प्रवणता: Difference between revisions

Revision as of 16:02, 30 October 2022

नीले तीरों द्वारा दर्शाया गया प्रवणता, स्केलर फलन के सबसे बड़े परिवर्तन की दिशा को दर्शाता है। फलन के मान ग्रेस्केल में दर्शाए जाते हैं और मान में सफेद (निम्न) से अंधेरे (उच्च) में वृद्धि होती है।

वेक्टर कैल्कुलस में, कई चर के स्केलर-मूल्यांकित विभेदक फलन $f$ का प्रवणता वेक्टर क्षेत्र (या वेक्टर-मूल्यांकित प्रकार्य) है। $\nabla f$ जिसका मूल्य बिंदु पर $p$ है वेक्टर^{[lower-alpha 1]} जिसका घटक $f$ के आंशिक यौगिक हैं $p$ ^[1] वह इसके लिए $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ , इसकी प्रवणता है $\nabla f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ बिंदु पर परिभाषित किया गया है $p=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ एन-आयामी अंतरिक्ष में वेक्टर के रूप में^{[lower-alpha 2]}

\nabla f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}.

नाबला प्रतीक $\nabla$ को ऊपर दिए गए त्रिभुज के रूप में लिखा गया है, "डेल" (Del) वेक्टर विभेदक प्रचालक को निर्दिष्ट करता है।

प्रवणता वेक्टर को "दिशा और सबसे तेजी से वृद्धि की दर" के रूप में व्याख्या की जा सकती है। यदि किसी फलन का प्रवणता किसी बिंदु $p$ पर शून्य है, तो प्रवणता की दिशा वह दिशा है जिसमें कि फलन $p$ से बहुत तेजी से बढ़ता है, और प्रवणता का परिमाण उस दिशा में वृद्धि की दर है, सबसे बड़ी निरपेक्ष दिशात्मक व्युत्पन्न।^[2] इसके अतिरिक्त एक बिंदु जहां कि प्रवणता शून्य वेक्टर है उसे अचल बिंदु कहते हैं। प्रवणता इस प्रकार इष्टतमीकरण सिद्धांत में एक बुनियादी भूमिका निभाता है, जहाँ यह प्रवणता आरोहण द्वारा प्रकार्य को अधिकतम करने के लिए प्रयुक्त होता है।

यह प्रवणता कुल व्युत्पन्न के दोहरे $df$ : एक बिंदु पर प्रवणता का मान एक स्पर्शरेखा वेक्टर-प्रत्येक बिंदु पर एक वेक्टर होता है;जबकि एक बिंदु पर व्युत्पन्न का मान एक कोटिस्पर्शज्या वेक्टर-वैक्टर पर एक रेखीय प्रकार्य है।^{[lower-alpha 3]} वे इस बात से संबंधित हैं कि एक बिंदु $p$ पर $f$ की प्रवणता के बिंदु उत्पाद का बिंदु, बिंदु V पर कार्य के $p$ पर $f$ के दिशात्मक व्युत्पन्न के बराबर होता है;अर्थात्,

${\textstyle \nabla f(p)\cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}(p)=df_{p}(\mathbf {v} )}$ प्रवणता विभिन्न सामान्यकरणों को विभिन्न स्तरों पर अधिक सामान्य कार्यों में मानती है; § सामान्यकरण देखें

प्रेरणा

एक ऐसे कमरे पर विचार करें जहाँ तापमान एक स्केलर फील्ड, $T$ द्वारा दिया जाता है, इसलिए प्रत्येक बिंदु पर $(x, y, z)$ तापमान $T (x, y, z)$ है, जो समय से स्वतंत्र होता है।कमरे के प्रत्येक बिंदु पर " $T$ " का प्रवणता उस दिशा को दिखाएगा जिसमें तापमान तेजी से बढ़ता है, जो $(x, y, z)$ से दूर होता है। प्रवणता का परिमाण इस दिशा में तापमान के बढ़ने की गति को निर्धारित करेगा।

एक सतह जिसकी समुद्री सतह की ऊंचाई $(x, y)$ पर $H (x, y)$ है उस पर विचार करें: एक बिंदु पर $H$ का प्रवणता एक समतल वेक्टर है जो इस बिंदु पर सबसे तेज प्रवणता या श्रेणी की ओर इंगित करता है।उस बिंदु पर प्रवणता की ढलान प्रवणता वेक्टर के परिमाण द्वारा दी गई है।

प्रवणता का प्रयोग किसी डॉट उत्पाद को ले कर अदिश क्षेत्र की अन्य दिशाओं में परिवर्तन करने की बजाय उसका परिमाण मापने के लिए भी किया जा सकता है।मान लीजिए कि पहाड़ी पर सबसे तेज ढलान 40% हैसीधी चढ़ाई वाली सड़क में 40% ढलान होता है, लेकिन पहाड़ी के चारों ओर एक कोण पर जाने वाली सड़क पर ढलान कम होगा।उदाहरण के लिए, यदि सड़क की ऊपरी दिशा से 60 डिग्री कोण पर है (जब दोनों दिशाओं को क्षैतिज तल पर प्रदर्शित किया जाता है) तो सड़क के किनारे की ढलान प्रवणता वेक्टर और यूनिट वेक्टर के बीच बिन्दु उत्पाद होगा जो कि सड़क पर 40 गुना 60 या 20% है।

सामान्यतया यदि पहाड़ी उच्चता फलन $H$ विभेदकारी है तब बिंदु बिंदुकित का प्रवणता वेक्टर की दिशा में पहाडी का प्रवणता, इकाई वेक्टर के साथ $H$ का दिशात्मक व्युत्पन्न प्रदान करता है।

संकेतन

बिंदु $a$ पर फलन $f$ की प्रवणता सामान्यता पर इस प्रकार लिखी जाती है $\nabla f(a)$ । इसे निम्नलिखित में से किसी भी प्रकार के द्वारा दर्शाया जा सकता है:

${\vec {\nabla }}f(a)$ : परिणाम की वेक्टर प्रकृति पर जोर देने के लिए।
$grad f$
$\partial _{i}f$ तथा $f_{i}$ : आइंस्टीन संकेतन।

परिभाषा

File:3d-gradient-cos.svg

फलन का प्रवणता

f (x, y) = -(cos 2 x + cos 2 y) 2

निचले तल पर एक प्रक्षेपित वेक्टर क्षेत्र के रूप में दर्शाया गया है।

एक अदिश फलन $f (x 1, x 2, x 3, \dots, x n)$ की प्रवणता (या प्रवणता वेक्टर क्षेत्र) को $\nabla f$ या → $f$ से निरूपित किया जाता है, जहां $\nabla$ (नाबला) वेक्टर अंतर संकारक, डेल को दर्शाता है। प्रवणता का प्रतिनिधित्व करने के लिए अंकन ग्रैड $grad f$ का भी सामान्यता पर उपयोग किया जाता है। $f$ के प्रवणता को अद्वितीय वेक्टर क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका डॉट उत्पाद प्रत्येक बिंदु x पर किसी भी वेक्टर v के साथ $f$ का दिशात्मक व्युत्पन्न है। अर्थात,

{\big (}\nabla f(x){\big )}\cdot \mathbf {v} =D_{\mathbf {v} }f(x)

जहाँ पर दायां तरफ हाथ निदेशात्मक व्युत्पन्न होता है और उसे दर्शाने के कई तरीके हैं।औपचारिक रूप से, व्युत्पन्न प्रवणता के लिए दोहरी है; व्युत्पन्न के साथ संबंध देखें

जब प्रकार्य समय जैसे प्राचल पर भी निर्भर होता है तो प्रवणता से तात्पर्य केवल इसके स्थानिक व्युत्ग्राहकों के वेक्टर से होता है (स्पेशियल प्रवणता देखें).

प्रवणता वेक्टर का परिमाण तथा दिशा विशेष निर्देशांक निरूपण से स्वतंत्र है।^[3]^[4]

कार्तीय निर्देशांक

त्रिआयामी कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली में, युक्लिडियन मेट्रिक के साथ, प्रवणता, यदि वह मौजूद है, दिया जाता है, तो निम्नलिखित है:

\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} ,

जहां $i$ , $j$ , $k$ मानक इकाई वैक्टर हैं क्रमशः $x$ , $y$ और $z$ निर्देशांक के निर्देशों में उदाहरण के लिए, फलन की प्रवणता।

f(x,y,z)=2x+3y^{2}-\sin(z)

है

\nabla f=2\mathbf {i} +6y\mathbf {j} -\cos(z)\mathbf {k} .

कुछ अनुप्रयोगों में प्रवणता को आयताकार समन्वय प्रणाली में इसके घटकों के पंजर वेक्टर या स्तंभ वेक्टर के रूप में प्रदर्शित करने के लिए प्रथागत किया जाता है;यह लेख अनुक्रमणिका स्तंभ वेक्टर की परिपाटी के अनुसार है जबकि व्युत्पन्न एक पंक्ति वेक्टर है।

बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक

बेलनाकार निर्देशांक में यूक्लिडियन मेट्रिक के साथ निर्देशांक, प्रवणता द्वारा दिया जाता है:^[5]

\nabla f(\rho ,\varphi ,z)={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z},

जहाँ पे $ρ$ अक्षीय दूरी है, $φ$ अज़ीमुथल या अज़ीमुथ कोण है, $z$ अक्षीय निर्देशांक है, और $e ρ$ , $e φ$ और $e z$ निर्देशांक दिशाओं की ओर इशारा करते हुए इकाई वेक्टर हैं।

गोलाकार निर्देशांक में, प्रवणता द्वारा दिया जाता है:^[5]

\nabla f(r,\theta ,\varphi )={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi },

जहाँ $r$ रेडियल दूरी है, $φ$ अज़ीमुथल कोण है और $θ$ ध्रुवीय कोण है, और $e r$ , $e θ$ तथा $e φ$ फिर से स्थानीय इकाई वेक्टर हैं जो निर्देशांक दिशाओं (अर्थात सामान्यीकृत सहसंयोजक आधार) की ओर इशारा करते हैं।

अन्य ऑर्थोगोनल कोऑर्डिनेट सिस्टम में प्रवणता के लिए, ऑर्थोगोनल कोऑर्डिनेट्स (तीन आयामों में विभेदीय संकारक) देखें।

सामान्य निर्देशांक

हम सामान्य निर्देशांक, जो हम $x 1, \dots, x i, \dots, x n$ जहां एन डोमेन के आयाम की संख्या है पर विचार करें यहाँ, ऊपर सूचकांक निर्देशांक या घटक की सूची में स्थिति को दर्शाता है, इसलिए $x 2$ का संदर्भ है मात्रा $x$ वर्ग नहीं.सूचकांक चर $i$ एक मनमानी तत्व $x i$ संदर्भित करता है।आइंस्टीन संकेतन का उपयोग करके, प्रवणता तब के रूप में लिखा जा सकता है:

\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}g^{ij}\mathbf {e} _{j}

(ध्यान दें कि इसका दोहरा स्थान है

{\textstyle \mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\mathbf {e} ^{i}}

),

कहाँ पे $\mathbf {e} _{i}=\partial \mathbf {x} /\partial x^{i}$ तथा $\mathbf {e} ^{i}=\mathrm {d} x^{i}$ असामान्य स्थानीय वक्रीय निर्देशांक देखें सहसंयोजक और विरोधाभासी आधार क्रमशः, $g^{ij}$ मीट्रिक प्रदिश # उलटा मीट्रिक है, और आइंस्टीन सारांश सम्मेलन i और j पर योग का तात्पर्य है।

यदि निर्देशांक ओर्थोगोनल हैं तो हम सामान्यीकृत आधारों के संदर्भ में प्रवणता (और विभेदक रूप) को आसानी से व्यक्त कर सकते हैं, जिसे हम इस रूप में संदर्भित करते हैं ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}$ तथा ${\hat {\mathbf {e} }}^{i}$ , पैमाने के कारकों का उपयोग करना (जिन्हें लैमे गुणांक के रूप में भी जाना जाता है) $h_{i}=\lVert \mathbf {e} _{i}\rVert ={\sqrt {g_{ii}}}=1\,/\lVert \mathbf {e} ^{i}\rVert$ :

\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}g^{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}{\sqrt {g_{jj}}}=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {1}{h_{i}}}\mathbf {\hat {e}} _{i}

(तथा

{\textstyle \mathrm {d} f=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {1}{h_{i}}}\mathbf {\hat {e}} ^{i}}

),

जहां हम आइंस्टाइन नोटेशन का प्रयोग नहीं कर सकते, क्योंकि दो से अधिक संकेतकों की पुनरावृत्ति से बचना असंभव है।} ऊपरी और निचले सूचकांक के उपयोग के बावजूद , $\mathbf {\hat {e}} _{i}$ , $\mathbf {\hat {e}} ^{i}$ , तथा $h_{i}$ न तो विरोधी हैं और न ही संस्कृतिक

बाद की अभिव्यक्ति बेलनाकार और गोलीय निर्देशांक के लिए ऊपर दी गई अभिव्यक्ति का मूल्यांकन करती है।

व्युत्पन्न के साथ संबंध

कुल व्युत्पन्न के साथ संबंध

प्रवणता कुल व्युत्पन्न (कुल अंतर) से निकटता से संबंधित है $df$ : वे एक दूसरे को स्थानांतरित (रैखिक मानचित्र का स्थानांतरण) कर रहे हैं। उस सम्मेलन का उपयोग करना जो वेक्टर में $\mathbb {R} ^{n}$ कॉलम वेक्टर द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है, और वह कोवेक्टर (रैखिक मानचित्र .) $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ) पंक्ति वेक्टर द्वारा दर्शाए जाते हैं,^{[lower-alpha 1]} प्रवणता $\nabla f$ और व्युत्पन्न $df$ एक ही घटक के साथ क्रमशः एक स्तंभ और पंक्ति वेक्टर के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, लेकिन एक दूसरे का स्थानान्तरण करते हैं:

\nabla f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}};

df_{p}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}.

जबकि इन दोनों में समान घटक होते हैं, वे किस प्रकार की गणितीय वस्तु का प्रतिनिधित्व करते हैं, वे भिन्न होते हैं: प्रत्येक बिंदु पर, व्युत्पन्न एक कोटेंजेंट वेक्टर होता है, एक रैखिक रूप (कोवेक्टर) जो व्यक्त करता है कि किसी दिए गए इनफिनिटिमल के लिए कितना (स्केलर) आउटपुट बदलता है (वेक्टर) इनपुट में परिवर्तन, जबकि प्रत्येक बिंदु पर, प्रवणता एक स्पर्शरेखा वेक्टर है, जो (वेक्टर) इनपुट में एक असीम परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। प्रतीकों में, प्रवणता एक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान का एक तत्व है, $\nabla f(p)\in T_{p}\mathbb {R} ^{n}$ , जबकि व्युत्पन्न स्पर्शरेखा स्थान से वास्तविक संख्याओं तक का नक्शा है, $df_{p}\colon T_{p}\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ . के प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान $\mathbb {R} ^{n}$ स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है। ^{[lower-alpha 4]} वेक्टर स्पेस के साथ $\mathbb {R} ^{n}$ स्वयं, और इसी तरह प्रत्येक बिंदु पर कोटैंजेंट स्पेस को दोहरी वेक्टर स्पेस के साथ स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है $(\mathbb {R} ^{n})^{*}$ कोवेक्टरों का; इस प्रकार एक बिंदु पर प्रवणता के मूल्य को मूल में एक वेक्टर के बारे में सोचा जा सकता है $\mathbb {R} ^{n}$ , न केवल एक स्पर्शरेखा वेक्टर के रूप में।

कंप्यूटेशनल, एक स्पर्शज्या वेक्टर को देखते हुए, वेक्टर को व्युत्पन्न (आव्यूहों के रूप में) से गुणा किया जा सकता है, जो कि प्रवणता के साथ डॉट-उत्पाद लेने के बराबर है:

(df_{p})(v)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)v_{i}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\nabla f(p)\cdot v

विभेदक या (बाहरी) व्युत्पन्न

एक अलग-अलग फलन के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन

f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}

एक बिंदु पर $x$ में $R n$ से एक रैखिक नक्शा है $R n$ प्रति $R$ जिसे अक्सर द्वारा दर्शाया जाता है $df x$ या $Df (x)$ और अंतर (कैलकुलस) या का कुल व्युत्पन्न कहा जाता है $f$ पर $x$ कार्यक्रम $df$ , कौन सा नक्शा $x$ प्रति $df x$ को का कुल अंतर या बाहरी व्युत्पन्न कहा जाता है $f$ और अंतर 1-रूप का एक उदाहरण है।

जितना एक एकल चर के किसी फलन का व्युत्पन्न फलन के किसी फलन के ग्राफ के स्पर्शरेखा के ढलान का प्रतिनिधित्व करता है,^[6] कई चर राशि में एक फलन का दिशात्मक व्युत्पन्न वेक्टर की दिशा में स्पर्शरेखा हाइपरप्लेन की ढलान का प्रतिनिधित्व करता है।

प्रवणता सूत्र द्वारा अंतर से संबंधित है

(\nabla f)_{x}\cdot v=df_{x}(v)

किसी के लिए $v \in R n$ , कहाँ पे $\cdot$ डॉट उत्पाद है: प्रवणता के साथ वेक्टर का डॉट उत्पाद लेना वेक्टर के साथ दिशात्मक व्युत्पन्न लेने जैसा ही है।

यदि $R n$ (आयाम) के स्थान के रूप में देखा जाता है $n$ ) कॉलम वेक्टर (वास्तविक संख्याओं का), तो कोई मान सकता है $df$ घटक के साथ पंक्ति वेक्टर के रूप में

\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right),

ताकि $df x (v)$ मैट्रिक्स गुणन द्वारा दिया जाता है। मानक यूक्लिडियन मीट्रिक को मानते हुए $R n$ , प्रवणता तब संबंधित कॉलम वेक्टर होता है, अर्थात,

(\nabla f)_{i}=df_{i}^{\mathsf {T}}.

एक फलन के लिए रैखिक सन्निकटन

किसी फलन के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन व्युत्पन्न के बजाय प्रवणता के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। फलन का प्रवणता (गणित) $f$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष से $R n$ प्रति $R$ किसी विशेष बिंदु पर $x 0$ में $R n$ सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन की विशेषता है $f$ पर $x 0$ सन्निकटन इस प्रकार है:

f(x)\approx f(x_{0})+(\nabla f)_{x_{0}}\cdot (x-x_{0})

के लिये $x$ के करीब $x 0$ , कहाँ पे $(\nabla f) x 0$ का प्रवणता है $f$ पर गणना की गई $x 0$ , और बिंदु डॉट उत्पाद को दर्शाता है $R n$ . यह समीकरण टेलर श्रृंखला में पहले दो पदों के बराबर है#टेलर श्रृंखला के कई चर विस्तार में $f$ पर $x 0$ .

फ़्रेचेट व्युत्पन्न के साथ संबंध

होने देना $U$ में एक खुला सेट बनें $R n$ . यदि फलन $f : U \to R$ अवकलनीय है, तो का अंतर $f$ फ्रेचेट का व्युत्पन्न है $f$ . इस प्रकार $\nabla f$ से एक फलन है $U$ अंतरिक्ष के लिए $R n$ ऐसा है कि

\lim _{h\to 0}{\frac {|f(x+h)-f(x)-\nabla f(x)\cdot h|}{\|h\|}}=0,

जहां डॉट उत्पाद है। एक परिणाम के रूप में, व्युत्पन्न के सामान्य गुण प्रवणता के लिए धारण करते हैं, हालांकि प्रवणता स्वयं व्युत्पन्न नहीं है, बल्कि व्युत्पन्न के लिए दोहरी है:

रैखिकता: प्रवणता इस अर्थ में रैखिक है कि यदि $f$ तथा $g$ बिंदु पर अलग-अलग दो वास्तविक-मूल्यवान कार्य हैं $a \in R n$ , तथा $α$ तथा $β$ दो अचर हैं, तो $αf + βg$ पर भिन्न है $a$ , और इसके अलावा $\nabla \left(\alpha f+\beta g\right)(a)=\alpha \nabla f(a)+\beta \nabla g(a).$
प्रॉडक्ट नियम: यदि $f$ तथा $g$ वास्तविक-मूल्यवान फलन एक बिंदु पर भिन्न होते हैं $a \in R n$ , तो उत्पाद नियम यह दावा करता है कि उत्पाद $fg$ पर भिन्न है $a$ , तथा $\nabla (fg)(a)=f(a)\nabla g(a)+g(a)\nabla f(a).$
श्रृंखला नियम: मान लो कि $f : A \to R$ एक सबसेट पर परिभाषित एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है $A$ का $R n$ , और कि $f$ एक बिंदु पर अवकलनीय है $a$ . प्रवणता पर लागू होने वाले चेन नियम के दो रूप हैं। सबसे पहले, मान लें कि फलन $g$ एक पैरामीट्रिक वक्र है; वह है, एक फलन $g : I \to R n$ एक सबसेट को मैप करता है $I \subset R$ में $R n$ . यदि $g$ एक बिंदु पर अवकलनीय है $c \in I$ ऐसा है कि $g (c) = a$ , फिर $(f\circ g)'(c)=\nabla f(a)\cdot g'(c),$ जहां कंपोजिशन ऑपरेटर है: $(f \circ g)(x) = f (g (x))$ .

अधिक सामान्यता, यदि इसके बजाय $I \subset R k$ , तो निम्नलिखित धारण करता है:

\nabla (f\circ g)(c)={\big (}Dg(c){\big )}^{\mathsf {T}}{\big (}\nabla f(a){\big )},

कहाँ पे

(Dg)

^T ट्रांसपोज़ जैकोबियन मैट्रिक्स को दर्शाता है।

श्रृंखला नियम के दूसरे रूप के लिए, मान लीजिए कि $h : I \to R$ एक सबसेट पर एक वास्तविक मूल्यवान कार्य है $I$ का $R$ , और कि $h$ बिंदु पर भिन्न है $f (a) \in I$ . फिर

\nabla (h\circ f)(a)=h'{\big (}f(a){\big )}\nabla f(a).

आगे के गुण और अनुप्रयोग

स्तर सेट

एक स्तर की सतह, या समसतह, सभी बिंदुओं का सेट है जहां कुछ फलन के पास दिए गए मान हैं।

यदि $f$ अवकलनीय है, तो डॉट उत्पाद $(\nabla f) x \cdot v$ एक बिंदु पर प्रवणता का $x$ एक वेक्टर के साथ $v$ का दिशात्मक व्युत्पन्न देता है $f$ पर $x$ दिशा में $v$ . यह इस प्रकार है कि इस मामले में का प्रवणता $f$ के स्तर सेट के लिए ओर्थोगोनल है $f$ . उदाहरण के लिए, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक स्तर की सतह को फॉर्म के समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है $F (x, y, z) = c$ . का प्रवणता $F$ फिर सतह के लिए सामान्य है।

अधिक आम तौर पर, रिमेंनियन मैनिफोल्ड में किसी भी अंतर्निहित सबमनिफोल्ड उच्च सतह को फॉर्म के समीकरण द्वारा काटा जा सकता है $F (P) = 0$ ऐसा है कि $dF$ शून्य कहीं नहीं है। का प्रवणता $F$ फिर उच्च सतह के लिए सामान्य है।

इसी तरह, एक एफ़िन बीजीय किस्म को एक समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है $F (x 1, ..., x n) = 0$ , कहाँ पे $F$ एक बहुपद है। का प्रवणता $F$ उच्च सतह के एकवचन बिंदु पर शून्य है (यह एकवचन बिंदु की परिभाषा है)। एक गैर-एकवचन बिंदु पर, यह एक गैर-शून्य सामान्य वेक्टर है।

रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र और प्रवणता प्रमेय

फलन के प्रवणता को प्रवणता क्षेत्र कहा जाता हैएक (सतत) प्रवणता क्षेत्र हमेशा अनुदैर्घ्य वेक्टर क्षेत्र होता है: किसी भी पथ के साथ इसकी रेखा समाकल पथ के अंतबिंदु पर निर्भर करता है तथा इसका मूल्यांकन प्रवणता प्रमेय (समाकल लाइन के लिए कलन का मूल प्रमेय) द्वारा किया जा सकता है।इसके विपरीत, एक (सतत) रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र हमेशा एक फलन की प्रवणता है।

सामान्यीकरण

जैकोबियन

जैकोबियन आव्यूह अनेक चरों के वेक्टर-मूल्यांकित कार्यों के लिए प्रवणता का सामान्यीकरण है और यूक्लिडियन स्थानों या, सामान्यतया, कई चरों के विभेदक मानचित्र के लिए^[7]^[8] बनाच स्थान के बीच एक फलन के लिए एक और सामान्यीकरण फ्रेचेट व्युत्पन्न है।

मान लीजिए $f : R n \to R m$ एक ऐसा फलन है जिसका प्रत्येक प्रथम कोटि का आंशिक अवकलज मौजूद है $ℝ n$ . तब का जैकोबियन मैट्रिक्स $f$ एक के रूप में परिभाषित किया गया है $m \times n$ मैट्रिक्स, द्वारा दर्शाया गया $\mathbf {J} _{\mathbb {f} }(\mathbb {x} )$ या केवल $\mathbf {J}$ . $(i, j)$ )}}वीं प्रविष्टि है $\mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}$ . स्पष्ट रूप से

\mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathsf {T}}f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathsf {T}}f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}.

एक वेक्टर क्षेत्र का प्रवणता

चूंकि वेक्टर क्षेत्र का कुल व्युत्पन्न, वैक्टर से वेक्टर तक का एक रेखीय प्रतिचित्रण है, यह प्रदिश राशि है।

आयताकार निर्देशांक में, एक वेक्टर क्षेत्र का प्रवणता f = ( f¹, f², f³) द्वारा परिभाषित किया जाता है:

\nabla \mathbf {f} =g^{jk}{\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{k},

(जहां आइंस्टाइन सममितन संकेतन का प्रयोग किया जाता है तथा वेक्टर $e i$ तथा $e k$ प्रदिश उत्पाद प्रकार (2,0) का एक दियाडिक प्रदिश होता है.कुल मिलाकर, यह अभिव्यक्ति जैकोबियन मैट्रिक्स के स्थानांतरण के बराबर होती है:

{\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}={\frac {\partial (f^{1},f^{2},f^{3})}{\partial (x^{1},x^{2},x^{3})}}.

वक्रीय निर्देशांक में, या अधिक आम तौर पर एक घुमावदार मैनिफ़ोल्ड पर, प्रवणता में क्रिस्टोफिल प्रतीकों शामिल हैं:

\nabla \mathbf {f} =g^{jk}\left({\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}+{\Gamma ^{i}}_{jl}f^{l}\right)\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{k},

कहाँ पे व्युत्क्रम मीट्रिक प्रदिश के घटक हैं और $e i$ निर्देशांक आधार वेक्टर हैं।

अधिक अपरिवर्तनीय रूप से व्यक्त किया गया, एक वेक्टर क्षेत्र का प्रवणता $f$ लेवि-सिविटा कनेक्शन और मीट्रिक प्रदिश द्वारा परिभाषित किया जा सकता है । ^[9]

\nabla ^{a}f^{b}=g^{ac}\nabla _{c}f^{b},

कहाँ पे $\nabla c$ कनेक्शन है।

रीमैनियन मैनिफोल्ड्स

किसी भी सुचारू कार्य के लिए $f$ रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर $(M, g)$ , का प्रवणता $f$ वेक्टर क्षेत्र है $\nabla f$ ऐसा है कि किसी भी वेक्टर क्षेत्र के लिए $X$ ,

g(\nabla f,X)=\partial _{X}f,

वह है,

g_{x}{\big (}(\nabla f)_{x},X_{x}{\big )}=(\partial _{X}f)(x),

कहाँ पे $g x ( , )$ स्पर्शरेखा वेक्टर के आंतरिक उत्पाद को दर्शाता है $x$ मीट्रिक द्वारा परिभाषित $g$ तथा $\partial X f$ वह कार्य है जो किसी भी बिंदु को लेता है $x \in M$ के दिशात्मक व्युत्पन्न के लिए $f$ दिशा में $X$ , पर मूल्यांकन किया गया $x$ दूसरे शब्दों में, एक समन्वय चार्ट में $φ$ के एक खुले उपसमुच्चय से $M$ के एक खुले उपसमुच्चय के लिए $R n$ , $(\partial X f)(x)$ द्वारा दिया गया है:

\sum _{j=1}^{n}X^{j}{\big (}\varphi (x){\big )}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(f\circ \varphi ^{-1}){\Bigg |}_{\varphi (x)},

कहाँ पे दर्शाता है $j$ का वां घटक $X$ इस समन्वय चार्ट में।

तो, प्रवणता का स्थानीय रूप रूप लेता है:

\nabla f=g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}{\textbf {e}}_{i}.

मामले का सामान्यीकरण $M = R n$ , किसी फलन का प्रवणता उसके बाहरी व्युत्पन्न से संबंधित होता है, क्योंकि

(\partial _{X}f)(x)=(df)_{x}(X_{x}).

अधिक सटीक, प्रवणता $\nabla f$ अंतर 1-रूप से जुड़ा वेक्टर क्षेत्र है $df$ संगीत समरूपता का उपयोग करना

\sharp =\sharp ^{g}\colon T^{*}M\to TM

(शार्प कहा जाता है) मीट्रिक द्वारा परिभाषित $g$ . बाहरी व्युत्पन्न और किसी फलन के प्रवणता के बीच संबंध $R n$ इसका एक विशेष मामला है जिसमें मीट्रिक डॉट उत्पाद द्वारा दिया गया फ्लैट मीट्रिक है।

यह भी देखें

कर्ल (गणित)
विचलन
चार प्रवणता
हेसियन मैट्रिक्स
तिरछा प्रवणता

↑ ^1.0 ^1.1 This article uses the convention that column vectors represent vectors, and row vectors represent covectors, but the opposite convention is also common.
↑ Strictly speaking, the gradient is a vector field $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to T\mathbb {R} ^{n}$ , and the value of the gradient at a point is a tangent vector in the tangent space at that point, $T_{p}\mathbb {R} ^{n}$ , not a vector in the original space $\mathbb {R} ^{n}$ . However, all the tangent spaces can be naturally identified with the original space $\mathbb {R} ^{n}$ , so these do not need to be distinguished; see § Definition and relationship with the derivative.
↑ The value of the gradient at a point can be thought of as a vector in the original space $\mathbb {R} ^{n}$ , while the value of the derivative at a point can be thought of as a covector on the original space: a linear map $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ .
↑ Informally, "naturally" identified means that this can be done without making any arbitrary choices. This can be formalized with a natural transformation.

संदर्भ

↑
*Bachman (2007, p. 76)
- Beauregard & Fraleigh (1973, p. 84)
- Downing (2010, p. 316)
- Harper (1976, p. 15)
- Kreyszig (1972, p. 307)
- McGraw-Hill (2007, p. 196)
- Moise (1967, p. 683)
- Protter & Morrey, Jr. (1970, p. 714)
- Swokowski et al. (1994, p. 1038)
↑
*Bachman (2007, p. 77)
- Downing (2010, pp. 316–317)
- Kreyszig (1972, p. 309)
- McGraw-Hill (2007, p. 196)
- Moise (1967, p. 684)
- Protter & Morrey, Jr. (1970, p. 715)
- Swokowski et al. (1994, pp. 1036, 1038–1039)
↑ Kreyszig (1972, pp. 308–309)
↑ Stoker (1969, p. 292)
↑ ^5.0 ^5.1 Schey 1992, pp. 139–142.
↑ Protter & Morrey, Jr. (1970, pp. 21, 88)
↑ Beauregard & Fraleigh (1973, pp. 87, 248)
↑ Kreyszig (1972, pp. 333, 353, 496)
↑ Dubrovin, Fomenko & Novikov 1991, pp. 348–349.

Bachman, David (2007), Advanced Calculus Demystified, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-148121-2
Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X
Downing, Douglas, Ph.D. (2010), Barron's E-Z Calculus, New York: Barron's, ISBN 978-0-7641-4461-5{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Dubrovin, B. A.; Fomenko, A. T.; Novikov, S. P. (1991). Modern Geometry—Methods and Applications: Part I: The Geometry of Surfaces, Transformation Groups, and Fields. Graduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Springer. ISBN 978-0-387-97663-1.
Harper, Charlie (1976), Introduction to Mathematical Physics, New Jersey: Prentice-Hall, ISBN 0-13-487538-9
Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-50728-8
"McGraw Hill Encyclopedia of Science & Technology". McGraw-Hill Encyclopedia of Science & Technology (10th ed.). New York: McGraw-Hill. 2007. ISBN 978-0-07-144143-8.
Moise, Edwin E. (1967), Calculus: Complete, Reading: Addison-Wesley
Protter, Murray H.; Morrey, Jr., Charles B. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042
Schey, H. M. (1992). Div, Grad, Curl, and All That (2nd ed.). W. W. Norton. ISBN 0-393-96251-2. OCLC 25048561.
Stoker, J. J. (1969), Differential Geometry, New York: Wiley, ISBN 0-471-82825-4
Swokowski, Earl W.; Olinick, Michael; Pence, Dennis; Cole, Jeffery A. (1994), Calculus (6th ed.), Boston: PWS Publishing Company, ISBN 0-534-93624-5

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

विशिष्ट एकीकृत परिपथ आवेदन
डिजिटल डाटा
आंकड़े
के माध्यम से (इलेक्ट्रॉनिक्स)
संवहन दस्तावेज़ स्वरूप
विनिर्माण क्षमता के लिए डिजाइन (आईसी)
सिलिकॉन सत्यापन पोस्ट करें
मास्क डेटा तैयारी
असफलता विश्लेषण
रजिस्टर ट्रांसफर लेवल
सी (प्रोग्रामिंग भाषा)
यात्रा
मांग
उत्पाद आवश्यकता दस्तावेज़
बाज़ार अवसर
जीवन का अंत (उत्पाद)
निर्देश समुच्चय
तर्क अनुकरण
सिग्नल की समग्रता
डिजाइन नियम की जाँच
टाइमिंग क्लोजर
औपचारिक तुल्यता जाँच
सामान्य केन्द्रक
ऑप एंप
मेंटर ग्राफिक्स
एकीकृत परिपथों और प्रणालियों के कंप्यूटर सहायता प्राप्त डिजाइन पर आईईईई लेनदेन
असफलता विश्लेषण
एन पी-सम्पूर्ण
परीक्षण वेक्टर
controllability
observability
प्रशंसक एल्गोरिदम
कूट-यादृच्छिक
पंक्ति का पिछला अंत
बांड विशेषता
दोहरी इन-लाइन पैकेज
मरो (एकीकृत सर्किट)
निर्माण (अर्धचालक)
विद्युतचुंबकीय व्यवधान
epoxy
भली भांति बंद सील
फ्लैटपैक (इलेक्ट्रॉनिक्स)
पतली छोटी रूपरेखा पैकेज
गोंद
मेटलाइजिंग
अनावर्ती अभियांत्रिकी
बाजार के लिए समय
तार का जोड़
नमी
विद्युतीय
स्थानीय कर से मुक्ति
साफ-सुथरे कमरे
अवरोधित हो जाना
HIRF
एकीकृत परिपथ
रूटिंग (इलेक्ट्रॉनिक डिजाइन ऑटोमेशन)
प्रक्रिया के कोने
मानक सेल
आईसी बिजली की आपूर्ति पिन
घड़ी की आवृत्ति
सिग्नल की समग्रता
उत्तम नस्ल
रजिस्टर ट्रांसफर लेवल
मूल्य संवर्धित
पुस्तकालय (कंप्यूटर विज्ञान)
मॉडल आधारित डिजाइन
स्वत: नियंत्रण
राज्य मशीनें
सोर्स कोड
स्वचालित कोड पीढ़ी
शून्य से विभाजन
आवश्यकताओं का पता लगाने योग्यता
मॉडल जांच
औपचारिक तरीके
मॉडल केंद्र
वेब आधारित अनुकरण
Xcos
साइलैब
पूर्णांक
मैक ओएस
प्रयोक्ता इंटरफ़ेस
फलन (गणित)
फोरट्रान
स्थिर (कंप्यूटर विज्ञान)
खिसकाना
जादू वर्ग
लैम्ब्डा कैलकुलस
मेक्स फ़ाइल
मेथेमेटिका
तुम क्या सहन करते हो
संख्यात्मक-विश्लेषण सॉफ्टवेयर की तुलना
आईईईई मानक
एक्सेलेरा
जावा (प्रोग्रामिंग भाषा)
पैक्ड सरणी
कड़ा मुकाबला
struct
टाइपडीफ
कुंडी (इलेक्ट्रॉनिक)
रन टाइम (कार्यक्रम जीवनचक्र चरण)
एकल विरासत
टेम्पलेट विशेषज्ञता
जानकारी छिपाना
ऑपरेटर नया
यादृच्छिक परीक्षण
सामग्री निहितार्थ (अनुमान का नियम)
पूर्ववृत्त (तर्क)
फलस्वरूप
सिमुलेशन
स्वचालित प्रमेय सिद्ध करना
कार्तीय गुणन
परीक्षण के अंतर्गत उपकरण
डिजाइन अंतरिक्ष सत्यापन
टेस्ट कवरेज
उदाहरण (कंप्यूटर विज्ञान)
तुल्यकालन (कंप्यूटर विज्ञान)
सशक्त टाइपिंग
पाश के लिए
बहाव को काबू करें
लगातार (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग)
भाषा अंतरसंचालनीयता
सी-परिवार प्रोग्रामिंग भाषाओं की सूची
प्रक्रमण करने से पहले के निर्देश
मूल फाइल
लिंट (सॉफ्टवेयर)
एकीकृत सर्किट डिजाइन
एकीकृत सर्किट लेआउट
एकीकृत परिपथ
पूरा रिवाज
इन्सुलेटर पर सिलिकॉन
मुखौटा डेटा तैयारी
उच्च स्तरीय संश्लेषण
असतत घटना सिमुलेशन
आईडिया1
उच्च स्तरीय प्रोग्रामिंग भाषा
संगणक वैज्ञानिक
वितरित अभिकलन
व्युत्पन्न वर्ग
सीएलयू (प्रोग्रामिंग भाषा)
अदा (प्रोग्रामिंग भाषा)
कक्षा (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग)
कास्ट (कंप्यूटर विज्ञान)
एक्सेप्शन हेंडलिंग
सभा की भाषा
अवधारणाएं (सी ++)
सी ++ मानक पुस्तकालय
एब्स्ट्रैक्शन (कंप्यूटर साइंस)
कक्षा (कंप्यूटर विज्ञान)
संकलन समय
सहयोगी सरणी
सुविधा (सॉफ्टवेयर डिजाइन)
अनवरत वृद्धि # अनियंत्रित विस्तार
विशिष्ट एकीकृत परिपथ आवेदन
अर्धचालक निर्माण
एक चिप पर सिस्टम
नि: शुल्क
अनुक्रमिक तर्क
स्थान और मार्ग
रूटिंग (ईडीए)
सेमीकंडक्टर
आर्किटेक्ट
फ्लोरेंस कैथेड्रल
वास्तु सिद्धांत
समसामयिक आर्किटेक्चर
गोथिक वास्तुशिल्प
फार्म फलन के बाद
मंजिल की योजना
सुनहरा अनुपात
वास्तुकला डिजाइन मूल्य
पुनर्निर्माणवाद
क्लासिकल एंटिक्विटी
कैथेड्रल
सौंदर्यशास्र
अभिव्यंजनावादी वास्तुकला
वास्तु घटना विज्ञान
हरा भवन
हरित बुनियादी ढाँचा
संकल्पनात्मक निदर्श
व्‍यवहार
वास्तुकला प्रौद्योगिकी
कटलरी
डिजाइन के तरीके
संकल्पनात्मक निदर्श
झरना मॉडल
शोध करना
उत्पाद डिजाइन विनिर्देश
संक्षिप्त आकार
उत्पाद का परीक्षण करना
समस्या को सुलझाना
दस्तावेज़
साइट पर
आशुरचना
चुस्त सॉफ्टवेयर विकास
उपयोगकर्ता केंद्रित डिजाइन
ग्राफक कला
एप्लाइड आर्ट्स
मुहावरा
चिन्ह, प्रतीक
जानबूझकर परिभाषा
अंक शास्त्र
सूक्तियों
आवश्यक और पर्याप्त शर्तें
लिंग-अंतर परिभाषा
त्रिकोण
चतुष्कोष
पदार्थवाद
संभव दुनिया
कठोर अभिकर्ता
संचालनगत परिभाषा
समनाम
निराकरण
संकेत (सेमियोटिक्स)
सेमे (शब्दार्थ)
शब्द भावना
अर्थ क्षेत्र
अर्थ (भाषाविज्ञान)
निओलगिज़्म
अपरिष्कृत किस्म
परिभाषा के अनुसार विस्तार
आत्म संदर्भ
चिकित्सा सहमति
चिकित्सा वर्गीकरण
शाब्दिक परिभाषा
मतवाद
प्राणी
दार्शनिक जांच
व्यक्तित्व का सिद्धांत
विवरण का सिद्धांत
शाऊल क्रिप्के
अनिश्चितता (दर्शनशास्त्र)
अर्थ विज्ञान
जानकारी
सरल भाषा
भाषा: हिन्दी
बातचीत का माध्यम
सूचना प्रक्रम
गुप्तता
लिख रहे हैं
आधार - सामग्री संकोचन
हाव-भाव
कुल कार्य
कड़ी
कोड वर्ड
कम घनत्व समता-जांच कोड
उच्चारण क्षमता
चरित्र (कंप्यूटिंग)
एचटीटीपी हेडर
जेनेटिक कोड
जीवविज्ञान
अवरोध
पत्रक संगीत
क्रिप्टोग्राफी का इतिहास
पाठ के प्रस्तुतिकरण के लिए प्रयुक्त भाषा
टेक्स्ट एन्कोडिंग पहल
SECAM
शब्दार्थ एन्कोडिंग
मेमोरी एन्कोडिंग
लेखन प्रणाली
सांकेतिकता
कोड (सेमियोटिक्स)
असिमिक लेखन
जाँचने का तरीका
निहाई
बरबाद करना
प्रथम लेख निरीक्षण
प्राथमिक धारा
फाइल का प्रारूप
फ़ाइल साझा करना
सर्वाधिकार उल्लंघन
संशोधित असतत कोसाइन परिवर्तन
अंतरराष्ट्रीय मानकीकरण संगठन
इंटरनेशनल इलेक्ट्रोटेक्नीकल कमीशन
बुंदाडा इटाकुरा
असतत कोसाइन परिवर्तन
फिल्टर (सॉफ्टवेयर)
धोखाधड़ी
एमपीईजी-1 ऑडियो परत II
झूठा
नमूनाकरण दर
संदर्भ कार्यान्वयन (कंप्यूटिंग)
सोल
धुन (ऑनलाइन संगीत सेवा)
जॉइन्ट स्टीरियो
त्रुटि की जांच कर रहा है
पूर्व बनाया
संपीड़न विरूपण साक्ष्य
लाल किताब (ऑडियो सीडी मानक)
आईएफए शो
कार्य (ऑडियो प्रारूप)
सेब दोषरहित
एमपीईजी -4 भाग 14
बयान (कंप्यूटर विज्ञान)
सॉफ़्टवेयर परीक्षण
एसीएम का संचार
सुरक्षा महत्वपूर्ण
परिमित अवस्था मशीन
रुकने की समस्या
ताल डिजाइन सिस्टम
एफपीजीए प्रोटोटाइप
कदम स्तर
एम्यूलेटर
उन्नत लघु उपकरण
सेंट्रल प्रोसेसिंग यूनिट
स्पर्धारोधी कानून
शुरुआती सार्वजानिक प्रस्ताव
क्रेग बैरेट (व्यापारी)
एंटीट्रस्ट
एआईएम गठबंधन
किफायती इंटरनेट के लिए गठबंधन
सेब सिलिकॉन
EPROM
विद्युत ऊर्जा की खपत
एम्बर झील (सूक्ष्म वास्तुकला)
Apple वर्ल्डवाइड डेवलपर्स कॉन्फ्रेंस
स्वतंत्र रूप से पुनर्वितरण योग्य सॉफ्टवेयर
प्रचार अभियान
प्रतिस्पर्धी विरोधी प्रथाएं
एथिलबेन्जीन
संघर्ष संसाधन
कन्फ्लिक्ट खनिज
आयु भेदभाव
बम्पलेस बिल्ड-अप परत
उत्पाद वापसी
प्रधान चौगुनी
प्राइम ट्रिपलेट
जुड़वां प्रधान
प्रतीकात्मक प्रक्षेपवक्र मूल्यांकन
कदम स्तर
पुस्तकालय (कम्प्यूटिंग)
औपचारिक विशिष्टता
सिस्टम टाइप करें
कंप्यूटर विज्ञान में तर्क
शर्त लगाना
कार्यक्रम परिशोधन
स्वचालित प्रमेय कहावत
जेड अंकन
उदाहरण
अनिश्चितता
ओरेकल मशीन
एडीए प्रोग्रामिंग भाषा
वस्तु बाधा भाषा
परिमित अवस्था मशीन
आभासी परिमित राज्य मशीन
औद्योगिक सॉफ्टवेयर इंजीनियरिंग के लिए कठोर दृष्टिकोण
विशिष्टता और विवरण भाषा
RAISE विनिर्देश भाषा
विशिष्टता भाषा
लेन-देन-स्तर मॉडलिंग
तर्क परिवार
सॉफ्टवेयर टूल
श्वेत रव
विंडो (कंप्यूटिंग)
गुणा
आस्पेक्ट अनुपात
बहुपदी समय फलन
प्रोग्राम करने योग्य लॉजिक डिवाइस
प्रोग्राम करने योग्य सरणी तर्क
ट्रुथ टेबल
प्रोग्राम करने योग्य तर्क सरणी
बहाव को काबू करें
कार्यात्मक डिजाइन
अंकगणितीय आपरेशनस
पराबैगनी प्रकाश
लेज़र
कामकाजी मेज
अत्यधिक पराबैंगनी लिथोग्राफी
आईएमईसी
सब्सट्रेट (मुद्रण)
टोपपन
स्थिर समय विश्लेषण
टेस्टेबिलिटी के लिए डिजाइन
बंद होने का समय
योजनाबद्ध कब्जा
पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा)
सेमीकंडक्टर
प्रभारी वाहक
पारंपरिक धारा
अर्धचालकों में आवेश वाहक
रिक्तीकरण क्षेत्र
बहुसंख्यक वाहक
निम्न स्तर का इंजेक्शन
द्विध्रुवीय प्रसार
फोटोन
आम emitter
आम आधार
आनुपातिकता (गणित)
हिमस्खलन टूटना
कमरे का तापमान
बेल टेलीफोन लेबोरेटरीज
बेलगाम उष्म वायु प्रवाह
सतह-अवरोध ट्रांजिस्टर
बैंड आरेख
गणित का मॉडल
कमी चौड़ाई
छोटा संकेत
एकदिश धारा
सामान्य आधार
लोगारित्म
इलेक्ट्रोस्टैटिक-संवेदनशील डिवाइस
आयनीकरण विकिरण

अग्रिम पठन

Korn, Theresa M.; Korn, Granino Arthur (2000). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. Dover Publications. pp. 157–160. ISBN 0-486-41147-8. OCLC 43864234.

बाहरी संबंध

"Gradient". Khan Academy.
Kuptsov, L.P. (2001) [1994], "Gradient", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
Weisstein, Eric W. "Gradient". MathWorld.

[row-column-1] 1.0 ^1.1 This article uses the convention that column vectors represent vectors, and row vectors represent covectors, but the opposite convention is also common.

[3] Strictly speaking, the gradient is a vector field $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to T\mathbb {R} ^{n}$ , and the value of the gradient at a point is a tangent vector in the tangent space at that point, $T_{p}\mathbb {R} ^{n}$ , not a vector in the original space $\mathbb {R} ^{n}$ . However, all the tangent spaces can be naturally identified with the original space $\mathbb {R} ^{n}$ , so these do not need to be distinguished; see § Definition and relationship with the derivative.

[5] The value of the gradient at a point can be thought of as a vector in the original space $\mathbb {R} ^{n}$ , while the value of the derivative at a point can be thought of as a covector on the original space: a linear map $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ .

[9] Informally, "naturally" identified means that this can be done without making any arbitrary choices. This can be formalized with a natural transformation.

[2] *Bachman (2007, p. 76)
Beauregard & Fraleigh (1973, p. 84)

Downing (2010, p. 316)

Harper (1976, p. 15)

Kreyszig (1972, p. 307)

McGraw-Hill (2007, p. 196)

Moise (1967, p. 683)

Protter & Morrey, Jr. (1970, p. 714)

Swokowski et al. (1994, p. 1038)

[6] Beauregard & Fraleigh (1973, p. 84)

[7] Downing (2010, p. 316)

[8] Harper (1976, p. 15)

[9] Kreyszig (1972, p. 307)

[10] McGraw-Hill (2007, p. 196)

[11] Moise (1967, p. 683)

[12] Protter & Morrey, Jr. (1970, p. 714)

[13] Swokowski et al. (1994, p. 1038)

[4] *Bachman (2007, p. 77)
Downing (2010, pp. 316–317)

Kreyszig (1972, p. 309)

McGraw-Hill (2007, p. 196)

Moise (1967, p. 684)

Protter & Morrey, Jr. (1970, p. 715)

Swokowski et al. (1994, pp. 1036, 1038–1039)

[15] Downing (2010, pp. 316–317)

[16] Kreyszig (1972, p. 309)

[17] McGraw-Hill (2007, p. 196)

[18] Moise (1967, p. 684)

[19] Protter & Morrey, Jr. (1970, p. 715)

[20] Swokowski et al. (1994, pp. 1036, 1038–1039)

[6] Kreyszig (1972, pp. 308–309)

[7] Stoker (1969, p. 292)

[Schey-1992-8] 5.0 ^5.1 Schey 1992, pp. 139–142.

[10] Protter & Morrey, Jr. (1970, pp. 21, 88)

[11] Beauregard & Fraleigh (1973, pp. 87, 248)

[12] Kreyszig (1972, pp. 333, 353, 496)

[13] Dubrovin, Fomenko & Novikov 1991, pp. 348–349.

[lower-alpha 1]

[1]

[lower-alpha 2]

[2]

[lower-alpha 3]

[3]

[4]

[5]

[lower-alpha 4]

[6]

[7]

[8]

[9]

v t e पथरी
Prealculus	द्विपद प्रमेय अवतल कार्य निरंतर कार्य फैक्टरियल परिमित अंतर मुक्त चर और बाध्य चर एक फ़ंक्शन का ग्राफ रैखिक प्रकार्य रेडियन रोले का प्रमेय सेकंट ढलान स्पर्शरेखा
सीमा	अनिश्चित रूप एक फ़ंक्शन की सीमा एकतरफा सीमा एक अनुक्रम की सीमा सन्निकटन का आदेश ((, Δ)-सीमा की सीमा
अंतर कलन	व्युत्पन्न दूसरा व्युत्पन्न आंशिक व्युत्पन्न अंतर विभेदक ऑपरेटर मतलब मान प्रमेय संकेतन Leibniz का अंकन न्यूटन की संकेतन भेदभाव के नियम रैखिकता शक्ति योग चेन l'hôpital's उत्पाद जनरल लीबनिज़ का नियम भागफल अन्य तकनीकें निहित भेदभाव उलटा कार्य और भेदभाव लॉगरिदमिक व्युत्पन्न संबंधित दरें स्थिर बिंदु पहला व्युत्पन्न परीक्षण दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण चरम मूल्य प्रमेय मैक्सिमा और मिनिमा आगे के आवेदन न्यूटन की विधि टेलर का प्रमेय अंतर समीकरण साधारण अंतर समीकरण आंशिक विभेदक समीकरण स्टोचस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन
समाकलन गणित	Antiderivative Arc length Riemann integral Basic properties Constant of integration Fundamental theorem of calculus Differentiating under the integral sign Integration by parts Integration by substitution trigonometric Euler Tangent half-angle substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Washer method Shell method Integral equation Integro-differential equation
वेक्टर कैलकुलस	डेरिवेटिव कर्ल दिशात्मक व्युत्पन्न विचलन ढाल लाप्लासियन बुनियादी प्रमेय लाइन इंटीग्रल ग्रीन स्टोक्स' गॉस '
बहुक्रियाशील पथरी	विचलन प्रमेय ज्यामितीय हेसियन मैट्रिक्स जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक Lagrange गुणक लाइन इंटीग्रल मैट्रिक्स एकाधिक अभिन्न आंशिक व्युत्पन्न सतह अभिन्न वॉल्यूम इंटीग्रल उन्नत विषय विभेदक रूप बाहरी व्युत्पन्न सामान्यीकृत स्टोक्स 'प्रमेय टेंसर कैलकुलस
अनुक्रम और श्रृंखला	अंकगणित-ज्यामितीय अनुक्रम श्रृंखला के प्रकार वैकल्पिक द्विपद फूरियर ज्यामितीय हार्मोनिक अनंत पावर Maclaurin टेलर दूरबीन अभिसरण के परीक्षण हाबिल अल्टरनेटिंग सीरीज़ Cauchy संघनन प्रत्यक्ष तुलना Dirichlet's अभिन्न सीमा तुलना अनुपात रूट शब्द
विशेष कार्य और संख्या	बर्नौली नंबर ई (गणितीय स्थिरांक) घातांक प्रकार्य प्राकृतिक स्टर्लिंग का अनुमान
कैलकुलस का इतिहास	पर्याप्तता ब्रुक टेलर कॉलिन मैक्लोरिन बीजगणित की सामान्यता गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ Infinitesimal Infinitesimal galulus आइजैक न्यूटन फ्लक्सियन निरंतरता का नियम लियोनहार्ड यूलर प्रवाह की विधि यांत्रिक प्रमेय की विधि
सूचियों	भेदभाव नियम घातीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कहीन कार्यों के अभिन्न अंग की सूची लघुगणक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कसंगत कार्यों के अभिन्न अंग की सूची त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची सेकंट सेकेंट क्यूबेड सीमाओं की सूची अभिन्न की सूची
विविध विषय	जटिल पथरी समोच्च अभिन्न अंतर ज्यामिति कई गुना वक्रता घटता सतहों का टेंसर यूलर -मेक्लॉरिन फॉर्मूला गेब्रियल का सींग एकीकरण मधुमक्खी प्रमाण है कि 22/7 से अधिक Regiomontanus 'कोण अधिकतमकरण समस्या स्टाइनमेट्ज़ सॉलिड

Anonymous

Search

प्रवणता: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

Revision as of 16:02, 30 October 2022

Contents

प्रेरणा

संकेतन

परिभाषा

कार्तीय निर्देशांक

बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक

सामान्य निर्देशांक

व्युत्पन्न के साथ संबंध

कुल व्युत्पन्न के साथ संबंध

विभेदक या (बाहरी) व्युत्पन्न

एक फलन के लिए रैखिक सन्निकटन

फ़्रेचेट व्युत्पन्न के साथ संबंध

आगे के गुण और अनुप्रयोग

स्तर सेट

रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र और प्रवणता प्रमेय

सामान्यीकरण

जैकोबियन

एक वेक्टर क्षेत्र का प्रवणता

रीमैनियन मैनिफोल्ड्स

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

संदर्भ

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

अग्रिम पठन

बाहरी संबंध

Navigation

Navigation

Wiki tools

Wiki tools

@@ Line 3: / Line 3: @@
 {{Short description|Multivariate derivative (mathematics)}}
 [[File:Gradient2.svg|thumb|300px|नीले तीरों द्वारा दर्शाया गया प्रवणता, स्केलर फलन के सबसे बड़े परिवर्तन की दिशा को दर्शाता है। फलन के मान ग्रेस्केल में दर्शाए जाते हैं और मान में सफेद (निम्न) से अंधेरे (उच्च) में वृद्धि होती है।]]
-वेक्टर कैल्कुलस में, कई चर के स्केलर-मूल्यांकित विभेदक फलन  {{math|''f''}}  का प्रवणता सदिश क्षेत्र (या वेक्टर-मूल्यांकित प्रकार्य) है। <math>\nabla f</math> जिसका मूल्य बिंदु पर  <math>p</math> है वेक्टर{{efn|name=row-column|This article uses the convention that [[column vector]]s represent vectors, and [[row vector]]s represent covectors, but the opposite convention is also common.}} <math>f</math> पर जिसका घटकों का आंशिक डेरिवेटिव है <math>p</math> पर<ref>*{{harvtxt|Bachman|2007|p=76}}
+वेक्टर कैल्कुलस में, कई चर के स्केलर-मूल्यांकित विभेदक फलन  {{math|''f''}}  का प्रवणता वेक्टर क्षेत्र (या वेक्टर-मूल्यांकित प्रकार्य) है। <math>\nabla f</math> जिसका मूल्य बिंदु पर <math>p</math> है  वेक्टर{{efn|name=row-column|This article uses the convention that [[column vector]]s represent vectors, and [[row vector]]s represent covectors, but the opposite convention is also common.}} जिसका घटक <math>f</math> के आंशिक यौगिक हैं  <math>p</math><ref>*{{harvtxt|Bachman|2007|p=76}}
 *{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=84}}
 *{{harvtxt|Downing|2010|p=316}}
@@ Line 11: / Line 11: @@
 *{{harvtxt|Moise|1967|p=683}}
 *{{harvtxt|Protter|Morrey, Jr.|1970|p=714}}
-*{{harvtxt|Swokowski et al.|1994|p=1038}}</ref>  वह इसके लिए  <math>f \colon \R^n \to \R</math>, इसकी प्रवणता है <math>\nabla f \colon \R^n \to \R^n</math> बिंदु पर परिभाषित किया गया है <math>p = (x_1,\ldots,x_n)</math> n-आयामी अंतरिक्ष में सदिश के रूप में{{efn|Strictly speaking, the gradient is a [[vector field]] <math>f \colon \R^n \to T\R^n</math>, and the value of the gradient at a point is a [[tangent vector]] in the [[tangent space]] at that point, <math>T_p \R^n</math>, not a vector in the original space <math>\R^n</math>. However, all the tangent spaces can be naturally identified with the original space <math>\R^n</math>, so these do not need to be distinguished; see {{slink||Definition}} and [[#Derivative|relationship with the derivative]].}}
+*{{harvtxt|Swokowski et al.|1994|p=1038}}</ref> वह इसके लिए  <math>f \colon \R^n \to \R</math>, इसकी प्रवणता है <math>\nabla f \colon \R^n \to \R^n</math> बिंदु पर परिभाषित किया गया है  <math>p = (x_1,\ldots,x_n)</math> एन-आयामी अंतरिक्ष में वेक्टर के रूप में{{efn|Strictly speaking, the gradient is a [[vector field]] <math>f \colon \R^n \to T\R^n</math>, and the value of the gradient at a point is a [[tangent vector]] in the [[tangent space]] at that point, <math>T_p \R^n</math>, not a vector in the original space <math>\R^n</math>. However, all the tangent spaces can be naturally identified with the original space <math>\R^n</math>, so these do not need to be distinguished; see {{slink||Definition}} and [[#Derivative|relationship with the derivative]].}}
 :<math>\nabla f(p) = \begin{bmatrix}
   \frac{\partial f}{\partial x_1}(p) \\
@@ Line 17: / Line 17: @@
   \frac{\partial f}{\partial x_n}(p)
 \end{bmatrix}.</math>
-नाबला प्रतीक <math>\nabla</math>,एक उल्टा त्रिभुज के रूप में लिखा गया है और "डेल" का उच्चारण किया गया है, सदिश विभेदक ऑपरेटर को दर्शाता है।
+नाबला प्रतीक <math>\nabla</math> को ऊपर दिए गए त्रिभुज के रूप में लिखा गया है, "डेल" (Del) वेक्टर विभेदक प्रचालक को निर्दिष्ट करता है।
-प्रवणता सदिश की व्याख्या "सबसे तेज वृद्धि की दिशा और दर" के रूप में की जा सकती है। यदि किसी फलन का प्रवणता एक बिंदु {{math|''p''}} पर गैर-शून्य है, तो प्रवणता की दिशा वह दिशा है जिसमें फलन {{math|''p''}} से सबसे जल्दी बढ़ जाता है, और प्रवणता का परिमाण उस दिशा में वृद्धि की दर है, सबसे बड़ा पूर्ण दिशात्मक व्युत्पन्न।<ref>*{{harvtxt|Bachman|2007|p=77}}
+प्रवणता वेक्टर को "दिशा और सबसे तेजी से वृद्धि की दर" के रूप में व्याख्या की जा सकती है। यदि किसी फलन का प्रवणता किसी बिंदु  {{math|''p''}} पर शून्य है, तो प्रवणता की दिशा वह दिशा है जिसमें कि फलन {{math|''p''}} से बहुत तेजी से बढ़ता है, और प्रवणता का परिमाण उस दिशा में वृद्धि की दर है, सबसे बड़ी निरपेक्ष दिशात्मक व्युत्पन्न।<ref>*{{harvtxt|Bachman|2007|p=77}}
 *{{harvtxt|Downing|2010|pp=316–317}}
 *{{harvtxt|Kreyszig|1972|p=309}}
@@ Line 25: / Line 25: @@
 *{{harvtxt|Moise|1967|p=684}}
 *{{harvtxt|Protter|Morrey, Jr.|1970|p=715}}
-*{{harvtxt|Swokowski et al.|1994|pp=1036,1038–1039}}</ref> इसके अलावा, एक बिंदु जहां प्रवणता शून्य सदिश है, एक स्थिर बिंदु के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार प्रवणता अनुकूलन सिद्धांत में एक मौलिक भूमिका निभाता है, जहां इसका उपयोग प्रवणता एसेंट द्वारा एक फलन को अधिकतम करने के लिए किया जाता है
+*{{harvtxt|Swokowski et al.|1994|pp=1036,1038–1039}}</ref> इसके अतिरिक्त एक बिंदु जहां कि प्रवणता शून्य वेक्टर है उसे अचल बिंदु कहते हैं। प्रवणता इस प्रकार इष्टतमीकरण सिद्धांत में एक बुनियादी भूमिका निभाता है, जहाँ यह प्रवणता आरोहण द्वारा प्रकार्य को अधिकतम करने के लिए प्रयुक्त होता है।
-प्रवणता कुल व्युत्पन्न के लिए दोहरी है <math>df</math>: एक बिंदु पर प्रवणता का मान एक स्पर्शरेखा सदिश है - प्रत्येक बिंदु पर एक सदिश; जबकि एक बिंदु पर व्युत्पन्न का मान एक कोटेंज सदिश है - सदिश पर एक रैखिक कार्यात्मक।{{efn|The value of the gradient at a point can be thought of as a vector in the original space <math>\R^n</math>, while the value of the derivative at a point can be thought of as a covector on the original space: a linear map <math>\R^n \to \R</math>.}} वे संबंधित हैं कि के प्रवणता के डॉट उत्पाद  {{math|''f''}}  एक बिंदु पर {{math|''p''}} एक और स्पर्शरेखा सदिश के साथ {{math|'''v'''}} के दिशात्मक व्युत्पन्न के बराबर है  {{math|''f''}}  पर {{math|''p''}} समारोह के साथ {{math|'''v'''}}; वह है,
+यह प्रवणता कुल व्युत्पन्न के दोहरे <math>df</math>: एक बिंदु पर प्रवणता का मान एक स्पर्शरेखा वेक्टर-प्रत्येक बिंदु पर एक वेक्टर होता है;जबकि एक बिंदु पर व्युत्पन्न का मान एक कोटिस्पर्शज्या वेक्टर-वैक्टर पर एक रेखीय प्रकार्य है।{{efn|The value of the gradient at a point can be thought of as a vector in the original space <math>\R^n</math>, while the value of the derivative at a point can be thought of as a covector on the original space: a linear map <math>\R^n \to \R</math>.}} वे इस बात से संबंधित हैं कि एक बिंदु  {{math|''p''}} पर  {{math|''f''}}  की प्रवणता के बिंदु उत्पाद का बिंदु, बिंदु V पर कार्य के {{math|''p''}} पर {{math|''f''}}  के दिशात्मक व्युत्पन्न के बराबर होता है;अर्थात्,
-<math display="inline">\nabla f(p) \cdot \mathbf v = \frac{\partial f}{\partial\mathbf{v}}(p) = df_{p}(\mathbf{v}) </math>.प्रवणता कई सामान्यीकरणों को कई गुना अधिक सामान्य कार्यों के लिए स्वीकार करता है; देखना {{slink||सामान्यकरण}}
+<math display="inline">\nabla f(p) \cdot \mathbf v = \frac{\partial f}{\partial\mathbf{v}}(p) = df_{p}(\mathbf{v}) </math> प्रवणता विभिन्न सामान्यकरणों को विभिन्न स्तरों पर अधिक सामान्य कार्यों में मानती है; {{slink||सामान्यकरण}}  देखें
 ==प्रेरणा==
-एक ऐसे कमरे पर विचार करें जहां तापमान एक अदिश क्षेत्र, {{math|''T''}} द्वारा दिया जाता है, इसलिए प्रत्येक बिंदु {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} पर तापमान समय से स्वतंत्र {{math|''T''(''x'', ''y'', ''z'')}} होता है। कमरे के प्रत्येक बिंदु पर, उस बिंदु पर {{math|''T''}} का प्रवणता उस दिशा को दिखाएगा जिसमें तापमान सबसे तेज़ी से बढ़ता है, {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} से दूर जा रहा है। प्रवणता का परिमाण निर्धारित करेगा कि उस दिशा में तापमान कितनी तेजी से बढ़ता है।
+एक ऐसे कमरे पर विचार करें जहाँ तापमान एक स्केलर फील्ड, {{math|''T''}}  द्वारा दिया जाता है, इसलिए प्रत्येक बिंदु पर {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} तापमान {{math|''T''(''x'', ''y'', ''z'')}} है, जो समय से स्वतंत्र होता है।कमरे के प्रत्येक बिंदु पर "{{math|''T''}}" का प्रवणता  उस दिशा को दिखाएगा जिसमें तापमान तेजी से बढ़ता है, जो {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} से दूर होता है। प्रवणता का परिमाण इस दिशा में तापमान के बढ़ने की गति को निर्धारित करेगा।
-एक सतह पर विचार करें जिसकी समुद्र तल से ऊंचाई बिंदु  {{math|(''x'', ''y'')}} पर {{math|''H''(''x'', ''y'')}} है। एक बिंदु पर {{math|''H''}}  का प्रवणता एक समतल सदिश है जो उस बिंदु पर सबसे तेज ढलान या ग्रेड की दिशा में इंगित करता है। उस बिंदु पर ढलान की स्थिरता प्रवणता सदिश के परिमाण द्वारा दी जाती है।
+एक सतह जिसकी समुद्री सतह की ऊंचाई {{math|(''x'', ''y'')}} पर {{math|''H''(''x'', ''y'')}} है उस पर विचार करें: एक बिंदु पर {{math|''H''}} का प्रवणता एक समतल वेक्टर है जो इस बिंदु पर सबसे तेज प्रवणता या श्रेणी की ओर इंगित करता है।उस बिंदु पर प्रवणता की ढलान  प्रवणता वेक्टर के परिमाण द्वारा दी गई है।
-प्रवणता का उपयोग यह मापने के लिए भी किया जा सकता है कि एक स्केलर क्षेत्र अन्य दिशाओं में कैसे बदलता है, न कि केवल सबसे बड़े परिवर्तन की दिशा में, एक डॉट उत्पाद लेकर। मान लीजिए कि एक पहाड़ी पर सबसे तेज ढलान 40% है। सीधे ऊपर की ओर जाने वाली सड़क का ढलान 40% है, लेकिन पहाड़ी के चारों ओर एक कोण पर जाने वाली सड़क का ढलान उथला होगा। उदाहरण के लिए, यदि सड़क ऊपर की दिशा से 60° के कोण पर है (जब दोनों दिशाओं को क्षैतिज तल पर प्रक्षेपित किया जाता है), तो सड़क के साथ ढलान सड़क के साथ प्रवणता सदिश और यूनिट सदिश के बीच डॉट उत्पाद होगा। , अर्थात् 60° की कोज्या का 40% गुना, या 20%।
+प्रवणता का प्रयोग किसी डॉट उत्पाद को ले कर अदिश क्षेत्र की अन्य दिशाओं में परिवर्तन करने की बजाय उसका परिमाण मापने के लिए भी किया जा सकता है।मान लीजिए कि पहाड़ी पर सबसे तेज ढलान 40% हैसीधी चढ़ाई वाली सड़क में 40% ढलान होता है, लेकिन पहाड़ी के चारों ओर एक कोण पर जाने वाली सड़क पर ढलान कम होगा।उदाहरण के लिए, यदि सड़क की ऊपरी दिशा से 60 डिग्री कोण पर है (जब दोनों दिशाओं को क्षैतिज तल पर प्रदर्शित किया जाता है) तो सड़क के किनारे की ढलान प्रवणता वेक्टर और यूनिट वेक्टर के बीच बिन्दु उत्पाद होगा जो कि सड़क पर 40 गुना 60 या 20% है।
-अधिक आम तौर पर, यदि पहाड़ी ऊंचाई फलन {{math|''H''}} अलग-अलग है, तो यूनिट सदिश के साथ बिंदीदार {{math|''H''}} की प्रवणता सदिश की दिशा में पहाड़ी की ढलान देती है, यूनिट सदिश के साथ {{math|''H''}} का दिशात्मक व्युत्पन्न।
+सामान्यतया यदि पहाड़ी उच्चता फलन {{math|''H''}} विभेदकारी है तब बिंदु बिंदुकित का प्रवणता वेक्टर की दिशा में पहाडी का प्रवणता, इकाई वेक्टर के साथ {{math|''H''}} का दिशात्मक व्युत्पन्न प्रदान करता है।
 == संकेतन ==
-बिंदु <math>a</math> पर फलन <math>f</math> का प्रवणता सामान्यतः पर इस प्रकार लिखा जाता है <math>\nabla f (a)</math>. इसे निम्नलिखित में से किसी के द्वारा भी दर्शाया जा सकता है:
+बिंदु <math>a</math> पर फलन <math>f</math>  की  प्रवणता सामान्यता पर इस प्रकार लिखी जाती है <math>\nabla f (a)</math>। इसे निम्नलिखित में से किसी भी प्रकार के द्वारा दर्शाया जा सकता है:
-* <math>\vec{\nabla} f (a)</math> : परिणाम की सदिश प्रकृति पर जोर देने के लिए।
+* <math>\vec{\nabla} f (a)</math> : परिणाम की वेक्टर प्रकृति पर जोर देने के लिए।
 * {{math|grad ''f''}}
 *<math>\partial_i f</math> तथा <math>f_{i}</math> : आइंस्टीन संकेतन।
 == परिभाषा ==
-[[File:3d-gradient-cos.svg|thumb|350px|फलन का प्रवणता {{math|''f''(''x'',''y'') {{=}} −(cos<sup>2</sup>''x'' + cos<sup>2</sup>''y'')<sup>2</sup>}} निचले तल पर एक प्रक्षेपित सदिश क्षेत्र के रूप में दर्शाया गया है।]]
+[[File:3d-gradient-cos.svg|thumb|350px|फलन का प्रवणता {{math|''f''(''x'',''y'') {{=}} −(cos<sup>2</sup>''x'' + cos<sup>2</sup>''y'')<sup>2</sup>}} निचले तल पर एक प्रक्षेपित वेक्टर क्षेत्र के रूप में दर्शाया गया है।]]
-स्केलर फलन का प्रवणता (या प्रवणता सदिश क्षेत्र) {{math|''f''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>, …, ''x<sub>n</sub>'')}} निरूपित है {{math|∇''f''}}  या {{math|{{vec|∇}}''f''}} कहाँ पे {{math|∇}} (नाबला प्रतीक) सदिश अवकल ऑपरेटर, डेल को दर्शाता है। संकेतन {{math|grad ''f''}}  सामान्यतः पर प्रवणता का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी प्रयोग किया जाता है। का प्रवणता {{math|''f''}} अद्वितीय सदिश क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका डॉट उत्पाद किसी भी यूक्लिडियन सदिश के साथ है {{math|'''v'''}} प्रत्येक बिंदु पर {{math|''x''}} का दिशात्मक व्युत्पन्न है {{math|''f''}} साथ-साथ {{math|'''v'''}}. वह है,
+एक अदिश फलन {{math|''f''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>, …, ''x<sub>n</sub>'')}} की प्रवणता (या प्रवणता वेक्टर क्षेत्र) को {{math|∇''f''}}  या →<math>f</math> से निरूपित किया जाता है, जहां {{math|∇}} (नाबला) वेक्टर अंतर संकारक, डेल को दर्शाता है। प्रवणता का प्रतिनिधित्व करने के लिए अंकन ग्रैड {{math|grad ''f''}}  का भी सामान्यता पर उपयोग किया जाता है। <math>f</math> के प्रवणता को अद्वितीय वेक्टर क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका डॉट उत्पाद प्रत्येक बिंदु x पर किसी भी वेक्टर v के साथ <math>f</math>  का दिशात्मक व्युत्पन्न है। अर्थात,
-एक अदिश फलन {{math|''f''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>, …, ''x<sub>n</sub>'')}} की प्रवणता (या प्रवणता सदिश क्षेत्र) को {{math|∇''f''}} या →<math>f</math> से निरूपित किया जाता है, जहां {{math|∇}} (नाबला) सदिश अंतर संकारक, डेल को दर्शाता है। प्रवणता का प्रतिनिधित्व करने के लिए अंकन ग्रेड एफ का भी सामान्यतः पर उपयोग किया जाता है। <math>f</math> के प्रवणता को अद्वितीय सदिश क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका डॉट उत्पाद प्रत्येक बिंदु x पर किसी भी सदिश v के साथ v के साथ <math>f</math> का दिशात्मक व्युत्पन्न है। अर्थात,
 :<math>\big(\nabla f(x)\big)\cdot \mathbf{v} = D_{\mathbf v}f(x)</math>
-जहां दाहिनी ओर का हाथ दिशात्मक व्युत्पन्न है और इसका प्रतिनिधित्व करने के कई तरीके हैं। औपचारिक रूप से, व्युत्पन्न प्रवणता के लिए दोहरी है; व्युत्पन्न के साथ संबंध देखें।
+जहाँ पर दायां तरफ हाथ निदेशात्मक व्युत्पन्न होता है और उसे दर्शाने के कई तरीके हैं।औपचारिक रूप से, व्युत्पन्न प्रवणता के लिए दोहरी है; व्युत्पन्न के साथ संबंध देखें
-जब कोई फलन समय जैसे पैरामीटर पर भी निर्भर करता है, तो प्रवणता अक्सर केवल इसके स्थानिक डेरिवेटिव के सदिश को संदर्भित करता है (स्थानिक प्रवणता देखें)।
+जब प्रकार्य समय जैसे प्राचल पर भी निर्भर होता है तो प्रवणता से तात्पर्य केवल इसके स्थानिक व्युत्ग्राहकों के वेक्टर से होता है (स्पेशियल प्रवणता देखें).
-प्रवणता सदिश की परिमाण और दिशा विशेष समन्वय प्रतिनिधित्व से स्वतंत्र होती है।<ref>{{harvtxt|Kreyszig|1972|pp=308–309}}</ref><ref>{{harvtxt|Stoker|1969|p=292}}</ref>
+प्रवणता वेक्टर का परिमाण तथा दिशा विशेष निर्देशांक निरूपण से स्वतंत्र है।<ref>{{harvtxt|Kreyszig|1972|pp=308–309}}</ref><ref>{{harvtxt|Stoker|1969|p=292}}</ref>
 === '''कार्तीय निर्देशांक''' ===
-यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ त्रि-आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, प्रवणता, यदि यह मौजूद है, द्वारा दिया गया है:
+त्रिआयामी कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली में, युक्लिडियन मेट्रिक के साथ, प्रवणता, यदि वह मौजूद है, दिया जाता है, तो निम्नलिखित है:
 :<math>\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k},</math>
-जहाँ {{math|'''i'''}}, {{math|'''j'''}}, {{math|'''k'''}} क्रमशः {{math|''x''}}, {{math|''y''}} और {{math|''z''}} निर्देशांकों की दिशा में मानक इकाई सदिश हैं। उदाहरण के लिए, फलन का प्रवणता
+जहां {{math|'''i'''}}, {{math|'''j'''}}, {{math|'''k'''}}  मानक इकाई वैक्टर हैं क्रमशः  {{math|''x''}}, {{math|''y''}} और {{math|''z''}} निर्देशांक के निर्देशों में उदाहरण के लिए, फलन की प्रवणता।
 :<math>f(x,y,z)= 2x+3y^2-\sin(z)</math>
 है
 :<math>\nabla f = 2\mathbf{i}+ 6y\mathbf{j} -\cos(z)\mathbf{k}.</math>
-कुछ अनुप्रयोगों में यह एक आयताकार समन्वय प्रणाली में अपने घटकों के एक पंक्ति सदिश या स्तंभ सदिश के रूप में प्रवणता का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रथागत है; यह लेख प्रवणता के कॉलम सदिश होने की परंपरा का अनुसरण करता है, जबकि व्युत्पन्न एक पंक्ति सदिश है।
+कुछ अनुप्रयोगों में प्रवणता को आयताकार समन्वय प्रणाली में इसके घटकों के पंजर वेक्टर या स्तंभ वेक्टर के रूप में प्रदर्शित करने के लिए प्रथागत किया जाता है;यह लेख अनुक्रमणिका स्तंभ वेक्टर की परिपाटी के अनुसार है जबकि व्युत्पन्न एक पंक्ति वेक्टर है।
 ===बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक===
 {{main|बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में डेल}}
-एक यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ बेलनाकार निर्देशांक में, प्रवणता द्वारा दिया जाता है:<ref name="Schey-1992">{{harvnb|Schey|1992|pp=139–142}}.</ref>
+बेलनाकार निर्देशांक में यूक्लिडियन मेट्रिक के साथ निर्देशांक, प्रवणता द्वारा दिया जाता है:<ref name="Schey-1992">{{harvnb|Schey|1992|pp=139–142}}.</ref>
 :<math>\nabla f(\rho, \varphi, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho}\mathbf{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \varphi}\mathbf{e}_\varphi + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{e}_z,</math>
-जहाँ पे {{math|''ρ''}} अक्षीय दूरी है, {{math|''φ''}} अज़ीमुथल या अज़ीमुथ कोण है, {{math|''z''}} अक्षीय निर्देशांक है, और {{math|'''e'''<sub>''ρ''</sub>}}, {{math|'''e'''<sub>''φ''</sub>}} और {{math|'''e'''<sub>''z''</sub>}} निर्देशांक दिशाओं की ओर इशारा करते हुए इकाई सदिश हैं।
+जहाँ पे {{math|''ρ''}} अक्षीय दूरी है, {{math|''φ''}} अज़ीमुथल या अज़ीमुथ कोण है, {{math|''z''}} अक्षीय निर्देशांक है, और {{math|'''e'''<sub>''ρ''</sub>}}, {{math|'''e'''<sub>''φ''</sub>}} और {{math|'''e'''<sub>''z''</sub>}} निर्देशांक दिशाओं की ओर इशारा करते हुए इकाई वेक्टर हैं।
 गोलाकार निर्देशांक में, प्रवणता द्वारा दिया जाता है:<ref name="Schey-1992" />
 :<math>\nabla f(r, \theta, \varphi) = \frac{\partial f}{\partial r}\mathbf{e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\mathbf{e}_\theta + \frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \varphi}\mathbf{e}_\varphi,</math>
-जहाँ {{math|''r''}} रेडियल दूरी है, {{math|''φ''}} अज़ीमुथल कोण है और {{math|''θ''}} ध्रुवीय कोण है, और {{math|'''e'''<sub>''r''</sub>}}, {{math|'''e'''<sub>''θ''</sub>}} तथा {{math|'''e'''<sub>''φ''</sub>}}  फिर से स्थानीय इकाई सदिश हैं जो निर्देशांक दिशाओं (अर्थात सामान्यीकृत सहसंयोजक आधार) की ओर इशारा करते हैं।
+जहाँ {{math|''r''}} रेडियल दूरी है, {{math|''φ''}} अज़ीमुथल कोण है और {{math|''θ''}} ध्रुवीय कोण है, और {{math|'''e'''<sub>''r''</sub>}}, {{math|'''e'''<sub>''θ''</sub>}} तथा {{math|'''e'''<sub>''φ''</sub>}}  फिर से स्थानीय इकाई वेक्टर हैं जो निर्देशांक दिशाओं (अर्थात सामान्यीकृत सहसंयोजक आधार) की ओर इशारा करते हैं।
-अन्य ऑर्थोगोनल कोऑर्डिनेट सिस्टम में प्रवणता के लिए, ऑर्थोगोनल कोऑर्डिनेट्स (तीन आयामों में डिफरेंशियल ऑपरेटर्स) देखें।
+अन्य ऑर्थोगोनल कोऑर्डिनेट सिस्टम में प्रवणता के लिए, ऑर्थोगोनल कोऑर्डिनेट्स (तीन आयामों में विभेदीय संकारक) देखें।
 === सामान्य निर्देशांक ===
-हम सामान्य निर्देशांक पर विचार करते हैं, जिन्हें हम लिखते हैं {{math|''x''<sup>1</sup>, …, ''x''<sup>''i''</sup>, …, ''x''<sup>''n''</sup>}}, जहां n डोमेन के आयामों की संख्या है। यहां, ऊपरी सूचकांक समन्वय या घटक की सूची में स्थिति को संदर्भित करता है, इसलिए  {{math|''x''<sup>2</sup>}}  दूसरे घटक को संदर्भित करता है-मात्रा {{math|''x''}} वर्ग नहीं। सूचकांक चर {{math|''i''}} एक मनमाना तत्व {{math|''x''<sup>''i''</sup>}} को संदर्भित करता है। आइंस्टीन संकेतन का उपयोग करते हुए, प्रवणता को तब इस प्रकार लिखा जा सकता है:
+हम सामान्य निर्देशांक, जो हम {{math|''x''<sup>1</sup>, …, ''x''<sup>''i''</sup>, …, ''x''<sup>''n''</sup>}}  जहां एन डोमेन के आयाम की संख्या है पर विचार करें यहाँ, ऊपर सूचकांक निर्देशांक या घटक की सूची में स्थिति को दर्शाता है, इसलिए {{math|''x''<sup>2</sup>}} का संदर्भ है मात्रा {{math|''x''}} वर्ग नहीं.सूचकांक चर {{math|''i''}} एक मनमानी तत्व {{math|''x''<sup>''i''</sup>}} संदर्भित करता है।आइंस्टीन संकेतन का उपयोग करके, प्रवणता तब के रूप में लिखा जा सकता है:<math display="block">\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x^{i}}g^{ij} \mathbf{e}_j</math>(ध्यान दें कि इसका दोहरा स्थान है <math display="inline">\mathrm{d}f = \frac{\partial f}{\partial x^{i}}\mathbf{e}^i</math>),
-<math display="block">\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x^{i}}g^{ij} \mathbf{e}_j</math> (ध्यान दें कि इसका दोहरा स्थान है <math display="inline">\mathrm{d}f = \frac{\partial f}{\partial x^{i}}\mathbf{e}^i</math>),
 कहाँ पे <math>\mathbf{e}_i = \partial \mathbf{x}/\partial x^i</math> तथा <math>\mathbf{e}^i = \mathrm{d}x^i</math> असामान्य स्थानीय वक्रीय निर्देशांक देखें सहसंयोजक और विरोधाभासी आधार क्रमशः, <math>g^{ij}</math> मीट्रिक प्रदिश  # उलटा मीट्रिक है, और आइंस्टीन सारांश सम्मेलन i और j पर योग का तात्पर्य है।
@@ Line 95: / Line 92: @@
 <math display="block">\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x^{i}}g^{ij} \hat{\mathbf{e}}_{j}\sqrt{g_{jj}} = \sum_{i=1}^n \, \frac{\partial f}{\partial x^{i}} \frac{1}{h_i} \mathbf{\hat{e}}_i</math> (तथा <math display="inline">\mathrm{d}f = \sum_{i=1}^n \, \frac{\partial f}{\partial x^{i}} \frac{1}{h_i} \mathbf{\hat{e}}^i</math>),
-जहां हम आइंस्टीन संकेतन का उपयोग नहीं कर सकते, क्योंकि दो से अधिक सूचकांकों की पुनरावृत्ति से बचना असंभव है। ऊपरी और निचले सूचकांकों के उपयोग के बावजूद, <math>\mathbf{\hat{e}}_i</math>, <math>\mathbf{\hat{e}}^i</math>, तथा <math>h_i</math> न तो विरोधाभासी हैं और न ही सहसंयोजक।
+जहां हम आइंस्टाइन नोटेशन का प्रयोग नहीं कर सकते, क्योंकि दो से अधिक संकेतकों की पुनरावृत्ति से बचना असंभव है।} ऊपरी और निचले सूचकांक के उपयोग के बावजूद , <math>\mathbf{\hat{e}}_i</math>, <math>\mathbf{\hat{e}}^i</math>, तथा <math>h_i</math> न तो विरोधी हैं और न ही संस्कृतिक
-उत्तरार्द्ध अभिव्यक्ति बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक के लिए ऊपर दिए गए भावों का मूल्यांकन करती है।
+बाद की अभिव्यक्ति बेलनाकार और गोलीय निर्देशांक के लिए ऊपर दी गई अभिव्यक्ति का मूल्यांकन करती है।
 == व्युत्पन्न के साथ संबंध==
-{{Calculus|Vector}}
 === कुल व्युत्पन्न के साथ संबंध ===
-प्रवणता कुल व्युत्पन्न (कुल अंतर) से निकटता से संबंधित है <math>df</math>: वे एक दूसरे को स्थानांतरित (रैखिक मानचित्र का स्थानांतरण) कर रहे हैं। उस सम्मेलन का उपयोग करना जो सदिश में <math>\R^n</math> कॉलम सदिश द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है, और वह कोसदिश (रैखिक मानचित्र .) <math>\R^n \to \R</math>) पंक्ति सदिश द्वारा दर्शाए जाते हैं,{{efn|name=row-column}} प्रवणता <math>\nabla f</math> और व्युत्पन्न <math>df</math> एक ही घटक के साथ क्रमशः एक स्तंभ और पंक्ति सदिश के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, लेकिन एक दूसरे का स्थानान्तरण करते हैं:
+प्रवणता कुल व्युत्पन्न (कुल अंतर) से निकटता से संबंधित है <math>df</math>: वे एक दूसरे को स्थानांतरित (रैखिक मानचित्र का स्थानांतरण) कर रहे हैं। उस सम्मेलन का उपयोग करना जो वेक्टर में <math>\R^n</math> कॉलम वेक्टर द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है, और वह कोवेक्टर (रैखिक मानचित्र .) <math>\R^n \to \R</math>) पंक्ति वेक्टर द्वारा दर्शाए जाते हैं,{{efn|name=row-column}} प्रवणता <math>\nabla f</math> और व्युत्पन्न <math>df</math> एक ही घटक के साथ क्रमशः एक स्तंभ और पंक्ति वेक्टर के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, लेकिन एक दूसरे का स्थानान्तरण करते हैं:
 :<math>\nabla f(p) = \begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(p) \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n}(p) \end{bmatrix} ;</math>
 :<math>df_p = \begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(p) & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n}(p) \end{bmatrix} .</math>
-जबकि इन दोनों में समान घटक होते हैं, वे किस प्रकार की गणितीय वस्तु का प्रतिनिधित्व करते हैं, वे भिन्न होते हैं: प्रत्येक बिंदु पर, व्युत्पन्न एक कोटेंजेंट सदिश होता है, एक रैखिक रूप (कोसदिश) जो व्यक्त करता है कि किसी दिए गए इनफिनिटिमल के लिए कितना (स्केलर) आउटपुट बदलता है (सदिश) इनपुट में परिवर्तन, जबकि प्रत्येक बिंदु पर, प्रवणता एक स्पर्शरेखा सदिश है, जो (सदिश) इनपुट में एक असीम परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। प्रतीकों में, प्रवणता एक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान का एक तत्व है, <math>\nabla f(p) \in T_p \R^n</math>, जबकि व्युत्पन्न स्पर्शरेखा स्थान से वास्तविक संख्याओं तक का नक्शा है, <math>df_p \colon T_p \R^n \to \R</math>. के प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान <math>\R^n</math> स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है। {{efn|Informally, "naturally" identified means that this can be done without making any arbitrary choices. This can be formalized with a [[natural transformation]].}} सदिश स्पेस के साथ <math>\R^n</math> स्वयं, और इसी तरह प्रत्येक बिंदु पर कोटैंजेंट स्पेस को दोहरी सदिश स्पेस के साथ स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है <math>(\R^n)^*</math> कोसदिशों का; इस प्रकार एक बिंदु पर प्रवणता के मूल्य को मूल में एक सदिश के बारे में सोचा जा सकता है <math>\R^n</math>, न केवल एक स्पर्शरेखा सदिश के रूप में।
+जबकि इन दोनों में समान घटक होते हैं, वे किस प्रकार की गणितीय वस्तु का प्रतिनिधित्व करते हैं, वे भिन्न होते हैं: प्रत्येक बिंदु पर, व्युत्पन्न एक कोटेंजेंट वेक्टर होता है, एक रैखिक रूप (कोवेक्टर) जो व्यक्त करता है कि किसी दिए गए इनफिनिटिमल के लिए कितना (स्केलर) आउटपुट बदलता है (वेक्टर) इनपुट में परिवर्तन, जबकि प्रत्येक बिंदु पर, प्रवणता एक स्पर्शरेखा वेक्टर है, जो (वेक्टर) इनपुट में एक असीम परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। प्रतीकों में, प्रवणता एक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान का एक तत्व है, <math>\nabla f(p) \in T_p \R^n</math>, जबकि व्युत्पन्न स्पर्शरेखा स्थान से वास्तविक संख्याओं तक का नक्शा है, <math>df_p \colon T_p \R^n \to \R</math>. के प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान <math>\R^n</math> स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है। {{efn|Informally, "naturally" identified means that this can be done without making any arbitrary choices. This can be formalized with a [[natural transformation]].}} वेक्टर स्पेस के साथ <math>\R^n</math> स्वयं, और इसी तरह प्रत्येक बिंदु पर कोटैंजेंट स्पेस को दोहरी वेक्टर स्पेस के साथ स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है <math>(\R^n)^*</math> कोवेक्टरों का; इस प्रकार एक बिंदु पर प्रवणता के मूल्य को मूल में एक वेक्टर के बारे में सोचा जा सकता है <math>\R^n</math>, न केवल एक स्पर्शरेखा वेक्टर के रूप में।
-कम्प्यूटेशनल रूप से, एक स्पर्शरेखा सदिश दिया जाता है, सदिश को व्युत्पन्न (मैट्रिस के रूप में) से गुणा किया जा सकता है, जो कि प्रवणता के साथ डॉट उत्पाद लेने के बराबर है:
+कंप्यूटेशनल, एक स्पर्शज्या वेक्टर को देखते हुए, वेक्टर को व्युत्पन्न (आव्यूहों के रूप में) से गुणा किया जा सकता है, जो कि प्रवणता के साथ डॉट-उत्पाद लेने के बराबर है:
 :<math>
 (df_p)(v) = \begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(p) & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n}(p) \end{bmatrix}
@@ Line 116: / Line 110: @@
 = \begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(p) \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n}(p) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}v_1 \\ \vdots \\ v_n\end{bmatrix}
 = \nabla f(p) \cdot v</math>
 ==== विभेदक या (बाहरी) व्युत्पन्न ====
 एक अलग-अलग फलन के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन
 :<math>f \colon \R^n \to \R</math>
-एक बिंदु पर {{math|''x''}} में {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} से एक रैखिक नक्शा है {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} प्रति {{math|'''R'''}} जिसे अक्सर द्वारा दर्शाया जाता है {{math|''df<sub>x</sub>''}} या {{math|''Df''(''x'')}} और अंतर (कैलकुलस) या का कुल व्युत्पन्न कहा जाता है {{math|''f''}} पर {{math|''x''}}. कार्यक्रम {{math|''df''}}, कौन सा नक्शा {{math|''x''}} प्रति {{math|''df''<sub>''x''</sub>}}, को का कुल अंतर या बाहरी व्युत्पन्न कहा जाता है {{math|''f''}} और अंतर 1-रूप का एक उदाहरण है।
+एक बिंदु पर {{math|''x''}} में {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} से एक रैखिक नक्शा है {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} प्रति {{math|'''R'''}} जिसे अक्सर द्वारा दर्शाया जाता है {{math|''df<sub>x</sub>''}} या {{math|''Df''(''x'')}} और अंतर (कैलकुलस) या का कुल व्युत्पन्न कहा जाता है {{math|''f''}}  पर {{math|''x''}}  कार्यक्रम {{math|''df''}}, कौन सा नक्शा {{math|''x''}} प्रति {{math|''df''<sub>''x''</sub>}} को का कुल अंतर या बाहरी व्युत्पन्न कहा जाता है  {{math|''f''}} और अंतर 1-रूप का एक उदाहरण है।
-जितना एक एकल चर के किसी फलन का व्युत्पन्न फलन के किसी फलन के ग्राफ के स्पर्शरेखा के ढलान का प्रतिनिधित्व करता है,<ref>{{harvtxt|Protter|Morrey, Jr.|1970|pp=21,88}}</ref> कई चर राशि में एक फलन का दिशात्मक व्युत्पन्न सदिश की दिशा में स्पर्शरेखा हाइपरप्लेन की ढलान का प्रतिनिधित्व करता है।
+जितना एक एकल चर के किसी फलन का व्युत्पन्न फलन के किसी फलन के ग्राफ के स्पर्शरेखा के ढलान का प्रतिनिधित्व करता है,<ref>{{harvtxt|Protter|Morrey, Jr.|1970|pp=21,88}}</ref>  कई चर राशि में एक फलन का दिशात्मक व्युत्पन्न वेक्टर की दिशा में स्पर्शरेखा हाइपरप्लेन की ढलान का प्रतिनिधित्व करता है।
 प्रवणता सूत्र द्वारा अंतर से संबंधित है
 :<math>(\nabla f)_x\cdot v = df_x(v)</math>
-किसी के लिए {{math|''v'' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup>}}, कहाँ पे <math>\cdot</math> डॉट उत्पाद है: प्रवणता के साथ सदिश का डॉट उत्पाद लेना सदिश के साथ दिशात्मक व्युत्पन्न लेने जैसा ही है।
+किसी के लिए {{math|''v'' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup>}}, कहाँ पे <math>\cdot</math> डॉट उत्पाद है: प्रवणता के साथ वेक्टर का डॉट उत्पाद लेना वेक्टर के साथ दिशात्मक व्युत्पन्न लेने जैसा ही है।
-यदि {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} (आयाम) के स्थान के रूप में देखा जाता है {{math|''n''}}) कॉलम सदिश (वास्तविक संख्याओं का), तो कोई मान सकता है {{math|''df''}}  घटकों के साथ पंक्ति सदिश के रूप में
+यदि {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} (आयाम) के स्थान के रूप में देखा जाता है {{math|''n''}}) कॉलम वेक्टर (वास्तविक संख्याओं का), तो कोई मान सकता है {{math|''df''}}  घटक के साथ पंक्ति वेक्टर के रूप में
 :<math>\left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right),</math>
-ताकि {{math|''df''<sub>''x''</sub>(''v'')}} मैट्रिक्स गुणन द्वारा दिया जाता है। मानक यूक्लिडियन मीट्रिक को मानते हुए {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}, प्रवणता तब संबंधित कॉलम सदिश होता है, अर्थात,
+ताकि {{math|''df''<sub>''x''</sub>(''v'')}} मैट्रिक्स गुणन द्वारा दिया जाता है। मानक यूक्लिडियन मीट्रिक को मानते हुए {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}, प्रवणता तब संबंधित कॉलम वेक्टर होता है, अर्थात,
 :<math>(\nabla f)_i = df^\mathsf{T}_i.</math>
 ==== एक फलन के लिए रैखिक सन्निकटन ====
-किसी फलन के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन व्युत्पन्न के बजाय प्रवणता के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। फलन का प्रवणता (गणित) {{math|''f''}} यूक्लिडियन अंतरिक्ष से {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} प्रति {{math|'''R'''}} किसी विशेष बिंदु पर {{math|''x''<sub>0</sub>}} में {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन की विशेषता है {{math|''f''}} पर {{math|''x''<sub>0</sub>}}. सन्निकटन इस प्रकार है:
+किसी फलन के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन व्युत्पन्न के बजाय प्रवणता के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। फलन का प्रवणता (गणित) {{math|''f''}} यूक्लिडियन अंतरिक्ष से {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} प्रति {{math|'''R'''}} किसी विशेष बिंदु पर {{math|''x''<sub>0</sub>}} में {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन की विशेषता है {{math|''f''}} पर {{math|''x''<sub>0</sub>}} सन्निकटन इस प्रकार है:
 :<math>f(x) \approx f(x_0) + (\nabla f)_{x_0}\cdot(x-x_0)</math>
@@ Line 142: / Line 132: @@
 === फ़्रेचेट व्युत्पन्न के साथ संबंध===
-होने देना {{math|''U''}} में एक खुला सेट बनें {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}. यदि समारोह {{math|''f'' : ''U'' → '''R'''}} अवकलनीय है, तो का अंतर {{math|''f''}}  फ्रेचेट का व्युत्पन्न है {{math|''f''}}. इस प्रकार {{math|∇''f''}}  से एक समारोह है {{math|''U''}} अंतरिक्ष के लिए {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} ऐसा है कि
+होने देना {{math|''U''}} में एक खुला सेट बनें {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}. यदि फलन {{math|''f'' : ''U'' → '''R'''}} अवकलनीय है, तो का अंतर {{math|''f''}}  फ्रेचेट का व्युत्पन्न है {{math|''f''}}. इस प्रकार {{math|∇''f''}}  से एक फलन है {{math|''U''}} अंतरिक्ष के लिए {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} ऐसा है कि
-<math display="block">\lim_{h\to 0} \frac{|f(x+h)-f(x) -\nabla f(x)\cdot h|}{\|h\|} = 0,</math>
+<math display="block">\lim_{h\to 0} \frac{|f(x+h)-f(x) -\nabla f(x)\cdot h|}{\|h\|} = 0,</math>जहां  डॉट उत्पाद है।
-जहां · डॉट उत्पाद है।
 एक परिणाम के रूप में, व्युत्पन्न के सामान्य गुण प्रवणता के लिए धारण करते हैं, हालांकि प्रवणता स्वयं व्युत्पन्न नहीं है, बल्कि व्युत्पन्न के लिए दोहरी है:
@@ Line 153: / Line 141: @@
 :यदि {{math|''f''}} तथा {{math|''g''}} वास्तविक-मूल्यवान फलन एक बिंदु पर भिन्न होते हैं {{math|''a'' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup>}}, तो उत्पाद नियम यह दावा करता है कि उत्पाद {{math|''fg''}} पर भिन्न है {{math|''a''}}, तथा <math display="block">\nabla (fg)(a) = f(a)\nabla g(a) + g(a)\nabla f(a).</math>
 ;श्रृंखला नियम
-:मान लो कि {{math|''f'' : ''A'' → '''R'''}} एक सबसेट पर परिभाषित एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है {{math|''A''}} का {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}, और कि {{math|''f''}} एक बिंदु पर अवकलनीय है {{math|''a''}}. प्रवणता पर लागू होने वाले चेन नियम के दो रूप हैं। सबसे पहले, मान लें कि फलन {{math|''g''}} एक पैरामीट्रिक वक्र है; वह है, एक समारोह {{math|''g'' : ''I'' → '''R'''<sup>''n''</sup>}} एक सबसेट को मैप करता है {{math|''I'' ⊂ '''R'''}} में {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}. यदि {{math|''g''}} एक बिंदु पर अवकलनीय है {{math|''c'' ∈ ''I''}} ऐसा है कि {{math|''g''(''c'') {{=}} ''a''}}, फिर <math display="block">(f\circ g)'(c) = \nabla f(a)\cdot g'(c),</math> जहां कंपोजिशन ऑपरेटर है: {{math|1=(''f'' ∘ ''g'')(''x'') = ''f''(''g''(''x''))}}.
+:मान लो कि {{math|''f'' : ''A'' → '''R'''}} एक सबसेट पर परिभाषित एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है {{math|''A''}} का {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}, और कि {{math|''f''}} एक बिंदु पर अवकलनीय है {{math|''a''}}. प्रवणता पर लागू होने वाले चेन नियम के दो रूप हैं। सबसे पहले, मान लें कि फलन {{math|''g''}} एक पैरामीट्रिक वक्र है; वह है, एक फलन {{math|''g'' : ''I'' → '''R'''<sup>''n''</sup>}} एक सबसेट को मैप करता है {{math|''I'' ⊂ '''R'''}} में {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}. यदि {{math|''g''}} एक बिंदु पर अवकलनीय है {{math|''c'' ∈ ''I''}} ऐसा है कि {{math|''g''(''c'') {{=}} ''a''}}, फिर <math display="block">(f\circ g)'(c) = \nabla f(a)\cdot g'(c),</math> जहां कंपोजिशन ऑपरेटर है: {{math|1=(''f'' ∘ ''g'')(''x'') = ''f''(''g''(''x''))}}.
-अधिक सामान्यतः, यदि इसके बजाय {{math|''I'' ⊂ '''R'''<sup>''k''</sup>}}, तो निम्नलिखित धारण करता है:
+अधिक सामान्यता, यदि इसके बजाय {{math|''I'' ⊂ '''R'''<sup>''k''</sup>}}, तो निम्नलिखित धारण करता है:<math display="block">\nabla (f\circ g)(c) = \big(Dg(c)\big)^\mathsf{T} \big(\nabla f(a)\big),</math>कहाँ पे {{math|(''Dg'')}}<sup>T</sup> ट्रांसपोज़ जैकोबियन मैट्रिक्स को दर्शाता है।
-<math display="block">\nabla (f\circ g)(c) = \big(Dg(c)\big)^\mathsf{T} \big(\nabla f(a)\big),</math>
-कहाँ पे {{math|(''Dg'')}}<sup>T</sup> ट्रांसपोज़ जैकोबियन मैट्रिक्स को दर्शाता है।
-श्रृंखला नियम के दूसरे रूप के लिए, मान लीजिए कि {{math|''h'' : ''I'' → '''R'''}} एक सबसेट पर एक वास्तविक मूल्यवान कार्य है {{math|''I''}} का {{math|'''R'''}}, और कि {{math|''h''}} बिंदु पर भिन्न है {{math|''f''(''a'') ∈ ''I''}}. फिर
-<math display="block">\nabla (h\circ f)(a) = h'\big(f(a)\big)\nabla f(a).</math>
+श्रृंखला नियम के दूसरे रूप के लिए, मान लीजिए कि {{math|''h'' : ''I'' → '''R'''}} एक सबसेट पर एक वास्तविक मूल्यवान कार्य है {{math|''I''}} का {{math|'''R'''}}, और कि {{math|''h''}} बिंदु पर भिन्न है {{math|''f''(''a'') ∈ ''I''}}. फिर<math display="block">\nabla (h\circ f)(a) = h'\big(f(a)\big)\nabla f(a).</math>
 == आगे के गुण और अनुप्रयोग ==
@@ Line 168: / Line 153: @@
 {{see also|लेवल सेट लेवल सेट बनाम प्रवणता}}
-एक स्तर की सतह, या आइसोसुरफेस, उन सभी बिंदुओं का समूह है जहां कुछ फलन का एक निश्चित मान होता है।
+एक स्तर की सतह, या समसतह, सभी बिंदुओं का सेट है जहां कुछ फलन के पास दिए गए मान हैं।
-यदि {{math|''f''}} अवकलनीय है, तो डॉट उत्पाद {{math|(∇''f''&thinsp;)<sub>''x''</sub> ⋅ ''v''}} एक बिंदु पर प्रवणता का {{math|''x''}} एक सदिश के साथ {{math|''v''}} का दिशात्मक व्युत्पन्न देता है {{math|''f''}} पर {{math|''x''}} दिशा में {{math|''v''}}. यह इस प्रकार है कि इस मामले में का प्रवणता {{math|''f''}} के स्तर सेट के लिए ओर्थोगोनल है {{math|''f''}}. उदाहरण के लिए, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक स्तर की सतह को फॉर्म के समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है {{math|1=''F''(''x'', ''y'', ''z'') = ''c''}}. का प्रवणता {{math|''F''}} फिर सतह के लिए सामान्य है।
+यदि {{math|''f''}} अवकलनीय है, तो डॉट उत्पाद {{math|(∇''f''&thinsp;)<sub>''x''</sub> ⋅ ''v''}} एक बिंदु पर प्रवणता का {{math|''x''}} एक वेक्टर के साथ {{math|''v''}} का दिशात्मक व्युत्पन्न देता है {{math|''f''}} पर {{math|''x''}} दिशा में {{math|''v''}}. यह इस प्रकार है कि इस मामले में का प्रवणता {{math|''f''}} के स्तर सेट के लिए ओर्थोगोनल है {{math|''f''}}. उदाहरण के लिए, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक स्तर की सतह को फॉर्म के समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है {{math|1=''F''(''x'', ''y'', ''z'') = ''c''}}. का प्रवणता {{math|''F''}} फिर सतह के लिए सामान्य है।
 अधिक आम तौर पर, रिमेंनियन मैनिफोल्ड में किसी भी अंतर्निहित सबमनिफोल्ड उच्च सतह को फॉर्म के समीकरण द्वारा काटा जा सकता है {{math|1=''F''(''P'') = 0}} ऐसा है कि {{math|''dF''}} शून्य कहीं नहीं है। का प्रवणता {{math|''F''}} फिर उच्च सतह के लिए सामान्य है।
-इसी तरह, एक एफ़िन बीजीय किस्म को एक समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है {{math|1=''F''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) = 0}}, कहाँ पे {{math|''F''}} एक बहुपद है। का प्रवणता {{math|''F''}} उच्च सतह के एकवचन बिंदु पर शून्य है (यह एकवचन बिंदु की परिभाषा है)। एक गैर-एकवचन बिंदु पर, यह एक गैर-शून्य सामान्य सदिश है।
+इसी तरह, एक एफ़िन बीजीय किस्म को एक समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है {{math|1=''F''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) = 0}}, कहाँ पे {{math|''F''}} एक बहुपद है। का प्रवणता {{math|''F''}} उच्च सतह के एकवचन बिंदु पर शून्य है (यह एकवचन बिंदु की परिभाषा है)। एक गैर-एकवचन बिंदु पर, यह एक गैर-शून्य सामान्य वेक्टर है।
-=== रूढ़िवादी सदिश क्षेत्र और प्रवणता प्रमेय ===
+=== रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र और प्रवणता प्रमेय ===
 {{main|प्रवणता प्रमेय}}
-किसी फलन के प्रवणता को प्रवणता क्षेत्र कहा जाता है। ए (निरंतर) प्रवणता क्षेत्र हमेशा एक रूढ़िवादी सदिश क्षेत्र होता है: किसी भी पथ के साथ इसकी रेखा अभिन्न केवल पथ के अंत बिंदुओं पर निर्भर करती है, और प्रवणता प्रमेय (लाइन इंटीग्रल के लिए कैलकुस का मौलिक प्रमेय) द्वारा मूल्यांकन किया जा सकता है। इसके विपरीत, एक (निरंतर) रूढ़िवादी सदिश क्षेत्र हमेशा एक फलन का प्रवणता होता है।
+फलन के प्रवणता को प्रवणता क्षेत्र कहा जाता हैएक (सतत) प्रवणता क्षेत्र हमेशा अनुदैर्घ्य वेक्टर क्षेत्र होता है: किसी भी पथ के साथ इसकी रेखा समाकल पथ के अंतबिंदु पर निर्भर करता है तथा इसका मूल्यांकन प्रवणता प्रमेय (समाकल लाइन के लिए कलन का मूल प्रमेय) द्वारा किया जा सकता है।इसके विपरीत, एक (सतत) रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र हमेशा एक फलन की प्रवणता है।
 == सामान्यीकरण ==
@@ Line 185: / Line 170: @@
 === जैकोबियन ===
 {{Main|जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक}}
-जैकोबियन मैट्रिक्स कई चर के सदिश-मूल्यवान कार्यों के लिए प्रवणता का सामान्यीकरण है और यूक्लिडियन रिक्त स्थान के बीच अलग-अलग मानचित्रों या अधिक आम तौर पर कई गुना है।<ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|pp=87,248}}</ref><ref>{{harvtxt|Kreyszig|1972|pp=333,353,496}}</ref>  बानाख रिक्त स्थान के बीच एक फलन के लिए एक और सामान्यीकरण फ़्रेचेट व्युत्पन्न है।
+जैकोबियन आव्यूह अनेक चरों के वेक्टर-मूल्यांकित कार्यों के लिए प्रवणता का सामान्यीकरण है और यूक्लिडियन स्थानों या, सामान्यतया, कई चरों के विभेदक मानचित्र के लिए<ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|pp=87,248}}</ref><ref>{{harvtxt|Kreyszig|1972|pp=333,353,496}}</ref> बनाच स्थान के बीच एक फलन के लिए एक और सामान्यीकरण फ्रेचेट व्युत्पन्न है।
 मान लीजिए {{math|'''f''' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup>}} एक ऐसा फलन है जिसका प्रत्येक प्रथम कोटि का आंशिक अवकलज मौजूद है {{math|ℝ<sup>''n''</sup>}}. तब का जैकोबियन मैट्रिक्स {{math|'''f'''}} एक के रूप में परिभाषित किया गया है {{math|''m''×''n''}} मैट्रिक्स, द्वारा दर्शाया गया <math>\mathbf{J}_\mathbb{f}(\mathbb{x})</math> या केवल <math>\mathbf{J}</math>. {{math|(''i'',''j'')}})}}वीं प्रविष्टि है <math>\mathbf J_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j}</math>. स्पष्ट रूप से
@@ Line 199: / Line 184: @@
      \vdots & \ddots & \vdots\\
      \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}.</math>
+=== एक वेक्टर क्षेत्र का प्रवणता ===
-=== एक सदिश क्षेत्र का प्रवणता ===
 {{see also|सहसंयोजक व्युत्पन्न}}
-चूँकि सदिश क्षेत्र का कुल व्युत्पन्न सदिशों से सदिशों तक एक रेखीय मानचित्रण है, यह एक प्रदिश  मात्रा है।
+चूंकि वेक्टर क्षेत्र का कुल व्युत्पन्न, वैक्टर से वेक्टर तक का एक रेखीय प्रतिचित्रण है, यह प्रदिश राशि है।
-आयताकार निर्देशांक में, एक सदिश क्षेत्र की प्रवणता {{math|1='''f''' = (&thinsp;''f''{{i sup|1}}, ''f''{{i sup|2}}, ''f''{{i sup|3}})}} द्वारा परिभाषित किया गया है:
+आयताकार निर्देशांक में, एक वेक्टर क्षेत्र का प्रवणता '''f''' = ( ''f''<sup>1</sup>, ''f''<sup>2</sup>, ''f''<sup>3</sup>) द्वारा परिभाषित किया जाता है:
 :<math>\nabla \mathbf{f}=g^{jk}\frac{\partial f^i}{\partial x^j} \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_k,</math>
-(जहां आइंस्टीन योग संकेतन का उपयोग किया जाता है और सदिश का प्रदिश  उत्पाद होता है {{math|'''e'''<sub>''i''</sub>}} तथा {{math|'''e'''<sub>''k''</sub>}} एक डाइडिक प्रदिश  प्रकार (2,0)) है। कुल मिलाकर, यह अभिव्यक्ति जैकोबियन मैट्रिक्स के स्थानान्तरण के बराबर है:
+(जहां आइंस्टाइन सममितन संकेतन का प्रयोग किया जाता है तथा वेक्टर {{math|'''e'''<sub>''i''</sub>}} तथा {{math|'''e'''<sub>''k''</sub>}} प्रदिश उत्पाद प्रकार (2,0) का एक दियाडिक प्रदिश होता है.कुल मिलाकर, यह अभिव्यक्ति जैकोबियन मैट्रिक्स के स्थानांतरण के बराबर होती है:
 :<math>\frac{\partial f^i}{\partial x^j} = \frac{\partial (f^1,f^2,f^3)}{\partial (x^1,x^2,x^3)}.</math>
-वक्रीय निर्देशांक में, या अधिक आम तौर पर एक घुमावदार रीमैनियन  अनेक पर, प्रवणता में क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक शामिल होते हैं:
+वक्रीय निर्देशांक में, या अधिक आम तौर पर एक घुमावदार मैनिफ़ोल्ड पर, प्रवणता में क्रिस्टोफिल प्रतीकों शामिल हैं:
 :<math>\nabla \mathbf{f}=g^{jk}\left(\frac{\partial f^i}{\partial x^j}+{\Gamma^i}_{jl}f^l\right) \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_k,</math>
-कहाँ पे {{math|''g''{{i sup|''jk''}}}} व्युत्क्रम मीट्रिक प्रदिश  के घटक हैं और {{math|'''e'''<sub>''i''</sub>}} निर्देशांक आधार सदिश हैं।
+कहाँ पे  व्युत्क्रम मीट्रिक प्रदिश  के घटक हैं और {{math|'''e'''<sub>''i''</sub>}} निर्देशांक आधार वेक्टर हैं।
-अधिक अपरिवर्तनीय रूप से व्यक्त किया गया, एक सदिश क्षेत्र का प्रवणता {{math|'''f'''}} लेवि-सिविटा कनेक्शन और मीट्रिक प्रदिश  द्वारा परिभाषित किया जा सकता है । <ref>{{harvnb|Dubrovin|Fomenko|Novikov|1991|pages=348–349}}.</ref>
+अधिक अपरिवर्तनीय रूप से व्यक्त किया गया, एक वेक्टर क्षेत्र का प्रवणता {{math|'''f'''}} लेवि-सिविटा कनेक्शन और मीट्रिक प्रदिश  द्वारा परिभाषित किया जा सकता है । <ref>{{harvnb|Dubrovin|Fomenko|Novikov|1991|pages=348–349}}.</ref>
 :<math>\nabla^a f^b = g^{ac} \nabla_c f^b ,</math>
 कहाँ पे {{math|∇<sub>''c''</sub>}} कनेक्शन है।
 === रीमैनियन मैनिफोल्ड्स ===
-किसी भी सुचारू कार्य के लिए {{mvar|f}} रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर {{math|(''M'', ''g'')}}, का प्रवणता {{math|''f''}} सदिश क्षेत्र है {{math|∇''f''}} ऐसा है कि किसी भी सदिश क्षेत्र के लिए {{math|''X''}},
+किसी भी सुचारू कार्य के लिए {{mvar|f}} रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर {{math|(''M'', ''g'')}}, का प्रवणता {{math|''f''}} वेक्टर क्षेत्र है {{math|∇''f''}} ऐसा है कि किसी भी वेक्टर क्षेत्र के लिए {{math|''X''}},
 :<math>g(\nabla f, X) = \partial_X f,</math>
 वह है,
 :<math>g_x\big((\nabla f)_x, X_x \big) = (\partial_X f) (x),</math>
-कहाँ पे {{math|''g''<sub>''x''</sub>( , )}} स्पर्शरेखा सदिश के आंतरिक उत्पाद को दर्शाता है {{math|''x''}} मीट्रिक द्वारा परिभाषित {{math|''g''}} तथा {{math|∂<sub>''X''</sub>&thinsp;''f''}} वह कार्य है जो किसी भी बिंदु को लेता है {{math|''x'' ∈ ''M''}} के दिशात्मक व्युत्पन्न के लिए {{math|''f''}} दिशा में {{math|''X''}}, पर मूल्यांकन किया गया {{math|''x''}}. दूसरे शब्दों में, एक समन्वय चार्ट में {{math|''φ''}} के एक खुले उपसमुच्चय से {{math|''M''}} के एक खुले उपसमुच्चय के लिए {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}, {{math|(∂<sub>''X''</sub>&thinsp;''f''&thinsp;)(''x'')}} द्वारा दिया गया है:
+कहाँ पे {{math|''g''<sub>''x''</sub>( , )}} स्पर्शरेखा वेक्टर के आंतरिक उत्पाद को दर्शाता है {{math|''x''}} मीट्रिक द्वारा परिभाषित {{math|''g''}} तथा {{math|∂<sub>''X''</sub>&thinsp;''f''}} वह कार्य है जो किसी भी बिंदु को लेता है {{math|''x'' ∈ ''M''}} के दिशात्मक व्युत्पन्न के लिए  {{math|''f''}}  दिशा में {{math|''X''}}, पर मूल्यांकन किया गया {{math|''x''}}  दूसरे शब्दों में, एक समन्वय चार्ट में {{math|''φ''}} के एक खुले उपसमुच्चय से {{math|''M''}} के एक खुले उपसमुच्चय के लिए {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}, {{math|(∂<sub>''X''</sub>&thinsp;''f''&thinsp;)(''x'')}} द्वारा दिया गया है:
 :<math>\sum_{j=1}^n X^{j} \big(\varphi(x)\big) \frac{\partial}{\partial x_{j}}(f \circ \varphi^{-1}) \Bigg|_{\varphi(x)},</math>
-कहाँ पे {{math|''X''{{isup|''j''}}}} दर्शाता है {{math|''j''}}का वां घटक {{math|''X''}}  इस समन्वय चार्ट में।
+कहाँ पे  दर्शाता है {{math|''j''}}का वां घटक {{math|''X''}}  इस समन्वय चार्ट में।
 तो, प्रवणता का स्थानीय रूप रूप लेता है:
@@ Line 234: / Line 217: @@
 मामले का सामान्यीकरण {{math|1=''M'' = '''R'''<sup>''n''</sup>}}, किसी फलन का प्रवणता उसके बाहरी व्युत्पन्न से संबंधित होता है, क्योंकि
 :<math>(\partial_X f) (x) = (df)_x(X_x) .</math>
-अधिक सटीक, प्रवणता {{math|∇''f''}} अंतर 1-रूप से जुड़ा सदिश क्षेत्र है {{math|''df''}} संगीत समरूपता का उपयोग करना
+अधिक सटीक, प्रवणता {{math|∇''f''}} अंतर 1-रूप से जुड़ा वेक्टर क्षेत्र है {{math|''df''}} संगीत समरूपता का उपयोग करना
 :<math>\sharp=\sharp^g\colon T^*M\to TM</math>
 (शार्प कहा जाता है) मीट्रिक द्वारा परिभाषित {{math|''g''}}. बाहरी व्युत्पन्न और किसी फलन के प्रवणता के बीच संबंध {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} इसका एक विशेष मामला है जिसमें मीट्रिक डॉट उत्पाद द्वारा दिया गया फ्लैट मीट्रिक है।
@@ Line 309: / Line 292: @@
 *असफलता विश्लेषण
 *एन पी-सम्पूर्ण
-*परीक्षण सदिश
+*परीक्षण वेक्टर
 *controllability
 *observability
@@ Line 362: / Line 345: @@
 *मैक ओएस
 *प्रयोक्ता इंटरफ़ेस
-*समारोह (गणित)
+*फलन (गणित)
 *फोरट्रान
 *स्थिर (कंप्यूटर विज्ञान)
@@ Line 446: / Line 429: @@
 *समसामयिक आर्किटेक्चर
 *गोथिक वास्तुशिल्प
-*फार्म समारोह के बाद
+*फार्म फलन के बाद
 *मंजिल की योजना
 *सुनहरा अनुपात

Anonymous

Search

प्रवणता: Difference between revisions

Revision as of 16:02, 30 October 2022

प्रेरणा

संकेतन

परिभाषा

कार्तीय निर्देशांक

बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक

सामान्य निर्देशांक

व्युत्पन्न के साथ संबंध

कुल व्युत्पन्न के साथ संबंध

विभेदक या (बाहरी) व्युत्पन्न

एक फलन के लिए रैखिक सन्निकटन

फ़्रेचेट व्युत्पन्न के साथ संबंध

आगे के गुण और अनुप्रयोग

स्तर सेट

रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र और प्रवणता प्रमेय

सामान्यीकरण

जैकोबियन

एक वेक्टर क्षेत्र का प्रवणता

रीमैनियन मैनिफोल्ड्स

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

संदर्भ

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

अग्रिम पठन

बाहरी संबंध

Navigation

Wiki tools

Page tools

Other projects

Hidden categories