माप (गणित)

For कोलजेब्रिक अवधारणा, see कोयलेजेब्रा को मापना.

Not to be confused with मीट्रिक (गणित).

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अनौपचारिक रूप से, एक उपाय में मोनोटोन कार्य होने का गुण इस अर्थ में होता है कि यदि $A$ का उपसमुच्चय है $B,$ का पैमाना $A$ के माप से कम या उसके समान है $B.$ इसके अतिरिक्त खाली समुच्चय का माप 0 होना आवश्यक है।

गणित में माप की अवधारणा ज्यामित या लंबाई क्षेत्रफल और आयतन (लंबाई क्षेत्रफल आयतन) और अन्य सामान्य धारणाओं जैसे द्रव्यमान और घटनाओं की संभावना का सामान्यीकरण और औपचारिकता है। इन प्रतीत होने वाली विशिष्ट अवधारणाओं में कई समानताएँ हैं और अधिकांशतः एक ही गणितीय संदर्भ में एक साथ व्यवहार किया जा सकता है। उपाय संभाव्यता सिद्धांत अभिन्न में मूलभूत हैं और विद्युत आवेश के साथ हस्ताक्षरित माप ग्रहण करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। माप के दूरगामी सामान्यीकरण (जैसे वर्णक्रमीय उपाय और प्रक्षेपण-मूल्यवान उपाय) सामान्य रूप से क्वांटम भौतिकी और भौतिकी में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।

इस अवधारणा के पीछे का अंतर्ज्ञान प्राचीन ग्रीस में वापस आता है जब आर्किमिडीज़ ने वृत्त के क्षेत्रफल की गणना करने की प्रयाश की थी। किंतु 19वीं सदी के अंत और 20वीं सदी की प्रारंभ तक माप सिद्धांत गणित की शाखा नहीं बन पाया आधुनिक माप सिद्धांत की नींव एमिल बोरेल हेनरी लेबेस्ग्यू, निकोलाई लुज़िन जोहान राडॉन कॉन्स्टेंटिन कैराथोडोरी और मौरिस फ्रेचेट के कार्यों में रखी गई थी।

परिभाषा

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एक माप की गणना योग्य योगात्मकता $\mu$: एक गणनीय असंयुक्त संघ का माप प्रत्येक उपसमुच्चय के सभी उपायों के योग के समान होता है।

मान लीजिए कि $X$ समुच्चय है और $\Sigma$ , $\sigma$ -बीजगणित $X.$ के ऊपर है। $\Sigma$ से विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा तक समुच्चय फलन $\mu$को माप कहा जाता है यदि निम्नलिखित स्थितियाँ प्रयुक्त होती हैं:

• गैर-नकारात्मकता: सभी के लिए $E$ में $\Sigma ,$ $\mu (E)\geq 0.$
• $\mu (\varnothing )=0.$
• गणनीय योगात्मकता (या $\sigma$ -योगात्मकता): सभी गणनीय संग्रह $\{E_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ के लिए Σ में जोड़ीदार असंयुक्त समुच्चय के लिए है
  $$\mu \left(\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }\mu (E_{k}).$$

यदि कम से कम समुच्चय $E$ में परिमित माप है, तो आवश्यकता $\mu (\varnothing )=0$ गणनीय योगात्मकता के कारण स्वचालित रूप से पूरी हो जाती है:

$$\mu (E)=\mu (E\cup \varnothing )=\mu (E)+\mu (\varnothing ),$$

और इसीलिए $\mu (\varnothing )=0.$

यदि गैर-नकारात्मकता की स्थिति को छोड़ दिया जाता है, और $\mu$ {$\pm \infty ,$} के अधिकतम मानों में से एक पर ले लेता है, तो $\mu$ को हस्ताक्षरित माप कहा जाता है।

जोड़ा $(X,\Sigma )$ औसत श्रेणी का स्थान कहा जाता है, और $\Sigma$ के सदस्य मापनीय समुच्चय कहलाते हैं।

ट्रिपल $(X,\Sigma ,\mu )$ को स्थान माप कहा जाता है। प्रायिकता माप एक माप है, जिसका कुल माप एक – है, जो कि $\mu (X)=1.$ प्रायिकता स्थान प्रायिकता माप वाला माप स्थान है।

माप स्थान के लिए जो टोपोलॉजिकल स्थान भी हैं, माप और टोपोलॉजी के लिए विभिन्न अनुकूलता स्थितियों को रखा जा सकता है। विश्लेषण (गणित) में व्यवहार में मिले अधिकांश उपाय (और कई स्थिति में प्रायिकता सिद्धांत में भी) रेडॉन उपाय हैं। समर्थन (गणित) या कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ निरंतर कार्यों के स्थानीय उत्तल टोपोलॉजिकल सदिश स्थान पर रैडॉन उपायों की रैखिक कार्यात्मकता के संदर्भ में वैकल्पिक परिभाषा है। यह दृष्टिकोण निकोलस बोरबाकी (2004) और कई अन्य स्रोतों द्वारा लिया गया है। अधिक जानकारी के लिए रैडॉन उपायों पर आलेख देखें।

उदाहरण

Main category: उपाय (माप सिद्धांत)

कुछ महत्वपूर्ण उपाय यहां सूचीबद्ध हैं।

• गणना माप को $\mu (S)$ = $S.$ में तत्वों की संख्या द्वारा परिभाषित किया गया है।
• $\mathbb {R}$ पर लेबेस्ग माप σ-बीजगणित पर पूर्ण अनुवाद-अपरिवर्तनीय माप है, जिसमें $\mathbb {R}$ में अंतराल होते हैं, जैसे कि $\mu ([0,1])=1$; और इन गुणों के साथ हर दूसरा माप लेबेस्ग माप का विस्तार करता है।
• परिपत्र कोण माप घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है और अतिशयोक्तिपूर्ण कोण माप निचोड़ मानचित्रण के तहत अपरिवर्तनीय है।
• स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान टोपोलॉजिकल समूह के लिए हार उपाय लेबेस्ग माप (और गिनती माप और परिपत्र कोण माप का भी) का सामान्यीकरण है और इसमें समान विशिष्टता गुण हैं।
• हॉसडॉर्फ माप गैर-पूर्णांक आयाम, विशेष रूप से फ्रैक्टल समुच्चय के साथ समुच्चय करने के लिए लेबेस्ग माप का सामान्यीकरण है।
• प्रत्येक संभाव्यता स्थान माप को उत्पन्न करता है, जो पूरे स्थान पर मान 1 लेता है (और इसलिए इकाई अंतराल [0, 1] में इसके सभी मान लेता है)। ऐसे माप को संभाव्यता माप कहा जाता है। संभाव्यता स्वयंसिद्ध देखें।
• डिराक माप δa (cf. डिराक डेल्टा कार्य ) δ_a(S) = χ_S(a), द्वारा दिया जाता है, जहां χ_S , $S.$ का सूचक कार्य है। समुच्चय का माप 1 है यदि इसमें बिंदु $a$ और 0 अन्यथा सम्मिलित है।

विभिन्न सिद्धांतों में प्रयुक्त अन्य 'नामित' उपायों में सम्मिलित हैं: बोरेल माप, जॉर्डन माप, एर्गोडिक माप, गॉसियन माप, बेयर माप, रेडॉन माप, युवा माप और लोएब माप।

भौतिकी में माप का उदाहरण द्रव्यमान का स्थानिक वितरण है (उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण क्षमता देखें), या अन्य गैर-नकारात्मक व्यापक संपत्ति, संरक्षित मात्रा (इनकी सूची के लिए संरक्षण नियम (भौतिकी) देखें) या नहीं। नकारात्मक मान हस्ताक्षरित उपायों की ओर ले जाते हैं, नीचे सामान्यीकरण देखें।

• लिउविले का प्रमेय (हैमिल्टनियन) या सहानुभूति ज्यामिति जिसे सहानुभूति बहुविध पर प्राकृतिक आयतन रूप के रूप में भी जाना जाता है मौलिक सांख्यिकीय और हैमिल्टनियन यांत्रिकी में उपयोगी है।
• गिब्स माप व्यापक रूप से सांख्यिकीय यांत्रिकी में उपयोग किया जाता है जिसे अधिकांशतः विहित पहनावा के नाम से जाना जाता है।

मूल गुण

माना $\mu$ माप है।

एकरसता

यदि $E_{1}$ और $E_{2}$ और $E_{1}\subseteq E_{2}$के साथ मापने योग्य समुच्चय हैं तो

$$\mu (E_{1})\leq \mu (E_{2}).$$

गणनीय संघों और प्रतिच्छेदन का माप

गणनीय उप-विषमता

किसी भी गणनीय अनुक्रम के लिए $E_{1},E_{2},E_{3},\ldots$(जरूरी नहीं कि �