लाप्लास ऑपरेटर

गणित में, लाप्लास ऑपरेटर या लाप्लासियन अवकल संकारक है जो यूक्लिडियन स्थान पर एक अदिश फलन के प्रवणता के विचलन द्वारा दिया जाता है। यह सामान्यतः प्रतीकों $\nabla \cdot \nabla$, $\nabla ^{2}$ (जहां $\nabla$ डेल है), या $\Delta$ द्वारा दर्शाया जाता है। कार्तीय समन्वय प्रणाली में, लाप्लासियन को प्रत्येक स्वतंत्र चर के संबंध में फलन के दूसरे आंशिक व्युत्पन्न के योग द्वारा दिया जाता है। अन्य समन्वय प्रणालियों में, जैसे कि बेलनाकार निर्देशांक और गोलाकार निर्देशांक, लाप्लासियन का भी उपयोगी रूप है। अनौपचारिक रूप से, लाप्लासियन Δf (p) फलन का f बिंदु पर p के औसत मूल्य से मापता है f छोटे गोले या गेंदों पर केंद्रित p से विचलित f (p) होता है ।

लाप्लास ऑपरेटर का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे-साइमन डी लाप्लास (1749-1827) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने पहली बार आकाशीय यांत्रिकी के अध्ययन के लिए ऑपरेटर को लागू किया था। किसी दिए गए द्रव्यमान घनत्व वितरण के कारण गुरुत्वाकर्षण क्षमता का लाप्लासियन निरंतर गुणक है। वह घनत्व वितरण लाप्लास के समीकरण के समाधान Δf = 0 हार्मोनिक फलन कहलाते हैं और निर्वात के क्षेत्रों में संभावित गुरुत्वाकर्षण क्षमता का प्रतिनिधित्व करते हैं।

लाप्लासियन भौतिक घटनाओं का वर्णन करने वाले कई अंतर समीकरणों में होता है। प्वासों का समीकरण विद्युत क्षमता और गुरुत्वाकर्षण क्षमता का वर्णन करता है ।प्रसार समीकरण ऊष्मा समीकरण और द्रव यांत्रिकी का वर्णन करता है, तरंग समीकरण तरंग समीकरण का वर्णन करता है और क्वांटम यांत्रिकी में श्रोडिंगर समीकरण। मूर्ति प्रोद्योगिकी और कंप्यूटर विज़न में, लाप्लासियन ऑपरेटर का उपयोग विभिन्न कार्यों के लिए किया गया है, जैसे बूँद का पता लगाना और किनारे का पता लगाना। लाप्लासियन सबसे सरल अण्डाकार संचालिका है और हॉज सिद्धांत के साथ-साथ डी रम कोहोलॉजी के परिणामों के मूल में है।

परिभाषा

लाप्लास संचालिका द्वितीय-क्रम अवकल समीकरण है। n-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में द्वितीय-क्रम अवकल संचालिका है, जिसे अपसरण ($\nabla \cdot$) के रूप में प्रवणता का ($\nabla f$) परिभाषित किया गया है . इस प्रकार यदि $f$ व्युत्पन्न दो बार-विभेदक वास्तविक-मूल्यवान फलन है, फिर का लाप्लासियन $f$ द्वारा परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान कार्य है।

$$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$$

(1)

जहां बाद की सूचनाएं औपचारिक रूप से लिखने से प्राप्त होती हैं।

$$\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right).$$

स्पष्ट रूप से, के लाप्लासियन f इस प्रकार कार्तीय निर्देशांक में सभी अमिश्रित दूसरे आंशिक व्युत्पन्न का योग x_i है ।

$$\Delta f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}$$

(2)

दूसरे क्रम के अंतर ऑपरेटर के रूप में, लाप्लास ऑपरेटर [[Continuously differentiable|C^k]] को k ≥ 2 के लिए C^k−2 कार्यों के लिए मैप करता है। यह रैखिक ऑपरेटर है Δ : C^k(Rⁿ) → C^k−2(Rⁿ), या अधिक सामान्यतः ऑपरेटर Δ : C^k(Ω) → C^k−2(Ω) किसी भी खुले सेटΩ ⊆ Rⁿ के लिए है।

प्रेरणा

प्रसार

प्रसार के भौतिकी सिद्धांत में, लाप्लास ऑपरेटर प्रसार संतुलन के गणितीय विवरण में स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है। विशेष रूप से, यदि u कुछ मात्रा के संतुलन पर घनत्व है जैसे रासायनिक एकाग्रता, फिर शुद्ध प्रवाह u सीमा के माध्यम से ∂V किसी भी चिकने क्षेत्र का V शून्य है, परंतु भीतर कोई स्रोत या सिंक V न हो :

$$\int _{\partial V}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0,$$

जहां n की सीमा के लिए सामान्य बाहरी इकाई V है । विचलन प्रमेय द्वारा,

$$\int _{V}\operatorname {div} \nabla u\,dV=\int _{\partial V}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0.$$

चूंकि यह सभी चिकने क्षेत्रों के लिए है V, कोई दिखा सकता है कि इसका तात्पर्य है।

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