श्रृंखला (गणित)

This article is about अनंत संकलन. For परिमित संकलन, see संकलन.

गणित में, श्रेणी साधारणतः, किसी दी गई प्रारंभिक राशि में एक के बाद एक अनंततः कई राशिओं के योग की संक्रिया का वर्णन है। श्रेणी का अध्ययन कलन और इसके सामान्यीकरण, गणितीय विश्लेषण का एक महत्वपूर्ण भाग है। श्रेणी का उपयोग गणित के अधिकांश फील्डों में किया जाता है, यहां तक कि जनक (जनरेटिंग) फलनों के माध्यम से परिमित संरचनाओं (जैसे कि साहचर्य (कॉम्बीनेटरिक्स) में) का अध्ययन करने के लिए भी। गणित में उनकी सर्वविद्यमानता के अतिरिक्त, अनंत श्रेणियों का व्यापक रूप से अन्य परिमाणात्मक विषयों जैसे कि भौतिकी, संगणक विज्ञान, सांख्यिकी और वित्त में भी उपयोग किया जाता है।

लंबे समय तक, यह विचार कि इस तरह के एक संभावित अनंत संकलन एक परिमित परिणाम उत्पन्न कर सकता है, विरोधाभास माना जाता था। 17वीं शताब्दी के दौरान एक सीमा की अवधारणा का उपयोग करके इस विरोधाभास को हल किया गया था। एचिल्स और टोर्टोइस के ज़ेनो का विरोधाभास अनंत राशियों की इस प्रतिगामी गुणधर्म को दर्शाता है: एचिल्स टोर्टोइस के पीछे दौड़ता है, लेकिन जब वह दौड़ की शुरुआत में टोर्टोइस की स्थिति तक पहुँचता है, तो टोर्टोइस दूसरे समष्टि पर पहुँच जाता है; जब वह इस दूसरे समष्टि पर पहुंचता है, तो टोर्टोइस तीसरे समष्टि पर होता है, और इसी तरह आगे भी। ज़ेनो ने निष्कर्ष निकाला कि एचिल्स कभी भी टोर्टोइस तक नहीं पहुँच सकता, और इस तरह वह गतिविधि विद्यमान नहीं है। ज़ेनो ने दौड़ को असीम रूप से कई उप-दौड़ों में विभाजित किया, जिनमें से प्रत्येक को एक सीमित समय की आवश्यकता थी, ताकि एचिल्स को टोर्टोइस को पकड़ने का कुल समय एक श्रेणी द्वारा दिया जा सके। विरोधाभास का हल यह है कि, हालांकि श्रेणी में पदों की अनंत संख्या है, इसकी एक परिमित राशि है, जो एचिल्स को टोर्टोइस के साथ पकड़ने के लिए आवश्यक समय प्रदान करती है।

आधुनिक पदावली में, कोई भी (क्रमित) पदों का अनंत अनुक्रम $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$ (अर्थात, संख्याएँ, फलन, या कुछ भी जो जोड़ा जा सकता है) एक श्रेणी को परिभाषित करता है, जो a_i को एक के पश्चात एक योग की संक्रिया है। इस बात पर बल देने के लिए कि पदों की संख्या अनंत है, एक श्रेणी को अनंत श्रेणी कहा जा सकता है। एक निम्नलिखित व्यंजक द्वारा दर्शाया (या निरूपित) जाता है।

$$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots ,$$

या, संकलन चिह्न का उपयोग करके,

$$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}.$$

श्रेणी द्वारा अंतर्निहित योग के अनंत अनुक्रम को प्रभावी रूप से अग्रसारित नहीं किया जा सकता है (कम से कम एक सीमित समय में)। हालाँकि, यदि वह समुच्चय जिससे पद और उनके परिमित योग संबंधित हैं, उनकी सीमा की धारणा होती है, अतः इन्हे कभी-कभी श्रेणी के लिए मान निर्दिष्ट करना संभव होता है, जिसे श्रेणी का योग कहा जाता है। यह मान सीमा है क्योंकि n श्रेणी के पहले n पदों के परिमित योगों की अनन्तता (यदि सीमा विद्यमान है) की ओर जाता है, जिसे श्रेणी के nवां आंशिक संकलन कहा जाता है। अर्थात्,

$$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}a_{i}.$$

जब यह सीमा विद्यमान होती है, तो कोई कहता है कि श्रेणी कनवर्जेंट या संकलन करने योग्य है, या यह कि अनुक्रम $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$ संकलन करने योग्य है। इस स्थिति में, सीमा को श्रेणी का संकलन फल कहा जाता है। अन्यथा, श्रेणी को डाइवर्जेन्ट कहा जाता है। अंकन ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$ दोनों श्रेणियों को दर्शाता है- जो एक के बाद एक अनिश्चित काल के लिए पदों को जोड़ने की अंतर्निहित प्रक्रिया है- और, यदि श्रेणी कनवर्जेंट है, तो श्रेणी का संकलन—प्रक्रिया का परिणाम। यह $a+b$ के योग—योग की प्रक्रिया—और उसके परिणाम—a और b के योग दोनों को दर्शाने के समान परिपाटी का सामान्यीकरण है।

सामान्यतः, श्रेणी की पद एक रिंग से प्राप्त होते हैं, प्रायः वास्तविक संख्याओं का फ़ील्ड $\mathbb {R}$ या समिश्र संख्याओं का फ़ील्ड $\mathbb {C}$ । इस स्थिति में, सभी श्रेणियों का समुच्चय स्वयं में एक रिंग (और यहां तक कि साहचर्य बीजगणित) होता है, जिसमें योग में पद द्वारा श्रेणी पद को जोड़ना सम्मिलित है, और गुणन कॉची गुणनफल होता है।

मूल गुणधर्म

एक अनंत श्रेणी या केवल श्रेणी एक अनंत संकलन है, जिसे अनंत व्यंजक द्वारा निम्नलिखित रूप में निरूपित किया जा सकता है