विभेदक ऑपरेटर

वलय पर परिभाषित हार्मोनिक फलन। हार्मोनिक फलन वास्तव में वे फलन होते हैं जो लाप्लास संकारक के कर्नेल में स्थित होते हैं, जो एक महत्वपूर्ण अवकल संकारक है।

गणित में, अवकल संकारक एक संकारक होता है जिसे अवकल संकारक के फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह सहायक है, पहले अंकन के रूप में, अवकलन को एक संक्षेप संकारक के रूप में माना जाता है जो फलन को स्वीकार करता है और एक अन्य फलन (कंप्यूटर विज्ञान में उच्च-क्रम फलन की शैली में) देता है।

यह लेख मुख्य रूप से रैखिक अवकल संकारकों पर विचार करता है, जो कि सबसे सामान्य प्रकार हैं। हालांकि, अरैखिक अवकल संकारक भी उपस्थित हैं, जैसे श्वार्जियन व्युत्पन्न।

परिभाषा

क्रम-$m$ रैखिक अवकल संकारक फलन स्थान ${\mathcal {F}}_{1}$ से दूसरे फलन स्थान ${\mathcal {F}}_{2}$ तक का मानचित्र $A$ है जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है-

$$A=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }\ ,$$

जहाँ $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का बहु-सूचकांक है, $|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$ और प्रत्येक अल्फ़ा के लिए, $\alpha$, $a_{\alpha }(x)$ n-आयामी स्थान में कुछ खुले क्षेत्र पर एक फलन है।संकारक $D^{\alpha }$ की व्याख्या इस प्रकार की जाती है

$$D^{\alpha }={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}$$

इस प्रकार फलन $f\in {\mathcal {F}}_{1}$ के लिए-

$$Af=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}$$

दो फलनों $D(g,f)$ पर काम करने वाले अवकल संकारक को द्विविभेद संकारक भी कहा जाता है।

अंकन

सबसे सामान्य अवकल संकारक व्युत्पन्न लेने की क्रिया है। चर x के संबंध में प्रथम व्युत्पन्न लेने के लिए सामान्य संकेतन में सम्मिलित हैं-

${d \over dx}$, $D$, $D_{x},$ और $\partial _{x}$.

उच्च, nवें क्रम के व्युत्पन्न लेते समय, संकारक को लिखा जा सकता है-

${d^{n} \over dx^{n}}$, $D^{n}$, $D_{x}^{n}$, या $\partial _{x}^{n}$.

तर्क x के फलन f का व्युत्पन्न कभी-कभी निम्नलिखित में से किसी एक के रूप में दिया जाता है-

$[f(x)]'$

$f'(x).$

D अंकन का उपयोग और निर्माण का श्रेय ओलिवर हीविसाइड को दिया जाता है, जिन्होंने फॉर्म के अवकल संकारकों पर विचार किया था

$\sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}$

अवकल समीकरणों के अपने अध्ययन में।

सबसे अधिक बार देखे जाने वाले अवकल संकारकों में से एक लाप्लासियन संकारक है, जिसे इसके द्वारा परिभाषित किया गया है

$\Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{k}^{2}}}.$

अन्य अवकल संकारक Θ संकारक या थीटा संकारक है, जिसे परिभाषित किया गया है

$\Theta =z{d \over dz}.$

इसे कभी-कभी एकरूपता संकारक भी कहा जाता है, क्योंकि इसके अभिलक्षणिक फलन (आइगेन फंक्शन) z में एकपद हैं-