बीजगणितीय समूह

गणित में, बीजगणितीय समूह बीजगणितीय विविधता है जो समूह (गणित) संरचना के साथ संपन्न होती है जो बीजगणितीय विविधता के रूप में इसकी संरचना के अनुकूल होती है। इस प्रकार बीजगणितीय समूहों का अध्ययन बीजगणितीय ज्यामिति और समूह सिद्धांत दोनों के अंतर्गत आता है।

ज्यामितीय परिवर्तनों के कई समूह बीजगणितीय समूह हैं; उदाहरण के लिए, आयतीय समूह, सामान्य रैखिक समूह, प्रक्षेपी समूह, यूक्लिडियन समूह, आदि। कई आव्यूह समूह भी बीजगणितीय होते हैं। अन्य बीजगणितीय समूह स्वाभाविक रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में होते हैं, जैसे दीर्घवृत्तीय वक्र और जैकबियन विविधता।

बीजगणितीय समूहों का एक महत्वपूर्ण वर्ग एफ़िन बीजगणितीय समूहों द्वारा दिया जाता है, जिनकी अंतर्निहित बीजगणितीय विविधता एफ़िन विविधता है; वे बिल्कुल सामान्य रैखिक समूह के बीजगणितीय उपसमूह हैं, और इसलिए उन्हें 'रैखिक बीजगणितीय समूह' भी कहा जाता है। एबेलियन विविधता द्वारा एक अन्य वर्ग का गठन किया जाता है, जो कि बीजगणितीय समूह होते हैं जिनकी अंतर्निहित विविधता अनुमानित विविधता है। शेवाली की संरचना प्रमेय में कहा गया है कि उन दो परिवारों में समूहों से प्रत्येक बीजगणितीय समूह का निर्माण किया जा सकता है।

परिभाषाएँ

औपचारिक रूप से, क्षेत्र $k$ पर बीजगणितीय समूह एक बीजगणितीय विविधता $\mathrm {G}$ ओवर $k$ है जो, एक साथ एक विशिष्ट तत्व $e\in \mathrm {G} (k)$ (तटस्थ तत्व), और नियमित मानचित्र (बीजीय ज्यामिति) $\mathrm {G} \times \mathrm {G} \to \mathrm {G}$ (गुणन संक्रिया) और $\mathrm {G} \to \mathrm {G}$ ( प्रतिलोमन ऑपरेशन) के साथ समूह के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है।

उदाहरण

• योजक समूह: एफ़िन लाइन $\mathbb {A} ^{1}$ समूह संचालन के रूप में जोड़ और विपरीत के साथ संपन्न बीजगणितीय समूह है। इसे योज्य समूह कहा जाता है (क्योंकि इसका $k$-बिंदु k के योगात्मक समूह के समूह के रूप में समरूपी होते हैं), और आमतौर पर $\mathrm {G} _{a}$ द्वारा निरूपित किया जाता है .
• गुणक समूह: $\mathrm {G} _{m}$ को एफिन तल $\mathbb {A} ^{2}$ में समीकर$xy=1$ द्वारा परिभाषित एफ़िन विविधता मान लीजिए। कार्य $((x,y),(x',y'))\mapsto (xx',yy')$ और $(x,y)\mapsto (x^{-1},y^{-1})$ $\mathrm {G} _{m}$ पर नियमित हैं, और वे समूह के स्वयंसिद्धों को (तटस्थ तत्व के साथ $(1,1)$) संतुष्ट करते हैं। बीजगणितीय समूह $\mathrm {G} _{m}$ को गुणक समूह कहा जाता है, क्योंकि इसके $k$-बिंदु क्षेत्र $k$ के गुणात्मक समूह के लिए समरूप हैं (समरूपता $x\mapsto (x,x^{-1})$ द्वारा दिया जाता है; ध्यान दें कि व्युत्क्रमणीय तत्वों का उपसमुच्चय $\mathbb {A} ^{1}$ में बीजगणितीय उप-वर्ग को परिभाषित नहीं करता है)।
• विशेष रैखिक समूह $\mathrm {SL} _{n}$ बीजगणितीय समूह है: यह बीजगणितीय समीकरण $\det(g)=1$ द्वारा एफ़िन स्पेस $\mathbb {A} ^{n^{2}}$ में दिया जाता है (n-द्वारा-n मेट्रिसेस के स्थान के साथ पहचाना जाता है), मेट्रिसेस का गुणन नियमित है और सहायक मैट्रिक्स के संदर्भ में व्युत्क्रम के लिए सूत्र दर्शाता है कि व्युत्क्रम नियमित है और साथ ही निर्धारक 1 के साथ मैट्रिसेस पर भी है।
• उलटा मेट्रिसेस का सामान्य रैखिक समूह $\mathrm {GL} _{n}$ क्षेत्र