फाइबर बंडल

Not to be confused with एक ऑप्टिकल फाइबर बंडल.

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एक बेलनाकार कंघी शब्द फाइबर बंडल के पीछे के अंतर्ज्ञान को दर्शाता है। यह हेयरब्रश फाइबर बंडल की तरह होता है जिसमें आधार स्पेस एक सिलेंडर होता है और फाइबर(बाल खड़े) लाइन सेगमेंट होते हैं। मानचित्रण $\pi :E\to B$ किसी भी ब्रिस्टल पर एक बिंदु लेगा और इसे सिलेंडर पर अपनी जड़ में मैप करेगा।

गणित और विशेष रूप से टोपोलॉजी में, एक फाइबर बंडल(या राष्ट्रमंडल राष्ट्रों में अंग्रेजी में: फाइबर बंडल) एक अंतराल(गणित) है जो है स्थानीय तौर पर एक उत्पाद स्थान, लेकिन व्यापक रूप से एक अलग सामयिक संरचना हो सकती है। विशेष रूप से, एक स्थान के बीच समानता $E$ और एक उत्पाद स्थान $B\times F$ एक सतत कार्य(टोपोलॉजी) विशेषण कार्य मानचित्र(गणित) का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, $\pi :E\to B,$ कि के छोटे क्षेत्रों में $E$ के संबंधित क्षेत्रों से प्रक्षेपण की तरह ही व्यवहार करता है $B\times F$ प्रति $B.$ मानचित्र $\pi ,$ बंडल का प्रक्षेपण या आप्लावन(गणित) कहलाता है, इसे बंडल की संरचना का भाग माना जाता है। अंतराल $E$ फाइबर बंडल के कुल स्थान के रूप में जाना जाता है, $B$ आधार स्थान के रूप में, और $F$ फाइबर के रूप में।

'साधारण' परिस्थिति में, $E$ सिर्फ $B\times F,$ और मानचित्र $\pi$ उत्पाद स्थान से पहले कारक तक केवल प्रक्षेपण है। इसे साधारण बंडल कहा जाता है। गैर-साधारण फाइबर बंडलों के उदाहरणों में मोबियस स्ट्रिप और क्लेन की बोतल, साथ ही असतहीय अंतराल को संरक्षित करना सम्मिलित हैं। फाइबर बंडल, जैसे विविध के स्पर्शरेखा बंडल और अन्य अधिक सामान्य सदिश बंडल , मुख्य बंडल के रूप में अंतर ज्यामिति और अंतर टोपोलॉजी में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

प्रक्षेप मानचित्र के साथ यात्रा करने वाले फाइबर बंडलों के कुल स्थानों के बीच मैपिंग को बंडल मानचित्र्स के रूप में जाना जाता है, और फाइबर बंडलों की श्रेणी ऐसे मैपिंग के संबंध में एक श्रेणी सिद्धांत बनाती है। आधार स्पेस से ही एक बंडल मैप(प्रक्षेपण के रूप में आइडेंटिटी मैपिंग के साथ)। $E$ का एक भाग(फाइबर बंडल) कहलाता है $E.$ फाइबर बंडलों को कई तरीकों से विशिष्ट किया जा सकता है, जिनमें से सबसे साधारण है कि स्थानीय साधारण पैच के बीच संक्रमण मानचित्र एक निश्चित टोपोलॉजिकल समूह में होते हैं, जिसे संरचना समूह के रूप में जाना जाता है, जो फाइबर पर कार्य करता है। $F$.

इतिहास

टोपोलॉजी में, फाइबर(जर्मन: फेजर) और फाइबर स्पेस(गेफसेर राउम) शब्द पहली बार 1933 में हर्बर्ट सीफर्ट के एक पृष्ठ में दिखाई दिए, लेकिन उनकी परिभाषाएँ एक विशेष परिस्थिति तक ही सीमित हैं। हालांकि, फाइबर स्पेस की वर्तमान अवधारणा से मुख्य अंतर यह था कि सीफर्ट के लिए जिसे अब फाइबर(टोपोलॉजिकल) स्पेस E का आधार स्पेस(टोपोलॉजिकल स्पेस) कहा जाता है, वह संरचना का हिस्सा नहीं था, लेकिन इसे 'E' के भागफल स्थान के रूप में प्राप्त किया गया है। फाइबर स्पेस की पहली परिभाषा हस्लर व्हिटनी ने 1935 में दी थी स्फीयर स्पेस नाम के तहत, लेकिन 1940 में व्हिटनी ने नाम परिवर्तित कर स्फीयर बंडल कर दिया। फाइबर वाले रिक्त स्थान का सिद्धांत, जिनमें से सदिश बंडल, सिद्धांत बंडल, टोपोलॉजिकल कंपन और फाइबर कई गुना एक विशेष परिस्थिति है, जिसको सीफर्ट, हेंज हॉफ, जैक्स फेल्डबाउ, के लिए उत्त्तरदायी ठहराया गया है। व्हिटनी, नॉर्मन स्टीनरोड, चार्ल्स एह्रेसमैन, जीन पियरे सेरे, और दूसरे वैज्ञानिकों ने इसका समर्थन किया।

1935-1940 की अवधि में फाइबर बंडल अध्ययन का अपना उद्देश्य बन गया। व्हिटनी की रचनाओं में पहली सामान्य परिभाषा सामने आई। व्हिटनी एक गोले के बंडल की अधिक विशेष धारणा के अपने अध्ययन से फाइबर बंडल की सामान्य परिभाषा पर आया, वह एक फाइबर बंडल है जिसका फाइबर स्वइच्छित आयाम का एक गोला है।

औपचारिक परिभाषा

एक फाइबर बंडल एक संरचना है $(E,\,B,\,\pi ,\,F),$ जहाँ पर $E,B,$ तथा $F$ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान हैं और $\pi :E\to B$ एक सतत(टोपोलॉजी) प्रक्षेपण है जो नीचे उल्लिखित स्थानीय साधारणता की स्थिति को संतुष्ट करता है, अंतराल $B$ कहा जाता है आधार स्पेस बंडल का, $E$ संपूर्ण स्पेस, तथा $F$ फाइबर. मानचित्र $\pi$ कहा जाता है। प्रक्षेपण मानचित्र(या बण्डल प्रक्षेपण) को आधार स्थान के बाद यह मानते हैं कि $B$ जुड़ा हुआ स्थान है।

इसकी आवश्यकता प्रत्येक $x\in B$ के लिए है, एक संवृत्त सन्निकट(टोपोलॉजी) $U\subseteq B$ है जिसका $x$(जिसे एक साधारण सन्निकट कहा जाएगा) ऐसा है कि वह एक होमियोआकारिता है, $\varphi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F$(जहाँ पर $\pi ^{-1}(U)$ उप-स्थान टोपोलॉजी दी गई है, और $U\times F$ उत्पाद स्थान है) इस तरह से $\pi$ पहले कारक पर प्रक्षेपण से सहमत हैं। अर्थात्, निम्नलिखित आरेख को क्रमविनिमेय आरेख होना चाहिए।

जहाँ पर $\operatorname {proj} _{1}:U\times F\to U$ प्राकृतिक प्रक्षेपण है और $\varphi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F$ एक होमियोआकारिता है। सभी सार्वजनिक तुच्छीकरण बंडल का सम्मुचय $\left\{\left(U_{i},\,\varphi _{i}\right)\right\}$ A कहा जाता है।

इस प्रकार किसी के लिए $p\in B$, पूर्व चित्र $\pi ^{-1}(\{p\})$ के लिए होमियोमॉर्फिक है, $F$(चूंकि यह सच है $\operatorname {proj} _{1}^{-1}(\{p\})$) और इसे फाइबर ओवर $p.$कहा जाता है, हर फाइबर बंडल $\pi :E\to B$ एक संवृत्त मानचित्र है, क्योंकि उत्पादों के अनुमान संवृत्त मानचित्र हैं। इसलिए $B$ मानचित्र द्वारा निर्धारित भागफल टोपोलॉजी $\pi .$ वहन करती है, जो कि एक फाइबर बंडल$(E,\,B,\,\pi ,\,F)$निरूपित किया जाता है