सामान्य उपसमूह

"अपरिवर्तनीय उपसमूह" यहां पुनर्निर्देश करता है। पूरी तरह अपरिवर्तनीय उपसमूह के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।

अमूर्त बीजगणित में, सामान्य उपसमूह (जिसे एक अपरिवर्तनीय उपसमूह या स्व-संयुग्मित उपसमूह के रूप में भी जाना जाता है) उपसमूह है जो समूह (गणित) के सदस्यों द्वारा आंतरिक संयुग्मन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है, जिसका यह एक भाग है। दूसरे शब्दों में, एक उपसमूह $N$ समूह का $G$ में सामान्य है $G$ यदि और केवल यदि $gng^{-1}\in N$ सभी $g\in G$ और $n\in N$ के लिए है। इस संबंध के लिए सामान्य संकेतन $N\triangleleft G$ है।

सामान्य उपसमूह महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे (और केवल वे) दिए गए समूह के भागफल समूह के निर्माण के लिए उपयोग किए जा सकते हैं। इसके अतिरिक्त, $G$ के सामान्य उपसमूह प्रक्षेत्र $G,$ के साथ समूह समरूपता के कर्नेल हैं जिसका अर्थ है कि उनका उपयोग उन समरूपताओं को आंतरिक रूप से वर्गीकृत करने के लिए किया जा सकता है।

एवरिस्ट गैलोइस सामान्य उपसमूहों के अस्तित्व के महत्व को समझने वाले पहले व्यक्ति थे।

परिभाषाएँ

समूह $G$ के उपसमूह $N$ को $G$ का सामान्य उपसमूह कहा जाता है यदि यह आंतरिक संयुग्मन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है; अर्थात् $G$ के एक तत्व द्वारा $N$ के एक तत्व का संयुग्मन हमेशा $N$ मे होता है। इस संबंध के लिए सामान्य संकेतन $N\triangleleft G$ है।

समतुल्य शर्तें

$G$ के किसी भी उपसमूह $N$ के लिए, निम्नलिखित स्थितियाँ तार्किक तुल्यता $N$ के समान हैं जो $G$ का एक सामान्य उपसमूह है। इसलिए, उनमें से किसी एक को परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है:

• $G$ के किसी भी तत्व द्वारा $N$ के संयुग्मन की छवि का $N$ उपसमुच्चय है
• $G$ के किसी भी तत्व द्वारा $N$ के संयुग्मन की छवि के $N$ बराबर है
• सभी के लिए $g\in G,$ बाएँ और दाएँ सह-समुच्चय $gN$ और $Ng$ बराबर हैं।
• $G$ में $N$ के बाएँ और दाएँ सहसमुच्चयों के समुच्चय के समान है।
• $g$ के संबंध मे $N$ के बाएं सहसमुच्चय के एक तत्व का उत्पाद और $h$ के संबंध में $N$ के बाएं सहसमुच्चय का एक तत्व $gh$ है: सभीके संबंध में $N$ के बाएं सहसमुच्चय का एक तत्व $x,y,g,h\in G,$ यदि $x\in gN$और $y\in hN$ तब $xy\in (gh)N$ है।
• $N,$$G$ के संयुग्मन वर्गों का एक संघ (समुच्चय सिद्धांत) है।
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