प्रवणता

This article is about एक बहुभिन्नरूपी फ़ंक्शन का सामान्यीकृत व्युत्पन्न. For गणित में एक और प्रयोग, see ढलान. For कोण की एक समान वर्तनी वाली इकाई, see ग्रेडियन. For अन्य उपयोग, see प्रवणता (disambiguation).

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नीले तीरों द्वारा दर्शाया गया प्रवणता, स्केलर फलन के सबसे बड़े परिवर्तन की दिशा को दर्शाता है। फलन के मान ग्रेस्केल में दर्शाए जाते हैं और मान में सफेद (निम्न) से अंधेरे (उच्च) में वृद्धि होती है।

वेक्टर कैल्कुलस में, कई चर के स्केलर-मूल्यांकित विभेदक फलन f का प्रवणता वेक्टर क्षेत्र (या वेक्टर-मूल्यांकित प्रकार्य) है। $\nabla f$ जिसका मूल्य बिंदु पर $p$ है वेक्टर जिसका घटक $f$ के आंशिक यौगिक हैं $p$ वह इसके लिए $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$, इसकी प्रवणता है $\nabla f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ बिंदु पर परिभाषित किया गया है $p=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ एन-आयामी अंतरिक्ष में वेक्टर के रूप में

$\nabla f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}.$

नाबला प्रतीक $\nabla$ को ऊपर दिए गए त्रिभुज के रूप में लिखा गया है, "डेल" (Del) वेक्टर विभेदक प्रचालक को निर्दिष्ट करता है।

प्रवणता वेक्टर को "दिशा और सबसे तेजी से वृद्धि की दर" के रूप में व्याख्या की जा सकती है। यदि किसी फलन का प्रवणता किसी बिंदु p पर शून्य है, तो प्रवणता की दिशा वह दिशा है जिसमें कि फलन p से बहुत तेजी से बढ़ता है, और प्रवणता का परिमाण उस दिशा में वृद्धि की दर है, सबसे बड़ी निरपेक्ष दिशात्मक व्युत्पन्न। इसके अतिरिक्त एक बिंदु जहां कि प्रवणता शून्य वेक्टर है उसे अचल बिंदु कहते हैं। प्रवणता इस प्रकार इष्टतमीकरण सिद्धांत में एक बुनियादी भूमिका निभाता है, जहाँ यह प्रवणता आरोहण द्वारा प्रकार्य को अधिकतम करने के लिए प्रयुक्त होता है।

यह प्रवणता कुल व्युत्पन्न के दोहरे $df$: एक बिंदु पर प्रवणता का मान एक स्पर्शरेखा वेक्टर-प्रत्येक बिंदु पर एक वेक्टर होता है;जबकि एक बिंदु पर व्युत्पन्न का मान एक कोटिस्पर्शज्या वेक्टर-वैक्टर पर एक रेखीय प्रकार्य है। वे इस बात से संबंधित हैं कि एक बिंदु p पर f की प्रवणता के बिंदु उत्पाद का बिंदु, बिंदु V पर कार्य के p पर f के दिशात्मक व्युत्पन्न के बराबर होता है;अर्थात्,

${\textstyle \nabla f(p)\cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}(p)=df_{p}(\mathbf {v} )}$ प्रवणता विभिन्न सामान्यकरणों को विभिन्न स्तरों पर अधिक सामान्य कार्यों में मानती है; § सामान्यकरण देखें

अभिप्रेरण

एक ऐसे कमरे पर विचार करें जहाँ तापमान एक स्केलर , T द्वारा दिया जाता है, इसलिए प्रत्येक बिंदु पर (x, y, z) तापमान T(x, y, z) है, जो समय से स्वतंत्र होता है। कमरे के प्रत्येक बिंदु पर "T" का प्रवणता उस दिशा को दिखाएगा जिसमें तापमान तेजी से बढ़ता है, जो (x, y, z) से दूर होता है। प्रवणता का परिमाण इस दिशा में तापमान के बढ़ने की गति को निर्धारित करेगा।

एक सतह जिसकी समुद्री सतह की ऊंचाई (x, y) पर H(x, y) है उस पर विचार करें: एक बिंदु पर H का प्रवणता एक समतल वेक्टर है जो इस बिंदु पर सबसे तेज प्रवणता या श्रेणी की ओर इंगित करता है। उस बिंदु पर प्रवणता की ढलान प्रवणता वेक्टर के परिमाण द्वारा दी गई है।

प्रवणता का प्रयोग किसी डॉट उत्पाद को लेकर अदिश क्षेत्र की अन्य दिशाओं में परिवर्तन करने की बजाय उसका परिमाण मापने के लिए भी किया जा सकता है। मान लीजिए कि पहाड़ी पर सबसे तेज ढलान 40% है सीधी चढ़ाई वाली सड़क में 40% ढलान होता है, लेकिन पहाड़ी के चारों ओर एक कोण पर जाने वाली सड़क पर ढलान कम होगा। उदाहरण के लिए, यदि सड़क की ऊपरी दिशा से 60 डिग्री कोण पर है(जब दोनों दिशाओं को क्षैतिज तल पर प्रदर्शित किया जाता है) तो सड़क के किनारे की ढलान प्रवणता वेक्टर और यूनिट वेक्टर के बीच बिन्दु उत्पाद होगा जो कि सड़क पर 40 गुना 60 या 20% है।

सामान्यतया यदि पहाड़ी उच्चता फलन H विभेदकारी है तब बिंदु बिंदुकित का प्रवणता वेक्टर की दिशा में पहाडी का प्रवणता, इकाई वेक्टर के साथ H का दिशात्मक व्युत्पन्न प्रदान करता है।

संकेतन

बिंदु $a$ पर फलन $f$ की प्रवणता सामान्यता पर इस प्रकार लिखी जाती है $\nabla f(a)$। इसे निम्नलिखित में से किसी भी प्रकार के द्वारा दर्शाया जा सकता है:

• ${\vec {\nabla }}f(a)$ : परिणाम की वेक्टर प्रकृति पर जोर देने के लिए।
• grad f
• $\partial _{i}f$ तथा $f_{i}$ : आइंस्टीन संकेतन।

परिभाषा

File:3d-gradient-cos.svg

फलन का प्रवणता f(x,y) = −(cos²x + cos²y)² निचले तल पर एक प्रक्षेपित वेक्टर क्षेत्र के रूप में दर्शाया गया है।

एक अदिश फलन f(x₁, x₂, x₃, …, x_n) की प्रवणता (या प्रवणता वेक्टर क्षेत्र) को ∇f या →$f$ से निरूपित किया जाता है, जहां ∇ (नाबला) वेक्टर अंतर संकारक, डेल को दर्शाता है। प्रवणता का प्रतिनिधित्व करने के लिए अंकन ग्रैड grad f का भी सामान्यता पर उपयोग किया जाता है। $f$ के प्रवणता को अद्वितीय वेक्टर क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका डॉट उत्पाद प्रत्येक बिंदु x पर किसी भी वेक्टर v के साथ $f$ का दिशात्मक व्युत्पन्न है। अर्थात,

${\big (}\nabla f(x){\big )}\cdot \mathbf {v} =D_{\mathbf {v} }f(x)$

जहाँ पर दायां तरफ हाथ निदेशात्मक व्युत्पन्न होता है और उसे दर्शाने के कई तरीके हैं।औपचारिक रूप से, व्युत्पन्न प्रवणता के लिए दोहरी है; व्युत्पन्न के साथ संबंध देखें

जब प्रकार्य समय जैसे प्राचल पर भी निर्भर होता है तो प्रवणता से तात्पर्य केवल इसके स्थानिक व्युत्ग्राहकों के वेक्टर से होता है (विशेष प्रवणता देखें).

प्रवणता वेक्टर का परिमाण तथा दिशा विशेष निर्देशांक निरूपण से स्वतंत्र है।

कार्तीय निर्देशांक

त्रिआयामी कर्णनलिका निर्देशांक प्रणाली में, युक्लिडियन मेट्रिक के साथ, प्रवणता, यदि वह मौजूद है, दिया जाता है, तो निम्नलिखित है:

$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} ,$

जहां i, j, k मानक इकाई वैक्टर हैं क्रमशः x, y और z निर्देशांक के निर्देशों में उदाहरण के लिए, फलन की प्रवणता।

$f(x,y,z)=2x+3y^{2}-\sin(z)$

है

$\nabla f=2\mathbf {i} +6y\mathbf {j} -\cos(z)\mathbf {k} .$

कुछ अनुप्रयोगों में प्रवणता को आयताकार समन्वय प्रणाली में इसके घटकों के पंजर वेक्टर या स्तंभ वेक्टर के रूप में प्रदर्शित करने के लिए प्रथागत किया जाता है;यह लेख अनुक्रमणिका स्तंभ वेक्टर की परिपाटी के अनुसार है जबकि व्युत्पन्न एक पंक्ति वेक्टर है।

बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक

Main article: बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में डेल

बेलनाकार निर्देशांक में यूक्लिडियन मेट्रिक के साथ निर्देशांक, प्रवणता द्वारा दिया जाता है:

$\nabla f(\rho ,\varphi ,z)={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z},$

जहाँ पे ρ अक्षीय दूरी है, φ अज़ीमुथल या अज़ीमुथ कोण है, z अक्षीय निर्देशांक है, और e_ρ, e_φ और e_z निर्देशांक दिशाओं की ओर इशारा करते हुए इकाई वेक्टर हैं।

गोलाकार निर्देशांक में, प्रवणता द्वारा दिया जाता है:

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}f(r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}r}{\mathbf{e}}_r+\frac{1}{r}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{\mathbf{e}}_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}+\frac{1}{r\sin }$