यह अवकलन नियमों का सारांश है, अर्थात कलन में किसी फलन (गणित) के अवकलज की गणना के नियम।
विभेदन के प्राथमिक नियम जब तक अन्यथा न कहा जाए, सभी फलन वास्तविक संख्या के फलन हैं। वास्तविक संख्या (आर) जो वास्तविक मान लौटाते हैं; हालांकि अधिक आम तौर पर, नीचे दिए गए सूत्र उन सभी जगहों पर लागू होते हैं जहां वे अच्छी तरह से परिभाषित होते हैं[1] [2] [3]
स्थिर पद नियम के किसी भी मूल्य के लिए c {\displaystyle c} c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } f ( x ) {\displaystyle f(x)} f ( x ) = c {\displaystyle f(x)=c} d f d x = 0 {\displaystyle {\frac {df}{dx}}=0} [4]
प्रमाण होने देना c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } f ( x ) = c {\displaystyle f(x)=c}
f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h = lim h → 0 ( c ) − ( c ) h = lim h → 0 0 h = lim h → 0 0 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {(c)-(c)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}0\\&=0\end{aligned}}} यह दर्शाता है कि किसी स्थिर फलन का अवकलज 0 होता है।
===विभेद रैखिक=== है
किसी भी समारोह के लिए f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} h ( x ) = a f ( x ) + b g ( x ) {\displaystyle h(x)=af(x)+bg(x)} x {\displaystyle x} h ′ ( x ) = a f ′ ( x ) + b g ′ ( x ) . {\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x).}
d ( a f + b g ) d x = a d f d x + b d g d x . {\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.}
विशेष मामलों में शामिल हैं:
स्थिर कारक नियम ( a f ) ′ = a f ′ {\displaystyle (af)'=af'}
योग नियम ( f + g ) ′ = f ′ + g ′ {\displaystyle (f+g)'=f'+g'}
घटाव नियम ( f − g ) ′ = f ′ − g ′ . {\displaystyle (f-g)'=f'-g'.}
उत्पाद नियम कार्यों एफ और जी के लिए, एक्स के संबंध में फ़ंक्शन एच (एक्स) = एफ (एक्स) जी (एक्स) का व्युत्पन्न है
h ′ ( x ) = ( f g ) ′ ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) . {\displaystyle h'(x)=(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).}
लाइबनिज के अंकन में यह लिखा है
d ( f g ) d x = d f d x g + f d g d x . {\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}={\frac {df}{dx}}g+f{\frac {dg}{dx}}.}
श्रृंखला नियम समारोह का व्युत्पन्न h ( x ) = f ( g ( x ) ) {\displaystyle h(x)=f(g(x))}
h ′ ( x ) = f ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) . {\displaystyle h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).}
लीबनिज के अंकन में, इसे इस प्रकार लिखा गया है:
d d x h ( x ) = d d z f ( z ) | z = g ( x ) ⋅ d d x g ( x ) , {\displaystyle {\frac {d}{dx}}h(x)=\left.{\frac {d}{dz}}f(z)\right|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x),}
अक्सर संक्षिप्त किया जाता है
d h ( x ) d x = d f ( g ( x ) ) d g ( x ) ⋅ d g ( x ) d x . {\displaystyle {\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}.}
मानचित्रों की धारणा पर ध्यान केंद्रित करना, और अंतर मानचित्र होना
D {\displaystyle {\text{D}}} , इसे और अधिक संक्षिप्त तरीके से लिखा गया है:
[ D ( f ∘ g ) ] x = [ D f ] g ( x ) ⋅ [ D g ] x . {\displaystyle [{\text{D}}(f\circ g)]_{x}=[{\text{D}}f]_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]_{x}\,.}
उलटा कार्य नियम यदि समारोह f का उलटा कार्य है g , मतलब है कि g ( f ( x ) ) = x {\displaystyle g(f(x))=x} f ( g ( y ) ) = y , {\displaystyle f(g(y))=y,}
g ′ = 1 f ′ ∘ g . {\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}.}
लीबनिज नोटेशन में, इसे इस रूप में लिखा जाता है
d x d y = 1 d y d x . {\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}.}
पावर कानून, बहुपद, भागफल और पारस्परिक बहुपद या प्राथमिक शक्ति नियम अगर f ( x ) = x r {\displaystyle f(x)=x^{r}} r ≠ 0 , {\displaystyle r\neq 0,}
f ′ ( x ) = r x r − 1 . {\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}.} कब r = 1 , {\displaystyle r=1,} f ( x ) = x , {\displaystyle f(x)=x,} f ′ ( x ) = 1. {\displaystyle f'(x)=1.}
पारस्परिक नियम का व्युत्पन्न h ( x ) = 1 f ( x ) {\displaystyle h(x)={\frac {1}{f(x)}}} f है:
h ′ ( x ) = − f ′ ( x ) ( f ( x ) ) 2 {\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}} f शून्य नहीं है।लीबनिज के अंकन में, यह लिखा है
d ( 1 / f ) d x = − 1 f 2 d f d x . {\displaystyle {\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}.} व्युत्क्रम नियम या तो भागफल नियम से, या शक्ति नियम और श्रृंखला नियम के संयोजन से प्राप्त किया जा सकता है।
भागफल नियम अगरf औरg कार्य हैं, फिर:
( f g ) ′ = f ′ g − g ′ f g 2 {\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad } g अशून्य है।यह उत्पाद नियम और पारस्परिक नियम से प्राप्त किया जा सकता है।
सामान्यीकृत शक्ति नियम प्राथमिक शक्ति नियम काफी सामान्य करता है। सबसे सामान्य शक्ति नियम कार्यात्मक शक्ति नियम है: किसी भी कार्य के लिए f औरg ,
( f g ) ′ = ( e g ln f ) ′ = f g ( f ′ g f + g ′ ln f ) , {\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad } जहां भी दोनों पक्ष अच्छी तरह से परिभाषित हैं।
विशेष स्थितियां
अगर f ( x ) = x a {\textstyle f(x)=x^{a}\!} f ′ ( x ) = a x a − 1 {\textstyle f'(x)=ax^{a-1}} a कोई गैर-शून्य वास्तविक संख्या है औरx सकारात्मक है।
पारस्परिक नियम विशेष मामले के रूप में प्राप्त किया जा सकता है जहां g ( x ) = − 1 {\textstyle g(x)=-1\!} घातीय और लघुगणक कार्यों के डेरिवेटिव d d x ( c a x ) = a c a x ln c , c > 0 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={ac^{ax}\ln c},\qquad c>0} उपरोक्त समीकरण सभी के लिए सत्य है c , लेकिन के लिए व्युत्पन्न c < 0 {\textstyle c<0}
d d x ( e a x ) = a e a x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(e^{ax}\right)=ae^{ax}} d d x ( log c x ) = 1 x ln c , c > 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\log _{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>1} उपरोक्त समीकरण भी सभी के लिए सत्य हैc , लेकिन यदि एक सम्मिश्र संख्या देता है c < 0 {\textstyle c<0\!}
d d x ( ln x ) = 1 x , x > 0. {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0.} d d x ( ln | x | ) = 1 x , x ≠ 0. {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x},\qquad x\neq 0.} d d x ( W ( x ) ) = 1 x + e W ( x ) , x > − 1 e . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(W(x)\right)={1 \over {x+e^{W(x)}}},\qquad x>-{1 \over e}.\qquad } W ( x ) {\displaystyle W(x)} लैम्बर्ट डब्ल्यू समारोह हैd d x ( x x ) = x x ( 1 + ln x ) . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).} d d x ( f ( x ) g ( x ) ) = g ( x ) f ( x ) g ( x ) − 1 d f d x + f ( x ) g ( x ) ln ( f ( x ) ) d g d x , if f ( x ) > 0 , and if d f d x and d g d x exist. {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)f(x)^{g(x)-1}{\frac {df}{dx}}+f(x)^{g(x)}\ln {(f(x))}{\frac {dg}{dx}},\qquad {\text{if }}f(x)>0,{\text{ and if }}{\frac {df}{dx}}{\text{ and }}{\frac {dg}{dx}}{\text{ exist.}}} d d x ( f 1 ( x ) f 2 ( x ) ( . . . ) f n ( x ) ) = [ ∑ k = 1 n ∂ ∂ x k ( f 1 ( x 1 ) f 2 ( x 2 ) ( . . . ) f n ( x n ) ) ] | x 1 = x 2 = . . . = x n = x , if f i < n ( x ) > 0 and {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left(...\right)^{f_{n}(x)}}}\right)=\left[\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(f_{1}(x_{1})^{f_{2}(x_{2})^{\left(...\right)^{f_{n}(x_{n})}}}\right)\right]{\biggr \vert }_{x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x},{\text{ if }}f_{i<n}(x)>0{\text{ and }}} d f i d x exists. {\displaystyle {\frac {df_{i}}{dx}}{\text{ exists. }}}
लघुगणकीय व्युत्पन्न लॉगरिदमिक व्युत्पन्न एक फ़ंक्शन के लॉगरिदम को अलग करने के नियम को बताने का एक और तरीका है (श्रृंखला नियम का उपयोग करके):
( ln f ) ′ = f ′ f {\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad } f सकारात्मक है।लघुगणकीय विभेदीकरण एक ऐसी तकनीक है जो वास्तव में व्युत्पन्न को लागू करने से पहले कुछ भावों को सरल बनाने के लिए लघुगणक और इसके विभेदन नियमों का उपयोग करती है।[citation needed
लघुगणकों का उपयोग प्रतिपादकों को हटाने, उत्पादों को योगों में परिवर्तित करने और विभाजन को घटाव में परिवर्तित करने के लिए किया जा सकता है - जिनमें से प्रत्येक डेरिवेटिव लेने के लिए एक सरलीकृत अभिव्यक्ति का कारण बन सकता है।
त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव
( sin x ) ′ = cos x = e i x + e − i x 2 {\displaystyle (\sin x)'=\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}} ( arcsin x ) ′ = 1 1 − x 2 {\displaystyle (\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}
( cos x ) ′ = − sin x = e − i x − e i x 2 i {\displaystyle (\cos x)'=-\sin x={\frac {e^{-ix}-e^{ix}}{2i}}} ( arccos x ) ′ = − 1 1 − x 2 {\displaystyle (\arccos x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}
( tan x ) ′ = sec 2 x = 1 cos 2 x = 1 + tan 2 x {\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x} ( arctan x ) ′ = 1 1 + x 2 {\displaystyle (\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}}
( cot x ) ′ = − csc 2 x = − 1 sin 2 x = − 1 − cot 2 x {\displaystyle (\cot x)'=-\csc ^{2}x=-{1 \over \sin ^{2}x}=-1-\cot ^{2}x} ( arccot x ) ′ = 1 − 1 − x 2 {\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'={1 \over -1-x^{2}}}
( sec x ) ′ = sec x tan x {\displaystyle (\sec x)'=\sec {x}\tan {x}} ( arcsec x ) ′ = 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}
( csc x ) ′ = − csc x cot x {\displaystyle (\csc x)'=-\csc {x}\cot {x}} ( arccsc x ) ′ = − 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}
ऊपर दी गई तालिका में डेरिवेटिव तब होते हैं जब व्युत्क्रम छेदक की सीमा होती है [ 0 , π ] {\displaystyle [0,\pi ]\!} [ − π 2 , π 2 ] {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\!}
अतिरिक्त रूप से एक यह हमारे पास आया 2 को परिभाषित करना आम है, arctan ( y , x ) {\displaystyle \arctan(y,x)\!} [ − π , π ] {\displaystyle [-\pi ,\pi ]\!} ( x , y ) {\displaystyle (x,y)\!} x > 0 {\displaystyle x>0\!} arctan ( y , x > 0 ) = arctan ( y / x ) {\displaystyle \arctan(y,x>0)=\arctan(y/x)\!}
∂ arctan ( y , x ) ∂ y = x x 2 + y 2 {\displaystyle {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial y}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}} ∂ arctan ( y , x ) ∂ x = − y x 2 + y 2 . {\displaystyle {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial x}}={\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}.}
अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के डेरिवेटिव्स
( sinh x ) ′ = cosh x = e x + e − x 2 {\displaystyle (\sinh x)'=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}} ( arcsinh x ) ′ = 1 1 + x 2 {\displaystyle (\operatorname {arcsinh} x)'={1 \over {\sqrt {1+x^{2}}}}}
( cosh x ) ′ = sinh x = e x − e − x 2 {\displaystyle (\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}} ( arccosh x ) ′ = 1 x 2 − 1 {\displaystyle (\operatorname {arccosh} x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
( tanh x ) ′ = sech 2 x = 1 cosh 2 x = 1 − tanh 2 x {\displaystyle (\tanh x)'={\operatorname {sech} ^{2}x}={1 \over \cosh ^{2}x}=1-\tanh ^{2}x} ( arctanh x ) ′ = 1 1 − x 2 {\displaystyle (\operatorname {arctanh} x)'={1 \over 1-x^{2}}}
( coth x ) ′ = − csch 2 x = − 1 sinh 2 x = 1 − coth 2 x {\displaystyle (\coth x)'=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{1 \over \sinh ^{2}x}=1-\coth ^{2}x} ( arccoth x ) ′ = 1 1 − x 2 {\displaystyle (\operatorname {arccoth} x)'={1 \over 1-x^{2}}}
( sech x ) ′ = − sech x tanh x {\displaystyle (\operatorname {sech} x)'=-\operatorname {sech} {x}\tanh {x}} ( arcsech x ) ′ = − 1 x 1 − x 2 {\displaystyle (\operatorname {arcsech} x)'=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}
( csch x ) ′ = − csch x coth x {\displaystyle (\operatorname {csch} x)'=-\operatorname {csch} {x}\coth {x}} ( arccsch x ) ′ = − 1 | x | 1 + x 2 {\displaystyle (\operatorname {arccsch} x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}
इन डेरिवेटिव्स पर प्रतिबंधों के लिए हाइपरबोलिक फ़ंक्शंस # डेरिवेटिव्स देखें।
विशेष कार्यों के डेरिवेटिव्स गामा समारोह Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt} Γ ′ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t ln t d t = Γ ( x ) ( ∑ n = 1 ∞ ( ln ( 1 + 1 n ) − 1 x + n ) − 1 x ) = Γ ( x ) ψ ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma '(x)&=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt\\&=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)\\&=\Gamma (x)\psi (x)\end{aligned}}}
साथ ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} डिगामा समारोह होने के नाते, के दाईं ओर कोष्ठक अभिव्यक्ति द्वारा व्यक्त किया गया Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x)} रीमैन जीटा समारोह
ζ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n x {\displaystyle \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}} ζ ′ ( x ) = − ∑ n = 1 ∞ ln n n x = − ln 2 2 x − ln 3 3 x − ln 4 4 x − ⋯ = − ∑ p prime p − x ln p ( 1 − p − x ) 2 ∏ q prime , q ≠ p 1 1 − q − x {\displaystyle {\begin{aligned}\zeta '(x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \\&=-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\end{aligned}}}
इंटीग्रल के डेरिवेटिव्स मान लीजिए कि x फ़ंक्शन के संबंध में अंतर करना आवश्यक है
F ( x ) = ∫ a ( x ) b ( x ) f ( x , t ) d t , {\displaystyle F(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,} जहां कार्य करता है f ( x , t ) {\displaystyle f(x,t)} ∂ ∂ x f ( x , t ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)} t {\displaystyle t} x {\displaystyle x} ( t , x ) {\displaystyle (t,x)} a ( x ) ≤ t ≤ b ( x ) , {\displaystyle a(x)\leq t\leq b(x),} x 0 ≤ x ≤ x 1 {\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}} a ( x ) {\displaystyle a(x)} b ( x ) {\displaystyle b(x)} x 0 ≤ x ≤ x 1 {\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}} x 0 ≤ x ≤ x 1 {\displaystyle \,x_{0}\leq x\leq x_{1}}
F ′ ( x ) = f ( x , b ( x ) ) b ′ ( x ) − f ( x , a ( x ) ) a ′ ( x ) + ∫ a ( x ) b ( x ) ∂ ∂ x f ( x , t ) d t . {\displaystyle F'(x)=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt\,.} यह सूत्र लीबनिज अभिन्न नियम का सामान्य रूप है और इसका उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है
कैलकुलस का मौलिक प्रमेय ।
nवें क्रम के लिए डेरिवेटिव्स गणना के लिए कुछ नियम मौजूद हैं n -वें कार्यों का व्युत्पन्न, जहां n एक सकारात्मक पूर्णांक है। इसमे शामिल है:
ब्रूनो का सूत्र प्राप्त करें अगर f और g हैं n -समय अलग-अलग, फिर
d n d x n [ f ( g ( x ) ) ] = n ! ∑ { k m } f ( r ) ( g ( x ) ) ∏ m = 1 n 1 k m ! ( g ( m ) ( x ) ) k m {\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}}}
कहाँ
r = ∑ m = 1 n − 1 k m {\textstyle r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m}} और सेट
{ k m } {\displaystyle \{k_{m}\}} डायोफैंटाइन समीकरण के सभी गैर-नकारात्मक पूर्णांक समाधान शामिल हैं
∑ m = 1 n m k m = n {\textstyle \sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n} .
जनरल लीबनिज नियम अगर f और g हैं n -समय अलग-अलग, फिर
d n d x n [ f ( x ) g ( x ) ] = ∑ k = 0 n ( n k ) d n − k d x n − k f ( x ) d k d x k g ( x ) {\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)}
यह भी देखें संदर्भ
↑ Calculus (5th edition) , F. Ayres, E. Mendelson, Schaum's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-150861-2 .↑ Advanced Calculus (3rd edition) , R. Wrede, M.R. Spiegel, Schaum's Outline Series, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7 .↑ Complex Variables , M.R. Spiegel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161569-3 ↑ "विभेदीकरण नियम" . University of Waterloo - CEMC Open Courseware . Retrieved 3 May 2022 .
स्रोत और आगे पढ़ना ये नियम शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित में प्रारंभिक और उन्नत कलन दोनों पर कई पुस्तकों में दिए गए हैं। इस लेख में वे (उपर्युक्त संदर्भों के अतिरिक्त) में पाए जा सकते हैं:
सूत्रों और सारणियों की गणितीय पुस्तिका (तीसरा संस्करण), एस. लिप्सचुट्ज़, एम.आर. स्पीगेल, जे. लियू, शाउम की रूपरेखा श्रृंखला, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7 .
कैम्ब्रिज हैंडबुक ऑफ फिजिक्स फॉर्मूला, जी. वोन, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 .
भौतिकी और इंजीनियरिंग के लिए गणितीय तरीके, के.एफ. रिले, एमपी हॉब्सन, एस.जे. बेंस, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
गणितीय कार्यों की NIST हैंडबुक, F.W.J. Olver, D.W. Lozier, R.F. Boisvert, C.W. क्लार्क, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5 . बाहरी संबंध
