एटलस (टोपोलॉजी)

गणित में, विशेष रूप से टोपोलॉजी में, एक एटलस का उपयोग करते हुए कई गुना वर्णन करता है। एक एटलस में अलग-अलग चार्ट होते हैं, जो मोटे तौर पर बोलते हैं, कई गुना अलग-अलग क्षेत्रों का वर्णन करते हैं। यदि कई गुना पृथ्वी की सतह है, तो एटलस का अधिक सामान्य अर्थ है। सामान्य तौर पर, एटलस की धारणा कई गुना और संबंधित संरचनाओं जैसे वेक्टर बंडलों और अन्य फाइबर बंडलों की औपचारिक परिभाषा को रेखांकित करती है।

चार्ट

एटलस की परिभाषा चार्ट की धारणा पर निर्भर करती है। टोपोलॉजिकल स्पेस एम के लिए एक 'चार्ट' (जिसे 'समन्वय चार्ट', 'समन्वय पैच', 'समन्वय मानचित्र', या 'स्थानीय फ्रेम' भी कहा जाता है) एक होमियोमोर्फिज्म है $\varphi$ एम के खुले सेट यू से यूक्लिडियन अंतरिक्ष के खुले उपसमुच्चय तक। चार्ट पारंपरिक रूप से आदेशित जोड़ी के रूप में दर्ज किया गया है $(U,\varphi )$ .

== एटलस == की औपचारिक परिभाषा टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए एटलस $M$ एक अनुक्रमित परिवार है $\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha }):\alpha \in I\}$ चार्ट पर $M$ कौन सा कवर (टोपोलॉजी) $M$ (वह है, ${\textstyle \bigcup _{\alpha \in I}U_{\alpha }=M}$ ). यदि प्रत्येक चार्ट का कोडोमेन एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस है, तो $M$ एक एन-डायमेंशनल मैनिफोल्ड कहा जाता है।

एटलस का बहुवचन एटलस है, हालांकि कुछ लेखक एटलेंट का उपयोग करते हैं।^[1]^[2] एक एटलस $\left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}$ एक पर $n$ -आयामी कई गुना $M$ पर्याप्त एटलस कहा जाता है यदि प्रत्येक चार्ट की छवि (गणित) या तो है $\mathbb {R} ^{n}$ या $\mathbb {R} _{+}^{n}$ , $\left(U_{i}\right)_{i\in I}$ एक स्थानीय रूप से परिमित संग्रह का खुला आवरण है $M$ , तथा ${\textstyle M=\bigcup _{i\in I}\varphi _{i}^{-1}\left(B_{1}\right)}$ , कहाँ पे $B_{1}$ त्रिज्या 1 की खुली गेंद मूल बिंदु पर केंद्रित है और $\mathbb {R} _{+}^{n}$ बंद आधा स्थान है। हर दूसरा गणनीय कई गुना पर्याप्त एटलस स्वीकार करता है।^[3] इसके अलावा, अगर ${\mathcal {V}}=\left(V_{j}\right)_{j\in J}$ दूसरे गणनीय कई गुना का खुला आवरण है $M$ तो एक पर्याप्त एटलस है $\left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}$ पर $M$ ऐसा है कि $\left(U_{i}\right)_{i\in I}$ का शोधन है ${\mathcal {V}}$ .^[3]