बीजगणितीय टोरस

गणित में, एक बीजगणितीय टोरस, जहां एक आयामी टोरस को सामान्यतः $\mathbf {G} _{\mathbf {m} }$, $\mathbb {G} _{m}$, या $\mathbb {T}$, द्वारा दर्शाया जाता है, एक प्रकार का क्रमविनिमेय बीजगणितीय समूह है जो सामान्यतः प्रक्षेप्य बीजगणितीय ज्यामिति और टोरिक ज्यामिति में पाया जाता है। उच्च आयामी बीजीय टोरी को बीजगणितीय समूहों $\mathbf {G} _{\mathbf {m} }$ के उत्पाद के रूप में तैयार किया जा सकता है। इन समूहों को लाई समूह सिद्धांत में टोरी के सिद्धांत के अनुरूप नाम दिया गया था (कार्टन उपसमूह देखें)। उदाहरण के लिए, समिष्ट संख्याओं $\mathbb {C}$ पर बीजगणितीय टोरस $\mathbf {G} _{\mathbf {m} }$ समूह स्कीम $\mathbb {C} ^{*}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])$ के लिए समरूपी है, जो कि लाई समूह $U(1)\subset \mathbb {C}$ का स्कीम सैद्धांतिक एनालॉग है। वास्तव में, किसी समिष्ट सदिश समष्टि पर किसी भी $\mathbf {G} _{\mathbf {m} }$-कार्य को वास्तविक मैनिफोल्ड्स के रूप में सम्मिलित किए जाने से $U(1)$-क्रिया $U(1)\subset \mathbb {C} ^{*}$ में मैनिफोल्ड किया जा सकता है।

बीजगणितीय समूहों और लाई समूहों के सिद्धांत और उनसे जुड़ी ज्यामितीय वस्तुओं जैसे सममित समिष्ट और बिल्डिंग (गणित) के अध्ययन में टोरी का मौलिक महत्व है।

क्षेत्रो पर बीजगणितीय टोरी

अधिकांश स्थानों पर हम मानते हैं कि आधार क्षेत्र एकदम सही है (उदाहरण के लिए परिमित या विशेषता शून्य)। इस परिकल्पना के लिए एक समतल समूह स्कीम की आवश्यकता है पृष्ठ 64, क्योंकि बीजगणितीय समूह $G$ के लिए मानचित्रों की विशेषता $p$ पर समतल होना आवश्यक है

$$(\cdot )^{p^{r}}:{\mathcal {O}}(G)\to {\mathcal {O}}(G)$$

पर्याप्त बड़े $r$ के लिए ज्यामितीय रूप से कम किया जाना चाहिए, जिसका अर्थ है कि $G$ पर संबंधित मानचित्र की छवि पर्याप्त बड़े $r$ के लिए समतल है

सामान्यतः बीजगणितीय क्लोजर के समिष्ट पर पृथक्करणीय क्लोजर का उपयोग करना पड़ता है।

किसी क्षेत्र का गुणक समूह

Main article: गुणनात्मक समूह

यदि $F$ एक क्षेत्र है तो $F$ पर गुणक समूह बीजगणितीय समूह $\mathbf {G} _{\mathbf {m} }$ है, जैसे कि किसी भी क्षेत्र एक्सटेंशन $E/F$ के लिए $E$-बिंदु समूह $E^{\times }$ के समरूपी होते हैं। इसे एक बीजगणितीय समूह के रूप में ठीक से परिभाषित करने के लिए कोई व्यक्ति निर्देशांक $x,y$ के साथ $F$ के ऊपर एफ़िन विमान में समीकरण $xy=1$ द्वारा परिभाषित एफ़िन विविधता ले सकता है। गुणन तब $F^{2}\times F^{2}\to F^{2}$ द्वारा परिभाषित नियमित तर्कसंगत मानचित्र $((x,y),(x',y'))\mapsto (xx',yy')$ को प्रतिबंधित करके दिया जाता है और व्युत्क्रम नियमित तर्कसंगत मानचित्र $(x,y)\mapsto (y,x)$ का प्रतिबंध होता है

परिभाषा

मान लीजिए कि $F$ बीजगणितीय समापन के साथ एक क्षेत्र है ${\overline {F}}$ फिर $F$-टोरस पर परिभाषित एक बीजगणितीय समूह है जो गुणक समूह की प्रतियों के $F$ एक सीमित उत्पाद के लिए ${\overline {F}}$ पर समरूपी है।

दूसरे शब्दों में, यदि $\mathbf {T}$ $F$-ग्रुप यह टोरस है यदि और केवल यदि $\mathbf {T} ({\overline {F}})\cong ({\overline {F}}^{\times })^{r}$ कुछ के लिए $r\geq 1$. टोरी से जुड़ी मूल शब्दावली इस प्रकार है।

• पूर्णांक $r$ टोरस की रैंक या पूर्ण रैंक $\mathrm {T}$ कहा जाता है .
• कहा जाता है कि टोरस क्षेत्र विस्तार में विभाजित है $E/F$ यदि $\mathbf {T} (E)\cong (E^{\times })^{r}$. का अद्वितीय न्यूनतम परिमित विस्तार है $F$ जिस पर $\mathbf {T}$ विभाजित है, जिसे $\mathbf {T}$ विभाजन क्षेत्र कहा जाता है .
• द $F$-रैंक का $\mathbf {T}$ के विभाजित उप-टोरस की अधिकतम रैंक है $\mathbf {T}$. टोरस विभाजित होता है यदि और केवल यदि ऐसा हो $F$-रैंक उसकी पूर्ण रैंक के समान है।
• एक टोरस को अनिसोट्रोपिक कहा जाता है यदि यह $F$-रैंक शून्य है.

आइसोजेनिज़

बीजगणितीय समूहों के बीच आइसोजेनी परिमित कर्नेल के साथ विशेषण रूपवाद है; दो टोरी को आइसोजेनस कहा जाता है यदि पहले से दूसरे तक आ