सदिश कलन

Not to be confused with ज्यामितीय गणना or मैट्रिक्स गणना.

सदिश कलन, या सदिश विश्लेषण, मुख्य रूप से 3-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष $\mathbb {R} ^{3}.$ में सदिश क्षेत्र के व्युत्पन्न और अभिन्न अंग से संबंधित है सदिश कलन शब्द को कभी-कभी बहुविकल्पीय कलन के व्यापक विषय के समानार्थी के रूप में प्रयोग किया जाता है, जो सदिश कलन के साथ-साथ आंशिक व्युत्पन्न और एक से अधिक अभिन्न अंग भी विस्तृत करता है। सदिश कलन अवकलन ज्यामितीय में और आंशिक अवकलन समीकरण अध्ययन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। यह भौतिकी और इंजीनियरिंग में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र और द्रव प्रवाह के विवरण में।

सदिश कलन को 19वीं सदी के अंत में जे. विलार्ड गिब्स और ओलिवर हीविसाइड द्वारा चार का समुदाय विश्लेषण से विकसित किया गया था, और अधिकांश संकेतन और शब्दावली गिब्स और एडविन बिडवेल विल्सन ने अपनी 1901 की पुस्तक, सदिश एनालिसिस में स्थापित की थी। संकर उत्पादों का उपयोग करने वाले पारंपरिक रूप में, सदिश कलन उच्च आयामों को सामान्यीकृत नहीं करता है, जबकि ज्यामितीय बीजगणित का वैकल्पिक दृष्टिकोण जो बाहरी उत्पादों का उपयोग करता है (§ सामान्यीकरण के लिए नीचे देखें)।

मूल वस्तुएं

अदिश क्षेत्र

Main article: अदिश क्षेत्र

एक अदिश क्षेत्र एक अदिश (गणित) मान को अंतरिक्ष के प्रत्येक बिंदु से जोड़ता है। अदिश एक गणितीय संख्या है है जो एक भौतिकी मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है। अनुप्रयोगों में अदिश क्षेत्रों के उदाहरणों में पूरे अंतरिक्ष में तापमान वितरण, द्रव में दबाव वितरण, और स्पिन-शून्य क्वांटम क्षेत्र (स्केलर बोसॉन के रूप में जाना जाता है), जैसे हिग्स क्षेत्र शामिल हैं। ये क्षेत्र अदिश क्षेत्र सिद्धांत के विषय हैं।

सदिश क्षेत्र

Main article: सदिश क्षेत्र

एक सदिश क्षेत्र एक अंतरिक्ष (गणित) में प्रत्येक बिंदु के लिए एक सदिश (ज्यामिति) का एक

कार्यभार है। उदाहरण के लिए, विमान में एक सदिश क्षेत्र को दिए गए परिमाण और विमान में एक बिंदु से जुड़ी प्रत्येक दिशा के साथ तीरों के संग्रह के रूप में देखा जा सकता है। सदिश क्षेत्र अक्सर नमूना के लिए उपयोग किए जाते हैं, उदाहरण के लिए, पूरे अंतरिक्ष में एक गतिशील तरल पदार्थ की गति और दिशा, या चुंबकीय क्षेत्र या गुरुत्वाकर्षण बल जैसे कुछ बल की ताकत और दिशा, क्योंकि यह बिंदु से बिंदु में बदलती है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग एक रेखा पर किए गए कार्य (भौतिकी) की गणना के लिए किया जा सकता है।

सदिश और आभासीसदिश

अधिक विकसित उपचारों में, आभासीसदिश क्षेत्र औरआभासीअदिस क्षेत्र को अलग किया जाता है, जो सदिश क्षेत्र और अदिस क्षेत्र के समान होते हैं, इसके अतिरिक्त कि वे ओरिएंटेशन-रिवर्सिंग क्षेत्र के तहत साइन बदलते हैं: उदाहरण के लिए, सदिश क्षेत्र का कर्ल (गणित) एक है आभासीसदिश क्षेत्र, और यदि कोई सदिश क्षेत्र को दर्शाता है, तो कर्ल विपरीत दिशा में दर्शाता करता है। इस अंतर को ज्यामितीय बीजगणित में स्पष्ट और विस्तृत किया गया है, जैसा कि नीचे वर्णित है।

सदिश बीजगणित

Main article: सदिश बीजगणित § मूल गुण

सदिश कलन में बीजगणितीय (गैर-विभेदक) संचालन को सदिश बीजगणित के रूप में संदर्भित किया जाता है, जिसे सदिश स्थान के लिए परिभाषित किया जाता है और फिर विश्व स्तर पर सदिश क्षेत्र में लागू किया जाता है। बुनियादी बीजगणितीय संचालन में शामिल हैं:

सदिश कलन में संकेतन

संचालन	संकेतन	विवरण
सदिशजोड़	$\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}$	दो सदिशों का जोड़, एक सदिश प्राप्त करना।
अदिश गुणन	$a\mathbf {v}$	अदिश और सदिश का गुणन, सदिश प्राप्त करना।
बिंदु-गुणनफल	$\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}$	दो सदिशों का गुणन, एक अदिश प्राप्त करना।
संकर गुणन	$\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}$	में दो सदिशों का गुणन $\mathbb {R} ^{3}$, एक (आभासी ) वेक्टर उत्पन्न करना।

समान्यता उपयोग किए जाने वाले दो ट्रिपल उत्पाद भी हैं:

सदिश कलन तीन गुना उत्पाद

संचालन	संकेतन	विवरण
अदिश त्रिपक्षीय गुणनफल	$\mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$	गुणन बिंदु दो सदिशों के परस्पर गुणनफल का।
सदिश त्रिपक्षीय गुणनफल	$\mathbf {v} _{1}\times \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$	दो सदिश ों के संकर उत्पाद का संकर उत्पाद।

प्रचालक और प्रमेय

Main article: प्रचालक और प्रमेय

विभेदक प्रचालक

Main articles: प्रवणता, विचलन, कर्ल (गणित), and लाप्लासियन

सदिश कलन, अदिश या सदिश क्षेत्रों पर परिभाषित विभिन्न अवकल संकारकों का अध्ययन करता है, जो विशिष्ट रूप से डेल प्रचालक ($\nabla$), के संदर्भ में व्यक्त किए जाते हैं, जिसे नबला के नाम से भी जाना जाता है। तीन बुनियादी सदिश प्रचालक हैं:

सदिश प्रचालक में विभेदक

संचालन	संकेतन	विवरण	राष्ट्र समानता	कार्यक्षेत्र/श्रेणी
प्रवणता	$\operatorname {grad} (f)=\nabla f$	स्केलर क्षेत्र में परिवर्तन की दर और दिशा को मापता है।	अदिश गुणनफल	सदिश क्षेत्र को सदिश क्षेत्र में मापा करता है.
विचलन	$\operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F}$