इसे अलग करने के लिए, ∂ को कभी-कभी dee के बजाय der , del , या आंशिक उच्चारित किया जाता है।

सामान्य तौर पर, किसी फ़ंक्शन का 'आंशिक व्युत्पन्न' f(x₁, …, x_n) दिशा में एक्स_iबिंदु पर (ए₁, ..., एक_n) के रूप में परिभाषित किया गया है:

${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})}{h}}.$

उपरोक्त अंतर भागफल में, x को छोड़कर सभी चर_iस्थिर रखे गए हैं। निश्चित मानों का वह विकल्प एक चर के कार्य को निर्धारित करता है

$f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),$

और, परिभाषा के अनुसार,

${\frac {df_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}}{dx_{i}}}(a_{i})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}).$

दूसरे शब्दों में, ऊपर दिए गए उदाहरण की तरह ही एक-चर वाले इंडेक्स परिवार के अलग-अलग विकल्प कार्य करते हैं। यह अभिव्यक्ति यह भी दर्शाती है कि आंशिक डेरिवेटिव की गणना एक-चर डेरिवेटिव की गणना को कम कर देती है।

यह कई वास्तविक चरों के कार्यों के अध्ययन के लिए मौलिक है। होने देना f(x₁, ..., x_n) ऐसा वास्तविक मूल्यवान कार्य हो। यदि सभी आंशिक डेरिवेटिव ∂f / ∂x_j का f बिंदु पर परिभाषित किया गया है a = (a₁, ..., a_n), ये आंशिक डेरिवेटिव वेक्टर को परिभाषित करते हैं

$\nabla f(a_{1},\ldots ,a_{n})=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})\right),$

की प्रवणता कहलाती है f पर a. यदि f किसी डोमेन में हर बिंदु पर अलग-अलग होता है, तो ग्रेडियेंट एक वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन होता है ∇f जो बिंदु को मैप करता है (a₁, ..., a_n) वेक्टर को ∇f(a₁, ..., a_n). नतीजतन, ढाल एक वेक्टर क्षेत्र निर्धारित करता है।

दिशात्मक व्युत्पन्न

Main article: Directional derivative

यदि f 'R' पर एक वास्तविक-मूल्यवान फलन हैⁿ, तो f का आंशिक डेरिवेटिव निर्देशांक अक्षों की दिशा में इसकी भिन्नता को मापता है। उदाहरण के लिए, यदि f, x और y का एक फलन है, तो इसका आंशिक अवकलज f में x दिशा और y दिशा में परिवर्तन को मापता है। हालांकि, वे सीधे किसी अन्य दिशा में f की भिन्नता को मापते नहीं हैं, जैसे कि विकर्ण रेखा के साथ y = x. इन्हें दिशात्मक डेरिवेटिव का उपयोग करके मापा जाता है। एक वेक्टर चुनें

$\mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n}).$

बिंदु x पर v की दिशा में 'f की दिशात्मक व्युत्पत्ति सीमा है

$D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.$

कुछ मामलों में सदिश की लंबाई बदलने के बाद दिशात्मक व्युत्पन्न की गणना या अनुमान लगाना आसान हो सकता है। यूनिट वेक्टर की दिशा में एक दिशात्मक व्युत्पन्न की गणना में समस्या को चालू करने के लिए अक्सर ऐसा किया जाता है। यह कैसे काम करता है यह देखने के लिए, मान लीजिए v = λu जहाँ u v की दिशा में एक इकाई सदिश है। स्थानापन्न h = k/λ अंतर भागफल में। अंतर भागफल बन जाता है:

${\frac {f(\mathbf {x} +(k/\lambda )(\lambda \mathbf {u} ))-f(\mathbf {x} )}{k/\lambda }}=\lambda \cdot {\frac {f(\mathbf {x} +k\mathbf {u} )-f(\mathbf {x} )}{k}}.$

यह 'यू' के संबंध में एफ के दिशात्मक व्युत्पन्न के लिए अंतर भागफल का λ गुना है। इसके अलावा, जब h शून्य की ओर प्रवृत्त होता है तो सीमा को लेना वैसा ही है जैसे कि k को शून्य की ओर ले जाने की सीमा लेना क्योंकि h और k एक दूसरे के गुणक हैं। इसलिए, D_v(f) = λD_u(f). इस पुनर्विक्रय संपत्ति के कारण, दिशात्मक डेरिवेटिव को अक्सर यूनिट वैक्टर के लिए ही माना जाता है।

यदि f के सभी आंशिक व्युत्पन्न मौजूद हैं और 'x' पर निरंतर हैं, तो वे सूत्र द्वारा 'v' दिशा में f का दिशात्मक व्युत्पन्न निर्धारित करते हैं:

$D_{\mathbf {v} }{f}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.$

यह कुल व्युत्पन्न की परिभाषा का परिणाम है। यह इस प्रकार है कि दिशात्मक व्युत्पन्न v में रैखिक मानचित्र है, जिसका अर्थ है D_{v + w}(f) = D_v(f) + D_w(f).

वही परिभाषा तब भी काम करती है जब f 'R' में मान वाला एक फ़ंक्शन है^मी. उपरोक्त परिभाषा सदिशों के प्रत्येक घटक पर लागू होती है। इस स्थिति में, दिशात्मक अवकलज 'R' में एक सदिश है।^मी.

कुल व्युत्पन्न, कुल अंतर और जैकबियन मैट्रिक्स

Main article: Total derivative

जब f 'R' के खुले उपसमुच्चय से एक फलन होⁿ से 'आर'^m, तो किसी चुनी हुई दिशा में f का दिशात्मक व्युत्पन्न उस बिंदु पर और उस दिशा में f का सर्वोत्तम रैखिक सन्निकटन है। लेकिन जब n > 1, कोई भी एकल दिशात्मक व्युत्पन्न f के व्यवहार की पूरी तस्वीर नहीं दे सकता है। कुल व्युत्पन्न एक बार में सभी दिशाओं पर विचार करके पूरी तस्वीर देता है। अर्थात, 'a' से शुरू होने वाले किसी भी सदिश 'v' के लिए, रैखिक सन्निकटन सूत्र धारण करता है:

$f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\approx f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} .$

एकल-चर व्युत्पन्न की तरह, f ′(a) चुना जाता है ताकि इस सन्निकटन में त्रुटि यथासंभव कम हो।

यदि n और m दोनों एक हैं, तो अवकलज f ′(a) एक संख्या और अभिव्यक्ति है f ′(a)v दो संख्याओं का गुणनफल है। लेकिन उच्च आयामों में, यह असंभव है f ′(a) एक संख्या होना। यदि यह एक संख्या थी, तो f ′(a)v आर में एक वेक्टर होगाⁿ जबकि अन्य पद 'R' में सदिश होंगे^m, और इसलिए सूत्र का कोई अर्थ नहीं होगा। रैखिक सन्निकटन सूत्र को समझने के लिए, f ′(a) एक ऐसा कार्य होना चाहिए जो आर में वैक्टर भेजता हैⁿ 'R' में सदिशों के लिए^मी, और f ′(a)v v पर मूल्यांकन किए गए इस फ़ंक्शन को निरूपित करना चाहिए।

यह निर्धारित करने के लिए कि यह किस प्रकार का कार्य है, ध्यान दें कि रैखिक सन्निकटन सूत्र को फिर से लिखा जा सकता है

$f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} )\approx f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} .$

ध्यान दें कि यदि हम एक और वेक्टर w चुनते हैं, तो यह अनुमानित समीकरण v के लिए w को प्रतिस्थापित करके एक और अनुमानित समीकरण निर्धारित करता है। यह v और v दोनों को प्रतिस्थापित करके एक तीसरा अनुमानित समीकरण निर्धारित करता है। a + v एक के लिए। इन दो नए समीकरणों को घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं

$f(\mathbf {a} +\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {w} )+f(\mathbf {a} )\approx f'(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\mathbf {w} -f'(\mathbf {a} )\mathbf {w} .$

अगर हम मानते हैं कि वी छोटा है और व्युत्पन्न लगातार एक में बदलता रहता है, तो f ′(a + v) लगभग बराबर है f ′(a), और इसलिए दाहिनी ओर लगभग शून्य है। के साथ रैखिक सन्निकटन सूत्र का उपयोग करके बाएं हाथ की ओर को एक अलग तरीके से फिर से लिखा जा सकता है v + w वी के लिए प्रतिस्थापित। रैखिक सन्निकटन सूत्र का अर्थ है:

${\begin{aligned}0&\approx f(\mathbf {a} +\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {w} )+f(\mathbf {a} )\\&=(f(\mathbf {a} +\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} ))-(f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} ))-(f(\mathbf {a} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} ))\\&\approx f'(\mathbf {a} )(\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} -f'(\mathbf {a} )\mathbf {w} .\end{aligned}}$

इससे पता चलता है f ′(a) सदिश समष्टि R से एक रैखिक परिवर्तन हैⁿ सदिश स्थान 'R' के लिए^मी. वास्तव में, अनुमानों में त्रुटि को मापकर इसे एक सटीक व्युत्पत्ति बनाना संभव है। मान लें कि इन रैखिक सन्निकटन सूत्र में त्रुटि एक स्थिर समय से बंधी है ||'v'||, जहां स्थिरांक 'v' से स्वतंत्र है, लेकिन लगातार 'a' पर निर्भर करता है। फिर, एक उपयुक्त त्रुटि शब्द जोड़ने के बाद, उपरोक्त सभी अनुमानित समानताएं असमानताओं के रूप में फिर से लिखी जा सकती हैं। विशेष रूप से, f ′(a) एक छोटी त्रुटि अवधि तक एक रैखिक परिवर्तन है। वी और डब्ल्यू शून्य की ओर बढ़ने की सीमा में, इसलिए यह एक रैखिक परिवर्तन होना चाहिए। चूंकि हम कुल व्युत्पन्न को एक सीमा लेकर परिभाषित करते हैं क्योंकि v शून्य हो जाता है, f ′(a) एक रैखिक परिवर्तन होना चाहिए।

एक चर में, तथ्य यह है कि व्युत्पन्न सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है, इस तथ्य से व्यक्त किया जाता है कि यह अंतर भागफलों की सीमा है। हालांकि, सामान्य अंतर भागफल उच्च आयामों में समझ में नहीं आता है क्योंकि आमतौर पर वैक्टरों को विभाजित करना संभव नहीं होता है। विशेष रूप से, अंतर भागफल के अंश और हर एक ही सदिश स्थान में भी नहीं हैं: अंश कोडोमेन आर में स्थित है^m जबकि हर 'R' डोमेन में स्थित है^एन. इसके अलावा, व्युत्पन्न एक रैखिक परिवर्तन है, अंश और भाजक दोनों से एक अलग प्रकार की वस्तु। सटीक विचार करने के लिए कि f ′(a) सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है, एक-चर व्युत्पन्न के लिए एक अलग सूत्र को अनुकूलित करना आवश्यक है जिसमें ये समस्याएं गायब हो जाती हैं। यदि f : R → R, तो व्युत्पन्न की सामान्य परिभाषा को यह दिखाने के लिए हेरफेर किया जा सकता है कि a पर f का व्युत्पन्न अद्वितीय संख्या है f ′(a) ऐसा है कि

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-(f(a)+f'(a)h)}{h}}=0.$

यह इसके बराबर है

$\lim _{h\to 0}{\frac {|f(a+h)-(f(a)+f'(a)h)|}{|h|}}=0$

क्योंकि किसी फ़ंक्शन की सीमा शून्य हो जाती है यदि और केवल यदि फ़ंक्शन के पूर्ण मान की सीमा शून्य हो जाती है। यह अंतिम सूत्र मानक (गणित) के साथ पूर्ण मूल्यों को बदलकर कई-चर स्थिति में अनुकूलित किया जा सकता है।

इसलिए, "f" के कुल व्युत्पन्न की परिभाषा यह है कि यह अद्वितीय रैखिक परिवर्तन है f ′(a) : Rⁿ → R^m ऐसा है कि

$\lim _{\mathbf {h} \to 0}{\frac {\lVert f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-(f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} )\rVert }{\lVert \mathbf {h} \rVert }}=0.$

यहाँ h, R में एक सदिश राशि हैⁿ, इसलिए हर में मानक 'R' पर मानक लंबाई है^एन. हालांकि, f′('a')'h' 'R' में एक वेक्टर है^m, और अंश में मानदंड 'R' पर मानक लंबाई है^मी. यदि v एक वेक्टर है जो a से शुरू होता है, तो f ′(a)v 'f' द्वारा v का पुशफॉरवर्ड (अंतर) कहा जाता है और कभी-कभी लिखा जाता है f_∗v.

यदि कुल व्युत्पन्न a पर मौजूद है, तो f के सभी आंशिक व्युत्पन्न और दिशात्मक व्युत्पन्न a पर मौजूद हैं, और सभी v के लिए, f ′(a)v दिशा 'v' में f का दिशात्मक व्युत्पन्न है। यदि हम समन्वय फलन का उपयोग करके f लिखते हैं, ताकि f = (f₁, f₂, ..., f_m), तो कुल व्युत्पन्न को मैट्रिक्स (गणित) के रूप में आंशिक व्युत्पन्न का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। इस आव्यूह को a पर f का जैकबियन आव्यूह कहा जाता है:

$f'(\mathbf {a} )=\operatorname {Jac} _{\mathbf {a} }=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{ij}.$

कुल व्युत्पन्न एफ'('ए') का अस्तित्व सभी आंशिक डेरिवेटिव के अस्तित्व से सख्ती से मजबूत है, लेकिन यदि आंशिक डेरिवेटिव मौजूद हैं और निरंतर हैं, तो कुल व्युत्पन्न मौजूद है, जैकबियन द्वारा दिया गया है, और लगातार निर्भर करता है एक पर'।

कुल व्युत्पन्न की परिभाषा एक चर में व्युत्पन्न की परिभाषा को समाहित करती है। यही है, यदि f वास्तविक चर का वास्तविक-मूल्यवान कार्य है, तो कुल व्युत्पन्न मौजूद है यदि और केवल सामान्य व्युत्पन्न मौजूद है। जेकोबियन मैट्रिक्स 1×1 मैट्रिक्स में कम हो जाता है जिसका एकमात्र प्रवेश डेरिवेटिव f'(x) है। यह 1×1 मैट्रिक्स उस संपत्ति को संतुष्ट करता है जो f(a + h) − (f(a) + f ′(a)h) लगभग शून्य है, दूसरे शब्दों में कि

$f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h.$

चर बदलने तक, यह कथन है कि function $x\mapsto f(a)+f'(a)(x-a)$ एक पर एफ के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है।

किसी फ़ंक्शन का कुल डेरिवेटिव उसी तरह एक और फ़ंक्शन नहीं देता है जैसे एक-चर मामला। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक बहु-परिवर्तनीय फ़ंक्शन के कुल व्युत्पन्न को एकल-चर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तुलना में अधिक जानकारी दर्ज करनी होती है। इसके बजाय, कुल व्युत्पन्न स्रोत के स्पर्शरेखा बंडल से लक्ष्य के स्पर्शरेखा बंडल तक एक फ़ंक्शन देता है।

दूसरे, तीसरे, और उच्च-क्रम के कुल डेरिवेटिव का प्राकृतिक एनालॉग एक रैखिक परिवर्तन नहीं है, स्पर्शरेखा बंडल पर कोई फ़ंक्शन नहीं है, और कुल व्युत्पन्न को बार-बार लेकर नहीं बनाया गया है। एक उच्च-क्रम व्युत्पन्न का एनालॉग, जिसे जेट (गणित) कहा जाता है, एक रैखिक परिवर्तन नहीं हो सकता है क्योंकि उच्च-क्रम के व्युत्पन्न सूक्ष्म ज्यामितीय जानकारी को दर्शाते हैं, जैसे अवतलता, जिसे रैखिक डेटा जैसे वैक्टर के रूप में वर्णित नहीं किया जा सकता है। यह स्पर्शरेखा बंडल पर एक फ़ंक्शन नहीं हो सकता क्योंकि स्पर्शरेखा बंडल में केवल आधार स्थान और दिशात्मक डेरिवेटिव के लिए जगह होती है। क्योंकि जेट उच्च-क्रम की जानकारी प्राप्त करते हैं, वे तर्क के रूप में दिशा में उच्च-क्रम परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करने वाले अतिरिक्त निर्देशांक लेते हैं। इन अतिरिक्त निर्देशांकों द्वारा निर्धारित स्थान को जेट बंडल कहा जाता है। किसी फ़ंक्शन के कुल डेरिवेटिव और आंशिक डेरिवेटिव के बीच का संबंध किसी फ़ंक्शन के k वें ऑर्डर जेट और k से कम या उसके बराबर ऑर्डर के आंशिक डेरिवेटिव के बीच के संबंध में समानांतर है।

कुल व्युत्पन्न को बार-बार लेने से, 'आर' के लिए विशिष्ट फ्रेचेट व्युत्पन्न के उच्च संस्करण प्राप्त होते हैं।^{पी</सुप>. kवें क्रम के कुल अवकलज की व्याख्या मानचित्र के रूप में की जा सकती है}

$D^{k}f:\mathbb {R} ^{n}\to L^{k}(\mathbb {R} ^{n}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m})$

जो R में एक बिंदु x लेता हैⁿ और इसे 'R' से k-रेखीय मानचित्रों के स्थान का एक तत्व प्रदान करता हैⁿ से 'आर'^m – उस बिंदु पर f के लिए सबसे अच्छा (एक निश्चित अर्थ में) k-रैखिक सन्निकटन। इसे विकर्ण फ़ैक्टर Δ के साथ प्रीकंपोज करके, x → (x, x), एक सामान्यीकृत टेलर श्रृंखला के रूप में शुरू किया जा सकता है

${\begin{aligned}f(\mathbf {x} )&\approx f(\mathbf {a} )+(Df)(\mathbf {x-a} )+\left(D^{2}f\right)(\Delta (\mathbf {x-a} ))+\cdots \\&=f(\mathbf {a} )+(Df)(\mathbf {x-a} )+\left(D^{2}f\right)(\mathbf {x-a} ,\mathbf {x-a} )+\cdots \\&=f(\mathbf {a} )+\sum _{i}(Df)_{i}(x_{i}-a_{i})+\sum _{j,k}\left(D^{2}f\right)_{jk}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})+\cdots \end{aligned}}$

जहाँ f(a) की पहचान एक स्थिर फलन से की जाती है, x_i − a_i वेक्टर के घटक हैं x − a, तथा (Df)_i तथा (D²f)_jk के घटक हैं Df तथा D²f रैखिक परिवर्तन के रूप में।

सामान्यीकरण

Main article: Generalizations of the derivative

व्युत्पन्न की अवधारणा को कई अन्य सेटिंग्स तक बढ़ाया जा सकता है। सामान्य सूत्र यह है कि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उस बिंदु पर फ़ंक्शन के रैखिक सन्निकटन के रूप में कार्य करता है।

• व्युत्पन्न का एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण जटिल संख्याओं के जटिल कार्यों से संबंधित है, जैसे कि (एक डोमेन में) जटिल संख्या C से C तक के कार्य। इस तरह के एक समारोह के व्युत्पन्न की धारणा वास्तविक चर को जटिल चर के साथ बदलकर प्राप्त की जाती है। परिभाषा। यदि C की पहचान R से की जाती है² को एक सम्मिश्र संख्या z के रूप में लिखकर x + iy, तो C से C तक एक अवकलनीय फलन निश्चित रूप से R से एक फलन के रूप में अवकलनीय है² से आर² (इस अर्थ में कि इसके आंशिक डेरिवेटिव सभी मौजूद हैं), लेकिन इसका विलोम सामान्य रूप से सत्य नहीं है: जटिल व्युत्पन्न केवल तभी मौजूद होता है जब वास्तविक व्युत्पन्न जटिल रैखिक होता है और यह आंशिक डेरिवेटिव के बीच संबंधों को लागू करता है जिसे कॉची- कहा जाता है। रीमैन समीकरण - होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन देखें।
• एक अन्य सामान्यीकरण चिकनी कई गुना के बीच कार्य करता है। सहज रूप से इस तरह के कई गुना M बोलना एक ऐसा स्थान है जिसे प्रत्येक बिंदु x के पास एक सदिश स्थान द्वारा अनुमानित किया जा सकता है जिसे इसकी स्पर्शरेखा स्थान कहा जाता है: प्रोटोटाइपिकल उदाहरण 'R' में एक चिकनी सतह है।^{3</उप>। एक (विभेदक) मानचित्र का व्युत्पन्न (या अंतर)। f: M → N मैनिफोल्ड्स के बीच, एम में एक बिंदु एक्स पर, फिर एक्स पर एम के स्पर्शरेखा स्थान से एफ (एक्स) पर एन के स्पर्शरेखा स्थान पर एक रैखिक नक्शा है। व्युत्पन्न फ़ंक्शन एम और एन के स्पर्शरेखा बंडलों के बीच एक नक्शा बन जाता है। यह परिभाषा अंतर ज्यामिति में मौलिक है और इसके कई उपयोग हैं - पुशफॉरवर्ड (अंतर) और पुलबैक (अंतर ज्यामिति) देखें।}
• डायमेंशन (वेक्टर स्पेस) वेक्टर स्पेस जैसे बनच स्थान और फ्रेचेट स्पेस के बीच के मैप के लिए भी भेदभाव को परिभाषित किया जा सकता है। दोनों दिशात्मक व्युत्पत्ति का एक सामान्यीकरण है, जिसे गेटॉक्स व्युत्पन्न कहा जाता है, और अंतर का, जिसे फ्रेचेट व्युत्पन्न कहा जाता है।
• शास्त्रीय व्युत्पन्न की एक कमी यह है कि बहुत से कार्य भिन्न नहीं होते हैं। फिर भी, व्युत्पन्न की धारणा को विस्तारित करने का एक तरीका है ताकि कमजोर व्युत्पन्न के रूप में जाने वाली अवधारणा का उपयोग करके सभी निरंतर कार्य कार्यों और कई अन्य कार्यों को अलग किया जा सके। विचार निरंतर कार्यों को एक बड़े स्थान में एम्बेड करना है जिसे वितरण का स्थान (गणित) कहा जाता है और केवल यह आवश्यक है कि एक फ़ंक्शन औसत पर अलग-अलग हो।
• व्युत्पन्न के गुणों ने बीजगणित और टोपोलॉजी में कई समान वस्तुओं के परिचय और अध्ययन को प्रेरित किया है - उदाहरण के लिए, अंतर बीजगणित देखें।
• विभेदन का असतत समतुल्य परिमित अंतर है। डिफरेंशियल कैलकुलस का अध्ययन समय पैमाने की गणना में परिमित अंतर के कैलकुलस के साथ एकीकृत है।
• अंकगणित व्युत्पन्न भी देखें।

इतिहास

Main article: History of calculus

कैलकुलस, अपने प्रारंभिक इतिहास में इनफिनिटिमल कैलकुलस के रूप में जाना जाता है, एक गणित अनुशासन है जो सीमा (गणित), फ़ंक्शन (गणित), डेरिवेटिव, इंटीग्रल और अनंत श्रृंखला पर केंद्रित है। 17वीं शताब्दी के मध्य में आइजैक न्यूटन और गॉटफ्रीड लीबनिज ने स्वतंत्र रूप से कैलकुलस की खोज की। हालांकि, प्रत्येक आविष्कारक ने दावा किया कि दूसरे ने लीबनिज-न्यूटन कैलकुस विवाद में अपना काम चुरा लिया जो उनके जीवन के अंत तक जारी रहा।

यह भी देखें

• डिफरेंशियल कैलकुलस # डेरिवेटिव्स के अनुप्रयोग
• स्वचालित भेदभाव
• विभेदीकरण वर्ग
• भेद नियम
• डिफरइंटीग्रल
• फ्रैक्टल व्युत्पन्न
• व्युत्पन्न के सामान्यीकरण
• डेरिवेटिव से नफरत है
• कलन का इतिहास
• अभिन्न
• अनंत
• रेखाकरण
• गणितीय विश्लेषण
• गुणात्मक प्रतिलोम
• संख्यात्मक भेदभाव
• दर (गणित)
• रैडॉन-निकोडिम प्रमेय
• सममित व्युत्पन्न
• श्वार्जियन व्युत्पन्न

ग्रन्थसूची

प्रिंट

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• Apostol, Tom M. (June 1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra, vol. 1 (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
• Apostol, Tom M. (June 1969), Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications, vol. 1 (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5
• Courant, Richard; John, Fritz (December 22, 1998), Introduction to Calculus and Analysis, Vol. 1, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65058-4
• Eves, Howard (January 2, 1990), An Introduction to the History of Mathematics (6th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4
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• Spivak, Michael (September 1994), Calculus (3rd ed.), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8
• Stewart, James (December 24, 2002), Calculus (5th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7
• Thompson, Silvanus P. (September 8, 1998), Calculus Made Easy (Revised, Updated, Expanded ed.), New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0

ऑनलाइन किताबें

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• (Govt. of TN), TamilNadu Textbook Corporation (2006), Mathematics- vol.2 (PDF), archived from the original (PDF) on 2016-01-15, retrieved 2014-11-29
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• Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus
• Keisler, H. Jerome (2000), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals
• Mauch, Sean (2004), Unabridged Version of Sean's Applied Math Book, archived from the original on 2006-04-15
• Sloughter, Dan (2000), Difference Equations to Differential Equations
• Strang, Gilbert (1991), Calculus
• Stroyan, Keith D. (1997), A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus
• Wikibooks, Calculus

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बाहरी संबंध

• "Derivative", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Khan Academy: "Newton, Leibniz, and Usain Bolt"
• Weisstein, Eric W. "Derivative". MathWorld.
• Online Derivative Calculator from Wolfram Alpha.