अवकल गणित

File:Tangent to a curve.svg

किसी फलन का ग्राफ़, काले रंग में खींचा गया है, और उस फलन की स्पर्श रेखा, लाल रंग में खींची गई है। स्पर्शरेखा रेखा का ढलान चिह्नित बिंदु पर फलन के व्युत्पन्न के बराबर होता है।

गणित में, अवकल गणित (differential calculus) कैलकुलस, कैलकुलस का उपक्षेत्र है जो उन दरों का अध्ययन करता है जिन पर मात्राएँ बदलती हैं। यह कैलकुलस के दो पारंपरिक विभाजन में से एक है, दूसरा समाकलन गणित है - वक्र के नीचे के क्षेत्र का अध्ययन है।

अवकल कैलकुलस में अध्ययन की प्राथमिक वस्तुएँ फलन (गणित) के व्युत्पन्न हैं, संबंधित धारणाएँ जैसे कि फलन का अवकल और उनके अनुप्रयोग। किसी चुने हुए इनपुट मान पर किसी फलन का व्युत्पन्न उस इनपुट मान के पास फलन के परिवर्तन की दर का वर्णन करता है। व्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया को भेदभाव कहा जाता है। ज्यामितीय रूप से, बिंदु पर व्युत्पन्न उस बिंदु पर फलन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का ढलान है, परंतु कि व्युत्पन्न उपस्थित हो और उस बिंदु पर परिभाषित हो। वास्तविक चर के वास्तविक-मूल्यवान फलन के लिए, बिंदु पर फलन का व्युत्पन्न सामान्यतः उस बिंदु पर फलन के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन निर्धारित करता है।

अवकल कैलकुलस और इंटीग्रल कैलकुलस, कैलकुलस के मौलिक प्रमेय द्वारा जुड़े हुए हैं, जो बताता है कि भेदभाव एकीकरण (गणित) की उल्टी प्रक्रिया है।

विभेदन का अनुप्रयोग लगभग सभी परिमाणात्मक विषयों में होता है। भौतिकी में, समय के संबंध में गतिमान पिंड के विस्थापन (वेक्टर) का व्युत्पन्न पिंड का वेग है, और समय के संबंध में वेग का व्युत्पन्न त्वरण है। समय के संबंध में किसी पिंड के संवेग की व्युत्पत्ति उस पिंड पर लगाए गए बल के बराबर होती है; इस व्युत्पन्न कथन को पुनर्व्यवस्थित करने से प्रसिद्ध होता है F = ma न्यूटन के गति के नियमों से जुड़ा समीकरण न्यूटन का गति का दूसरा नियम रासायनिक प्रतिक्रिया की प्रतिक्रिया दर व्युत्पन्न है। संचालन अनुसंधान में, डेरिवेटिव सामग्री और डिजाइन कारखानों के परिवहन के लिए सबसे कुशल विधियाँ निर्धारित करते हैं।

किसी फलन के अधिकतम और न्यूनतम को खोजने के लिए अधिकांशतः डेरिवेटिव का उपयोग किया जाता है। डेरिवेटिव वाले समीकरण अवकल समीकरण कहलाते हैं और प्राकृतिक घटना का वर्णन करने में मौलिक हैं। डेरिवेटिव और उनके सामान्यीकरण गणित के कई क्षेत्रों में दिखाई देते हैं, जैसे जटिल विश्लेषण, कार्यात्मक विश्लेषण, अवकल ज्यामिति, माप सिद्धांत और अमूर्त बीजगणित है।

व्युत्पन्न

File:Curve with tangent line.png

एक मनमानी समारोह का ग्राफ $y=f(x)$. नारंगी रेखा स्पर्शरेखा है $x=a$, अर्थ उस सही बिंदु पर, वक्र की ढलान और सीधी रेखा समान हैं।

File:Tangent function animation.gif

अवकलनीय फलन के विभिन्न बिंदुओं पर व्युत्पन्न

व्युत्पन्न $f(x)$ बिंदु पर $x=a$ की स्पर्शरेखा का ढाल है $(a,f(a))$. इसके लिए अवकल्ज्ञान प्राप्त करने के लिए, किसी को पहले रेखीय समीकरण के ढलान को खोजने के लिए परिचित होना चाहिए, जो फॉर्म में लिखा गया है $y=mx+b$. समीकरण की ढलान इसकी स्थिरता है। इसे किसी भी दो बिंदुओं को चुनकर और परिवर्तन को विभाजित करके पाया जा सकता है $y$ में बदलाव से $x$, जिसका अर्थ है कि ${\text{slope }}={\frac {{\text{ change in }}y}{{\text{change in }}x}}$. के लिए, का ग्राफ $y=-2x+13$ का ढाल है $-2$, जैसा कि नीचे चित्र में दिखाया गया है:

फ़ाइल: y = का ग्राफ-2x+13 का ग्राफ $y=-2x+13$:${\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {-6}{+3}}=-2$ है

संक्षिप्तता के लिए, ${\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}$ अधिकांशतः के रूप में लिखा जाता है ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$, साथ $\Delta$ ग्रीक अक्षर डेल्टा होने के संबंधी, जिसका अर्थ है 'परिवर्तन' रेखीय समीकरण का ढलान स्थिर है, जिसका अर्थ है कि ढलान हर जगह समान है। चूंकि, कई रेखांकन जैसे $y=x^{2}$ उनकी स्थिरता में भिन्नता है। इसका अर्थ यह है कि अब आप कोई भी दो म