शीफ (गणित)

This article is about टोपोलॉजिकल स्पेस पर शेफ. For एक साइट पर शेफ, see ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी. For और, see टोपोस.

गणित में, शीफ व्यवस्थित रूप से डेटा को ट्रैक (जैसे समुच्चय (गणित), एबेलियन समूह, वलय (गणित)) करने के लिए उपकरण है जो टोपोलॉजिकल स्पेस के खुले समुच्चय से जुड़ा हुआ है और उनके संबंध में स्थानीय रूप से परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक खुले समुच्चय के लिए, डेटा उस खुले समुच्चय पर परिभाषित निरंतर फलनों (गणित) की वलय हो सकती है। इस प्रकार के डेटा को अच्छी प्रकार से व्यवहार किया जाता है कि इसे छोटे खुले समुच्चयों तक सीमित किया जा सकता है, और खुले समुच्चय को सौंपा गया डेटा मूल खुले समुच्चय को कवर करने वाले छोटे खुले समुच्चयों के संग्रह को सौंपे गए संगत डेटा के सभी संग्रहों के बराबर है (सहजता से, प्रत्येक भाग) डेटा इसके भागों का योग है)।

गणित का वह क्षेत्र जिसमें शेवों का अध्ययन किया जाता है, शीफ सिद्धांत कहलाती है।

शीशों को अवधारणात्मक रूप से सामान्य और अमूर्त वस्तुओं के रूप में समझा जाता है। उनकी सही परिभाषा बल्कि तकनीकी है। उन्हें विशेष रूप से समुच्चय के ढेर या वलय के ढेर के रूप में परिभाषित किया जाता है, उदाहरण के लिए खुले समुच्चय को सौंपे गए डेटा के प्रकार पर निर्भर करता है।

शीफ से दूसरे में माप (गणित) (या आकारिकी) भी होते हैं; ढेर (विशिष्ट प्रकार के, जैसे कि एबेलियन समूहों के ढेर) निश्चित स्थलीय स्थान पर उनके आकारिकी के साथ श्रेणी (गणित) बनाते हैं। दूसरी ओर, प्रत्येक निरंतर मानचित्र के लिए प्रत्यक्ष छवि फ़ैक्टर दोनों से जुड़ा हुआ है, फलन के डोमेन पर शेव और उनके आकारिकी को कोडोमेन पर शेव और आकारिता और विपरीत दिशा में संचालित व्युत्क्रम छवि ऑपरेटर दोनों से जुड़ा हुआ है। ये कारक, और उनमें से कुछ प्रकार, शीफ सिद्धांत के आवश्यक भाग हैं।

उनकी सामान्य प्रकृति और बहुमुखी प्रतिभा के कारण, ढेरों में टोपोलॉजी और विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति और अंतर ज्यामिति में कई अनुप्रयोग हैं। सबसे पसमाधाने, ज्यामितीय संरचनाएं जैसे कि अलग-अलग कई गुना या योजना (गणित) को अंतरिक्ष पर छल्ले के समूह के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। ऐसे संदर्भों में, कई ज्यामितीय निर्माण जैसे वेक्टर बंडल या विभाजक (बीजगणितीय ज्यामिति) स्वाभाविक रूप से शीशों के संदर्भ में निर्दिष्ट होते हैं। दूसरा, ढेर बहुत ही सामान्य शेफ सह समरूपता के लिए रूपरेखा प्रदान करते हैं, जिसमें सामान्य टोपोलॉजिकल सह समरूपता सिद्धांत भी शामिल हैं जैसे कि एकवचन सह समरूपता। विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति और जटिल मैनिफोल्ड्स के सिद्धांत में, शीफ कॉहोलॉजी रिक्त स्थान के सामयिक और ज्यामितीय गुणों के बीच शक्तिशाली लिंक प्रदान करता है। शेव डी-मॉड्यूल के सिद्धांत के लिए आधार भी प्रदान करते हैं 'डी'-मॉड्यूल, जो अंतर समीकरणों के सिद्धांत के लिए आवेदन प्रदान करते हैं। इसके अतिरिक्त, टोपोलॉजिकल स्पेस की तुलना में अधिक सामान्य समुच्चयिंग्स के लिए ढेरों के सामान्यीकरण, जैसे कि ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी, ने गणितीय तर्क और संख्या सिद्धांत के लिए आवेदन प्रदान किए हैं।

परिभाषाएं और उदाहरण

कई गणितीय शाखाओं में, स्थलीय $X$ स्थान पर परिभाषित कई संरचनाएं (उदाहरण के लिए, अलग-अलग कई गुना) स्वाभाविक रूप से स्थानीयकृत या खुले समुच्चय सबसमुच्चय $U\subset X$ तक सीमित हो सकते हैं: विशिष्ट उदाहरणों में निरंतर कार्य वास्तविक संख्या-मूल्यवान या जटिल संख्या-मूल्यवान कार्य शामिल हैं, $n$-टाइम्स अलग करने योग्य फलन (रियल-वैल्यू या कॉम्प्लेक्स-वैल्यू) फंक्शन, परिबद्ध फलन रियल-वैल्यू फंक्शन, वेक्टर क्षेत्र और स्पेस पर किसी भी वेक्टर बंडल का अनुभाग (फाइबर बंडल)। डेटा को छोटे खुले सबसमुच्चय तक सीमित करने की क्षमता प्रीशेव्स की अवधारणा को जन्म देती है। मोटे तौर पर कहा जाए तो, शीव वे प्रीशेव होते हैं, जहां स्थानीय डेटा को वैश्विक डेटा से चिपकाया जा सकता है।

प्रीशेव्स

See also: प्रेसीफ (श्रेणी सिद्धांत)

मान ले $X$ टोपोलॉजिकल स्पेस हो। समुच्चय का प्रीशेफ $F$ पर $X$ निम्नलिखित डेटा के होते हैं:

• प्रत्येक खुले समुच्चय के लिए $U$ का $X$, समुच्चय $F(U)$. इस समुच्चय को भी $\Gamma (U,F)$ द्वारा दर्शाया गया है. इस समुच्चय के तत्वों को खंड $F$ ऊपर $U$ कहा जाता है. $F$ के खंड $F$ ऊपर $X$ के वैश्विक खंड कसमाधानाते हैं.
• खुले समुच्चय $V\subseteq U$ के प्रत्येक समावेशन के लिए, फलन $\operatorname {res} _{V,U}\colon F(U)\rightarrow F(V)$ दिया गया हैं. नीचे दिए गए कई उदाहरणों को ध्यान में रखते हुए, रूपवाद ${\text{res}}_{V,U}$ प्रतिबंध रूपवाद कहा जाता है। यदि $s\in F(U)$, फिर इसका प्रतिबंध ${\text{res}}_{V,U}(s)$ अधिकांश $s|_{V}$ कार्यों के प्रतिबंध के अनुरूप द्वारा निरूपित किया जाता है।

दो अतिरिक्त (फंक्शनल) गुणों को पूरा करने के लिए प्रतिबंध आकारिकी की आवश्यकता होती है:

• प्रत्येक खुले समुच्चय के लिए $U$ का $X$, प्रतिबंध आकारिकी $\operatorname {res} _{U,U}\colon F(U)\rightarrow F(U)$ पहचान रूपवाद चालू $F(U)$ है.
• यदि हमारे पास तीन खुले समुच्चय $W\subseteq V\subseteq U$ हैं, फिर फलन संरचना ${\text{res}}_{W,V}\circ {\text{res}}_{V,U}={\text{res}}_{W,U}$हैं.

अनौपचारिक रूप से, दूसरा स्वयंसिद्ध कहता है कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम चरण में डब्ल्यू तक सीमित हैं या पसमाधाने वी तक सीमित हैं, फिर डब्ल्यू तक। इस परिभाषा का संक्षिप्त कार्यात्मक सुधार आगे नीचे दिया गया है।

प्रीशेव के कई उदाहरण विभिन्न प्रकार के कार्यों से आते हैं: किसी भी $U$ के लिये, कोई निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों पर $U$ समुच्चय $C^{0}(U)$ असाइन कर सकता है. प्रतिबंध मानचित्र तब केवल सतत कार्य $U$ को प्रतिबंधित करके दिया जाता है छोटे खुले उपसमुच्चय $V$ के लिए, जो फिर से सतत कार्य है। दो प्रीशेफ स्वयंसिद्धों की तुरंत जांच की जाती है, जिससे प्रीशेफ का उदाहरण मिलता है। इसे होलोमोर्फिक कार्यों ${\mathcal {H}}(-)$ के समूह और चिकने कार्यों $C^{\infty }(-)$ का समूह तक बढ़ाया जा सकता है.

उदाहरणों $U$ का अन्य सामान्य वर्ग असाइन कर रहा है निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का समुच्चय $U$. इस प्रीशेफ को कॉन्स्टेंटस प्रीशेफ $\mathbb {R}$ कहा जाता है और इसे ${\underline {\mathbb {R} }}^{psh}$द्वारा निरूपित किया जाता है.

ढेर

प्रीशेफ को देखते हुए, स्वाभाविक सवाल यह है कि खुले समुच्चय $U$ पर इसके खंड किस सीमा तक हैं छोटे खुले समुच्चयों $U_{i}$ के लिए उनके प्रतिबंधों द्वारा निर्दिष्ट किया गया है $U$ खुले आवरण ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ के छोटे खुले समुच्चयों के लिए उनके प्रतिबंधों द्वारा निर्दिष्ट हैं जो निम्नलिखित दो अतिरिक्त स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है:

1. (इलाका) मान लीजिए $U$<