भागफल नियम

कलन में, भागफल नियम एक ऐसे फलन का व्युत्पन्न ज्ञात करने की विधि है जो दो अवकलन फलनों का अनुपात है। अनुमान $h(x)=f(x)/g(x),$ जहां f और g दोनों अवकलनीय और $g(x)\neq 0$ है। भागफल नियम बताता है कि h(x) का व्युत्पन्न है।

$h'(x)={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}$

अन्य व्युत्पन्न नियमों का प्रयोग करके इसे कई प्रकार से सिद्ध किया जा सकता है।

उदाहरण

उदाहरण 1: मूल उदाहरण

विशेष $h(x)={\frac {e^{x}}{x^{2}}}$, अनुमान $f(x)=e^{x},g(x)=x^{2}$, फिर भागफल नियम का प्रयोग करके:

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {e^{x}}{x^{2}}}\right)&={\frac {\left({\frac {d}{dx}}e^{x}\right)(x^{2})-(e^{x})\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)}{(x^{2})^{2}}}\\&={\frac {(e^{x})(x^{2})-(e^{x})(2x)}{x^{4}}}\\&={\frac {x^{2}e^{x}-2xe^{x}}{x^{4}}}\\&={\frac {xe^{x}-2e^{x}}{x^{3}}}\\&={\frac {e^{x}(x-2)}{x^{3}}}.\end{aligned}}$$

उदाहरण 2: स्पर्शरेखा फलन का व्युत्पन्न

भागफल नियम का प्रयोग $\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}$ का व्युत्पन्न इस प्रकार ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है:

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}\tan <!--\; \; -->x& =\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin <!--\; \; -->x}{\cos <!--\; \; -->x}\right)\\ & =\frac{\left(\frac{d}{dx}\sin <!--\; \; -->x\right)(\cos <!--\; \; -->x)-<!--\; -\; -->(\sin <!--\; \; -->x)\left(\frac{d}{dx}\cos <!--\; \; -->x\right)}{{\cos }^2<!--\; \; -->x}\\ & \end{array}$$