गणितीय तर्क

गणितीय तर्क गणित के भीतर तर्क का अध्ययन है। प्रमुख उपक्षेत्रों में मॉडल सिद्धांत, प्रमाण सिद्धांत, समुच्चय सिद्धांत और पुनरावर्तन सिद्धांत सम्मलित हैं। गणितीय तर्क में अनुसंधान सामान्यतः तर्क की औपचारिक प्रणालियों के गणितीय गुणों को संबोधित करता है जैसे कि उनकी अभिव्यंजक या निगमनात्मक शक्ति इत्यादि। चूँकि, इसमें सही गणितीय तर्क की विशेषता या गणित की नींव स्थापित करने के लिए तर्क का उपयोग भी सम्मलित कर सकता है।

इस स्थापना के बाद से, गणितीय तर्क ने गणित की नींव के अध्ययन में योगदान दिया है और प्रेरित भी किया है। यह अध्ययन 19वीं शताब्दी के अंत में ज्यामिति, अंकगणित और गणितीय विश्लेषण के लिए स्वयंसिद्ध ढांचे के विकास के साथ प्रारंभ हुआ हैं। 20वीं शताब्दी की शुरुआत में इसे डेविड हिल्बर्ट के हिल्बर्ट के कार्यक्रम द्वारा आधारभूत सिद्धांतों की निरंतरता को सिद्ध करना करने के लिए आकार दिया गया था। कर्ट गोडेल, गेरहार्ड जेंटजन और अन्य के परिणामों ने कार्यक्रम को आंशिक समाधान प्रदान किया, और निरंतरता सिद्ध करना करने में सम्मलित मुद्दों को स्पष्ट किया था। समुच्चय सिद्धांत में कार्य ने दिखाया कि लगभग सभी सामान्य गणित को समुच्चयों के संदर्भ में औपचारिक रूप दिया जाता है, चूंकि कुछ ऐसे प्रमेय हैं जिन्हें समुच्चय सिद्धांत के लिए सामान्य स्वयंसिद्ध प्रणालियों में सिद्ध नहीं किया जाता है। गणित की नींव में समकालीन कार्य अधिकांशतः यह स्थापित करने पर ध्यान केंद्रित करता है कि गणित के किन हिस्सों को विशेष औपचारिक प्रणालियों में औपचारिक रूप दिया जाता है (जैसा कि रिवर्स गणित में) उन सिद्धांतों को खोजने की कोशिश करने के अतिरिक्त जिनमें सभी गणित को विकसित किया जाता है।

सबफील्ड्स और स्कोप

गणितीय तर्क की पुस्तिका 1977 में समकालीन गणितीय तर्क का प्रायः चार क्षेत्रों में विभाजन करता है:

1. समुच्चय सिद्धान्त
2. मॉडल सिद्धांत
3. पुनरावर्तन सिद्धांत, और
4. प्रूफ सिद्धांत और रचनात्मक गणित (एक ही क्षेत्र के भागों के रूप में माना जाता है)।

इसके अतिरिक्त, कभी-कभी कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत के क्षेत्र को भी गणितीय तर्क के हिस्से के रूप में सम्मलित किया जाता है। प्रत्येक क्षेत्र का अलग फोकस होता है, चूंकि कई विधियों और परिणामों को कई क्षेत्रों में साझा किया जाता है। इन क्षेत्रों के बीच की सीमा रेखाएँ, और गणितीय तर्क और गणित के अन्य क्षेत्रों को अलग करने वाली रेखाएँ हमेशा तीक्ष्ण नहीं होती हैं। गोडेल की अपूर्णता प्रमेय न केवल पुनरावर्तन सिद्धांत और प्रमाण सिद्धांत में मील का पत्थर है, बल्कि मोडल लॉजिक में लॉब के प्रमेय का भी नेतृत्व किया है। फोर्सिंग (गणित) की विधि समुच्चय सिद्धांत, मॉडल थ्योरी और रिकर्सन थ्योरी के साथ-साथ इंट्यूशनिस्टिक गणित के अध्ययन में नियोजित की जाती है।

श्रेणी सिद्धांत का गणितीय क्षेत्र कई औपचारिक स्वयंसिद्ध विधियों का उपयोग करता है, और इसमें श्रेणीबद्ध तर्क का अध्ययन सम्मलित है, किन्तु श्रेणी सिद्धांत को सामान्यतः गणितीय तर्क का उपक्षेत्र नहीं माना जाता है। गणित के विभिन्न क्षेत्रों में इसकी प्रयोज्यता के कारण, सॉन्डर्स मैक लेन सहित गणितज्ञों ने समुच्चय सिद्धांत से स्वतंत्र, गणित के लिए मूलभूत प्रणाली के रूप में श्रेणी सिद्धांत प्रस्तावित किया है। ये नींव टोपोज़ का उपयोग करते हैं, जो समुच्चय सिद्धांत के सामान्यीकृत मॉडल के समान होते हैं जो मौलिक या गैर-मौलिक तर्क को नियोजित कर सकते हैं।

इतिहास

गणितीय तर्क 19वीं शताब्दी के मध्य में गणित के उपक्षेत्र के रूप में उभरा, जो दो परंपराओं के संगम को दर्शाता है: औपचारिक दार्शनिक तर्क और गणित। गणितीय तर्क, जिसे 'लॉजिस्टिक', 'प्रतीकात्मक तर्क', 'बूलियन बीजगणित' और हाल ही में, केवल 'औपचारिक तर्क' भी कहा जाता है, पिछली उन्नीसवीं शताब्दी के समय विकसित तार्किक सिद्धांतों का समूह है। कृत्रिम अंकन और कठोर निगमनात्मक विधि से निरूपित किया जाता हैं। इस उद्भव से पहले, तर्कशास्त्र का अध्ययन और वाद विवाद के साथ इन गणनाओं के साथ किया जाता था, न्यायवाक्य के माध्यम से, और दर्शन के साथ 20वीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में गणित की नींव पर अधिक वाद विवाद के साथ मौलिक परिणामों का विस्फोट हुआ था।

प्रारंभिक इतिहास

Further information: तर्क का इतिहास

तर्क के सिद्धांतों को इतिहास में कई संस्कृतियों में विकसित किया गया था, जिसमें चीन में तर्क, भारत में तर्क, ग्रीस में तर्क और इस्लामी दर्शन में तर्क सम्मलित हैं। ग्रीक विधियों, विशेष रूप से अरिस्टोटेलियन तर्क (या टर्म लॉजिक) जैसा कि ऑर्गनॉन में पाया जाता है, को सहस्राब्दी के लिए पश्चिमी विज्ञान और गणित में व्यापक आवेदन और स्वीकृति मिली। रूढ़िवाद, विशेष रूप से क्रिसिपस, ने विधेय तर्क का विकास प्रारंभ किया था। 18वीं सदी के यूरोप में, दार्शनिक गणितज्ञों द्वारा प्रतीकात्मक या बीजगणितीय तरीके से औपचारिक तर्क के संचालन की जाँच करने का प्रयास किया गया था, जिसमें गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज और जोहान हेनरिक लैम्बर्ट सम्मलित थे, किन्तु उनके मजदूर अलग-थलग और कम ज्ञात थे।

19वीं सद

उन्नीसवीं शताब्दी के मध्य में, जॉर्ज बूले और फिर अगस्त डी मॉर्गन ने तर्क के व्यवस्थित गणितीय उपचार प्रस्तुत किए थे। उनके कार्य, जॉर्ज पीकॉक (गणितज्ञ) जैसे बीजगणितियों द्वारा कार्य पर निर्माण, गणित की नींव के अध्ययन के लिए तर्क के पारंपरिक अरिस्टोटेलियन सिद्धांत को पर्याप्त ढांचे में विस्तारित किया था। चार्ल्स सैंडर्स पियर्स ने बाद में संबंधों और परिमाणकों के लिए तार्किक प्रणाली विकसित करने के लिए बूल के कार्य पर निर्माण किया, जिसे उन्होंने 1870 से 1885 तक कई पत्रों में प्रकाशित किया था।

भगवान फ्रीज का शुक्र है ने 1879 में प्रकाशित अपने शब्द लेखन में क्वांटिफायर के साथ तर्क का स्वतंत्र विकास प्रस्तुत किया था, जिसे सामान्यतः तर्क के इतिहास में महत्वपूर्ण मोड़ के रूप में माना जाता है। फ्रेज का कार्य अस्पष्ट रहा, चूंकि जब तक बर्ट्रेंड रसेल ने शताब्दी के अंत तक इसे बढ़ावा देना प्रारंभ नहीं किया था। विकसित द्वि-आयामी संकेतन फ्रीज को व्यापक रूप से कभी नहीं अपनाया गया था और समकालीन ग्रंथों में इसका उपयोग नहीं किया गया है।

1890 से 1905 तक, अर्नस्ट श्रोडर (गणितज्ञ) या अर्नस्ट श्रोडर ने तीन खंडों में वोरलेसुंगेन उबेर डाई एलजेब्रा डेर लॉजिक प्रकाशित किया था। इस कार्य ने बोले, डी मॉर्गन और पियर्स के कार्य को संक्षेप और विस्तारित किया, और प्रतीकात्मक तर्क का व्यापक संदर्भ था जैसा कि 19वीं शताब्दी के अंत में समझा गया था।

मूलभूत सिद्धांत

चिंताएं कि गणित को उचित आधार पर नहीं बनाया गया था, गणित के मूलभूत क्षेत्रों जैसे अंकगणित, विश्लेषण और ज्यामिति के लिए स्वयंसिद्ध प्रणालियों के विकास के लिए नेतृत्व किया गया हैं।

तर्कशास्त्र में, शब्द अंकगणित प्राकृतिक संख्याओं के सिद्धांत को संदर्भित करता है। जोसेफ पीनो बूले और श्रोडर की तार्किक प्रणाली की भिन्नता का उपयोग करते हुए, किन्तु क्वांटिफायर जोड़कर, अंकगणित के लिए स्वयंसिद्धों का समुच्चय प्रकाशित किया जो उनके नाम (पीनो अभिगृहीत) को धारण करने के लिए आया था। पिआनों उस समय फ्रीज के कार्य से अनभिज्ञ था। लगभग उसी समय रिचर्ड डेडेकिंड ने दिखाया कि प्राकृतिक संख्याएँ अद्वितीय रूप से उनके गणितीय प्रेरण गुणों द्वारा विशेषता हैं। डेडेकिंड ने अलग चरित्र-चित्रण का प्रस्ताव दिया, जिसमें पियानों के स्वयंसिद्धों के औपचारिक तार्किक चरित्र का अभाव था। डेडेकाइंड का कार्य, चूंकि, पीनो की प्रणाली में प्रमेयों को अप्राप्य सिद्ध करना करता है, जिसमें प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय की विशिष्टता (समरूपता तक) और उत्तराधिकारी फ़ंक्शन और गणितीय प्रेरण से जोड़ और गुणा की पुनरावर्ती परिभाषाएं सम्मलित हैं।

19वीं शताब्दी के मध्य में, ज्यामिति के लिए यूक्लिड के स्वयंसिद्धों में दोष ज्ञात हो गए थे। 1826 में निकोलाई लोबाचेवस्की द्वारा स्थापित समानांतर अभिधारणा की स्वतंत्रता के अतिरिक्त, गणितज्ञों ने पाया कि यूक्लिड द्वारा दिए गए कुछ प्रमेय वास्तव में उनके स्वयंसिद्धों से सिद्ध नहीं थे। इनमें से प्रमेय यह है कि रेखा में कम से कम दो बिंदु होते हैं, या उसी त्रिज्या के वृत्त जिनके केंद्र उस त्रिज्या से अलग होते हैं, को प्रतिच्छेद करना चाहिए। हिल्बर्ट पास्च द्वारा पास्च के स्वयंसिद्ध पर निर्माण, हिल्बर्ट के स्वयंसिद्धों का पूरा समुच्चय विकसित किया था। ज्यामिति के स्वयंसिद्धीकरण में सफलता ने हिल्बर्ट को गणित के अन्य क्षेत्रों, जैसे कि प्राकृतिक संख्या और वास्तविक रेखा, के पूर्ण स्वयंसिद्धों की जाँच करने के लिए प्रेरित किया था। यह 20वीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में अनुसंधान का प्रमुख क्षेत्र सिद्ध करना होगा।

19वीं सदी में वास्तविक विश्लेषण के सिद्धांत में अधिक प्रगति देखी गई, जिसमें कार्यों के अभिसरण के सिद्धांत और फूरियर श्रृंखला सम्मलित हैं। कार्ल वीयरस्ट्रास जैसे गणितज्ञों ने ऐसे कार्यों का निर्माण करना प्रारंभ किया जो अंतर्ज्ञान को फैलाते थे, जैसे कि सतत, कहीं नहीं अलग-अलग कार्य किए थे, कहीं-अलग-अलग निरंतर कार्य किए गए थे। संगणना के लिए नियम के रूप में किसी फ़ंक्शन की पिछली अवधारणाएं, या सहज ग्राफ़, अब पर्याप्त नहीं थीं। वीयरस्ट्रैस ने विश्लेषण के के लिए अंकगणित की जाँच करना प्रारंभ किया, जिसने प्राकृतिक संख्याओं के गुणों का उपयोग करके विश्लेषण को स्वयंसिद्ध करने की मांग की। आधुनिक (ε, δ) - सीमा और निरंतर कार्यों की परिभाषा पहले से ही 1817 में बर्नार्ड बोलजानो द्वारा विकसित की गई थी, किन्तु अपेक्षाकृत अनजान बने रहे।

कॉची ने 1821 में निरंतरता को बहुत छोता के संदर्भ में परिभाषित किया (देखें कोर्ट डी'एनालिसिस, पृष्ठ 34)। 1858 में, डेडेकाइंड काटता है परिमेय संख्याओं की डेडेकिंड कटौती के संदर्भ में वास्तविक संख्याओं की परिभाषा प्रस्तावित की, परिभाषा अभी भी समकालीन ग्रंथों में कार्यरत है।

जॉर्ज कैंटर ने अनंत समुच्चय सिद्धांत की मूलभूत अवधारणाओं को विकसित किया था। उनके प्रारंभिक परिणामों ने प्रमुखता के सिद्धांत और कैंटर के पहले बेशुमार प्रमाण को विकसित किया कि वास्तविक और प्राकृतिक संख्याओं में अलग-अलग कार्डिनैलिटी हैं। अगले बीस वर्षों में, कैंटर ने प्रकाशनों की श्रृंखला में ट्रांसफिनिट नंबरों का सिद्धांत विकसित किया था। 1891 में, उन्होंने वास्तविक संख्याओं की प्रमुखता का नया प्रमाण प्रकाशित किया जिसने कैंटर के विकर्ण तर्क को प्रस्तुत किया और कैंटर के प्रमेय को सिद्ध करने के लिए इस पद्धति का उपयोग किया कि किसी भी समुच्चय की कार्डिनैलिटी उसके पावरसेट के समान नहीं हो सकती। कैंटर का मानना ​​था कि प्रत्येक समुच्चय को सुव्यवस्थित किया जाता है, किन्तु इस परिणाम के लिए प्रमाण प्रस्तुत करने में असमर्थ था, इसे 1895 में खुली समस्या के रूप में छोड़ दिया।

20वीं सदी

20वीं सदी के प्रारंभिक दशकों में, अध्ययन के मुख्य क्षेत्र समुच्चय सिद्धांत और फॉर्मल लॉजिक थे। अनौपचारिक समुच्चय सिद्धांत में विरोधाभासों की खोज ने कुछ लोगों को आश्चर्यचकित कर दिया कि क्या गणित स्वयं असंगत है, और निरंतरता के प्रमाणों की जाँच करने के लिए किया जाता हैं।

1900 में, डेविड हिल्बर्ट ने अगली सदी के लिए हिल्बर्ट की समस्याओं की प्रसिद्ध सूची प्रस्तुत की गई थी। इनमें से पहले दो क्रमशः सातत्य परिकल्पना को हल करने और प्राथमिक अंकगणित की निरंतरता को सिद्ध करना करने के लिए थे; दसवां ऐसी विधि का निर्माण करना था जो यह तय कर सके कि पूर्णांकों पर बहुभिन्नरूपी बहुपद समीकरण का समाधान है या नहीं हैं। इन समस्याओं को हल करने के बाद के कार्य ने गणितीय तर्क की दिशा को आकार दिया, जैसा कि 1928 में प्रस्तुत हिल्बर्ट की निर्णय समस्या को हल करने के प्रयास में किया गया था। इस समस्या ने ऐसी प्रक्रिया के लिए कहा, जो औपचारिक गणितीय कथन को देखते हुए तय करेगी कि कथन सही है या गलत।

सिद्धांत और विरोधाभास समुच्चय करें

अर्नेस्ट ज़र्मेलो ने प्रमाण दिया कि वेल-ऑर्डरिंग प्रमेय या हर समुच्चय को अच्छी तरह से ऑर्डर किया जाता है, परिणाम जॉर्ज कैंटर प्राप्त करने में असमर्थ था। प्रमाण प्राप्त करने के लिए, ज़र्मेलो ने पसंद का स्वयंसिद्ध प्रस्तुत किया, जिसने गणितज्ञों और समुच्चय सिद्धांत के अग्रदूतों के बीच गरमागरम बहस और शोध किया था। विधि की तत्काल आलोचना ने ज़र्मेलो को अपने परिणाम की दूसरी व्याख्या प्रकाशित करने के लिए प्रेरित किया, सीधे उसके प्रमाण की आलोचनाओं को संबोधित करते हुए। इस पत्र ने गणित समुदाय में पसंद के स्वयंसिद्ध की सामान्य स्वीकृति का नेतृत्व किया था।

पसंद के स्वयंसिद्ध के बारे में संदेह हाल ही में खोजे गए सहज समुच्चय सिद्धांत में विरोधाभासों द्वारा प्रबल किया गया था। सेसारे बुराली-फोर्टी विरोधाभास बताने वाले पहले व्यक्ति थे: बुराली-फोर्टी विरोधाभास दर्शाता है कि सभी क्रमिक संख्याओं का संग्रह समुच्चय नहीं बना सकता। इसके तुरंत बाद, बर्ट्रेंड रसेल ने 1901 में रसेल के विरोधाभास की खोज की और जूल्स रिचर्ड (गणितज्ञ) ने रिचर्ड के विरोधाभास की खोज की।

ज़र्मेलो ने समुच्चय सिद्धांत के लिए स्वयंसिद्धों का पहला समुच्चय प्रदान किया था। अब्राहम फ्रेंकेल द्वारा प्रस्तावित प्रतिस्थापन के अतिरिक्त स्वयंसिद्ध के साथ ये स्वयंसिद्ध, अब ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (जेडएफ) कहलाते हैं। ज़र्मेलो के स्वयंसिद्धों ने रसेल के विरोधाभास से बचने के लिए आकार की सीमा के सिद्धांत को सम्मलित किया था।

1910 में, रसेल और अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड द्वारा प्रिंसिपिया मैथेमेटिका का पहला खंड प्रकाशित किया गया था। इस मूलभूत कार्य ने टाइप थ्योरी के पूरी तरह से औपचारिक ढांचे में कार्यों और कार्डिनैलिटी के सिद्धांत को विकसित किया, जिसे रसेल और व्हाइटहेड ने विरोधाभास से बचने के प्रयास में विकसित किया था। प्रिंसिपिया मैथेमेटिका को 20वीं शताब्दी के सबसे प्रभावशाली कार्यों में से माना जाता है, चूंकि प्रकार सिद्धांत की रूपरेखा गणित के लिए मूलभूत सिद्धांत के रूप में लोकप्रिय सिद्ध करना नहीं हुई थी।

फ्रेंकेल सिद्ध करना कर दिया कि पसंद के स्वयंसिद्ध को जर्मेलो के समुच्चय सिद्धांत के स्वयंसिद्धों से यूरेलेमेंट्स के साथ सिद्ध नहीं किया जाता है। बाद में पॉल कोहेन द्वारा कार्य ने दिखाया कि यूरेलेमेंट्स को जोड़ने की आवश्यकता नहीं है, और ZF में पसंद का स्वयंसिद्ध असाध्य है। कोहेन के प्रमाण ने बल (गणित) की विधि विकसित की, जो अब समुच्चय सिद्धांत में स्वतंत्रता परिणाम स्थापित करने के लिए महत्वपूर्ण उपकरण है।

प्रतीकात्मक तर्क

लियोपोल्ड लोवेनहेम और थोरलफ स्कोलेम लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय प्राप्त किया, जो कहता है कि प्रथम-क्रम तर्क अनंत संरचनाओं की कार्डिनल संख्या को नियंत्रित नहीं कर सकता है। स्कोलेम ने महसूस किया कि यह प्रमेय समुच्चय सिद्धांत के प्रथम-क्रम औपचारिकताओं पर लागू होगा, और इसका तात्पर्य है कि ऐसी किसी भी औपचारिकता में गणनीय संरचना (गणितीय तर्क) है। यह विरोधाभासी तथ्य स्कोलेम के विरोधाभास के रूप में जाना जाने लगा हैं।

अपने डॉक्टरेट थीसिस में, कर्ट गोडेल ने पूर्णता प्रमेय को सिद्ध किया, जो पहले क्रम के तर्क में वाक्य रचना और शब्दार्थ के बीच पत्राचार स्थापित करता है। गोडेल ने कॉम्पैक्टनेस प्रमेय को सिद्ध करना करने के लिए पूर्णता प्रमेय का उपयोग किया, जिसमें पहले क्रम के तार्किक परिणाम की सीमित प्रकृति का प्रदर्शन किया गया था। इन परिणामों ने प्रथम-क्रम तर्क को गणितज्ञों द्वारा उपयोग किए जाने वाले प्रमुख तर्क के रूप में स्थापित करने में मदद की गई थी।

1931 में, गोडेल ने प्रिंसिपिया मैथेमेटिका और संबंधित प्रणालियों के औपचारिक रूप से अनिर्णायक प्रस्तावों पर प्रकाशित किया, जो सभी पर्याप्त रूप से मजबूत, प्रभावी प्रथम-क्रम के सिद्धांतों की अपूर्णता (शब्द के अलग अर्थ में) को सिद्ध करना करता है। यह परिणाम, गोडेल की अपूर्णता प्रमेय के रूप में जाना जाता है, गणित के लिए स्वयंसिद्ध नींव पर गंभीर सीमाएं स्थापित करता है, हिल्बर्ट के कार्यक्रम के लिए मजबूत झटका मारता है। इसने अंकगणित के किसी भी औपचारिक सिद्धांत के भीतर अंकगणित का निरंतरता प्रमाण प्रदान करने की असंभवता को प्रदर्शित किया गया था। चूँकि, हिल्बर्ट ने कुछ समय के लिए अपूर्णता प्रमेय के महत्व को स्वीकार नहीं किया था।

गोडेल के प्रमेय से पता चलता है कि किसी भी पर्याप्त रूप से मजबूत, प्रभावी स्वयंसिद्ध प्रणाली का संगति प्रमाण सिस्टम में ही प्राप्त नहीं किया जाता है, यदि सिस्टम सुसंगत है, और न ही किसी कमजोर प्रणाली में। यह संगति प्रमाणों की संभावना को खोलता है जिन्हें उनके द्वारा विचार की गई प्रणाली के भीतर औपचारिक रूप नहीं दिया जाता है। जेंटजन ने ट्रांसफिनिट चालकता के सिद्धांत के साथ परिमित प्रणाली का उपयोग करके अंकगणित की निरंतरता को सिद्ध करना किया था। जेन्टजेन के परिणाम ने कट उन्मूलन और सबूत-सैद्धांतिक अध्यादेशों के विचारों को प्रस्तुत किया, जो सबूत सिद्धांत में महत्वपूर्ण उपकरण बन गए। गोडेल ने अलग संगति प्रमाण दिया, जो मौलिक अंकगणित की संगति को उच्च प्रकारों में अंतर्ज्ञानवादी अंकगणित की तुलना में कम कर देता है।

आम आदमी के लिए प्रतीकात्मक तर्क पर पहली पाठ्यपुस्तक 1896 में एलिस इन वंडरलैंड के लेखक लुईस कैरोल द्वारा लिखी गई थी।

अन्य शाखाओं की शुरुआत

अल्फ्रेड टार्स्की ने मॉडल सिद्धांत की मूल बातें विकसित कीं थी।

1935 की शुरुआत में, प्रमुख गणितज्ञों के समूह ने छद्म नाम निकोलस बोर्बाकी के अनुसार ऐलिमेंट डि मैथेमैटिक्यू, विश्वकोश गणित ग्रंथों की श्रृंखला प्रकाशित करने के लिए सहयोग किया था। कठोर और स्वयंसिद्ध शैली में लिखे गए इन ग्रंथों में कठोर प्रस्तुति और समुच्चय-सैद्धांतिक नींव पर बल दिया गया है। इन पाठों द्वारा गढ़ी गई शब्दावली, जैसे कि शब्द आक्षेप, अंतःक्षेपण, और अनुमान या आक्षेपण, अंतःक्षेपण, और अनुमान, और समुच्चय-सैद्धांतिक नींव नियोजित ग्रंथ, पूरे गणित में व्यापक रूप से अपनाए गए थे।

संगणनीयता सिद्धांत अध्ययन को पुनरावर्तन सिद्धांत या कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत के रूप में जाना जाने लगा, क्योंकि गोडेल और क्लेन द्वारा प्रारंभिक औपचारिकताएं कार्यों की पुनरावर्ती परिभाषाओं पर निर्भर थीं। जब इन परिभाषाओं को ट्यूरिंग मशीनों से जुड़े ट्यूरिंग की औपचारिकता के बराबर दिखाया गया, तो यह स्पष्ट हो गया कि नई अवधारणा - संगणनीय कार्य - की खोज की गई थी, और यह परिभाषा कई स्वतंत्र विशेषताओं को स्वीकार करने के लिए पर्याप्त मजबूत थी। 1931 में अपूर्णता प्रमेय पर अपने कार्य में, गोडेल के पास प्रभावी औपचारिक प्रणाली की कठोर अवधारणा का अभाव था; उन्होंने तुरंत अनुभव किया कि कम्प्यूटेबिलिटी की नई परिभाषाओं का उपयोग इस उद्देश्य के लिए किया जाता है, जिससे उन्हें अपूर्णता प्रमेय को सामान्य रूप से बताने की अनुमति मिलती है जो केवल मूल पेपर में निहित हो सकती है।

1940 के दशक में स्टीफन कोल क्लेन और एमिल लियोन पोस्ट द्वारा पुनरावर्तन सिद्धांत में कई परिणाम प्राप्त हुए हैं। यहाँ क्लीन ट्यूरिंग द्वारा पूर्वाभासित सापेक्ष संगणनीयता की अवधारणाओं को प्रस्तुत किया, और अंकगणितीय पदानुक्रम। बाद में क्लेन ने पुनरावर्तन सिद्धांत को उच्च-क्रम के कार्यों के लिए सामान्यीकृत किया था। क्लेन और जॉर्ज क्रेसेल ने विशेष रूप से सबूत सिद्धांत के संदर्भ में अंतर्ज्ञानवादी गणित के औपचारिक संस्करणों का अध्ययन किया था।

औपचारिक तार्किक प्रणाली

इसके मूल में, गणितीय तर्क औपचारिक तार्किक प्रणालियों का उपयोग करके व्यक्त की गई गणितीय अवधारणाओं से संबंधित है। ये प्रणालियाँ, चूंकि वे कई विवरणों में भिन्न हैं, निश्चित औपचारिक भाषा में केवल भावों पर विचार करने की सामान्य संपत्ति साझा करती हैं। गणित की नींव के लिए उनकी प्रयोज्यता और उनके वांछनीय प्रमाण-सैद्धांतिक गुणों के कारण, प्रस्तावपरक तर्क और प्रथम-क्रम तर्क की प्रणालियाँ आज सबसे व्यापक रूप से अध्ययन की जाती हैं। गैर-मौलिक तर्क जैसे अंतर्ज्ञानवादी तर्क के साथ दूसरे क्रम के तर्क या अनंत तर्क जैसे मजबूत मौलिक तर्कों का भी अध्ययन किया जाता है।

प्रथम-क्रम तर्क

Main article: पहले क्रम का तर्क

प्रथम-क्रम तर्क विशेष तार्किक प्रणाली है। इसके वाक्य-विन्यास में अच्छी तरह से निर्मित सूत्रों के रूप में केवल परिमित अभिव्यक्तियाँ सम्मलित हैं, जबकि इसके प्रथम-क्रम तर्क # शब्दार्थ को सभी क्वांटिफायर (तर्क) की सीमा को प्रवचन के निश्चित डोमेन तक सीमित करने की विशेषता है।

औपचारिक तर्क से प्रारंभिक परिणाम प्रथम-क्रम तर्क की स्थापित सीमाएँ। लोवेनहाइम-स्कोलेम प्रमेय (1919) ने दिखाया कि यदि गणनीय प्रथम-क्रम भाषा में वाक्यों के समुच्चय का अनंत मॉडल है, तो इसमें प्रत्येक अनंत कार्डिनैलिटी का कम से कम मॉडल है। इससे पता चलता है कि प्राकृतिक संख्याओं, वास्तविक संख्याओं, या समरूपता तक किसी अन्य अनंत संरचना को चिह्नित करने के लिए प्रथम-क्रम के स्वयंसिद्धों के समुच्चय के लिए यह असंभव है। प्रारंभिक मूलभूत अध्ययनों का लक्ष्य गणित के सभी भागों के लिए स्वयंसिद्ध सिद्धांतों का निर्माण करना था, यह सीमा विशेष रूप से कठोर थी।

गोडेल की पूर्णता प्रमेय ने प्रथम-क्रम तर्क में तार्किक परिणाम की सिमेंटिक और सिंटैक्टिक परिभाषाओं के बीच समानता स्थापित की थी। यह दर्शाता है कि यदि प्रत्येक मॉडल में विशेष वाक्य सत्य है जो स्वयंसिद्धों के विशेष समुच्चय को संतुष्ट करता है, तो स्वयंसिद्धों से वाक्य की सीमित कटौती होनी चाहिए। कॉम्पैक्टनेस प्रमेय पहली बार पूर्णता प्रमेय के गोडेल के प्रमाण में लेम्मा के रूप में प्रकट हुआ, और तर्कशास्त्रियों को इसके महत्व को समझने और इसे नियमित रूप से लागू करने में कई साल लग गए हैं। यह कहता है कि वाक्यों के समुच्चय में मॉडल होता है यदि और केवल यदि प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय में मॉडल होता है, या दूसरे शब्दों में, सूत्रों के असंगत समुच्चय में परिमित असंगत उपसमुच्चय होना चाहिए। पूर्णता और कॉम्पैक्टनेस प्रमेय प्रथम-क्रम तर्क और मॉडल सिद्धांत के विकास में तार्किक परिणाम के परिष्कृत विश्लेषण की अनुमति देते हैं, और वे गणित में प्रथम-क्रम तर्क की प्रमुखता के प्रमुख कारण हैं।

गोडेल के अपूर्णता प्रमेय प्रथम-क्रम के स्वयंसिद्धों पर अतिरिक्त सीमाएँ स्थापित करते हैं। पहला अपूर्णता प्रमेय बताता है कि किसी भी सुसंगत, प्रभावी ढंग से दी गई (नीचे परिभाषित) तार्किक प्रणाली के लिए जो अंकगणित की व्याख्या करने में सक्षम है, कथन उपस्तिथ है जो सत्य है (इस अर्थ में कि यह प्राकृतिक संख्याओं के लिए है) किन्तु उस तार्किक के भीतर सिद्ध नहीं है प्रणाली (और जो वास्तव में अंकगणित के कुछ गैर-मानक मॉडल में विफल हो सकती है। अंकगणित के गैर-मानक मॉडल जो तार्किक प्रणाली के अनुरूप हो सकते हैं)। उदाहरण के लिए, पीआनो सिद्धांतों को व्यक्त करने में सक्षम प्रत्येक तार्किक प्रणाली में, गोडेल वाक्य प्राकृतिक संख्याओं के लिए मान्य है किन्तु सिद्ध नहीं किया जाता है।

यहाँ तार्किक प्रणाली को प्रभावी रूप से दिया जाना कहा जाता है यदि यह तय करना संभव है, प्रणाली की भाषा में कोई सूत्र दिया गया है, क्या सूत्र अभिगृहीत है, और जो पीआनो अभिगृहीत को अभिव्यक्त कर सकता है उसे पर्याप्त रूप से मजबूत कहा जाता है। प्रथम-क्रम तर्क पर लागू होने पर, पहली अपूर्णता प्रमेय का अर्थ है कि किसी भी पर्याप्त रूप से मजबूत, सुसंगत, प्रभावी प्रथम-क्रम सिद्धांत में ऐसे मॉडल हैं जो प्राथमिक उपसंरचना नहीं हैं, लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय द्वारा स्थापित की तुलना में मजबूत सीमा हैं। दूसरा अपूर्णता प्रमेय बताता है कि अंकगणित के लिए पर्याप्त रूप से मजबूत, सुसंगत, प्रभावी स्वयंसिद्ध प्रणाली अपनी निरंतरता सिद्ध करना नहीं कर सकती है, जिसे दिखाने के लिए व्याख्या की गई है कि हिल्बर्ट के कार्यक्रम तक नहीं पहुंचा जाता है।

अन्य मौलिक लॉजिक्स

पहले क्रम के तर्क के अतिरिक्त कई तर्कशास्त्रों का अध्ययन किया जाता है। इनमें असीम तर्क सम्मलित हैं, जो सूत्रों को अनंत मात्रा में जानकारी प्रदान करने की अनुमति देते हैं, और उच्च-क्रम लॉजिक्स, जिसमें समुच्चय सिद्धांत का हिस्सा सीधे उनके शब्दार्थ में सम्मलित होता है।

सबसे अच्छी तरह से अध्ययन किया गया अनंत तर्क है $L_{\omega _{1},\omega }$. इस तर्क में, क्वांटिफायर्स को केवल परिमित गहराई तक नेस्टेड किया जाता है, जैसा कि पहले क्रम के तर्क में होता है, किन्तु सूत्रों में उनके भीतर परिमित या गणनीय रूप से अनंत संयुग्मन और वियोजन हो सकते हैं। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, के सूत्र का उपयोग करके यह कहना संभव है कि वस्तु पूर्ण संख्या है $L_{\omega _{1},\omega }$ जैसे कि

$(x=0)\lor (x=1)\lor (x=2)\lor \cdots .$

उच्च-क्रम के तर्क न केवल प्रवचन के क्षेत्र के तत्वों की मात्रा का ठहराव करने की अनुमति देते हैं, बल्कि प्रवचन के डोमेन के उपसमुच्चय, ऐसे उपसमुच्चय के समुच्चय और उच्च प्रकार की अन्य वस्तुओं की अनुमति देते हैं। शब्दार्थ को परिभाषित किया गया है जिससे कि प्रत्येक उच्च-प्रकार के क्वांटिफायर के लिए अलग डोमेन होने के अतिरिक्त, क्वांटिफायर इसके अतिरिक्त उपयुक्त प्रकार की सभी वस्तुओं पर रेंज करें। प्रथम-क्रम तर्क के विकास से पहले तर्कशास्त्र का अध्ययन किया गया था, उदाहरण के लिए फ्रीज के तर्क में समान समुच्चय-सैद्धांतिक पहलू थे। चूंकि उच्च-क्रम तर्क अधिक अभिव्यंजक हैं, प्राकृतिक संख्याओं जैसे संरचनाओं के पूर्ण स्वयंसिद्धीकरण की अनुमति देते हुए, वे प्रथम-क्रम तर्क से पूर्णता और कॉम्पैक्टनेस प्रमेयों के अनुरूपों को संतुष्ट नहीं करते हैं, और इस प्रकार सबूत-सैद्धांतिक विश्लेषण के लिए कम उत्तरदायी हैं।

एक अन्य प्रकार के लॉजिक्स हैं, जो आगमनात्मक परिभाषाओं की अनुमति देता है, जैसे कि आदिम पुनरावर्ती कार्यों के लिए लिखता है।

एक औपचारिक रूप से प्रथम-क्रम तर्क के विस्तार को परिभाषित कर सकता है - धारणा जो इस खंड में सभी लॉजिक्स को सम्मलित करती है क्योंकि वे कुछ मौलिक विधियों से प्रथम-क्रम तर्क की तरह व्यवहार करते हैं, किन्तु सामान्य रूप से सभी तर्कों को सम्मलित नहीं करते हैं, उदा। यह अंतर्ज्ञानवादी, मोडल या फजी लॉजिक को सम्मलित नहीं करता है।

लिंडस्ट्रॉम के प्रमेय का अर्थ है कि कॉम्पैक्टनेस प्रमेय और लोवेनहाइम-स्कोलेम प्रमेय दोनों को संतुष्ट करने वाले प्रथम-क्रम तर्क का एकमात्र विस्तार #डाउनवर्ड पार्ट या डाउनवर्ड लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय प्रथम-क्रम तर्क है।

अशास्त्रीय और मोडल लॉजिक

Main article: गैर शास्त्रीय तर्क

मॉडल तर्क में अतिरिक्त मोडल ऑपरेटर सम्मलित होते हैं, जैसे ऑपरेटर जो बताता है कि विशेष सूत्र न केवल सत्य है, बल्कि अनिवार्य रूप से सत्य है। यद्यपि मोडल लॉजिक का उपयोग अधिकांशतःगणित को स्वयंसिद्ध करने के लिए नहीं किया जाता है, किन्तु इसका उपयोग प्रथम-क्रम की उपयोगिता के गुणों का अध्ययन करने के लिए किया जाता है और समुच्चय-सैद्धांतिक बल को प्रदर्शित करता हैं।

ब्रोवर के अंतर्ज्ञानवाद के कार्यक्रम का अध्ययन करने के लिए हेटिंग द्वारा अंतर्ज्ञानवादी तर्क विकसित किया गया था, जिसमें ब्रोवर ने खुद को औपचारिकता से बचा लिया था। अंतर्ज्ञानवादी तर्क विशेष रूप से बहिष्कृत मध्य के कानून को सम्मलित नहीं करता है, जो बताता है कि प्रत्येक वाक्य या तो सत्य है या इसकी अस्वीकृति सत्य है। इंट्यूशनिस्टिक लॉजिक के प्रूफ थ्योरी के साथ क्लेन के कार्य ने दिखाया कि इंट्यूशनिस्टिक प्रूफ से रचनात्मक जानकारी प्राप्त की जा सकती है। उदाहरण के लिए, अंतर्ज्ञान संबंधी अंकगणित में कोई भी सिद्ध रूप से कुल कार्य संगणनीय है; यह अंकगणित के मौलिक सिद्धांतों जैसे पीनो अंकगणित में सत्य नहीं है।

बीजगणितीय तर्क

बीजगणितीय तर्क औपचारिक तर्कशास्त्र के शब्दार्थों का अध्ययन करने के लिए अमूर्त बीजगणित के विधियों का उपयोग करता है। मौलिक प्रस्तावपरक तर्क में सत्य मूल्यों का प्रतिनिधित्व करने के लिए बूलियन बीजगणित (संरचना) का मौलिक उदाहरण है, और अंतर्ज्ञानवादी प्रस्तावपरक तर्क में सत्य मूल्यों का प्रतिनिधित्व करने के लिए हेटिंग बीजगणित का उपयोग करता हैं। पहले इस क्रम के तर्क और उच्च क्रम के तर्क जैसे मजबूत तर्कों का अध्ययन बेलनाकार बीजगणित जैसी अधिक जटिल बीजगणितीय संरचनाओं का उपयोग करके किया जाता है।

समुच्चय सिद्धांत

Main article: समुच्चय सिद्धान्त

समुच्चय सिद्धांत समुच्चय (गणित) का अध्ययन है, जो वस्तुओं का सार संग्रह है। समुच्चय सिद्धांत के औपचारिक स्वयंसिद्धों को विकसित करने से पहले कई बुनियादी धारणाएं, जैसे कि क्रमवाचक और कार्डिनल नंबर, कैंटर द्वारा अनौपचारिक रूप से विकसित किए गए थे। ज़र्मेलो समुच्चय सिद्धांत, ज़र्मेलो के कारण, ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (ZF) बनने के लिए थोड़ा बढ़ाया गया था, जो अब गणित के लिए सबसे व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला मूलभूत सिद्धांत है।

वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल समुच्चय सिद्धांत (NBG), मोर्स-केली समुच्चय सिद्धांत (MK) और न्यू फ़ाउंडेशन (NF) सहित समुच्चय सिद्धांत की अन्य औपचारिकताओं को प्रस्तावित किया गया है। इनमें से ZF, NBG, और MK समुच्चयों के संचयी पदानुक्रम का वर्णन करने में समान हैं। नई नींव अलग दृष्टिकोण अपनाती है; यह अपने समुच्चय-अस्तित्व स्वयंसिद्धों पर प्रतिबंधों की कीमत पर सभी समुच्चयों के समुच्चय जैसी वस्तुओं को अनुमति देता है। क्रिपके-प्लेटक समुच्चय सिद्धांत की प्रणाली सामान्यीकृत पुनरावर्तन सिद्धांत से निकटता से संबंधित है।

समुच्चय सिद्धांत में दो प्रसिद्ध कथन पसंद का स्वयंसिद्ध और सातत्य परिकल्पना हैं। पसंद का स्वयंसिद्ध, सबसे पहले ज़र्मेलो द्वारा कहा गया, फ्रैंकेल द्वारा जेडएफ से स्वतंत्र सिद्ध करना किया गया था, किन्तु गणितज्ञों द्वारा व्यापक रूप से स्वीकार किया जाने लगा है। इसमें कहा गया है कि भरे हुए समुच्चयों का संग्रह दिया गया है जिसमें समुच्चय c है जिसमें संग्रह में प्रत्येक समुच्चय से ठीक तत्व होता है। कहा जाता है कि समुच्चय सी संग्रह में प्रत्येक समुच्चय से तत्व का चयन करता है। जबकि इस तरह की पसंद करने की क्षमता कुछ लोगों द्वारा स्पष्ट मानी जाती है, चूंकि संग्रह में प्रत्येक समुच्चय गैर-खाली है, सामान्य, ठोस नियम की कमी जिसके द्वारा चुनाव किया जाता है, स्वयंसिद्ध गैर-रचनात्मक प्रदान करता है। स्टीफन बानाच और अल्फ्रेड तर्स्की ने दिखाया कि पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग ठोस गेंद को टुकड़ों की सीमित संख्या में विघटित करने के लिए किया जाता है, जिसे मूल आकार के दो ठोस गेंदों को बनाने के लिए बिना स्केलिंग के पुन: व्यवस्थित किया जाता है। यह प्रमेय, जिसे बनच-तर्स्की विरोधाभास के रूप में जाना जाता है, पसंद के स्वयंसिद्ध के कई प्रतिगामी परिणामों में से है।

कॉन्टिनम परिकल्पना, जिसे पहले कैंटर द्वारा अनुमान के रूप में प्रस्तावित किया गया था, डेविड हिल्बर्ट द्वारा 1900 में उनकी 23 समस्याओं में से के रूप में सूचीबद्ध किया गया था। गोडेल ने दिखाया कि कॉन्टिनम परिकल्पना को ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (स्वयंसिद्ध के साथ या उसके बिना) के स्वयंसिद्धों से अप्रमाणित नहीं किया जाता है। पसंद का), समुच्चय सिद्धांत के रचनात्मक ब्रह्मांड को विकसित करके जिसमें निरंतर परिकल्पना को धारण करना चाहिए। 1963 में, पॉल कोहेन ने दिखाया कि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत के स्वयंसिद्धों से सातत्य परिकल्पना को सिद्ध नहीं किया जाता है। स्वतंत्रता के इस परिणाम ने हिल्बर्ट के सवाल को पूरी तरह से सुलझाया नहीं जा सकता हैं, चूंकि, यह संभव है कि समुच्चय सिद्धांत के लिए नए सिद्धांत परिकल्पना को हल कर सकें। इन पंक्तियों के साथ हाल ही में कार्य डब्ल्यू ह्यूग वुडिन द्वारा किया गया है, चूंकि इसका महत्व अभी तक स्पष्ट नहीं है।

समुच्चय सिद्धांत में समसामयिक शोध में बड़े कार्डिनल्स और निर्धारकता का अध्ययन सम्मलित है। बड़े कार्डिनल विशेष गुण वाले कार्डिनल संख्या होते हैं जो इतने मजबूत होते हैं कि ऐसे कार्डिनल के अस्तित्व को ZFC में सिद्ध नहीं किया जाता है। सामान्यतः अध्ययन किए गए सबसे छोटे बड़े कार्डिनल का अस्तित्व, बड़ा कार्डिनल, पहले से ही ZFC की निरंतरता का अर्थ है। इस तथ्य के बावजूद कि बड़े कार्डिनल्स में अत्यधिक उच्च कार्डिनैलिटी होती है, वास्तविक रेखा की संरचना के लिए उनके अस्तित्व में कई प्रभाव होते हैं। निश्चयात्मकता कुछ दो-खिलाड़ी खेलों के लिए जीत की रणनीतियों के संभावित अस्तित्व को संदर्भित करती है (खेलों को निर्धारित कहा जाता है)। इन रणनीतियों का अस्तित्व वास्तविक रेखा और अन्य पोलिश रिक्त स्थान के संरचनात्मक गुणों का तात्पर्य है।

मॉडल सिद्धांत

Main article: मॉडल सिद्धांत

मॉडल सिद्धांत विभिन्न औपचारिक सिद्धांतों के मॉडल का अध्ययन करता है। यहाँ सिद्धांत (गणितीय तर्क) विशेष औपचारिक तर्क और हस्ताक्षर (तर्क) में सूत्रों का समूह है, जबकि संरचना (गणितीय तर्क) संरचना है जो सिद्धांत की ठोस व्याख्या देती है। मॉडल सिद्धांत सार्वभौमिक बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति से निकटता से संबंधित है, चूंकि मॉडल सिद्धांत के तरीके उन क्षेत्रों की तुलना में तार्किक विचारों पर अधिक ध्यान केंद्रित करते हैं।

किसी विशेष सिद्धांत के सभी मॉडलों के समुच्चय को प्राथमिक वर्ग कहा जाता है; मौलिक मॉडल सिद्धांत विशेष प्राथमिक वर्ग में मॉडल के गुणों को निर्धारित करना चाहता है, या यह निर्धारित करता है कि संरचनाओं के कुछ वर्ग प्राथमिक वर्ग बनाते हैं या नहीं।

क्वांटिफायर एलिमिनेशन की विधि का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि विशेष सिद्धांतों में निश्चित समुच्चय बहुत जटिल नहीं हो सकते हैं। टार्स्की ने वास्तविक-बंद क्षेत्रों के लिए क्वांटिफायर एलिमिनेशन की स्थापना की, परिणाम जो वास्तविक संख्या के क्षेत्र के सिद्धांत को भी दिखाता है वह निर्णायक समुच्चय है। उन्होंने यह भी नोट किया कि उनकी विधियां मनमाना विशेषता वाले बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों पर समान रूप से लागू होती हैं। इससे विकसित होने वाला आधुनिक उप क्षेत्र ओ-न्यूनतम सिद्धांत या ओ-न्यूनतम संरचनाओं से संबंधित है।

मॉर्ले की श्रेणीबद्धता प्रमेय, माइकल डी. मॉर्ले द्वारा सिद्ध, बताता है कि यदि गणनीय भाषा में प्रथम-क्रम सिद्धांत कुछ बेशुमार कार्डिनैलिटी में स्पष्ट है, अर्थात इस कार्डिनैलिटी के सभी मॉडल आइसोमॉर्फिक हैं, तो यह सभी बेशुमार कार्डिनैलिटी में स्पष्ट है।

सातत्य परिकल्पना का तुच्छ परिणाम यह है कि सातत्य से कम कई गैर-समरूपी गणनीय मॉडल वाले पूर्ण सिद्धांत में केवल गिनती के कई मॉडल हो सकते हैं। वॉट का अनुमान, रॉबर्ट लॉसन वॉट के नाम पर रखा गया है, जो कहता है कि यह सातत्य परिकल्पना से स्वतंत्र रूप से भी सच है। इस अनुमान के कई विशेष मामले स्थापित किए गए हैं।

पुनरावर्तन सिद्धांत

Main article: पुनरावर्तन सिद्धांत

पुनरावर्तन सिद्धांत, जिसे संगणनीयता सिद्धांत भी कहा जाता है, संगणनीय कार्यों और ट्यूरिंग डिग्री के गुणों का अध्ययन करता है, जो अगणनीय कार्यों को उन समुच्चयों में विभाजित करता है जिनमें समान स्तर की असम्बद्धता होती है। पुनरावर्तन सिद्धांत में सामान्यीकृत संगणनीयता और निश्चितता का अध्ययन भी सम्मलित है। पुनरावर्तन सिद्धांत 1930 के दशक में रोज़ा पेटर, अलोंजो चर्च और एलन ट्यूरिंग के कार्य से विकसित हुआ, जिसे 1940 के दशक में स्टीफन कोल क्लेन और एमिल लियोन पोस्ट द्वारा अधिक विस्तारित किया गया था।

मौलिक पुनरावर्तन सिद्धांत प्राकृतिक संख्याओं से प्राकृतिक संख्याओं तक कार्यों की संगणना पर केंद्रित है। मौलिक परिणाम ट्यूरिंग मशीन, लैम्ब्डा कैलकुलस या λ कैलकुलस और अन्य प्रणालियों का उपयोग करके कई स्वतंत्र, समकक्ष विशेषताओं के साथ कम्प्यूटेशनल कार्यों का मजबूत, विहित वर्ग स्थापित करते हैं। अधिक उन्नत परिणाम ट्यूरिंग डिग्री की संरचना और पुनरावर्ती गणना योग्य समुच्चयों के जाली (क्रम) से संबंधित हैं।

सामान्यीकृत पुनरावर्तन सिद्धांत पुनरावर्तन सिद्धांत के विचारों को संगणनाओं तक विस्तारित करता है जो अब आवश्यक रूप से परिमित नहीं हैं। इसमें उच्च प्रकारों के साथ-साथ हाइपरअरिथमेटिकल सिद्धांत और अल्फा रिकर्सन सिद्धांत या α-रिकर्सन सिद्धांत जैसे क्षेत्रों में कम्प्यूटेबिलिटी का अध्ययन सम्मलित है।

पुनरावर्तन सिद्धांत में समकालीन अनुसंधान में एल्गोरिथम यादृच्छिकता, संगणनीय मॉडल सिद्धांत और रिवर्स गणित जैसे अनुप्रयोगों के अध्ययन के साथ-साथ शुद्ध पुनरावर्तन सिद्धांत में नए परिणाम सम्मलित हैं।

एल्गोरिदमिक रूप से अघुलनशील समस्याएं

पुनरावर्तन सिद्धांत का महत्वपूर्ण उपक्षेत्र एल्गोरिथम असम्बद्धता का अध्ययन करता है; निर्णय समस्या या कार्य समस्या एल्गोरिथम रूप से अघुलनशील है यदि कोई संभव संगणनीय एल्गोरिथम नहीं है जो समस्या के सभी नियमानुसार इनपुट के लिए सही उत्तर देता है। 1936 में चर्च और ट्यूरिंग द्वारा स्वतंत्र रूप से प्राप्त की गई अघुलनशीलता के बारे में पहला परिणाम दिखाता है कि एंट्सचीडंगस्प्रोब्लेम एल्गोरिथम रूप से अघुलनशील है। ट्यूरिंग ने हॉल्टिंग समस्या की अघुलनशीलता को स्थापित करके इसे सिद्ध करना कर दिया, जिसके परिणामस्वरूप पुनरावर्तन सिद्धांत और कंप्यूटर विज्ञान दोनों में दूरगामी निहितार्थ थे।

साधारण गणित से अनिर्णनीय समस्याओं के कई ज्ञात उदाहरण हैं। 1955 में प्योत्र नोविकोव द्वारा और 1959 में स्वतंत्र रूप से डब्ल्यू बूने द्वारा समूहों के लिए शब्द समस्या एल्गोरिथम रूप से अघुलनशील सिद्ध करना हुई थी। 1962 में टिबोर राडो द्वारा विकसित व्यस्त बीवर समस्या और प्रसिद्ध उदाहरण है।

हिल्बर्ट की दसवीं समस्या ने यह निर्धारित करने के लिए एल्गोरिथ्म के लिए कहा कि पूर्णांक गुणांक वाले बहुभिन्नरूपी बहुपद समीकरण का पूर्णांक में समाधान है या नहीं। आंशिक प्रगति जूलिया रॉबिन्सन, मार्टिन डेविस (गणितज्ञ) और हिलेरी पटनम द्वारा की गई थी। 1970 में यूरी मटियासेविच द्वारा समस्या की एल्गोरिथम की अघुलनशीलता को सिद्ध किया गया था।

प्रमाण सिद्धांत और रचनात्मक गणित

Main article: सबूत सिद्धांत

प्रमाण सिद्धांत विभिन्न तार्किक निगमन प्रणालियों में औपचारिक प्रमाणों का अध्ययन है। इन प्रमाणों को औपचारिक गणितीय वस्तुओं के रूप में दर्शाया जाता है, जो गणितीय विधियों द्वारा उनके विश्लेषण को सुगम बनाता है। सामान्यतः हिल्बर्ट-शैली की कटौती प्रणाली, प्राकृतिक कटौती की प्रणाली और जेंटजन द्वारा विकसित क्रमिक कलन सहित कई कटौती प्रणालियों पर विचार किया जाता है।

रचनात्मक गणित का अध्ययन, गणितीय तर्क के संदर्भ में, गैर-मौलिक तर्क में प्रणालियों का अध्ययन सम्मलित है जैसे कि अंतर्ज्ञानवादी तर्क, साथ ही साथ प्रभावकारी प्रणालियों का अध्ययन। विधेयवाद का प्रारंभिक प्रस्तावक हरमन वेइल था, जिसने दिखाया कि केवल विधेय विधियों का उपयोग करके वास्तविक विश्लेषण का बड़ा हिस्सा विकसित करना संभव है। क्योंकि प्रमाण पूरी तरह से परिमित हैं, जबकि संरचना में सच्चाई नहीं है, रचनात्मक गणित में कार्य के लिए यह आम बात है कि प्रमाणिकता पर जोर दिया जाए। मौलिक (या गैर-रचनात्मक) प्रणालियों में प्रवीणता और अंतर्ज्ञानवादी (या रचनात्मक, क्रमशः) प्रणालियों में साध्यता के बीच संबंध विशेष रुचि का है। गोडेल-जेंटजन नकारात्मक अनुवाद जैसे परिणाम बताते हैं कि अंतर्ज्ञानवादी तर्क में मौलिक तर्क को एम्बेड (या अनुवाद) करना संभव है, जिससे अंतर्ज्ञानवादी प्रमाणों के बारे में कुछ गुणों को मौलिक प्रमाणों में वापस स्थानांतरित किया जा सके।

सबूत सिद्धांत में हालिया विकास में उलरिच कोहलेनबैक द्वारा सबूत खनन का अध्ययन और माइकल राथजेन द्वारा सबूत-सैद्धांतिक अध्यादेशों का अध्ययन सम्मलित है।

अनुप्रयोग

गणितीय तर्क को न केवल गणित और इसकी नींव पर सफलतापूर्वक लागू किया गया है (गॉटलॉब फ्रेज या जी. फ्रेगे, बर्ट्रेंड रसेल या बी. रसेल, डेविड हिल्बर्ट या डी. हिल्बर्ट, पॉल बर्नेज़ या पी. बर्नेज़, हेनरिक स्कोल्ज़ या एच. स्कोल्ज़, रुडोल्फ कार्नाप या आर. कार्नाप, स्टानिस्लाव लेस्निव्स्की या एस. लेस्निव्स्की, थोराल्फ स्कोलेम या टी. स्कोलेम), किन्तु भौतिकी के लिए भी (आर. कार्नाप, ए. डिट्रिच, बी. रसेल, क्लाउड शैनन या सी.ई. शैनन, अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड या ए.एन. व्हाइटहेड , हैंस रीचेनबैक या एच. रीचेनबैक, पी. फेवरियर), जीव विज्ञान (जोसेफ हेनरी वुडगर या जे.एच. वुडगर, अल्फ्रेड टार्स्की या ए. टार्स्की), मनोविज्ञान के लिए (फ्रेडरिक फिच या एफ.बी. फिच, कार्ल गुस्ताव हेम्पेल या सी.जी. हेम्पेल), कानून के लिए और नैतिकता (कार्ल मेन्जर या के. मेन्जर, यू. क्लुग, पी. ओपेनहेम), अर्थशास्त्र (जॉन वॉन न्यूमैन या जे. न्यूमैन, ऑस्कर मॉर्गनस्टर्न या ओ. मॉर्गनस्टर्न) से व्यावहारिक प्रश्न (एडमंड बर्कले या ई.सी. बर्कले, ई. स्टैम), और यहां तक ​​कि तत्वमीमांसा (जे. [जन] सलामुचा, एच. स्कोल्ज़, जोज़ेफ़ मारिया बोचेंस्की या जे.एम. बोचेंस्की)। तर्क के इतिहास के लिए इसके अनुप्रयोग अत्यंत उपयोगी सिद्ध करना हुए हैं (जन लुकासिविज़ या जे. लुकासिविक्ज़, एच. स्कोल्ज़, बेन्सन मेट्स या बी. मेट्स, ए. बेकर, अर्नेस्ट एडिसन मूडी या ई. मूडी, जे. सालामुचा, के. डुएर, जेड. जॉर्डन, फिलोथियस बोहेनर या पी. बोहेनर, जे.एम. बोचेंस्की, एस. [स्टैनिस्लाव] टी. शायर, डैनियल एच.एच. इंगल्स सीनियर या डी. इंगल्स)। धर्मशास्त्र के लिए भी आवेदन किए गए हैं (एफ. ड्रयूनोव्स्की, जे. सालामुचा, आई. थॉमस)।

कंप्यूटर विज्ञान के साथ कनेक्शन

Main article: कंप्यूटर विज्ञान में तर्क

कंप्यूट्रीकृत सिद्धांत (कंप्यूटर साइंस) का अध्ययन गणितीय तर्क में कम्प्यूटेबिलिटी के अध्ययन से निकटता से संबंधित है। चूँकि इस पर बल लगाने में अंतर प्रकट होता है। कंप्यूटर विज्ञान अधिकांशतःठोस प्रोग्रामिंग भाषाओं और व्यवहार्य संगणनीयता पर ध्यान केंद्रित करता है, जबकि गणितीय तर्क में शोधकर्ता अधिकांशतःसंगणनीयता पर सैद्धांतिक अवधारणा के रूप में और गैर-संगणनीयता पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

कार्यक्रम शब्दार्थ का सिद्धांत मॉडल सिद्धांत से संबंधित है, जैसा कि कार्यक्रम सत्यापन (विशेष रूप से, मॉडल जांच) है। प्रमाणों और कार्यक्रमों के बीच करी-हावर्ड पत्राचार प्रमाण सिद्धांत से संबंधित है, विशेष रूप से अंतर्ज्ञानवादी तर्क। लैम्ब्डा कैलकुलस और संयोजन तर्क जैसी औपचारिक गणनाओं का अब आदर्शीकृत प्रोग्रामिंग भाषाओं के रूप में अध्ययन किया जाता है।

कंप्यूटर विज्ञान स्वचालित जाँच या प्रमाणों की खोज के लिए तकनीक विकसित करके गणित में भी योगदान देता है, जैसे कि स्वचालित प्रमेय सिद्ध करना और तर्क प्रोग्रामिंग।

वर्णनात्मक जटिलता सिद्धांत तर्कशास्त्र को कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत से जोड़ता है। इस क्षेत्र में पहला महत्वपूर्ण परिणाम, फागिन के प्रमेय (1974) ने स्थापित किया कि एनपी (जटिलता) वास्तव में अस्तित्वगत दूसरे क्रम के तर्क के वाक्यों द्वारा व्यक्त की जाने वाली भाषाओं का समूह है।

गणित के मूलाधार

Main article: गणित की नींव

19वीं शताब्दी में, गणितज्ञ अपने क्षेत्र में तार्किक अंतराल और विसंगतियों के बारे में जागरूक हुए हैं। यह दिखाया गया कि ज्यामिति के लिए यूक्लिड के अभिगृहीत, जो स्वयंसिद्ध पद्धति के उदाहरण के रूप में सदियों से पढ़ाए जाते रहे थे जो पहले से अधूरे थे। इनफिनिटिमल्स का उपयोग, और फ़ंक्शन (गणित) की बहुत परिभाषा, विश्लेषण में सवालों के घेरे में आ गई, जैसे कि वेइरस्ट्रैस के कहीं नहीं-विभेदक फ़ंक्शन निरंतर फ़ंक्शन जैसे पैथोलॉजिकल उदाहरण खोजे गए थे।

कैंटर के मनमाने अनंत समुच्चयों के अध्ययन की भी आलोचना हुई थी। लियोपोल्ड क्रोनकर ने प्रसिद्ध रूप से कहा कि भगवान ने पूर्णांक बनाए; बाकी सब कुछ मनुष्य का कार्य है, गणित में परिमित, ठोस वस्तुओं के अध्ययन की वापसी का समर्थन करता है। यद्यपि क्रोनेकर के तर्क को 20वीं शताब्दी में रचनावादियों द्वारा आगे बढ़ाया गया था, गणितीय समुदाय ने समग्र रूप से उन्हें खारिज कर दिया। डेविड हिल्बर्ट ने अनंत के अध्ययन के पक्ष में तर्क देते हुए कहा कि कोई भी हमें उस स्वर्ग से नहीं निकालेगा जिसे कैंटर ने बनाया है।

गणितज्ञों ने स्वयंसिद्ध प्रणालियों की खोज प्रारंभ की जिसका उपयोग गणित के बड़े हिस्से को औपचारिक रूप देने के लिए किया जाता है। कार्य जैसे पहले के अनुभवहीन शब्दों से अस्पष्टता को दूर करने के अतिरिक्त, यह आशा की गई थी कि यह स्वयंसिद्धता निरंतरता प्रमाणों की अनुमति देगी। 19वीं शताब्दी में, स्वयंसिद्धों के समुच्चय की संगति को सिद्ध करने का मुख्य विधिइसके लिए मॉडल प्रदान करना था। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति को निश्चित क्षेत्र पर बिंदु के रूप में परिभाषित बिंदु और गोले पर महान वृत्त के अर्थ के लिए रेखा को परिभाषित करके सुसंगत सिद्ध करना किया जाता है। परिणामी संरचना, अण्डाकार ज्यामिति का मॉडल, समांतर पोस्टुलेट को छोड़कर समतल ज्यामिति के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है।

औपचारिक तर्क के विकास के साथ, हिल्बर्ट ने पूछा कि क्या यह सिद्ध करना करना संभव होगा कि सिस्टम में संभावित प्रमाणों की संरचना का विश्लेषण करके और इस विश्लेषण के माध्यम से यह दिखाते हुए कि स्वयंसिद्ध प्रणाली संगत है, विरोधाभास सिद्ध करना करना असंभव है। इस विचार ने सबूत सिद्धांत का अध्ययन किया था। इसके अतिरिक्त, हिल्बर्ट ने प्रस्तावित किया कि विश्लेषण पूरी तरह से ठोस होना चाहिए, शब्द का उपयोग करते हुए परिमित उन विधियों को संदर्भित करने के लिए जिन्हें वह अनुमति देगा किन्तु उन्हें त्रुटिहीन रूप से परिभाषित नहीं करेगा। हिल्बर्ट के कार्यक्रम के रूप में जाना जाने वाला यह प्रोजेक्ट गोडेल के अपूर्णता प्रमेय से गंभीर रूप से प्रभावित था, जो दर्शाता है कि अंकगणित के औपचारिक सिद्धांतों की निरंतरता उन सिद्धांतों में औपचारिक विधियों का उपयोग करके स्थापित नहीं की जा सकती है। जेंटजन ने दिखाया कि ट्रांसफ़िनिट इंडक्शन के स्वयंसिद्धों के साथ संवर्धित परिमित प्रणाली में अंकगणित की निरंतरता का प्रमाण प्रस्तुत करना संभव है, और ऐसा करने के लिए उन्होंने जो विधियाँ विकसित कीं है वे सत्य सिद्धांत में सेमिनल थीं।

गणित की नींव के इतिहास में दूसरे सूत्र में गैर मौलिक तर्कशास्त्र और रचनात्मक गणित सम्मलित है। रचनात्मक गणित के अध्ययन में रचनात्मक की विभिन्न परिभाषाओं के साथ कई अलग-अलग कार्यक्रम सम्मलित हैं। सबसे अनुकूल अंत में, जेडएफ समुच्चय सिद्धांत में सबूत जो पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग नहीं करते हैं, उन्हें कई गणितज्ञों द्वारा रचनात्मक कहा जाता है। रचनावाद के अधिक सीमित संस्करण खुद को प्राकृतिक संख्याओं, संख्या-सैद्धांतिक कार्यों और प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय तक सीमित करते हैं (जिसका उपयोग वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है, जो गणितीय विश्लेषण के अध्ययन की सुविधा प्रदान करता है)। सामान्य विचार यह है कि फलन के अस्तित्व के बारे में कहे जाने से पहले फलन के मूल्यों की गणना करने का ठोस साधन ज्ञात होना चाहिए।

20वीं शताब्दी की शुरुआत में, लुइट्ज़ेन एगबर्टस जान ब्रोवर ने गणित के दर्शन के भाग के रूप में अंतर्ज्ञानवाद की स्थापना की। यह दर्शन, जिसे पहले कम समझा गया था, ने कहा कि गणितज्ञ के लिए गणितीय कथन के सत्य होने के लिए, उस व्यक्ति को कथन को समझने में सक्षम होना चाहिए, न केवल इसकी सच्चाई पर विश्वास करना चाहिए बल्कि इसकी सच्चाई के कारण को समझना चाहिए। सत्य की इस परिभाषा का परिणाम बहिष्कृत मध्य के कानून की अस्वीकृति था, क्योंकि ऐसे कथन हैं, जो ब्रोवर के अनुसार, सत्य होने का प्रामाणित नहीं किया जाता था, जबकि उनकी नकार भी सत्य होने का प्रामाणित नहीं किया जाता था। ब्रौवर का दर्शन प्रभावशाली था, और प्रमुख गणितज्ञों के बीच कटु विवादों का कारण था। बाद में, क्लेन और क्रेसेल अंतर्ज्ञानवादी तर्क के औपचारिक संस्करणों का अध्ययन करेंगे। इस प्रकार ब्रूवर ने औपचारिकता को अस्वीकार कर दिया, और अनौपचारिक प्राकृतिक भाषा में अपना कार्य प्रस्तुत किया हैं। बीएचके व्याख्या और क्रिपके मॉडल के आगमन के साथ, मौलिक गणित के साथ सामंजस्य स्थापित करना आसान हो गया था।

यह भी देखें

• तर्क
• अनौपचारिक तर्क
• ज्ञान प्रतिनिधित्व और तर्क
• तर्क
• कम्प्यूटेबिलिटी और जटिलता विषयों की सूची
• पहले क्रम के सिद्धांतों की सूची
• तर्क प्रतीकों की सूची
• गणितीय तर्क विषयों की सूची
• समुच्चय सिद्धांत विषयों की सूची
• मेयरियोलाजी
• प्रस्तावक कलन
• अच्छी तरह से गठित सूत्र

संदर्भ

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