जेट (गणित)

गणित में, जेट एक संक्रिया है जो एक भिन्न फलन f लेता है और अपने कार्यक्षेत्र के प्रत्येक बिंदु पर एक बहुपद, f का छोटा टेलर बहुपद उत्पन्न करता है। हालाँकि यह एक जेट की परिभाषा है, जेट का सिद्धांत इन बहुपदों को बहुपद फलनों के बजाय अमूर्त बहुपद मानता है।

यह आलेख पहले एक वास्तविक चर में एक वास्तविक मूल्यवान फलन के जेट की धारणा की खोज करता है, इसके बाद कई वास्तविक चर के सामान्यीकरण की चर्चा होती है। इसके बाद यह यूक्लिडीय समष्टियों के मध्य जेट और जेट समष्टि का एक कठोर निर्माण देता है। यह बहुविध के मध्य जेट्स के विवरण के साथ समाप्त होता है और इन जेट्स को आंतरिक रूप से कैसे बनाया जा सकता है। इस अधिक सामान्य संदर्भ में, यह विभेदक ज्यामिति और विभेदक समीकरणों के सिद्धांत में जेट के कुछ अनुप्रयोगों का सारांश प्रस्तुत करता है।

यूक्लिडीय समष्टियों के मध्य फलनों के जेट

जेट की कठोर परिभाषा देने से पहले, कुछ विशेष स्थितियों की जांच करना उपयोगी है।

एक-आयामी स्थिति

मान लीजिए कि $f:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} }$ एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है जिसमें बिंदु $x_{0}$ के प्रतिवेश U में कम-से-कम k + 1 अवकलज है फिर टेलर के प्रमेय द्वारा,

$f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\cdots +{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}+{\frac {R_{k+1}(x)}{(k+1)!}}(x-x_{0})^{k+1}$

जहाँ

$|R_{k+1}(x)|\leq \sup _{x\in U}|f^{(k+1)}(x)|$

फिर बिंदु पर f का k-जेट $x_{0}$ को बहुपद के रूप में परिभाषित किया गया है:

$(J_{x_{0}}^{k}f)(z)=\sum _{i=0}^{k}{\frac {f^{(i)}(x_{0})}{i!}}z^{i}=f(x_{0})+f'(x_{0})z+\cdots +{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}z^{k}$

जेट को सामान्यतः चर z में अमूर्त बहुपद के रूप में माना जाता है, न कि उस चर में वास्तविक बहुपद फलनों के रूप में माना जाता है। दूसरे शब्दों में, z एक अनिश्चित चर है जो जेट के मध्य विभिन्न बीजीय करने की संचालन करने की अनुमति देता है। वास्तव में यह आधार-बिंदु $x_{0}$है, जिससे जेट अपनी कार्यात्मक निर्भरता प्राप्त करते हैं। इस प्रकार, आधार-बिंदु को अलग-अलग करके, एक जेट प्रत्येक बिंदु पर अधिकतम k क्रम का बहुपद उत्पन्न करता है। यह जेट और संक्षिप्त टेलर श्रृंखला के मध्य एक महत्वपूर्ण वैचारिक अंतर को दर्शाता है: सामान्यतः टेलर श्रृंखला को इसके आधार-बिंदु के बजाय इसके चर पर कार्यात्मक रूप से निर्भर माना जाता है। दूसरी ओर, जेट, टेलर श्रृंखला के बीजगणितीय गुणों को उनके कार्यात्मक गुणों से अलग करते हैं। हम लेख में बाद में इस विभाजन के कारणों और अनुप्रयोगों पर चर्चा करेंगे।

एक यूक्लिडीय समष्टि से दूसरे तक मानचित्रण

मान लीजिए कि $f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}$ एक यूक्लिडीय समष्टि से दूसरे यूक्लिडीय समष्टि में कम-से-कम (k + 1) अवकलज वाला एक फलन है। इस स्थिति में, टेलर का प्रमेय इस बात पर जोर देता है:

$\begin{array}{rl}f(x)=f(x_0)+(Df(x_0))\cdot <!--\; \cdot \; -->(x-<!--\; -\; -->x_0)+& \frac{1}{2}(D^{2}f(x_0))\cdot <!--\; \cdot \; -->{(x-<!--\; -\; -->x_0)}^{\otimes <!--\; \otimes \; -->2}+\cdots <!--\; \cdots \; -->\\ & \cdots <!--\; \cdots \; -->+\frac{D^{k}f(x_0)}{k!}\cdot <!--\; \cdot \; -->{(x-<!--\; -\; -->x_0)}^{\otimes <!--\; \otimes \; -->k}+\frac{}{}\end{array}$