सदिश क्षेत्र

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सदिश क्षेत्र का भाग (sin y, sin x)

सदिश गणना और भौतिकी में, सदिश क्षेत्र किसी समष्टि के प्रत्येक बिंदु पर सदिश का असाइनमेंट होता है, सामान्यतः यूक्लिडियन समष्टि $\mathbb {R} ^{n}$होता है। किसी समतल पर सदिश क्षेत्र को दिए गए परिमाण और दिशाओं वाले तीरों के संग्रह के रूप में देखा जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक समतल पर बिंदु से जुड़ा होता है। सदिश क्षेत्र का उपयोग प्रायः मॉडल करने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए, तीन आयामी समिष्ट में चलती तरल पदार्थ की गति और दिशा, जैसे कि वायु, या कुछ बल की शक्ति और दिशा, जैसे चुंबकीय क्षेत्र या गुरुत्वाकर्षण बल, क्योंकि यह एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक परिवर्तित होता है।

अवकल और अभिन्न कलन के तत्व स्वाभाविक रूप से सदिश क्षेत्रों तक विस्तारित होते हैं। जब सदिश क्षेत्र बल का प्रतिनिधित्व करता है, तो सदिश क्षेत्र का रेखा अभिन्न अंग पथ के साथ चलने वाले बल द्वारा किए गए फलन का प्रतिनिधित्व करता है, और इस व्याख्या के अंतर्गत ऊर्जा के संरक्षण को गणना के मौलिक प्रमेय की विशेष स्थिति के रूप में प्रदर्शित किया जाता है। सदिश क्षेत्र को उपयोगी रूप से समिष्ट में गतिशील प्रवाह के वेग का प्रतिनिधित्व करने के रूप में सोचा जा सकता है, और यह भौतिक अंतर्ज्ञान विचलन (जो प्रवाह की मात्रा में परिवर्तन की दर का प्रतिनिधित्व करता है) और कर्ल (जो प्रतिनिधित्व करता है) जैसी धारणाओं की ओर ले जाता है।

सदिश क्षेत्र वेक्टर-वैल्यू फलन की विशेष स्थिति है, जिसके डोमेन के आयाम का इसकी सीमा के आयाम से कोई संबंध नहीं है; उदाहरण के लिए, किसी समिष्ट वक्र की स्थिति सदिश को केवल परिवेशीय समष्टि के छोटे उपसमुच्चय के लिए परिभाषित किया गया है। इसी प्रकार, n निर्देशांक, n-आयामी यूक्लिडियन समष्टि में डोमेन पर सदिश क्षेत्र $\mathbb {R} ^{n}$ को वेक्टर-वैल्यू फलन के रूप में दर्शाया जा सकता है जो डोमेन के प्रत्येक बिंदु पर वास्तविक संख्याओं के n-टुपल को जोड़ता है। सदिश क्षेत्र का यह प्रतिनिधित्व समन्वय प्रणाली पर निर्भर करता है, और एक समन्वय प्रणाली से दूसरे में जाने में उचित प्रकार से परिभाषित परिवर्तन नियम (सदिश का सहप्रसरण और विरोधाभास) होता है।

सदिश क्षेत्र का वर्णन प्रायः यूक्लिडियन समष्टि के विवृत उपसमुच्चय पर की जाती है, किन्तु यह सतहों जैसे अन्य उपसमुच्चय पर भी समझ में आता है, जहां वे प्रत्येक बिंदु पर सतह पर स्पर्शरेखा वाले तीर को जोड़ते हैं (वक्रों की अवकल ज्यामिति)। सामान्यतः, सदिश क्षेत्र को भिन्न-भिन्न मैनिफोल्ड्स पर परिभाषित किया जाता है, जो ऐसे समष्टि होते हैं जो छोटे स्तर पर यूक्लिडियन समष्टि के जैसे दिखते हैं, किन्तु बड़े स्तर पर अधिक जटिल संरचना हो सकती है। इस सेटिंग में, सदिश क्षेत्र मैनिफोल्ड के प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा सदिश देता है (अर्थात, मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा बंडल का खंड)। सदिश क्षेत्र एक प्रकार का टेंसर क्षेत्र है।

परिभाषा

यूक्लिडियन समष्टि के उपसमुच्चय पर सदिश क्षेत्र

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Two representations of the same vector field: v(x, y) = −r. The arrows depict the field at discrete points, however, the field exists everywhere.

Rⁿ के उपसमुच्चय S को देखते हुए, सदिश क्षेत्र को मानक कार्टेशियन निर्देशांक में (x₁, …, x_n) में वेक्टर-वैल्यू फलन V: S → Rⁿ द्वारा दर्शाया जाता है। यदि V का प्रत्येक घटक सतत है तो V सतत सदिश क्षेत्र है। सुचारू सदिश क्षेत्र पर ध्यान केंद्रित करना सामान्य विषय है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक घटक सुचारू फलन है (किसी भी संख्या में भिन्न हो सकता है)। सदिश क्षेत्र को n-आयामी समष्टि के अंदर भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर सदिश निर्दिष्ट करने के रूप में देखा जा सकता है।

मानक संकेतन ${\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ निर्देशांक दिशाओं में इकाई सदिशों के लिए लिखना है। इन शब्दों में, प्रत्येक सहज सदिश क्षेत्र $V$ विवृत उपसमुच्चय पर $S$ को ${\mathbf {R} }^{n}$ के रूप में लिखा जा सकता है:

$\sum _{i=1}^{n}V_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}){\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$

कुछ सुचारु फलनों के लिए $V_{1},\ldots ,V_{n}$ पर $S$ है। इस अंकन का कारण यह है कि सदिश क्षेत्र सुचारु फलनों के समष्टि से स्वयं तक रेखीय मानचित्र निर्धारित करता है, $V\colon C^{\infty }(S)\to C^{\infty }(S)$, सदिश क्षेत्र की दिशा में अंतर करके दिया गया है।

उदाहरण: सदिश क्षेत्र $-x_{2}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+x_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}$ में मूल के चारों ओर वामावर्त घुमाव $\mathbf {R} ^{2}$ का वर्णन करता है यह दिखाने के लिए कि फलन $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ घूर्णी रूप से अपरिवर्तनीय है, गणना करें:

${\bigg (}-x_{2}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+x_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}{\bigg )}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=-x_{2}(2x_{1})+x_{1}(2x_{2})=0.$

दिए गए सदिश क्षेत्र V, W पर परिभाषित किया गया S और सुचारू फलन f पर S परिभाषित किया गया अदिश गुणन और सदिश जोड़ की संक्रियाएँ,

$$(fV)(p):=f(p)V(p)$$

$$(V+W)(p):=V(p)+W(p),$$

स्मूथ सदिश फ़ील्ड्स को स्मूथ फलन के रिंग पर मॉड्यूल में बनाएं, जहां फलन के गुणन को बिंदुवार परिभाषित किया गया है।

समन्वय परिवर्तन नियम

भौतिकी में, यूक्लिडियन सदिश को अतिरिक्त रूप से इस विषय से भिन्न किया जाता है कि जब कोई एक ही सदिश को भिन्न पृष्ठभूमि समन्वय प्रणाली के संबंध में मापता है तो उसके निर्देशांक कैसे परिवर्तित होते हैं। सदिश के परिवर्तन गुण सदिश को अदिश की साधारण सूची से, या सह सदिश से ज्यामितीय रूप से भिन्न इकाई के रूप में भिन्न करते हैं।

इस प्रकार, मान लीजिये (x₁, ..., x_n) कार्टेशियन निर्देशांक का विकल्प है, जिसके संदर्भ में सदिश V के घटक होते हैं:

$$V_{x}=(V_{1,x},\dots ,V_{n,x})$$

और मान लीजिए कि (y₁,...,और_n) अलग समन्वय प्रणाली को परिभाषित करने वाले x_i के n फलन हैं। फिर नए निर्देशांक में सदिश V के घटकों को परिवर्तन नियम को संतुष्ट करने की आवश्यकता होती है:

$$V_{i,y}=\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}$$