स्पर्शरेखा बंडल

अनौपचारिक रूप से, कई गुना (जो इस मामले में एक चक्र है) के स्पर्शरेखा बंडल को सभी स्पर्शरेखा रिक्त स्थान (शीर्ष) पर विचार करके प्राप्त किया जाता है, और उन्हें एक स्मूथ और गैर-अतिव्यापी तरीके (नीचे) में एक साथ जोड़कर प्राप्त किया जाता है।^{[note 1]}

अंतर ज्यामिति में, भिन्न करने योग्य कई गुना $M$ का स्पर्शरेखा बंडल एक बहुविध है I $TM$ जो $M$ सभी स्पर्शरेखा सदिश को एकत्र करता है . एक समूह के रूप में, यह $M$ के स्पर्शरेखा असम्बद्ध संघ द्वारा दिया जाता है, वह है,

{\begin{aligned}TM&=\bigsqcup _{x\in M}T_{x}M\\&=\bigcup _{x\in M}\left\{x\right\}\times T_{x}M\\&=\bigcup _{x\in M}\left\{(x,y)\mid y\in T_{x}M\right\}\\&=\left\{(x,y)\mid x\in M,\,y\in T_{x}M\right\}\end{aligned}}

जहां $T_{x}M$ स्पर्शरेखा स्थान को $M$ बिंदु $x$ पर दर्शाता है| इसलिए, $TM$ के एक तत्व आदेशित युग्म $(x,v)$ के रूप में सोचा जा सकता है , जहां $x$ $M$ में एक बिंदु $v$ $M$ $x$ पर एक स्पर्शरेखा सदिश हैI

एक प्राकृतिक प्रक्षेपण है

\pi :TM\twoheadrightarrow M

द्वारा परिभाषित $\pi (x,v)=x$ . यह प्रक्षेपण स्पर्शरेखा स्थान $T_{x}M$ के प्रत्येक तत्व को एक बिंदु $x$ पर मैप करता हैI

स्पर्शरेखा बंडल एक प्राकृतिक टोपोलॉजी (नीचे एक खंड में वर्णित) से सुसज्जित है। इस टोपोलॉजी के साथ, कई गुना स्पर्शरेखा बंडल एक वेक्टर बंडल (जो एक फाइबर बंडल है जिसके फाइबर वेक्टर रिक्त स्थान हैं) का प्रोटोटाइपिकल उदाहरण है। $TM$ का एक खंड $M$ पर सदिश क्षेत्र है , और $TM$ दोहरे बंडल को स्पर्शरेखा बंडल है, जो $M$ परिभाषा के अनुसार, कई गुना $M$ समानांतर है और केवल स्पर्शरेखा बंडल तुच्छ बंडल है। परिभाषा के अनुसार, $M$ को फ्रेम किया जाता है और केवल स्पर्शरेखा बंडल $TM$ स्थिर रूप से तुच्छ है, जिसका अर्थ है कि कुछ तुच्छ बंडल के लिए $E$ व्हिटनी योग $TM\oplus E$ तुच्छ है। उदाहरण के लिए, n-आयामी क्षेत्र Sⁿ सभी n के लिए बनाया गया है, लेकिन केवल n = 1, 3, 7 (बॉटल-मिल्नोर और केरवायर के परिणामों द्वारा) के लिए समानांतर है।

भूमिका

स्पर्शरेखा बंडल की मुख्य भूमिकाओं में से एक एक सुचारू कार्य के व्युत्पन्न के लिए एक डोमेन और सीमा प्रदान करना है। अर्थात्, अगर $f:M\rightarrow N$ एक सहज कार्य है, साथ $M$ तथा $N$ सहज मैनिफोल्ड्स, इसका व्युत्पन्न एक स्मूथ फंक्शन है $Df:TM\rightarrow TN$ .

टोपोलॉजी और स्मूथ संरचना

स्पर्शरेखा बंडल एक प्राकृतिक टोपोलॉजी (असंबद्ध संघ टोपोलॉजी नहीं) और स्मूथ संरचना से सुसज्जित है जिससे कि इसे अपने आप में कई गुना बनाया जा सके। $TM$ का आयाम $M$ का दोगुने आयाम हैं I

प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान एक n -आकार सदिश स्थल है। यदि $U$ का एक खुला अनुबंधित स्थान उपसमुच्चय $M$ है , तो $TU\to U\times \mathbb {R} ^{n}$ एक भिन्नता है जो प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान $T_{x}U$ से प्रति $\{x\}\times \mathbb {R} ^{n}$ एक रेखीय समरूपता तक सीमित है I चूँकि $TM$ कई गुना के रूप में उत्पाद कई गुना के लिए हमेशा भिन्न नहीं होता है $M\times \mathbb {R} ^{n}$ . जब वह $M\times \mathbb {R} ^{n}$ स्वरूप का हो , तो स्पर्शरेखा बंडल को तुच्छ कहा जाता है। तुच्छ स्पर्शरेखा बंडल सामान्यतः 'संगत समूह संरचना' से लैस विविध के लिए होते हैं; उदाहरण के लिए, उस स्थिति में जहां विविध एक लाइ समूह है। इकाई घेरा की स्पर्शरेखा बंडल छोटा है क्योंकि यह एक लाइ समूह है (गुणन और इसकी प्राकृतिक अंतर संरचना के अंतर्गत)। चूँकि यह सच नहीं है कि तुच्छ स्पर्शरेखा बंडलों के साथ सभी रिक्त स्थान लाइ समूह हैं; कई गुना जिनमें एक तुच्छ स्पर्शरेखा बंडल होता है, उन्हें समानांतर कहा जाता है। जिस तरह विविध स्थानीय रूप से यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर आधारित होते हैं, उसी तरह स्पर्शरेखा बंडलों को स्थानीय रूप से $U\times \mathbb {R} ^{n}$ तैयार किया जाता है , जहां $U$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष का एक खुला उपसमुच्चय है।