पूर्णांक

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पूर्णांक का अर्थ लैटिन भाषा में "संपूर्ण" होता है एवं सामान्य बोलचाल की भाषा में इसे संख्या से परिभाषित किया जाता है और जिसे भिन्नात्मक घटक के बिना लिखा जा सकता है, उदाहरण के लिए, 21, 4, 0 और −2048 पूर्णांक हैं, जबकि 9.75, 5+1/2 और √2 नहीं हैं।

पूर्णांकों के समुच्चय में शून्य (0) धनात्मक प्राकृत संख्याएँ (1, 2, 3 , ...), जिसे पूर्ण संख्याएं या गिनती संख्याएं भी कहा जाता है, और उनके योगात्मक प्रतिलोम (ऋणात्मक पूर्णांक, अर्थात, -1, −2, −3, . . .) पूर्णांकों समुच्चय को प्रायः बोल्डफेस (Z) या ब्लैकबोर्ड बोल्ड $(\mathbb {Z} )$ द्वारा दर्शाया जाता है, अक्षर "Z" को मूल रूप से जर्मन शब्द ज़हलेन ("संख्या") लिया गया है।

सभी $\mathbb {Z}$ परिमेय संख्याओं के (समुच्चय) का उपसमुच्चय $\mathbb {Q}$ होता है, जो कि वास्तविक संख्याओं का उपसमुच्चय $\mathbb {R}$ है। प्राकृतिक संख्याओं की तरह ही $\mathbb {Z}$ की गणना भी अनंत है।

पूर्णांक प्राकृतिक संख्याओं का सबसे छोटा समूह और सबसे छोटा वृत्त बनाते हैं बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में, पूर्णांक कभी -कभी परिमेय पूर्णांक के रूप में योग्य होते हैं ताकि उन्हें अधिक सामान्य बीजगणितीय पूर्णांक से अलग किया जा सके। वास्तव में, (परिमेय) पूर्णांक बीजीय पूर्णांक होते हैं जो कि परिमेय संख्याएँ भी होते हैं।

चिन्ह

अलग-अलग लेखकों के द्वारा $\mathbb {Z}$ चिन्ह को विभिन्न समुच्चय में दर्शाया एवं उपयोग में लाया जाता है: $\mathbb {Z} ^{+}$,$\mathbb {Z} _{+}$ या $\mathbb {Z} ^{>}$धनात्मक पूर्णांकों के लिए, $\mathbb {Z} ^{0+}$ या $\mathbb {Z} ^{\geq }$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए, और $\mathbb {Z} ^{\neq }$ गैर-शून्य पूर्णांक के लिए है। कुछ लेखक गैर-शून्य पूर्णांक के लिए $\mathbb {Z} ^{*}$उपयोग करते हैं, जबकि अन्य इसे गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए, या{–1, 1} के लिए उपयोग करते हैं। इसके अतिरिक्त, $\mathbb {Z} _{p}$ पूर्णांक मोडुलो के समुच्चय को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है p(यानी, पूर्णांक की बधाई वर्गों का समुच्चय), या पी-एडिक पूर्णांक का समुच्चय |p- पूर्णांक हैं।

बीजीय गुण

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ऋणात्मक पूर्णांक को नीले और ऋणात्मक पूर्णांक में लाल रंग में दिखाया जाता है।

प्राकृतिक संख्याओं की तरह ही , $\mathbb {Z}$ जोड़ और गुणा के संक्रिया के अधीन समाप्ति है।

प्राकृतिक संख्याओं की तरह, $\mathbb {Z}$ जोड़ और गुणन के संचालन के तहत बंद है, यानी कि किन्हीं दो पूर्णांकों का योग और गुणनफल एक पूर्णांक होता है। हालांकि, ऋणात्मक प्राकृतिक संख्याओं को समावेश करने के साथ (और महत्वपूर्ण रूप से, 0), $\mathbb {Z}$, प्राकृतिक संख्याओं से भिन्न, यह भी घटाव में समाप्त होता है।।

पूर्णांक एक एकात्मक वलय (यूनिटल रिंग) बनाते हैं जो निम्नलिखित अर्थों में सबसे आधारभूत है: किसी भी एकात्मक वलय (यूनिटल रिंग) के लिए, इस वलय (रिंग) के पूर्णांकों में एक अद्वितीय वलय से समरूपता होती है। यह इसका  सार्वभौमिक गुण होता है,अर्थात वलय $\mathbb {Z}$