विचरण-कलन

भिन्नरूपों की कलन (या रूपांतर कलन) गणितीय विश्लेषण का क्षेत्र है जो विविधताओं का उपयोग करता है, जो कि फलन (गणित) में छोटे परिवर्तन हैं और कार्यात्मक (गणित), कार्यों के उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ को खोजने के लिए: फलन(गणित) के समूह से वास्तविक संख्या तक का तलरूप-मिति (गणित) हैं। कार्यात्मक प्रायः कार्यों और उनके यौगिक से जुड़े निश्चित अभिन्न के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। प्रकार्यों के कलन के यूलर-लैग्रेंज समीकरण का उपयोग करके कार्यात्मकताओं के उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ फलन पाए जा सकते हैं।

ऐसी समस्या का सरल उदाहरण दो बिंदुओं को जोड़ने वाली सबसे छोटी लंबाई का वक्र ज्ञात करना है। यदि कोई बाधाएँ नहीं हैं, तो समाधान बिंदुओं के बीच सीधी रेखा है। ऐसे समाधानों को अल्पान्तरी के रूप में जाना जाता है। एक संबंधित समस्या फ़र्मेट के सिद्धांत द्वारा उत्पन्न होती है: प्रकाश दो बिंदुओं को जोड़ने वाली सबसे छोटी चाक्षुष लंबाई के पथ का अनुसरण करता है, जो माध्यम की सामग्री पर निर्भर करता है। यांत्रिकी में संगत अवधारणा का सिद्धांत है।

कई महत्वपूर्ण समस्याओं में कई चरों के कार्य सम्मिलित होते हैं। लाप्लास समीकरण के लिए सीमा मूल्य समस्याओं के समाधान डिरिक्लेट के सिद्धांत को संतुष्ट करते हैं। पठार की समस्या के लिए न्यूनतम क्षेत्र की सतह खोजने की आवश्यकता होती है जो अंतरिक्ष में दिए गए समोच्च को फैलाती है: एक समाधान प्रायः साबुन के पानी में ढांचा को डुबो कर पाया जा सकता है। हालांकि इस तरह के प्रयोग करना अपेक्षाकृत आसान है, उनका गणितीय सूत्रीकरण सरल से बहुत दूर है: एक से अधिक स्थानीय रूप से न्यूनतम करने वाली सतह हो सकती है, और उनके पास नगण्य सांस्थिति हो सकती है।

इतिहास

कहा जा सकता है कि विविधताओं की गणना 1687 में न्यूटन की न्यूनतम प्रतिरोध समस्या से प्रारंभ हुई, इसके बाद जोहान बर्नौली(1696) द्वारा उठाई गई ब्राचिस्टोक्रोन वक्र समस्या आई। इसने तुरंत जैकब बर्नौली और गिलाउम डे ल'हॉपिटल का ध्यान आकर्षित किया। लेकिन लियोनहार्ड यूलर ने पहली बार इस विषय को विस्तृत किया, जो 1733 में प्रारंभ हुआ। जोसेफ-लुई लाग्रेंज सिद्धांत के लिए महत्वपूर्ण योगदान देने के लिए यूलर के काम से प्रभावित थे। यूलर द्वारा 19 वर्षीय लैग्रेंज के 1755 के काम को देखने के बाद, यूलर ने लैग्रेंज के विशुद्ध रूप से विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण के पक्ष में अपना आंशिक रूप से ज्यामितीय दृष्टिकोण छोड़ दिया और अपने 1756 के व्याख्यान एलिमेंटा कैलकुली वेरिएशनम में इस विषय का नाम बदल दिया।

एड्रियन मैरी लीजेंड्रे(1786) उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ के भेदभाव के लिए, पूरी तरह से संतोषजनक विधि निर्धारित की। आइजैक न्यूटन और गॉटफ्रीड लीबनिज ने भी इस विषय पर कुछ शुरुआती ध्यान दिया। इस भेदभाव के लिए विन्सेन्ज़ो ब्रुनाची(1810), कार्ल फ्रेडरिक गॉस(1829), सिमोन पॉइसन(1831), मिखाइल ओस्ट्रोग्रैडस्की(1834), और कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी(1837) योगदानकर्ताओं में से हैं। एक महत्वपूर्ण सामान्य कार्य पियरे फ्रेडरिक सर्रस(1842) का है जिसे कॉची(1844) द्वारा संघनित और सुधारा गया था। अन्य मूल्यवान ग्रंथ और संस्मरण झाड़ी(1849), जॉन हेविट जेललेट(1850), ओटो हेस्से(1857), अल्फ्रेड क्लेब्सच(1858), और लुईस बफेट कार्ल(1885) द्वारा लिखे गए हैं, लेकिन शायद सदी का सबसे महत्वपूर्ण काम विअरस्ट्रास का है। सिद्धांत पर उनका प्रसिद्ध पाठ्यक्रम युगांतरकारी है, और यह दावा किया जा सकता है कि वह इसे एक दृढ़ और निर्विवाद नींव पर रखने वाले पहले व्यक्ति थे। 1900 में प्रकाशित हिल्बर्ट की बीसवीं समस्या और हिल्बर्ट की तेईसवीं समस्या हिल्बर्ट समस्याओं ने आगे के विकास को प्रोत्साहित किया।

20वीं सदी में डेविड हिल्बर्ट, ऑस्कर बोल्ज़ा, गिल्बर्ट एम्स ब्लिस, एमी नोथेर, लियोनिडा टोनेली, हेनरी लेबेस्ग्यू और जैक्स हैडमार्ड सहित अन्य ने महत्वपूर्ण योगदान दिया।मारस्टन मोर्स ने विविधताओं की कलन को लागू किया जिसे अब मोर्स सिद्धांत कहा जाता है। लेव पोंट्रीगिन, आर. टाइरेल रॉकफेलर और एफ.एच. क्लार्क ने इष्टतम नियंत्रण सिद्धांत में विविधताओं की कलन के लिए नए गणितीय उपकरण विकसित किए।रिचर्ड बेलमैन की गतिशील प्रोग्रामिंग विविधताओं की कलन का एक विकल्प है।

एक्स्ट्रेमा

भिन्नरूपों की गणना कार्यात्मकताओं के उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ से संबंधित है। एक कार्यात्मक मानचित्र कार्य से स्केलर तक कार्यात्मक कार्यों के रूप में वर्णित किया गया है। कार्यात्मक तत्वों के संबंध में एक्स्ट्रेमा $y$ है जो किसी फलन के किसी दिए गए डोमेन पर परिभाषित फलन स्थान है। कार्यात्मक $J[y]$ कहा जाता है कि समारोह में चरम है $f$ यदि $\Delta J=J[y]-J[f]$ सभी के लिए एक ही चिन्ह(गणित) है $y$ के एक मनमाने ढंग से छोटे पड़ोस में $f.$ कार्यक्रम $f$ एक्स्ट्रीमल फलनया एक्स्ट्रीमल कहा जाता है। समाप्त $J[f]$ स्थानीय अधिकतम कहा जाता है यदि $\Delta J\leq 0$ मनमाने ढंग से छोटे पड़ोस में हर जगह $f,$ और एक स्थानीय न्यूनतम अगर $\Delta J\geq 0$ वहां। निरंतर कार्यों के एक कार्य स्थान के लिए, संबंधित कार्यों के एक्स्ट्रेमा को मजबूत एक्स्ट्रेमा या कमजोर एक्स्ट्रेमा कहा जाता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि निरंतर कार्यों के पहले व्युत्पन्न क्रमशः सभी निरंतर हैं या नहीं।

कार्यात्मकता के मजबूत और कमजोर एक्स्ट्रेमा दोनों निरंतर कार्यों के स्थान के लिए हैं, लेकिन मजबूत एक्स्ट्रेमा की अतिरिक्त आवश्यकता है कि अंतरिक्ष में कार्यों का पहला व्युत्पन्न निरंतर हो। इस प्रकार एक मजबूत चरम भी एक कमजोर चरम है, लेकिन बातचीत(तर्क) धारण नहीं कर सकती है। कमजोर एक्स्ट्रेमा को खोजने की तुलना में मजबूत एक्स्ट्रेमा को खोजना अधिक कठिन है। आवश्यकता और पर्याप्तता का एक उदाहरण जिसका उपयोग कमजोर एक्स्ट्रेमा को खोजने के लिए किया जाता है, वह है यूलर-लैग्रेंज समीकरण।