टौटोक्रोन वक्र

चार गेंदें अलग-अलग स्थिति से एक चक्रज वक्र नीचे स्लाइड करती हैं, लेकिन वे एक ही समय में तल पर पहुंचती हैं। नीला तीर वक्र के साथ बिंदुओं के त्वरण को दर्शाता है। शीर्ष पर समय-स्थिति आरेख है।

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टाटोक्रोन वक्र का प्रतिनिधित्व करने वाली वस्तुएँ

एक टॉटोक्रोन या आइसोक्रोन कर्व (यूनानी उपसर्ग से टॉटो- जिसका अर्थ है समान या आइसो- बराबर, और क्रोनो टाइम है ) वह कर्व है जिसके लिए किसी वस्तु द्वारा एकसमान गुरुत्व में घर्षण के बिना उसके निम्नतम बिंदु तक फिसलने में लगने वाला समय उसके शुरुआती बिंदु से स्वतंत्र होता है। वक्र एक चक्रज है, और गुरुत्वाकर्षण के समय त्वरण पर त्रिज्या के वर्गमूल (वृत्त जो चक्रवात उत्पन्न करता है) के वर्गमूल के बराबर होता है। टॉटोक्रोन वक्र ब्राचिस्टोक्रोन वक्र से संबंधित है, जो एक चक्रज भी है।

टॉटोक्रोन समस्या

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क्रिस्टियान ह्यूजेंस, ऑसिलेटिंग क्लॉक, 1673

पेक्वॉड के बाएं हाथ के ट्राय-पॉट में था, साबुन के पत्थर के साथ मेरे चारों ओर चक्कर लगाते हुए, मैं पहली बार परोक्ष रूप से इस उल्लेखनीय तथ्य से प्रभावित हुआ था, कि ज्यामिति में चक्रज के साथ-साथ चलने वाले सभी पिंड, उदाहरण के लिए मेरा साबुन का पत्थर, से नीचे उतरेंगे किसी भी बिंदु पर ठीक उसी समय में।

मोबी डिक हरमन मेलविल द्वारा, 1851

टौटोक्रोन समस्या, इस वक्र की पहचान करने का प्रयास, 1659 में क्रिस्टियान ह्यूजेंस द्वारा हल किया गया था। उन्होंने मूल रूप से 1673 में प्रकाशित अपने होरोलोजियम ऑस्किलेटोरियम में ज्यामितीय रूप से साबित किया था कि वक्र एक चक्रवात है।

एक चक्रज पर जिसकी धुरी लंबवत पर खड़ी होती है और जिसका शीर्ष तल पर स्थित होता है, अवतरण के समय, जिसमें शरीर चक्रवात पर किसी भी बिंदु से प्रस्थान करने के बाद शीर्ष पर सबसे निचले बिंदु पर पहुंचता है, प्रत्येक के बराबर होता है अन्य ...

चक्रज त्रिज्या $r$ के एक वृत्त पर बिंदु द्वारा दिया जाता है, जो एक वक्र का पता लगाता है, क्योंकि वृत्त x अक्ष के साथ घूमता है, जैसे:

$${\begin{aligned}x&=r(\theta -\sin \theta )\\y&=r(1-\cos \theta ),\end{aligned}}$$

ह्यूजेंस ने यह भी साबित किया कि अवतरण का समय उस समय के बराबर होता है, जब एक पिंड ऊर्ध्वाधर रूप से गिरने में उतना ही समय लेता है जितना कि वृत्त के व्यास के रूप में एक चक्र उत्पन्न करता है, जिसे $\pi /2$ से गुणा किया जाता है। आधुनिक शब्दों में, इसका अर्थ है, कि अवतरण का समय ${\textstyle \pi {\sqrt {r/g}}}$, है, जहाँ $r$ वृत्त की त्रिज्या है, जो चक्रवात उत्पन्न करता है, और $g$ पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण है, या अधिक सटीक रूप से, पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण त्वरण है।

विभिन्न आयामों के साथ पांच आइसोक्रोनस साइक्लोइडल पेंडुलम

बाद में इस समाधान का उपयोग ब्राचिस्टोक्रोन वक्र की समस्या को हल करने के लिए किया गया था। जोहान बर्नौली ने एक पेपर (एक्टा एरुडिटोरियम, 1697) में समस्या का समाधान किया।

File:CyloidPendulum.png

एक साइक्लोइडल पेंडुलम का योजनाबद्ध

टौटोक्रोन समस्या ह्यूजेंस द्वारा अधिक बारीकी से अध्ययन किया गया था जब यह महसूस किया गया था कि एक पेंडुलम, जो एक गोलाकार पथ का अनुसरण करता है, आइसोक्रोनस नहीं था और इस प्रकार उसकी पेंडुलम घड़ी अलग-अलग समय बताएगी, जो इस बात पर निर्भर करता है कि पेंडुलम कितनी दूर तक घूमता है। सही रास्ते का निर्धारण करने के बाद, क्रिस्टियान ह्यूजेन्स ने पेंडुलम घड़ियों को बनाने का प्रयास किया जो बॉब को निलंबित करने के लिए एक स्ट्रिंग का इस्तेमाल करते थे और स्ट्रिंग के शीर्ष के निकट गोलों को कसने के लिए टॉटोक्रोन वक्र के मार्ग को बदलते थे। ये प्रयास कई कारणों से अनुपयोगी साबित हुए। सबसे पहले, स्ट्रिंग का झुकाव घर्षण का कारण बनता है, दूसरा, समय की त्रुटियों के बहुत अधिक महत्वपूर्ण स्रोत थे जो किसी भी सैद्धांतिक सुधार को अभिभूत कर देते थे जो कि टौटोक्रोन वक्र पर यात्रा करने में मदद करता है। अंत में, एक पेंडुलम की "परिपत्र त्रुटि" कम हो जाती है, क्योंकि झूले की लंबाई कम हो जाती है, इसलिए घड़ी की अशुद्धि के इस स्रोत को बहुत कम कर सकता है।

बाद में, गणितज्ञ जोसेफ लुइस लाग्रेंज और लियोनहार्ड यूलर ने समस्या का एक विश्लेषणात्मक समाधान प्रदान किया।

लग्रांजी समाधान

यदि कण की स्थिति को सबसे कम बिंदु से आर्क की लंबाई s(t) द्वारा पैरामीट्रिज किया जाता है, तो गतिज ऊर्जा ${\dot {s}}^{2}.$ स्थितिज ऊर्जा ऊँचाई y(s).के समानुपाती होती है। वक्र एक समकालिक रेखा हो जाती है, यदि लैग्रेंजियन एक सरल आवर्त दोलक है तो : वक्र की ऊंचाई चाप की लंबाई के वर्ग के समानुपाती होनी चाहिए।

$y(s)=s^{2},$

जहां लंबाई की इकाइयों को बदलकर आनुपातिकता के स्थिरांक को 1 पर सेट किया गया है।

इस संबंध का विभेदक रूप है

${\begin{aligned}dy&=2s\,ds,\\dy^{2}&=4s^{2}\,ds^{2}=4y\left(dx^{2}+dy^{2}\right),\end{aligned}}$

जो s को हटा देता है और dx और dy के लिए अवकल समीकरण को छोड़ देता है। समाधान खोजने के लिए, x को y के संदर्भ में एकीकृत करें:

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dy}}&={\frac {\sqrt {1-4y}}{2{\sqrt {y}}}},\\x&=\int {\sqrt {1-4u^{2}}}\,du,\end{aligned}}$}}

जहां पे $u={\sqrt {y}}$. यह अभिन्न एक वृत्त के नीचे का क्षेत्र है, जिसे स्वाभाविक रूप से एक त्रिभुज और एक वृत्ताकार पच्चर में काटा जा सकता है:

${\begin{aligned}x&={\tfrac {1}{2}}u{\sqrt {1-4u^{2}}}+{\tfrac {1}{4}}\arcsin 2u,\\y&=u^{2}.\end{aligned}}$

यह देखने के लिए कि यह एक अजीब पैरामीट्रिज्ड साइक्लोइड है, जो कोण $\theta =\arcsin 2u$ को परिभाषित करके पारलौकिक और बीजगणितीय भागों को अलग करने के लिए परिवर्तनशील होता है

${\begin{aligned}8x&=2\sin \theta \cos \theta +2\theta =\sin 2\theta +2\theta ,\\8y&=2\sin ^{2}\theta =1-\cos 2\theta ,\end{aligned}}$

जो x, y और θ के पैमाने को छोड़कर मानक पैरामीट्रिजेशन है।

आभासी गुरुत्व समाधान

टौटोक्रोन समस्या का सबसे सरल समाधान है जो एक झुकाव के कोण और झुकाव पर एक कण द्वारा किए गए गुरुत्वाकर्षण के बीच सीधा संबंध करना है। 90° ऊर्ध्वाधर झुकाव पर एक कण पूर्ण गुरुत्वीय त्वरण $g$, से गुजरता है जबकि क्षैतिज तल पर एक कण शून्य गुरुत्वाकर्षण त्वरण से गुजरता है। मध्यवर्ती कोणों पर, कण द्वारा "वर्चुअल ग्रेविटी" के कारण त्वरण $$