तर्कवाद

गणित के दर्शन में, तर्कवाद फलन है जिसमे या से अधिक सिद्धांतों सम्मलित है, जो — किसी संगठित 'तर्क' के सार्थक अर्थ के लिए — गणित तर्क का विस्तार है, कुछ या सभी गणित का एकांतरण तर्क में सम्मिलित है, या गणित का एकांतरण तर्क में मॉडल सिद्धांत हो सकता है। बर्ट्रेंड रसेल और अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड ने इस फलन को समर्थित किया, जो गोटलोब फ्रीज ने प्रारंभ किया और फिर रिचर्ड डेडेकाइंड और ग्यूसेप पीनो द्वारा विकसित किया गया था।

सिंहावलोकन

इस प्रकार डेडेकिंड के तर्कवाद के लिए मोडल का निर्माण करने पर परिवर्तन बिंदु था, जब उन्हें निश्चित तर्कसंगत संख्याओं के कुछ समुच्चय का उपयोग करके वास्तविक संख्याओं की विशेषता बताने वाले स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करने वाला मॉडल बनाने में सक्षम हुआ था। इससे और संबंधित विचारों ने उन्हें यह आश्वस्त किया कि अंकगणित, बीजगणित और विश्लेषण को नेचुरल संख्याएं के साथ-साथ "तर्क" की भाषा में सम्मिलित किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त 1872 में उन्होंने निर्धारित किया था कि कि नेचुरल संख्याएं स्वंय भी समुच्चय और मानचित्रण में सम्मिलित की जा सकती हैं। यह संभव है कि अन्य तर्कशास्त्री, विशेष रूप से फ़्रीज, भी वर्ष 1872 में प्रकाशित वास्तविक संख्याओं के नए सिद्धांतों से प्रेरित थे।

ग्रुंडलागेन डेर अरिथमेटिक के बाद से फ़्रेगे के तर्कशास्त्री फलन के पीछे दार्शनिक प्रेरणा आंशिक रूप से नेचुरल संख्याएं के तत्कालीन प्रचलित खातों की ज्ञानमीमांसा और आंटलजी प्रतिबद्धताओं के प्रति उनका असंतोष था, और उनका दृढ़ विश्वास था कि कांट ने उदाहरण के रूप में नेचुरल संख्याएं के बारे में सत्य का उपयोग किया था।

यह वक्त तर्कवाद के लिए विस्तार की प्रारंभ थी, जिसमें डेडेकिंड और फ्रेगे इसके प्रमुख प्रतिनिधि थे। चूंकि ,इस तर्कवादी फलन के इस प्रारंभिक चरण को समुच्चय सिद्धांत (कैंटर 1896, ज़र्मेलो और रसेल 1900-1901) के शास्त्रीय विरोधाभासों की अविष्कार हुई। फ़्रीज अभियांत्रिकीयता के प्रणाली में असंगति पहचान करने और संचार करने के बाद रसेल द्वारा उसके परिसमाप्ति और ग्रुंडगेसेत्से डेर अरिथ्मेटिक में समस्या की पहचान के बाद, इस तर्कवादी परियोजना पर संकट में लाया गया था। ध्यान दें कि अनुभवहीन समुच्चय सिद्धांत भी इस समस्या का सामना करता है।

वहीं, 1903 में रसेल ने "गणित के सिद्धांत" लिखे जिसमें वे गियूसेप्पे पेयानो के ज्यामिति के विकास और उस पराधिन्यों का उपयोग करके पैरॉडॉक्स का विचार किया। चूँकि उन्होंने ज्यामिति और समुच्चय सिद्धांत में प्रारंभिक धारणाओं के विषय को सम्बोधित किया गया, जिसके कारण यह पाठ तर्कवाद के विकास में महत्वपूर्ण परिवर्तन है। तर्कवाद के प्रमाण का साक्ष्य रसेल और व्हाइटहेड ने अपने "गणितीय सिद्धांत" में एकत्र किया था।

आज, माना जाता है कि उपस्थित गणित का बड़ा भाग तार्किक रूप से छोटी संख्या में एक्स्ट्रालॉजिकल स्वयंसिद्धों से प्राप्त किया जा सकता है, जैसे कि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (या इसके विस्तार ZFC) के स्वयंसिद्ध, जिनसे अभी तक कोई विसंगतियां उत्पन्न नहीं हुई हैं। इस प्रकार, तर्कवादी फलनों के तत्व व्यवहार्य सिद्ध हुए हैं, किन्तु इस प्रक्रिया में कक्षाओं, समुच्चयों और मैपिंग के सिद्धांतों और दूसरे-क्रम_लॉजिक सिमेंटिक्स के अतिरिक्त अन्य उच्च-क्रम वाले तर्कों को आंशिक रूप से प्रकृति में एक्सट्रालॉजिकल माना जाने लगा है। विलार्ड वान ऑरमैन क्विन के बाद के विचार का प्रभाव माना जाने लगा है।

इस प्रकार कर्ट गोडेल के गोडेल की अपूर्णता प्रमेय से पता चलता है कि कोई भी औपचारिक प्रणाली जिससे नेचुरल संख्याएं के लिए पीनो स्वयं सिद्ध प्राप्त नहीं किया जा सकता है - जैसे कि पीएम में रसेल की प्रणाली - उस प्रणाली के सभी अच्छी प्रकार से गठित वाक्यों का निर्णय नहीं कर सकती है। इस परिणाम ने गणित की नींव के लिए डेविड हिल्बर्ट के फलन को नुकसान पहुंचाया, जिसके अनुसार 'अनंत' सिद्धांतों - जैसे कि पीएम - को अंतिम सिद्धांतों से सुसंगत सिद्ध किया जाना था, इस उद्देश्य से कि 'अनंत विधियों ' के बारे में असहज लोगों को आश्वस्त किया जा सके कि उनका उपयोग सिद्ध होना चाहिए, किसी विरोधाभास की व्युत्पत्ति नहीं होती। गोडेल के परिणाम से पता चलता है कि तर्कशास्त्री स्थिति को बनाए रखने के लिए, शास्त्रीय गणित को यथासंभव बरकरार रखते हुए, किसी को तर्क के भाग के रूप में अनंत के कुछ सिद्धांतों को स्वीकार करना चाहिए। प्रथम दृष्टया, यह तर्कवादी फलन को भी नुकसान पहुँचाता है, भले ही केवल उन लोगों के लिए जो पहले से ही 'अनंत विधियों ' के बारे में संदिग्ध हों। प्रत्येक दशा में, गोडेल के परिणाम के प्रकाशन के बाद से तर्कवाद और हिल्बर्टियन फ़िनिटिज़्म दोनों से प्राप्त पदों का प्रतिपादन जारी है।

इस प्रकार तर्क कि तर्कवाद से प्राप्त फलन वैध रहते हैं, वह यह हो सकता है कि अपूर्णता प्रमेय 'किसी भी अन्य प्रमेयों की प्रकार ही तर्क के साथ सिद्ध होते हैं'। चूंकि , ऐसा प्रतीत होता है कि वह तर्क प्रथम-क्रम तर्क के प्रमेयों और उच्च-क्रम तर्क के प्रमेयों के बीच अंतर को स्वीकार नहीं करता है। पूर्व को अंतिम विधियों का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है, जबकि बाद वाला - सामान्यतः - नहीं किया जा सकता है। टार्स्की की अपरिभाषितता प्रमेय से पता चलता है कि गोडेल नंबरिंग का उपयोग वाक्यात्मक निर्माणों को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है, किन्तु अर्थ संबंधी प्रमाणो को नहीं। इसलिए, यह प्रमाणित कि तर्कवाद वैध फलन बना हुआ है, किसी को यह मानने के लिए प्रतिबद्ध कर सकता है कि नेचुरल संख्याएं के अस्तित्व और गुणों पर आधारित प्रमाण की प्रणाली किसी विशेष औपचारिक प्रणाली पर आधारित प्रणाली की समानता में कम विश्वसनीय है।

तर्कवाद - विशेष रूप से रसेल और विट्गेन्स्टाइन पर फ़्रीज के प्रभाव के माध्यम से और बाद में ड्यूमेट - बीसवीं सदी के समय विश्लेषणात्मक दर्शन के विकास में महत्वपूर्ण योगदानकर्ता था।

'तर्कवाद' नाम की उत्पत्ति

आइवर ग्राटन-गिनीज का कहना है कि फ्रांसीसी शब्द 'लॉजिस्टिक' को 1904 के विश्व दर्शनशास्त्र कांग्रेस में लुई कॉटुरेट और अन्य लोगों द्वारा प्रस्तुत किया गया था, और तब से रसेल और अन्य लोगों द्वारा विभिन्न भाषाओं के लिए उपयुक्त संस्करणों में इसका उपयोग किया गया था। (जी-जी 2000:501)।

सामान्यतः रसेल द्वारा पहला (और एकमात्र) उपयोग उनके 1919 में दिखाई दिया: रसेल ने फ़्रीज को कई बार संदर्भित किया, उन्हें ऐसे विशिष्ट के रूप में प्रस्तुत किया जो 'गणित को तार्किक बनाने में सबसे पहले सफल हुआ' (पृष्ठ 7)। गलतबअर्थात के अतिरिक्त (जिसे रसेल ने गणित में अंकगणित की भूमिका के बारे में अपने स्वयं के दृष्टिकोण को समझाकर आंशिक रूप से ठीक किया था), यह परिच्छेद उस शब्द के लिए उल्लेखनीय है जिसे उन्होंने उद्धरण चिह्नों में रखा था, किन्तु उनकी उपस्थिति घबराहट का संकेत देती है, और उन्होंने फिर कभी इस शब्द का उपयोग नहीं किया। , जिससे 'तर्कवाद' 1920 के दशक के उत्तरार्ध तक उभर न सके (जी-जी 2002:434)।

रुडोल्फ कार्नाप (1929) के लगभग उसी समय, किन्तु स्पष्ट रूप से स्वतंत्र रूप से, फ्रेंकेल (1928) ने इस शब्द का उपयोग किया: बिना किसी टिप्पणी के उन्होंने व्हाइटहेड/रसेल स्थिति को चित्रित करने के लिए 'तर्कवाद' नाम का उपयोग किया (पृष्ठ 244 पर अनुभाग के शीर्षक में) , पृष्ठ 263 पर स्पष्टीकरण) (जी-जी 2002:269)। कार्नैप ने थोड़ा अलग शब्द 'लॉजिस्टिक' का उपयोग किया; बेहमैन ने कार्नैप की पांडुलिपि में इसके उपयोग के बारे में शिकायत की, इसलिए कार्नैप ने 'लॉजिज्मस' शब्द का प्रस्ताव रखा, किन्तु वह अंततः अपने शब्द-चयन 'लॉजिस्टिक' (जी-जी 2002:501) पर अड़े रहे। अंततः 1930 के बाद से इसका प्रसार मुख्य रूप से कार्नैप के कारण हुआ। (जी-जी 2000:502)।

तर्कवाद का निर्णय , या लक्ष्य

इस प्रकार तर्कवाद का प्रत्यक्ष उद्देश्य संपूर्ण गणित को प्रतीकात्मक तर्क (फ़्रिज, डेडेकाइंड, पीनो, रसेल) से प्राप्त करना है। बीजगणितीय तर्क (बूलियन तर्क) के विपरीत, जो अंकगणितीय अवधारणाओं को नियोजित करता है, प्रतीकात्मक तर्क बहुत कम अंकों के समुच्चय (अन्य ) से प्रारंभ होता है। -अंकगणितीय प्रतीक), कुछ तार्किक सिद्धांत जो विचार के नियमों को मूर्त रूप देते हैं, और अनुमान के नियम जो यह निश्चित करते हैं कि अंकों को कैसे इकट्ठा किया जाए और हेरफेर किया जाए - उदाहरण के लिए प्रतिस्थापन और मूड समुच्चय करना (अर्थात [1] a से भौतिक रूप से b और [का तात्पर्य है) 2] a, कोई b प्राप्त कर सकता है)। तर्कवाद भी फ्रेज के आधारभूत कार्य से प्राकृतिक भाषा के कथनों को विषय से घटाकर या तो प्रस्तावात्मक परमाणुओं या तर्क के सामान्यीकरण के कार्य में अपनाता है - सभी, कुछ, वर्ग (संग्रह, समुच्चय) और संबंध की धारणाएं है।

नेचुरल संख्याएं और उनके गुणों की तर्कवादी व्युत्पत्ति में, संख्या का कोई भी अंतर्ज्ञान या तो सिद्धांत के रूप में या दुर्घटनावश नहीं आना चाहिए। लक्ष्य गिनती की संख्याओं और फिर वास्तविक संख्याओं से प्रारंभ करके, केवल विचार के कुछ चुने हुए नियमों से, पहले और बाद या कम और अधिक या बिंदु तक: उत्तराधिकारी और पूर्ववर्ती की किसी भी मौन धारणा के बिना, सभी गणित को प्राप्त करना है। गोडेल 1944 ने अंतर्ज्ञानवाद और औपचारिकता (गणित के दर्शन) (हिल्बर्ट स्कूल) की मूलभूत प्रणालियों में निर्माणों की समानता में रसेल के तार्किक निर्माणों का सारांश इस प्रकार दिया: ये दोनों स्कूल अपने निर्माणों को गणितीय अंतर्ज्ञान पर आधारित करते हैं जिसका परिहार वास्तव में इनमें से है रसेल के रचनावाद (गणित का दर्शन) के प्रमुख उद्देश्य (कलेक्टेड वर्क्स 1990:119 में गोडेल 1944) रहा है।

इतिहास

गोडेल 1944 ने लिबनिज की कैरेक्टरिस्टिका युनिवर्सलिस से लेकर फ्रेज और पीनो से होते हुए रसेल तक की ऐतिहासिक पृष्ठभूमि को संक्षेप में प्रस्तुत किया: फ्रेज मुख्य रूप से विचार के विश्लेषण में रुचि रखते थे और शुद्ध तर्क से अंकगणित प्राप्त करने के लिए सबसे पहले अपने कैलकुलस का उपयोग करते थे, जबकि पीनो को इसमें अधिक रुचि थी। गणित के अंतर्गत अनुप्रयोग. किन्तु यह केवल [रसेल की] प्रिंसिपिया मैथमैटिका ही थी जिसमें बहुत कम तार्किक अवधारणाओं और सिद्धांतों से गणित के बड़े भाग को वास्तव में प्राप्त करने के लिए नई पद्धति का पूरा उपयोग किया गया था। इसके अतिरिक्त , युवा विज्ञान को नए उपकरण, संबंधों के अमूर्त सिद्धांत (पृष्ठ 120-121) द्वारा समृद्ध किया गया था।

क्लेन 1952 इसे इस प्रकार बताता है: लीबनिज़ (1666) ने सबसे पहले तर्क को ऐसे विज्ञान के रूप में देखा जिसमें अन्य सभी विज्ञानों के अंतर्निहित विचार और सिद्धांत सम्मलित थे। डेडेकाइंड (1888) और फ़्रीज (1884, 1893, 1903) तार्किक अवधारणाओं के संदर्भ में गणितीय धारणाओं को परिभाषित करने में लगे हुए थे, और पीनो (1889, 1894-1908) गणितीय प्रमेयों को तार्किक प्रतीकवाद में व्यक्त करने में लगे हुए थे (पृष्ठ 43); पिछले पैराग्राफ में उन्होंने रसेल और व्हाइटहेड को तर्कवादी स्कूल के उदाहरण के रूप में सम्मलित किया है, अन्य दो मूलभूत स्कूल अंतर्ज्ञानवादी और औपचारिक या स्वयंसिद्ध स्कूल हैं। (पृष्ठ 43)

फ़्रीज 1879 ने अपने 1879 बेग्रिफ़्सक्रिफ्ट की प्रस्तावना में अपने निर्णय का वर्णन किया है: उन्होंने अंकगणित के विचार से प्रारंभ की: क्या यह तर्क से निकला या अनुभव के तथ्यों से?

मुझे सबसे पहले यह पता लगाना था कि केवल अनुमानों के माध्यम से, विचार के उन नियमों के एकमात्र समर्थन से, जो सभी विवरणों से परे हैं, अंकगणित में कितनी दूर तक आगे बढ़ा जा सकता है। मेरा प्रारंभिक कदम क्रम में क्रमबद्ध करने की अवधारणा को तार्किक परिणाम तक कम करने का प्रयास करना था, जिससे वहां से संख्या की अवधारणा की ओर आगे बढ़ा जा सके। किसी भी सहज ज्ञान युक्त चीज़ को यहां बिना ध्यान दिए प्रवेश करने से रोकने के लिए मुझे अनुमानों की श्रृंखला को अंतराल से मुक्त रखने के लिए हर संभव प्रयास करना पड़ा। . . मुझे भाषा की अपर्याप्तता बाधा लगी; इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि मैं कितने बोझिल भावों को स्वीकार करने के लिए तैयार था, जैसे-जैसे रिश्ते अधिक से अधिक जटिल होते गए, मैं उस सटीकता को प्राप्त करने में कम सक्षम होता गया जो मेरे उद्देश्य के लिए आवश्यक थी। यही कमी मुझे वर्तमान विचारधारा के विचार तक ले गयी। इसलिए, इसका पहला उद्देश्य हमें अनुमानों की श्रृंखला की वैधता का सबसे विश्वसनीय परीक्षण प्रदान करना है और हर उस पूर्वधारणा को इंगित करना है जो किसी का ध्यान नहीं जाने देने की कोशिश करती है (वैन हाइजेनोर्ट 1967:5 में फ़्रीज 1879)।

डेडेकाइंड 1887 ने अपने द नेचर एंड मीनिंग ऑफ नंबर्स के पहले संस्करण की 1887 की प्रस्तावना में अपने निर्णय का वर्णन किया है। उनका मानना ​​था कि सरलतम विज्ञान की नींव में; अर्थात्, तर्क का वह भाग जो संख्याओं के सिद्धांत से संबंधित है, ठीक से तर्क नहीं किया गया था - प्रमाण के योग्य किसी भी चीज़ को प्रमाण के बिना स्वीकार नहीं किया जाना चाहिए:

अंकगणित (बीजगणित, विश्लेषण) को तर्क के भाग के रूप में बोलने से मेरा तात्पर्य यह है कि मैं संख्या-अवधारणा को समिष्ट और समय की अंतर्ज्ञान की धारणाओं से पूरी प्रकार स्वतंत्र मानता हूं, कि मैं इसे विचार के नियमों का तत्काल परिणाम मानता हूं . . . संख्याएँ मानव मस्तिष्क की स्वतंत्र रचनाएँ हैं। . . [और] केवल संख्याओं के विज्ञान के निर्माण की विशुद्ध तार्किक प्रक्रिया के माध्यम से। . . क्या हम अंतरिक्ष और समय के बारे में अपनी धारणाओं को अपने दिमाग में बनाए गए इस संख्या-डोमेन के साथ संबंध में लाकर जांच करने के लिए सटीक रूप से तैयार हैं (डेडेकाइंड 1887 डोवर रिपब्लिकेशन 1963:31)।

पीनो 1889 ने अपने 1889 के अंकगणित के सिद्धांतों की प्रस्तावना में अपना निर्णय बताया है:

गणित की नींव से संबंधित प्रश्न, चूंकि हाल के दिनों में कई लोगों द्वारा हल किए गए हैं, फिर भी संतोषजनक समाधान का अभाव है। कठिनाई का मुख्य स्रोत भाषा की अस्पष्टता है। ¶ इसीलिए हमारे द्वारा उपयोग किए जाने वाले शब्दों की सावधानीपूर्वक जांच करना अत्यंत महत्वपूर्ण है। मेरा लक्ष्य इस परीक्षा को देना है (पीनो 1889 वैन हाइजेनोर्ट 1967:85 में)।

रसेल 1903 अपने 190 की प्रस्तावना में अपने निर्णय का वर्णन करता है गणित के 3 सिद्धांत:

वर्तमान कार्य के दो मुख्य उद्देश्य हैं। इनमें से एक, यह प्रमाण है कि सभी शुद्ध गणित विशेष रूप से बहुत कम संख्या में मौलिक तार्किक अवधारणाओं के संदर्भ में परिभाषित अवधारणाओं से संबंधित हैं, और इसके सभी प्रस्ताव बहुत कम संख्या में मौलिक तार्किक सिद्धांतों से निकाले जा सकते हैं (प्रस्तावना 1903:vi)।

वर्तमान कार्य की उत्पत्ति के बारे में कुछ शब्द चर्चा किए गए प्रश्नों के महत्व को दर्शाने का काम कर सकते हैं। लगभग छह साल पहले, मैंने डायनेमिक्स के दर्शन की जांच प्रारंभ की थी। . . . [दो प्रश्नों से - अंतरिक्ष के संबंधपरक सिद्धांत में त्वरण और पूर्ण गति] मुझे ज्यामिति के सिद्धांतों की फिर से जांच करने के लिए प्रेरित किया गया, वहां से निरंतरता और अनंत के दर्शन तक, और फिर, के अर्थ की अविष्कार करने की दृष्टि से कोई भी शब्द, प्रतीकात्मक तर्क के लिए (प्रस्तावना 1903:vi-vii)।

ज्ञानमीमांसा, सत्तामीमांसा और तर्कवाद

इस प्रकार डेडेकाइंड और पूछा की ज्ञानमीमांसा रसेल की समानता में कम अच्छी प्रकार से परिभाषित लगती है, किन्तु दोनों सरल प्रस्तावक कथनों (सामान्यतः विश्वास) से संबंधित विचार के पारंपरिक कानूनों को प्राथमिकता के रूप में स्वीकार करते प्रतीत होते हैं; यदि सामान्यीकरण आर द्वारा जुड़े व्यक्तियों x और y के बीच वर्गों और संबंधों (उदाहरण के लिए x R y) के सिद्धांत के साथ संवर्धित किया जाए तो ये विधि अपने आप में पर्याप्त होंगे।

डेडेकाइंड का तर्क 1 से प्रारंभ होता है। निम्नलिखित में मैं हमारे विचार की प्रत्येक वस्तु को वस्तु के रूप में समझता हूं; हम मनुष्य अपने मन की इन बातों पर चर्चा करने के लिए प्रतीकों का उपयोग करते हैं; कोई चीज़ पूरी प्रकार से उन सभी चीज़ों से निर्धारित होती है जो उसके बारे में पुष्टि की जा सकती हैं या सोची जा सकती हैं (पृ. 44)। अगले पैराग्राफ में डेडेकाइंड चर्चा करता है कि प्रणाली एस क्या है: यह समुच्चय, कई गुना, संबंधित तत्वों (चीजों) a, b, c की समग्रता है; उनका प्रमाणित है कि ऐसी प्रणाली एस. . . जैसे हमारे विचार की वस्तु वैसे ही वस्तु है (1); यह पूर्णतः तब निर्धारित होता है जब प्रत्येक वस्तु के संबंध में यह निर्धारित किया जाता है कि यह S का तत्व है या नहीं।* (पृ. 45, इटैलिक जोड़ा गया)। * फ़ुटनोट को इंगित करता है जहाँ वह कहता है कि:

क्रोनकर ने कुछ समय पहले (क्रेल्स जर्नल, खंड 99, पृ. 334-336) ने गणित में अवधारणाओं के मुक्त निर्माण पर कुछ सीमाएं लगाने का प्रयास किया है, जिन्हें मैं उचित नहीं मानता हूं (पृष्ठ 45)।

वास्तव में वह क्रोनकर द्वारा इन सीमाओं की आवश्यकता या केवल उपयुक्तता के कारणों को प्रकाशित करने की प्रतीक्षा कर रहा है (पृष्ठ 45)।

इस प्रकार लियोपोल्ड क्रोनकर, अपने प्रमाण के लिए प्रसिद्ध हैं कि भगवान ने पूर्णांक बनाए, बाकी सब मनुष्य का काम है उसके शत्रु थे, उनमें हिल्बर्ट भी सम्मलित था। हिल्बर्ट ने क्रोनकर को हठधर्मी कहा, इस सीमा तक कि वह पूर्णांक को उसके आवश्यक गुणों के साथ हठधर्मिता के रूप में स्वीकार करता है और पीछे मुड़कर नहीं देखता। और अपने चरम रचनावादी रुख को ब्रौवर के अंतर्ज्ञानवाद के साथ जोड़ा, दोनों पर व्यक्तिवाद का आरोप लगाया: यह विज्ञान के कार्य का भाग है कि वह हमें इच्छानुसार, भावना और आदत से मुक्त करे और हमें उस व्यक्तिवाद से बचाए जो पहले से ही क्रोनकर के विचारों में खुद को महसूस कर चुका है और मुझे ऐसा लगता है कि इसकी परिणति अंतर्ज्ञानवाद में होती है। हिल्बर्ट फिर कहते हैं कि गणित पूर्वधारणा रहित विज्ञान है। इसे पाने के लिए मुझे ईश्वर की आवश्यकता नहीं है, जैसा कि क्रोनकर को है। . . (पृ. 479).

इस प्रकार रसेल के दार्शनिक यथार्थवाद ने उन्हें ब्रिटिश आदर्शवाद के प्रतिकारक के रूप में कार्य किया, यूरोपीय बुद्धिवाद और ब्रिटिश अनुभववाद से उधार लिए गए अंशों के साथ होता है।। आरंभ करने के लिए, रसेल दो प्रमुख मुद्दों के बारे में यथार्थवादी थे: सार्वभौमिक और भौतिक वस्तुएं (रसेल 1912:xi)। रसेल के लिए, टेबल वास्तविक चीजें हैं जो पर्यवेक्षक रसेल से स्वतंत्र रूप से उपस्थित हैं। बुद्धिवाद प्राथमिक ज्ञान की धारणा में योगदान देगा, जबकि अनुभववाद अनुभवात्मक ज्ञान (अनुभव से प्रेरण) की भूमिका में योगदान देगा। रसेल प्राथमिक ज्ञान के विचार के लिए कांट को श्रेय देंगे, किन्तु वह कांट के घातक होने पर आपत्ति जताते हैं: [दुनिया के] तथ्यों को हमेशा तर्क और अंकगणित के अनुरूप होना चाहिए। यह कहना कि तर्क और अंकगणित का योगदान हमने किया है, इसका कोई तात्पर्य नहीं है (1912:87); रसेल ने निष्कर्ष निकाला कि हमारे पास जो प्राथमिक ज्ञान है वह चीजों के बारे में है, न कि केवल विचारों के बारे में (1912:89)। और इसमें रसेल की ज्ञानमीमांसा डेडेकाइंड की इस मान्यता से भिन्न प्रतीत होती है कि संख्याएँ मानव मस्तिष्क की स्वतंत्र रचनाएँ हैं (डेडेकाइंड 1887:31)

किन्तु जन्मजात के बारे में उनकी ज्ञानमीमांसा (तार्किक सिद्धांतों पर लागू होने पर वह प्राथमिकता शब्द को प्राथमिकता देते हैं, cf. 1912:74) जटिल है। वह आदर्शवाद सार्वभौमिकों के लिए दृढ़तापूर्वक, स्पष्ट रूप से समर्थन व्यक्त करेंगे (सीएफ. 1912:91-118) और वह निष्कर्ष निकालेंगे कि सच्चाई और झूठ सामने हैं; मन विश्वास पैदा करता है और जो विश्वास को सच बनाता है वह तथ्य है, और इस तथ्य में (असाधारण स्थितियों को छोड़कर) उस विशिष्ट का दिमाग सम्मलित नहीं होता है जिसके पास विश्वास है (1912:130)।

इस प्रकार रसेल ने ये ज्ञानमीमांसीय धारणाएँ कहाँ से प्राप्त कीं? वह हमें अपने 1903 के गणित के सिद्धांतों की प्रस्तावना में बताते हैं। ध्यान दें कि उनका प्रमाणित है कि यह विश्वास: एमिली खरगोश है, अस्तित्वहीन है, और फिर भी इस अस्तित्वहीन प्रस्ताव की सच्चाई किसी भी जानने वाले दिमाग से स्वतंत्र है; यदि एमिली वास्तव में खरगोश है, तो इस सत्य का तथ्य उपस्थित है कि रसेल या कोई अन्य दिमाग जीवित है या मृत है, और एमिली का खरगोश-हुड से संबंध अंतिम है:

दर्शन के मूलभूत प्रश्नों पर, मेरी स्थिति, इसकी सभी मुख्य विशेषताओं में, श्री जी. ई. मूर से ली गई है। मैंने उनसे प्रस्तावों की अन्य -अस्तित्ववादी प्रकृति (अस्तित्व पर जोर देने वाली घटनाओं को छोड़कर) और किसी भी जानने वाले दिमाग की उनकी स्वतंत्रता को स्वीकार कर लिया है; बहुलवाद भी, जो संसार को, अस्तित्वों और संस्थाओं दोनों को, परस्पर स्वतंत्र संस्थाओं की अनंत संख्या से बना मानता है, जिनके संबंध अंतिम हैं, और उनकी शर्तों या उनके द्वारा बनाए गए संपूर्ण के विशेषणों से कम नहीं किए जा सकते। . . . मेरी राय में, जिन सिद्धांतों का अभी उल्लेख किया गया है, वे गणित के किसी भी सहनीय रूप से संतोषजनक दर्शन के लिए काफी अपरिहार्य हैं, जैसा कि मुझे आशा है कि निम्नलिखित पृष्ठ दिखाएंगे। . . . औपचारिक रूप से, मेरा परिसर केवल मान लिया गया है; किन्तु तथ्य यह है कि वे गणित को सत्य होने की अनुमति देते हैं, जो कि अधिकांश वर्तमान दर्शन नहीं करते हैं, निश्चित रूप से उनके पक्ष में शक्तिशाली तर्क है। (प्रस्तावना 1903:viii)

1902 में रसेल ने फ़्रीज के ग्रुंडगेसमुच्चय्ज़ डेर अरिथमेटिक में दुष्चक्र (रसेल का विरोधाभास) की अविष्कार की, जो फ़्रीज के बेसिक लॉ V से लिया गया था और उन्होंने अपने 1903 के गणित के सिद्धांतों में इसे नहीं दोहराने का दृढ़ संकल्प किया था। अंतिम समय में जोड़े गए दो परिशिष्टों में उन्होंने अपने स्वयं के विपरीत फ्रेगे के सिद्धांत के विस्तृत विश्लेषण और विरोधाभास के समाधान दोनों के लिए 28 पृष्ठ समर्पित किए। किन्तु वह परिणाम को लेकर आशावादी नहीं थे:

वर्गों के स्थितियों में, मुझे स्वीकार करना होगा, मैं वर्ग की धारणा के लिए अपेक्षित शर्तों को पूरा करने वाली किसी भी अवधारणा को समझने में विफल रहा हूं। और विरोधाभास की चर्चा अध्याय x में की गई है। यह सिद्ध करता है कि कुछ गड़बड़ है, किन्तु यह क्या है, मैं अब तक इसका पता लगाने में असफल रहा हूं। (रसेल 1903 की प्रस्तावना:vi)

गोडेल अपने 1944 में 1903 के युवा रसेल से असहमत होंगे ([मेरा परिसर] गणित को सच होने की अनुमति देता है) किन्तु संभवतः ऊपर उद्धृत रसेल के कथन से सहमत होंगे (कुछ गड़बड़ है); रसेल का सिद्धांत गणित की संतोषजनक नींव पर पहुंचने में विफल रहा था: परिणाम अनिवार्य रूप से ऋणात्मक था; अर्थात इस प्रकार से प्रस्तुत की गई कक्षाओं और अवधारणाओं में गणित के उपयोग के लिए आवश्यक सभी गुण नहीं हैं (गोडेल 1944:132)।

रसेल इस स्थिति में कैसे पहुंचे? गोडेल का मानना ​​है कि रसेल ट्विस्ट के साथ आश्चर्यजनक यथार्थवादी है: वह रसेल के 1919:169 तर्क का हवाला देते हुए वास्तविक दुनिया से उतना ही चिंतित है जितना कि प्राणीशास्त्र (गोडेल 1944:120)। किन्तु उनका मानना ​​है कि जब उन्होंने किसी ठोस समस्या पर काम प्रारंभ किया, तो विश्लेषण की जाने वाली वस्तुएं (उदाहरण के लिए कक्षाएं या प्रस्ताव) जल्द ही अधिकांश भाग तार्किक कल्पनाओं में बदल गईं। . . [अर्थ] केवल इतना कि हमें उनके बारे में कोई प्रत्यक्ष धारणा नहीं है। (गोडेल 1944:120)

रसेल के तर्कवाद के ब्रांड से संबंधित अवलोकन में, पेरी टिप्पणी करते हैं कि रसेल यथार्थवाद के तीन चरणों से गुज़रे: चरम, मध्यम और रचनात्मक (पेरी 1997:xxv)। 1903 में वे अपनी चरम अवस्था में थे; 1905 तक वह अपने मध्यम चरण में होंगे। कुछ ही वर्षों में वह दुनिया के फर्नीचर के बुनियादी टुकड़ों के रूप में भौतिक या भौतिक वस्तुओं से दूर हो जाएगा। वहअपनी अगली पुस्तक अवर नॉलेज ऑफ द एक्सटर्नल वर्ल्ड [1914] (पेरी 1997:xxvi) में इंद्रिय-डेटा से इनका निर्माण करने का प्रयास करेंगे।

गोडेल 1944 में इन निर्माणों को नाममात्रवादी रचनावाद कहा जाएगा ... जिसे रसेल के अधिक कट्टरपंथी विचार, नो-क्लास सिद्धांत (पृष्ठ 125) से प्राप्त काल्पनिकवाद कहा जा सकता है:

जिसके अनुसार कक्षाएं या अवधारणाएं कभी भी वास्तविक वस्तुओं के रूप में उपस्थित नहीं होती हैं, और इन शब्दों वाले वाक्य केवल तभी सार्थक होते हैं क्योंकि उनकी व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है ... अन्य चीजों के बारे में बोलने का विधि (पृष्ठ 125)।

नीचे आलोचना अनुभागों में और अधिक देखें।

नेचुरल संख्याएं के तर्कवादी निर्माण का उदाहरण: प्रिंसिपिया में रसेल का निर्माण

इस प्रकार फ़्रीज और डेडेकाइंड का तर्कवाद रसेल के समान है, किन्तु विवरण में अंतर है (नीचे आलोचनाएं देखें)। कुल मिलाकर, नेचुरल संख्याएं की तार्किक व्युत्पत्तियाँ, उदाहरण के लिए, समुच्चय सिद्धांत ('Z') के लिए ज़र्मेलो के सिद्धांतों से प्राप्त व्युत्पत्तियों से भिन्न हैं। जबकि, Z से व्युत्पत्ति में, संख्या की परिभाषा उस प्रणाली के स्वयंसिद्ध का उपयोग करती है - युग्मन का स्वयंसिद्ध - जो क्रमित जोड़ी की परिभाषा की ओर ले जाता है - नेचुरल संख्याएं की व्युत्पत्ति की अनुमति देने वाले विभिन्न तर्कशास्त्री स्वयंसिद्ध प्रणालियों में कोई प्रत्यक्ष संख्या स्वयंसिद्ध उपस्थित नहीं है। . ध्यान दें कि किसी संख्या की परिभाषा प्राप्त करने के लिए आवश्यक स्वयंसिद्ध सिद्धांत किसी भी स्थितियों में समुच्चय सिद्धांत के लिए स्वयंसिद्ध प्रणालियों के बीच भिन्न हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, ZF और ZFC में, युग्मन का सिद्धांत, और इसलिए अंततः क्रमित जोड़े की धारणा अनंत के सिद्धांत और प्रतिस्थापन के सिद्धांत से व्युत्पन्न है और वॉन न्यूमैन अंकों की परिभाषा में आवश्यक है (किन्तु ज़र्मेलो नहीं) अंक), जबकि एनएफयू में फ़्रीज अंक ग्रंडगेसमुच्चय्ज़ में उनकी व्युत्पत्ति के अनुरूप विधि से प्राप्त किए जा सकते हैं।

प्रिंसिपिया, अपने अग्रदूत ग्रुंडगेसमुच्चय्ज़ की प्रकार , संख्याओं का निर्माण आदिम प्रस्तावों से प्रारंभ करता है जैसे वर्ग, प्रस्तावात्मक कार्य, और विशेष रूप से, समानता के संबंध (समरूपता: संग्रह के तत्वों को एक-से- पत्राचार में रखना) और क्रमबद्ध करना (समतुल्य वर्गों के संग्रह को क्रमबद्ध करने के लिए संबंध के उत्तराधिकारी का उपयोग करना)। तार्किक व्युत्पत्ति इस प्रकार से निर्मित कार्डिनल संख्याओं को नेचुरल संख्याएं के बराबर करती है, और ये सभी संख्याएँ ही प्रकार की होती हैं - वर्गों के वर्गों के रूप में - जबकि कुछ समुच्चय सैद्धांतिक निर्माणों में - उदाहरण के लिए वॉन न्यूमैन और ज़र्मेलो अंक - प्रत्येक संख्या उपसमुच्चय के रूप में इसका पूर्ववर्ती है। क्लेन निम्नलिखित का अवलोकन करता है। (क्लीन की धारणाएं (1) और (2) बताती हैं कि 0 के पास संपत्ति P है और N+1 के पास संपत्ति पी है जब भी N के पास संपत्ति पी है।)

यहां का दृष्टिकोण [क्रोनकर] की कहावत से बहुत अलग है कि 'भगवान ने पूर्णांक बनाए' और पीनो के संख्या और गणितीय प्रेरण के सिद्धांत], जहां हमने प्राकृतिक संख्या अनुक्रम की सहज अवधारणा की कल्पना की थी, और इससे प्राप्त किया था सिद्धांत है कि, जब भी नेचुरल संख्याएं का कोई विशेष गुण P इस प्रकार दिया जाता है कि (1) और (2), तो किसी भी प्राकृतिक संख्या में गुण P अवश्य होना चाहिए। (क्लीन 1952:44)।

नेचुरल संख्याएं के निर्माण के तर्कवादी फलन का महत्व रसेल के इस तर्क से मिलता है कि सभी पारंपरिक शुद्ध गणित नेचुरल संख्याएं से प्राप्त किया जा सकता है, यह बहुत हाल ही का अविष्कार है, चूंकि इस पर लंबे समय से संदेह था (1919:4)। वास्तविक संख्याओं की व्युत्पत्ति डेडेकाइंड कट सिद्धांत से प्राप्त होती है, जो तर्कसंगत संख्याओं में कटौती करती है, तर्कसंगत संख्याएँ स्वाभाविक रूप से प्राप्त होती हैं। चूंकि यह कैसे किया जाता है इसका उदाहरण उपयोगी है, यह पहले नेचुरल संख्याएं की व्युत्पत्ति पर निर्भर करता है। इसलिए, यदि नेचुरल संख्याएं की तार्किक व्युत्पत्ति में दार्शनिक कठिनाइयाँ दिखाई देती हैं, तो ये समस्याएँ हल होने तक फलन को रोकने के लिए पर्याप्त होनी चाहिए (नीचे आलोचनाएँ देखें)।

नेचुरल संख्याएं के निर्माण का प्रयास बर्नेज़ 1930-1931 द्वारा संक्षेपित किया गया है। किन्तु बर्नेज़ के संक्षेपण का उपयोग करने के अतिरिक्त , जो कुछ विवरणों में अधूरा है, रसेल के निर्माण के संक्षिप्त विवरण का प्रयास, जिसमें कुछ सीमित चित्रण सम्मलित हैं, नीचे दिया गया है:

प्रारंभिक

इस प्रकार रसेल के लिए, संग्रह (वर्ग) उचित नामों से निर्दिष्ट चीजों का समुच्चय है, जो प्रस्तावों (किसी चीज या चीजों के बारे में तथ्य का प्रमाणित) के परिणाम के रूप में आते हैं। रसेल ने इस सामान्य धारणा का विश्लेषण किया। वह वाक्यों में शब्दों से प्रारंभ करते हैं, जिसका उन्होंने इस प्रकार विश्लेषण किया:

रसेल के लिए, शब्द या तो चीजें या अवधारणाएं हैं: जो कुछ भी विचार का विषय हो सकता है, या किसी भी सही या गलत प्रस्ताव में हो सकता है, या के रूप में गिना जा सकता है, मैं शब्द कहता हूं। अतः यह दार्शनिक शब्दावली का सबसे व्यापक शब्द है। मैं इसके पर्यायवाची के रूप में इकाई, विशिष्ट और इकाई शब्दों का उपयोग करूंगा। पहले दो इस तथ्य पर जोर देते हैं कि प्रत्येक पद है, जबकि तीसरा इस तथ्य से लिया गया है कि प्रत्येक पद का अस्तित्व है, अर्थात कुछ अर्थों में है। आदमी, क्षण, संख्या, वर्ग, संबंध, कल्पना, या कुछ और जिसका उल्लेख किया जा सकता है, निश्चित रूप से शब्द होगा; और इस बात से इनकार करना कि फलां चीज शब्द है, हमेशा गलत होना चाहिए (रसेल 1903:43)

शब्दों के बीच, दो प्रकारों को अलग करना संभव है, जिन्हें मैं क्रमशः चीजें और अवधारणाएं कहूंगा; पहले वे शब्द हैं जो उचित नामों से संकेतित होते हैं, बाद वाले वे शब्द हैं जो अन्य सभी शब्दों से संकेतित होते हैं। . . अवधारणाओं के बीच, फिर से, कम से कम दो प्रकारों को प्रतिष्ठित किया जाना चाहिए, अर्थात् वे जो विशेषणों द्वारा इंगित किए जाते हैं और वे जो क्रिया द्वारा इंगित किए जाते हैं (1903:44)।

पहले प्रकार को अधिकांशतः विधेय या वर्ग-अवधारणाएँ कहा जाएगा; उत्तरार्द्ध हमेशा या लगभग हमेशा संबंध होते हैं। (1903:44)

मैं किसी प्रस्ताव की शर्तों के बारे में उन शब्दों के रूप में बात करूंगा, चाहे वे कितने ही असंख्य क्यों न हों, जो प्रस्ताव में होते हैं और उन विषयों के रूप में माने जा सकते हैं जिनके बारे में प्रस्ताव है। यह किसी प्रस्ताव की शर्तों की विशेषता है कि उनमें से किसी को भी किसी अन्य इकाई द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, बिना हमारे प्रस्ताव को समाप्त किए। इस प्रकार हम कहेंगे कि सुकरात मानव है, यह केवल पद वाला प्रस्ताव है; प्रस्ताव के शेष घटक में से क्रिया है, दूसरा विधेय है... . विधेय, क्रिया के अतिरिक्त अन्य अवधारणाएँ हैं, जो केवल पद या विषय वाले प्रस्तावों में होती हैं। (1903:45)

मान लीजिए कि किसी को किसी वस्तु की ओर इशारा करके कहना है: मेरे सामने 'एमिली' नाम की यह वस्तु महिला है। यह प्रस्ताव है, वक्ता के विश्वास का प्रमाणित है, जिसे बाहरी दुनिया के तथ्यों के खिलाफ परीक्षण किया जाना है: दिमाग सत्य या झूठ का निर्माण नहीं करता है। वे विश्वास पैदा करते हैं. . . जो चीज़ किसी विश्वास को सत्य बनाती है वह तथ्य है, और यह तथ्य (असाधारण स्थितियों को छोड़कर) किसी भी प्रकार से उस विशिष्ट के दिमाग को सम्मलित नहीं करता है जिसके पास विश्वास है (1912:130)। यदि कथन की जांच और तथ्य के साथ पत्राचार से, रसेल को पता चलता है कि एमिली खरगोश है, तो उसका कथन झूठा माना जाता है; यदि एमिली महिला मानव है (प्लेटो के बारे में डायोजनीज लार्टियस के उपाख्यान के अनुसार, रसेल पंखहीन दो पैर वाली महिला को मानव कहलाना पसंद करता है), तो उसका कथन सत्य माना जाता है।

वर्ग, वर्ग-अवधारणा के विपरीत, उन सभी शब्दों का योग या संयोजन है जिनमें दिए गए विधेय (1903 पृष्ठ 55) हैं। कक्षाओं को एक्सटेंशन (उनके सदस्यों को सूचीबद्ध करना) या निर्णय से निर्दिष्ट किया जा सकता है, अर्थात प्रस्ताव फलन द्वारा जैसे कि x u है या x v है। किन्तु यदि हम शुद्ध रूप से विस्तार लेते हैं, तो हमारी कक्षा को उसके शब्दों की गणना द्वारा परिभाषित किया जाता है, और यह विधि हमें अनंत कक्षाओं के साथ, जैसा कि प्रतीकात्मक तर्क करता है, निपटने की अनुमति नहीं देगा। इस प्रकार हमारी कक्षाओं को सामान्यतः अवधारणाओं द्वारा निरूपित वस्तुओं के रूप में माना जाना चाहिए, और इस सीमा तक निर्णय का दृष्टिकोण आवश्यक है। (1909 पृष्ठ 66)

वर्ग अवधारणा की विशेषता, जैसा कि सामान्य रूप से शब्दों से अलग है, यह है कि x प्रस्तावात्मक कार्य है जब, और केवल तभी, जब u वर्ग-अवधारणा है। (1903:56)

71. वर्ग को विस्तारात्मक या जानबूझकर परिभाषित किया जा सकता है। कहने का तात्पर्य यह है कि, हम उस प्रकार की वस्तु को परिभाषित कर सकते हैं जो वर्ग है, या उस प्रकार की अवधारणा जो वर्ग को दर्शाती है: यह इसका सटीक अर्थ हैइस संबंध में विस्तार और आशय का विरोध। किन्तु यद्यपि सामान्य धारणा को इस दो-तरफा विधि से परिभाषित किया जा सकता है, विशेष वर्गों को, जब तक कि वे परिमित न हों, केवल जानबूझकर परिभाषित किया जा सकता है, अर्थात ऐसी और ऐसी अवधारणाओं द्वारा निरूपित वस्तुओं के रूप में। . . तर्क में; विस्तारित परिभाषा अनंत वर्गों पर समान रूप से लागू होती प्रतीत होती है, किन्तु व्यावहारिक रूप से, यदि हम इसका प्रयास करते हैं, तो मृत्यु अपने लक्ष्य को प्राप्त करने से पहले हमारे प्रशंसनीय प्रयास को छोटा कर देगी। (1903:69)

नेचुरल संख्याएं की परिभाषा

प्रिनिसिपिया में, प्राकृतिक संख्याएँ उन सभी प्रस्तावों से प्राप्त होती हैं जिन्हें संस्थाओं के किसी भी संग्रह के बारे में प्रमाणित किया जा सकता है। रसेल इसे नीचे दूसरे (इटैलिकाइज़्ड) वाक्य में स्पष्ट करते हैं।

सबसे पहले, संख्याएँ स्वयं अनंत संग्रह बनाती हैं, और इसलिए उन्हें गणना द्वारा परिभाषित नहीं किया जा सकता है। दूसरे समिष्ट पर, शब्दों की दी गई संख्या वाले संग्रह स्वयं संभवतः अनंत संग्रह बनाते हैं: उदाहरण के लिए, यह माना जाना चाहिए कि दुनिया में तिकड़ी का अनंत संग्रह है, क्योंकि यदि ऐसा नहीं होता तो कुल दुनिया में चीजों की संख्या सीमित होगी, जो संभव होते हुए भी असंभाव्य लगती है। तीसरे समिष्ट पर, हम संख्या को इस प्रकार परिभाषित करना चाहते हैं कि अनंत संख्याएँ संभव हो सकें; इस प्रकार हमें अनंत संग्रह में शब्दों की संख्या के बारे में बात करने में सक्षम होना चाहिए, और इस प्रकार के संग्रह को निर्णय से परिभाषित किया जाना चाहिए, अर्थात ऐसी संपत्ति द्वारा जो इसके सभी सदस्यों के लिए सामान्य और उनके लिए विशिष्ट हो। (1919:13)

स्पष्ट करने के लिए, निम्नलिखित सीमित उदाहरण पर विचार करें: मान लीजिए कि सड़क पर 12 परिवार हैं। कुछ के बच्चे हैं, कुछ के नहीं। इन घरों में बच्चों के नामों पर चर्चा करने के लिए 12 प्रस्तावों की आवश्यकता होती है, जिसमें कहा गया है कि बच्चे का नाम परिवार में बच्चे का नाम है एफएन, एफ1, एफ2, नाम वाले परिवारों की विशेष सड़क पर घरों के इस संग्रह पर लागू होता है। . . F12. 12 प्रस्तावों में से प्रत्येक इस बात पर विचार करता है कि बच्चे का नाम तर्क किसी विशेष घर के बच्चे पर लागू होता है या नहीं। प्रस्तावित फलन f(x) में बच्चों के नाम (बच्चे का नाम) को x के रूप में सोचा जा सकता है, जहां फलन परिवार में Fn नाम वाले बच्चे का नाम है।

जबकि पूर्ववर्ती उदाहरण सीमित संख्या में परिवारों की सीमित सड़क पर परिवार Fn' में बच्चों के सीमित प्रस्तावात्मक फलन चाइल्डनेम्स पर सीमित है, रसेल ने स्पष्ट रूप से अनंत डोमेन पर फैले सभी प्रस्तावात्मक कार्यों का विस्तार करने का निर्णय किया है जिससे अनुमति दी जा सके सभी संख्याओं का निर्माण किया है.

क्लेन का मानना ​​है कि रसेल ने अव्यवस्थितता परिभाषा निर्धारित की है जिसे उसे हल करना होगा, या रसेल विरोधाभास जैसा कुछ प्राप्त करने का जोखिम उठाना होगा। इसके अतिरिक्त यहां हम प्राकृतिक संख्या अनुक्रम की परिभाषा से पहले, तर्क में उपस्थित कार्डिनल संख्याओं के सभी गुणों की समग्रता का अनुमान लगाते हैं (क्लीन 1952:44)। समस्या यहां प्रस्तुत किए गए सीमित उदाहरण में भी दिखाई देगी, जब रसेल इकाई वर्ग से निपटता है (सीएफ. रसेल 1903:517)।

प्रश्न उठता है कि वास्तव में वर्ग क्या है या होना चाहिए। डेडेकाइंड और फ़्रीज के लिए, वर्ग अपने आप में विशिष्ट इकाई है, 'एकता' जिसे उन सभी संस्थाओं के साथ पहचाना जा सकता है जो कुछ प्रस्तावित फलन एफ को संतुष्ट करते हैं। (यह प्रतीकवाद रसेल में प्रकट होता है, जिसका श्रेय फ़्रीज को दिया जाता है: सार फलन का वह भाग है जो x हटा दिए जाने पर बचता है, अर्थात उपरोक्त उदाहरण में, 2( )³+( ). तर्क x फलन से संबंधित नहीं है, किन्तु दोनों मिलकर संपूर्ण बनाते हैं (ib. p. 6 [अर्थात फ़्रीज का 1891 फलन अंड बेग्रिफ़] (रसेल 1903:505)।) उदाहरण के लिए, विशेष एकता को नाम दिया जा सकता है ; मान लीजिए कि परिवार Fα में एनी, बार्बी और चार्ल्स नाम वाले बच्चे हैं:

{ a, b, c }_Fα

वस्तु के रूप में संग्रह या वर्ग की यह धारणा, जब बिना किसी प्रतिबंध के उपयोग की जाती है, तो रसेल के विरोधाभास का परिणाम होता है; अव्यवहारिकता के बारे