संबंधित दरें

अंतर कलन में, संबंधित दरों की समस्याओं में एक दर का पता लगाना सम्मलित होता है, जिस पर उस समीकरण को अन्य मात्राओं से संबंधित करके बदल जाता है, जिनकी परिवर्तन की दर ज्ञात होती है। परिवर्तन की दर अधिकांश समय से सम्बंधित होती है। क्योंकि विज्ञान और इंजीनियरिंग अधिकांश मात्राओं को एक-दूसरे से संबंधित करते हैं, इन क्षेत्रों में संबंधित दरों के उपाय का व्यापक अनुप्रयोग होता है। समय या किसी अन्य चर के संबंध में विभेदीकरण के लिए श्रृंखला नियम के अनुप्रयोग की आवश्यकता होती है, चूंकि अधिकांश समस्याओं में कई चर सम्मलित होते हैं।

मौलिक रूप से, यदि कोई कार्य $F$ इस प्रकार परिभाषित किया गया है $F=f(x)$, फिर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न $F$ दूसरे चर के संबंध में लिया जा सकता है। हमारा मानना ​​है $x$ का एक कार्य है $t$, अर्थात। $x=g(t)$. फिर $F=f(g(t))$, इसलिए

$F'(t)=f'(g(t))\cdot g'(t)$ लीबनिज संकेतन में लिखा है, यह है:

${\frac {dF}{dt}}={\frac {df}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}.$

इस प्रकार, यदि यह ज्ञात है कि $x$, $t$ के संबंध में कैसे बदलता है, तो हम कैसे निर्धारित कर सकते हैं $F$ के संबंध में बदलता है $t$ और इसके विपरीत। हम श्रृंखला नियम के इस अनुप्रयोग को कलन के योग, अंतर, गुणनफल और भागफल के नियमों आदि के साथ बढ़ा सकते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि $F(x)=G(y)+H(z)$ फिर

$\frac{dF}{dx}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{dx}{dt}=$