विचलन: Difference between revisions
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सदिश क्षेत्र के विचलन को अधिकांशतः तरल, तरल या गैस के [[वेग क्षेत्र]] के सरल उदाहरण का उपयोग करके चित्रित किया जाता है। गतिमान गैस के प्रत्येक बिंदु पर वेग, गति और दिशा होती है, जिसे सदिश (गणित और भौतिकी) द्वारा दर्शाया जा सकता है, इसलिए गैस का वेग सदिश क्षेत्र बनाता है। यदि किसी गैस को गर्म किया जाए तो वह फैलती है। यह सभी दिशाओं में बाहर की ओर गैस कणों की शुद्ध गति का कारण बनेगा। गैस में कोई भी बंद सतह गैस को घेरेगी जो फैल रही है, इसलिए सतह के माध्यम से गैस का बाहरी प्रवाह होगा तो वेग क्षेत्र में हर स्थान पर धनात्मक विचलन होगा। इसी प्रकार यदि गैस को ठंडा किया जाए तो वह सिकुड़ेगी। किसी भी मात्रा में गैस के कणों के लिए अधिक जगह होगी, इसलिए द्रव के बाहरी दबाव से किसी भी बंद सतह के माध्यम से गैस की मात्रा का शुद्ध प्रवाह होगा। इसलिए वेग क्षेत्र में हर जगह ऋणात्मक विचलन होता है। इसके विपरीत, स्थिर तापमान और दबाव पर गैस में, किसी भी बंद सतह से गैस का शुद्ध प्रवाह शून्य होता है। गैस गतिमान हो सकती है, लेकिन किसी भी बंद सतह में प्रवाहित होने वाली गैस की आयतन दर बाहर बहने वाली आयतन दर के बराबर होनी चाहिए, इसलिए शुद्ध प्रवाह शून्य है। इस प्रकार गैस के वेग में हर स्थान पर शून्य मान के साथ विचलित होता है। वह क्षेत्र जिसमें हर स्थान पर शून्य मान के साथ विचलन होता है, [[सोलेनोइडल वेक्टर क्षेत्र]] कहलाता है। | सदिश क्षेत्र के विचलन को अधिकांशतः तरल, तरल या गैस के [[वेग क्षेत्र]] के सरल उदाहरण का उपयोग करके चित्रित किया जाता है। गतिमान गैस के प्रत्येक बिंदु पर वेग, गति और दिशा होती है, जिसे सदिश (गणित और भौतिकी) द्वारा दर्शाया जा सकता है, इसलिए गैस का वेग सदिश क्षेत्र बनाता है। यदि किसी गैस को गर्म किया जाए तो वह फैलती है। यह सभी दिशाओं में बाहर की ओर गैस कणों की शुद्ध गति का कारण बनेगा। गैस में कोई भी बंद सतह गैस को घेरेगी जो फैल रही है, इसलिए सतह के माध्यम से गैस का बाहरी प्रवाह होगा तो वेग क्षेत्र में हर स्थान पर धनात्मक विचलन होगा। इसी प्रकार यदि गैस को ठंडा किया जाए तो वह सिकुड़ेगी। किसी भी मात्रा में गैस के कणों के लिए अधिक जगह होगी, इसलिए द्रव के बाहरी दबाव से किसी भी बंद सतह के माध्यम से गैस की मात्रा का शुद्ध प्रवाह होगा। इसलिए वेग क्षेत्र में हर जगह ऋणात्मक विचलन होता है। इसके विपरीत, स्थिर तापमान और दबाव पर गैस में, किसी भी बंद सतह से गैस का शुद्ध प्रवाह शून्य होता है। गैस गतिमान हो सकती है, लेकिन किसी भी बंद सतह में प्रवाहित होने वाली गैस की आयतन दर बाहर बहने वाली आयतन दर के बराबर होनी चाहिए, इसलिए शुद्ध प्रवाह शून्य है। इस प्रकार गैस के वेग में हर स्थान पर शून्य मान के साथ विचलित होता है। वह क्षेत्र जिसमें हर स्थान पर शून्य मान के साथ विचलन होता है, [[सोलेनोइडल वेक्टर क्षेत्र]] कहलाता है। | ||
यदि गैस को केवल किसी बिंदु या छोटे क्षेत्र में गर्म किया जाता है, या किसी छोटी ट्यूब में प्रस्तुत किया जाता है जो किसी बिंदु पर अतिरिक्त गैस के स्रोत की आपूर्ति करती है, तो वहाँ गैस का विस्तार होगा, इसके चारों ओर द्रव कणों को सभी दिशाओं में बाहर धकेल दिया जाएगा। यह गर्म बिंदु पर केंद्रित पूरे गैस में | यदि गैस को केवल किसी बिंदु या छोटे क्षेत्र में गर्म किया जाता है, या किसी छोटी ट्यूब में प्रस्तुत किया जाता है जो किसी बिंदु पर अतिरिक्त गैस के स्रोत की आपूर्ति करती है, तो वहाँ गैस का विस्तार होगा, इसके चारों ओर द्रव कणों को सभी दिशाओं में बाहर धकेल दिया जाएगा। यह गर्म बिंदु पर केंद्रित पूरे गैस में बाहरी वेग क्षेत्र का कारण बनेगा। गर्म बिंदु को घेरने वाली किसी भी बंद सतह से निकलने वाले गैस कणों का प्रवाह होगा, इसलिए उस बिंदु पर धनात्मक विचलन होता है। चूंकि किसी भी बंद सतह में बिंदु को सम्मलित नहीं करने से अंदर गैस का निरंतर घनत्व होगा, इसलिए जिस प्रकार कई द्रव कण मात्रा छोड़ने के रूप में प्रवेश कर रहे हैं, इस प्रकार आयतन से शुद्ध प्रवाह शून्य है। इसलिए किसी अन्य बिंदु पर विचलन शून्य है। | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
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| integrand = <math>\mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, dS</math> | | integrand = <math>\mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, dS</math> | ||
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जहां {{math|{{abs|''V''}}}} का आयतन है {{math|''V''}}, {{math|''S''(''V'')}} की सीमा {{math|''V''}} है , और <math>\mathbf{\hat n}</math> उस सतह के लिए बाहरी [[सामान्य वेक्टर]] है। इस प्रकार यह देखा जा सकता है कि उपरोक्त सीमा में आयतन के किसी भी अनुक्रम के लिए {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} के समान मान में परिवर्तित हो जाती है और शून्य मात्रा तक पहुँच जाती हैं। परिणाम, {{math|div '''F'''}}, का | जहां {{math|{{abs|''V''}}}} का आयतन है {{math|''V''}}, {{math|''S''(''V'')}} की सीमा {{math|''V''}} है , और <math>\mathbf{\hat n}</math> उस सतह के लिए बाहरी [[सामान्य वेक्टर]] है। इस प्रकार यह देखा जा सकता है कि उपरोक्त सीमा में आयतन के किसी भी अनुक्रम के लिए {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} के समान मान में परिवर्तित हो जाती है और शून्य मात्रा तक पहुँच जाती हैं। परिणाम, {{math|div '''F'''}}, का अदिश कार्य {{math|'''x'''}} है। | ||
चूंकि यह परिभाषा समन्वय-मुक्त है, यह दर्शाता है कि विचलन किसी भी [[समन्वय प्रणाली]] में समान है। चूंकि यह अधिकांशतः विचलन की गणना करने के लिए व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है; जब वेक्टर क्षेत्र | चूंकि यह परिभाषा समन्वय-मुक्त है, यह दर्शाता है कि विचलन किसी भी [[समन्वय प्रणाली]] में समान है। चूंकि यह अधिकांशतः विचलन की गणना करने के लिए व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है; जब वेक्टर क्षेत्र समन्वय प्रणाली में दिया जाता है तो नीचे दी गई समन्वय परिभाषाएँ उपयोग करने में बहुत सरल होती हैं। | ||
हर जगह शून्य विचलन वाला | हर जगह शून्य विचलन वाला सदिश क्षेत्र सोलेनोइडल सदिश क्षेत्र कहलाता है - इस स्थिति में किसी भी बंद सतह के पास कोई शुद्ध प्रवाह नहीं होता है। | ||
== निर्देशांक में परिभाषा == | == निर्देशांक में परिभाषा == | ||
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चूंकि निर्देशांक के संदर्भ में व्यक्त किया गया है, परिणाम [[रोटेशन मैट्रिक्स]] के अनुसार अपरिवर्तनीय है, जैसा कि भौतिक व्याख्या से पता चलता है। इसका कारण यह है कि जैकोबियन मैट्रिक्स का पता लगाना और इसके निर्धारक {{math|''N''}}-आयामी वेक्टर क्षेत्र {{math|'''F'''}} में {{mvar|N}}-विमीय स्थान किसी भी व्युत्क्रम रैखिक परिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय है। | चूंकि निर्देशांक के संदर्भ में व्यक्त किया गया है, परिणाम [[रोटेशन मैट्रिक्स]] के अनुसार अपरिवर्तनीय है, जैसा कि भौतिक व्याख्या से पता चलता है। इसका कारण यह है कि जैकोबियन मैट्रिक्स का पता लगाना और इसके निर्धारक {{math|''N''}}-आयामी वेक्टर क्षेत्र {{math|'''F'''}} में {{mvar|N}}-विमीय स्थान किसी भी व्युत्क्रम रैखिक परिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय है। | ||
विचलन के लिए सामान्य संकेतन {{math|∇ · '''F'''}} | विचलन के लिए सामान्य संकेतन {{math|∇ · '''F'''}} सुविधाजनक स्मरक है, जहां डॉट ऑपरेशन को इंगित करता है जो [[डॉट उत्पाद]] की याद दिलाता है: के घटकों को लें तो {{math|∇}} ऑपरेटर ([[का]] देखें), उन्हें संबंधित घटकों पर लागू करें {{math|'''F'''}}, और परिणामों का योग करें। क्योंकि यह ऑपरेटर को लागू करना तथा उसके घटकों को गुणा करने से पृथक होता हैं है, इसे [[अंकन का दुरुपयोग]] माना जाता है। | ||
=== बेलनाकार निर्देशांक === | === बेलनाकार निर्देशांक === | ||
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जहां <math>\rho</math> आयतन तत्व का स्थानीय गुणांक है और {{math|''F<sup>i</sup>''}} के घटक हैं {{nowrap|<math>\mathbf{F}=F^i\mathbf{e}_i</math>}} स्थानीय असामान्यीकृत वक्रीय निर्देशांकों के संबंध में#सहपरिवर्ती और प्रतिपरिवर्ती आधार (कभी-कभी इस रूप में लिखे जाते हैं {{nowrap|<math>\mathbf{e}_i = \partial\mathbf{x} / \partial x^i</math>)}}. आइंस्टीन नोटेशन का तात्पर्य योग से अधिक है {{mvar|i}}, क्योंकि यह ऊपरी और निचले सूचकांक दोनों के रूप में दिखाई देता है। | जहां <math>\rho</math> आयतन तत्व का स्थानीय गुणांक है और {{math|''F<sup>i</sup>''}} के घटक हैं {{nowrap|<math>\mathbf{F}=F^i\mathbf{e}_i</math>}} स्थानीय असामान्यीकृत वक्रीय निर्देशांकों के संबंध में#सहपरिवर्ती और प्रतिपरिवर्ती आधार (कभी-कभी इस रूप में लिखे जाते हैं {{nowrap|<math>\mathbf{e}_i = \partial\mathbf{x} / \partial x^i</math>)}}. आइंस्टीन नोटेशन का तात्पर्य योग से अधिक है {{mvar|i}}, क्योंकि यह ऊपरी और निचले सूचकांक दोनों के रूप में दिखाई देता है। | ||
मात्रा गुणांक {{mvar|ρ}} स्थिति का | मात्रा गुणांक {{mvar|ρ}} स्थिति का कार्य है जो समन्वय प्रणाली पर निर्भर करता है। कार्तीय, बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में, पहले की तरह ही सम्मेलनों का उपयोग करते हुए, हमारे पास क्रमशः है {{math|1=''ρ'' = 1}}, {{math|1=''ρ'' = ''r''}} और {{math|1=''ρ'' = ''r''<sup>2</sup> sin ''θ''}}, इसकी मात्रा <math display="inline">\rho = \sqrt{\left|\det g_{ab}\right|}</math> के रूप में भी इसे व्यक्त किया जा सकता है जहां {{math|''g<sub>ab</sub>''}} [[मीट्रिक टेंसर]] है। निर्धारक प्रकट होता है क्योंकि यह वैक्टर के सेट को देखते हुए मात्रा की उपयुक्त अपरिवर्तनीय परिभाषा प्रदान करता है। चूंकि निर्धारक अदिश राशि है जो सूचकांकों पर निर्भर नहीं करता है, इन्हें लिखकर दबाया जा सकता है <math display="inline">\rho=\sqrt{\left|\det g\right|}</math>. सामान्य स्थिति को संभालने के लिए पूर्ण मूल्य लिया जाता है जहां निर्धारक ऋणात्मक हो सकता है, जैसे कि छद्म-रीमैनियन रिक्त स्थान। वर्ग-मूल का कारण थोड़ा सूक्ष्म है: यह प्रभावी रूप से दोहरी-गिनती से बचा जाता है क्योंकि घुमावदार होने के कारण इसे कार्तीय निर्देशांक कहा जाता है। आयतन (निर्धारक) को जैकोबियन मैट्रिक्स और कार्तीय से वक्रीय निर्देशांक में परिवर्तन के निर्धारक के रूप में भी समझा जा सकता है, जिसके लिए {{math|1=''n'' = 3}} देता है {{nowrap|<math display="inline">\rho = \left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial (x^1,x^2,x^3)}\right|</math>.}} | ||
कुछ परंपराएं अपेक्षा करती हैं कि सभी स्थानीय आधार तत्वों को इकाई लंबाई तक सामान्यीकृत किया जाए, जैसा कि पिछले अनुभागों में किया गया था। अगर हम लिखते हैं <math>\hat{\mathbf{e}}_i</math> सामान्यीकृत आधार के लिए, और <math>\hat{F}^i</math> के घटकों के लिए {{math|'''F'''}} इसके संबंध में, हमारे पास वह है | कुछ परंपराएं अपेक्षा करती हैं कि सभी स्थानीय आधार तत्वों को इकाई लंबाई तक सामान्यीकृत किया जाए, जैसा कि पिछले अनुभागों में किया गया था। अगर हम लिखते हैं <math>\hat{\mathbf{e}}_i</math> सामान्यीकृत आधार के लिए, और <math>\hat{F}^i</math> के घटकों के लिए {{math|'''F'''}} इसके संबंध में, हमारे पास वह है | ||
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F^i \sqrt{g_{ii}} \, \hat{\mathbf{e}}_i = | F^i \sqrt{g_{ii}} \, \hat{\mathbf{e}}_i = | ||
\hat{F}^i \hat{\mathbf{e}}_i,</math> | \hat{F}^i \hat{\mathbf{e}}_i,</math> | ||
मीट्रिक टेंसर के गुणों में से | मीट्रिक टेंसर के गुणों में से का उपयोग करना। अंतिम समानता के दोनों पक्षों को प्रतिपरिवर्ती तत्व के साथ डॉट करके <math>\hat{\mathbf{e}}^i</math>, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि <math display="inline">F^i = \hat{F}^i / \sqrt{g_{ii}}</math>. प्रतिस्थापित करने के बाद, सूत्र बन जाता है: | ||
:<math>\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \frac 1{\rho} \frac{\partial \left(\frac{\rho}{\sqrt{g_{ii}}}\hat{F}^i\right)}{\partial x^i} = | :<math>\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \frac 1{\rho} \frac{\partial \left(\frac{\rho}{\sqrt{g_{ii}}}\hat{F}^i\right)}{\partial x^i} = | ||
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== गुण == | == गुण == | ||
{{Main|वेक्टर कैल्कुलस पहचान}} | {{Main|वेक्टर कैल्कुलस पहचान}} | ||
निम्नलिखित सभी गुण कलन के सामान्य विभेदन नियमों से प्राप्त किए जा सकते हैं। सबसे महत्वपूर्ण बात, विचलन | निम्नलिखित सभी गुण कलन के सामान्य विभेदन नियमों से प्राप्त किए जा सकते हैं। सबसे महत्वपूर्ण बात, विचलन रैखिक संकारक है, अर्थात, | ||
:<math>\operatorname{div}(a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a \operatorname{div} \mathbf{F} + b \operatorname{div} \mathbf{G}</math> | :<math>\operatorname{div}(a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a \operatorname{div} \mathbf{F} + b \operatorname{div} \mathbf{G}</math> | ||
सभी वेक्टर क्षेत्रों के लिए {{math|'''F'''}} और {{math|'''G'''}} और सभी [[वास्तविक संख्या]]एँ {{math|''a''}} और {{math|''b''}}. | सभी वेक्टर क्षेत्रों के लिए {{math|'''F'''}} और {{math|'''G'''}} और सभी [[वास्तविक संख्या]]एँ {{math|''a''}} और {{math|''b''}}. | ||
निम्न प्रकार का | निम्न प्रकार का उत्पाद नियम है: यदि {{mvar|φ}} अदिश-मूल्यवान कार्य है और {{math|'''F'''}} सदिश क्षेत्र है, तो | ||
:<math>\operatorname{div}(\varphi \mathbf{F}) = \operatorname{grad} \varphi \cdot \mathbf{F} + \varphi \operatorname{div} \mathbf{F},</math> | :<math>\operatorname{div}(\varphi \mathbf{F}) = \operatorname{grad} \varphi \cdot \mathbf{F} + \varphi \operatorname{div} \mathbf{F},</math> | ||
| Line 160: | Line 160: | ||
किसी भी सदिश क्षेत्र (तीन आयामों में) के कर्ल (गणित) का विचलन शून्य के बराबर है: | किसी भी सदिश क्षेत्र (तीन आयामों में) के कर्ल (गणित) का विचलन शून्य के बराबर है: | ||
:<math>\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F})=0.</math> | :<math>\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F})=0.</math> | ||
यदि | यदि सदिश क्षेत्र {{math|'''F'''}} शून्य विचलन के साथ गेंद पर परिभाषित किया गया है, तो वहाँ {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} सदिश क्षेत्र मौजूद है {{math|'''G'''}} के साथ गेंद पर {{math|'''F''' {{=}} curl '''G'''}}. में क्षेत्रों के लिए {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} इससे अधिक सामयिक रूप से जटिल होने के बाद वाले कथन को गलत कर सकता है (पॉइनकेयर लेम्मा देखें)। [[चेन कॉम्प्लेक्स]] के होमोलॉजी (गणित) द्वारा मापा गया बयान की सच्चाई की विफलता की डिग्री | ||
:<math>\{ \text{scalar fields on } U \} ~ \overset{\operatorname{grad}}{\rarr} ~ \{ \text{vector fields on } U \} ~ \overset{\operatorname{curl}}{\rarr} ~ \{ \text{vector fields on } U \} ~ \overset{\operatorname{div}}{\rarr} ~ \{ \text{scalar fields on } U \}</math> | :<math>\{ \text{scalar fields on } U \} ~ \overset{\operatorname{grad}}{\rarr} ~ \{ \text{vector fields on } U \} ~ \overset{\operatorname{curl}}{\rarr} ~ \{ \text{vector fields on } U \} ~ \overset{\operatorname{div}}{\rarr} ~ \{ \text{scalar fields on } U \}</math> | ||
अंतर्निहित क्षेत्र की जटिलता की | अंतर्निहित क्षेत्र की जटिलता की अच्छी मात्रा के रूप में कार्य करता है {{math|''U''}}. ये [[डॉ कहलमज गर्भाशय]] के प्रारंभ की मुख्य प्रेरणाएँ हैं। | ||
== अपघटन प्रमेय == | == अपघटन प्रमेय == | ||
{{Main|हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन}} | {{Main|हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन}} | ||
यह देखा जा सकता है कि कोई भी स्थिर प्रवाह {{math|'''v'''('''r''')}} में दो बार लगातार {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} पर अवकलनीय है और अधिक तेजी से विलुप्त हो जाता है जहाँ {{math|{{abs|'''r'''}} → ∞}} | यह देखा जा सकता है कि कोई भी स्थिर प्रवाह {{math|'''v'''('''r''')}} में दो बार लगातार {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} पर अवकलनीय है और अधिक तेजी से विलुप्त हो जाता है जहाँ {{math|{{abs|'''r'''}} → ∞}} अपरिमेय भाग में विशिष्ट रूप से विघटित किया जा सकता है {{math|'''E'''('''r''')}} और स्रोत-मुक्त भाग {{math|'''B'''('''r''')}}. इसके अतिरिक्त, इन भागों को स्पष्ट रूप से संबंधित स्रोत घनत्व (ऊपर देखें) और संचलन घनत्व (लेख कर्ल (गणित) देखें) द्वारा निर्धारित किया जाता है: | ||
इर्रोटेशनल पार्ट के लिए किसी के पास है | इर्रोटेशनल पार्ट के लिए किसी के पास है | ||
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इस प्रकार | इस प्रकार | ||
:<math>\Phi (\mathbf{r})=\int_{\mathbb R^3}\,d^3\mathbf r'\;\frac{\operatorname{div} \mathbf{v}(\mathbf{r}')}{4\pi\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}.</math> | :<math>\Phi (\mathbf{r})=\int_{\mathbb R^3}\,d^3\mathbf r'\;\frac{\operatorname{div} \mathbf{v}(\mathbf{r}')}{4\pi\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}.</math> | ||
स्रोत-मुक्त भाग, {{math|'''B'''}}, इसी प्रकार लिखा जा सकता है: केवल स्केलर क्षमता को बदलना होगा {{math|Φ('''r''')}} | स्रोत-मुक्त भाग, {{math|'''B'''}}, इसी प्रकार लिखा जा सकता है: केवल स्केलर क्षमता को बदलना होगा {{math|Φ('''r''')}} वेक्टर क्षमता द्वारा {{math|'''A'''('''r''')}} और शर्तें {{math|−∇Φ}} द्वारा {{math|+∇ × '''A'''}}, और स्रोत घनत्व {{math|div '''v'''}} | ||
परिसंचरण घनत्व द्वारा {{math|∇ × '''v'''}}. | परिसंचरण घनत्व द्वारा {{math|∇ × '''v'''}}. | ||
यह अपघटन प्रमेय [[बिजली का गतिविज्ञान]] के स्थिर स्थिति का उप-उत्पाद है। यह अधिक सामान्य [[हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन]] का | यह अपघटन प्रमेय [[बिजली का गतिविज्ञान]] के स्थिर स्थिति का उप-उत्पाद है। यह अधिक सामान्य [[हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन]] का विशेष मामला है, जो तीन से अधिक आयामों में भी काम करता है। | ||
== परिमित आयामों में == | == परिमित आयामों में == | ||
सदिश क्षेत्र के विचलन को किसी भी | सदिश क्षेत्र के विचलन को किसी भी <math>n</math> आयामों की परिमित संख्या में परिभाषित किया जा सकता है। यदि | ||
:<math>\mathbf{F} = (F_1 , F_2 , \ldots F_n) ,</math> | :<math>\mathbf{F} = (F_1 , F_2 , \ldots F_n) ,</math> | ||
यूक्लिडियन समन्वय प्रणाली में निर्देशांक के साथ {{math|''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>}}, परिभाषित करना | यूक्लिडियन समन्वय प्रणाली में निर्देशांक के साथ {{math|''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>}}, परिभाषित करना | ||
:<math>\operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x_1} + \frac{\partial F_2}{\partial x_2} + \cdots + \frac{\partial F_n}{\partial x_n}.</math> | :<math>\operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x_1} + \frac{\partial F_2}{\partial x_2} + \cdots + \frac{\partial F_n}{\partial x_n}.</math> | ||
1D स्थिति में, {{math|'''F'''}} | 1D स्थिति में, {{math|'''F'''}} नियमित कार्य को कम कर देता है, और विचलन व्युत्पन्न को कम कर देता है। | ||
{{math|''n''}}विचलन रैखिक ऑपरेटर है, और यह उत्पाद किसी {{mvar|φ}}. स्केलर-वैल्यू फ़ंक्शन के नियम को संतुष्ट करता है | {{math|''n''}}विचलन रैखिक ऑपरेटर है, और यह उत्पाद किसी {{mvar|φ}}. स्केलर-वैल्यू फ़ंक्शन के नियम को संतुष्ट करता है | ||
| Line 193: | Line 193: | ||
:<math>\nabla\cdot(\varphi \mathbf{F}) = (\nabla\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi (\nabla\cdot\mathbf{F})</math> | :<math>\nabla\cdot(\varphi \mathbf{F}) = (\nabla\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi (\nabla\cdot\mathbf{F})</math> | ||
== [[बाहरी व्युत्पन्न]] से संबंध == | == [[बाहरी व्युत्पन्न]] से संबंध == | ||
कोई बाहरी व्युत्पन्न के | कोई बाहरी व्युत्पन्न के विशेष स्थिति के रूप में विचलन को व्यक्त कर सकता है, {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} 2-रूप को 3-रूप में लेता है। वर्तमान दो-रूप को परिभाषित करें | ||
:<math>j = F_1 \, dy \wedge dz + F_2 \, dz \wedge dx + F_3 \, dx \wedge dy .</math> | :<math>j = F_1 \, dy \wedge dz + F_2 \, dz \wedge dx + F_3 \, dx \wedge dy .</math> | ||
यह घनत्व के सामान द्रव में प्रति इकाई समय सतह के माध्यम से बहने वाली सामग्री की मात्रा को मापता है {{math|''ρ'' {{=}} 1 ''dx'' ∧ ''dy'' ∧ ''dz''}} स्थानीय वेग {{math|'''F'''}} से चलती है। इसका बाहरी व्युत्पन्न {{math|''dj''}} इसके बाद दिया जाता है | यह घनत्व के सामान द्रव में प्रति इकाई समय सतह के माध्यम से बहने वाली सामग्री की मात्रा को मापता है {{math|''ρ'' {{=}} 1 ''dx'' ∧ ''dy'' ∧ ''dz''}} स्थानीय वेग {{math|'''F'''}} से चलती है। इसका बाहरी व्युत्पन्न {{math|''dj''}} इसके बाद दिया जाता है | ||
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इस प्रकार, वेक्टर क्षेत्र का विचलन {{math|'''F'''}} के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: | इस प्रकार, वेक्टर क्षेत्र का विचलन {{math|'''F'''}} के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: | ||
:<math>\nabla \cdot {\mathbf F} = {\star} d{\star} \big({\mathbf F}^\flat \big) .</math> | :<math>\nabla \cdot {\mathbf F} = {\star} d{\star} \big({\mathbf F}^\flat \big) .</math> | ||
यहाँ सुपरस्क्रिप्ट {{music|flat}} दो [[संगीत समरूपता]]ओं में से | यहाँ सुपरस्क्रिप्ट {{music|flat}} दो [[संगीत समरूपता]]ओं में से है, और {{math|⋆}} [[हॉज स्टार ऑपरेटर]] है। जब विचलन इस प्रकार लिखा जाता है, संकारक <math>{\star} d{\star}</math> [[अलग-अलग]] कहा जाता है। वेक्टर क्षेत्र और विचलन के साथ काम करने की तुलना में वर्तमान दो-रूप और बाहरी व्युत्पन्न के साथ काम करना सामान्यतः सरल होता है, क्योंकि विचलन के विपरीत, बाहरी व्युत्पन्न (वक्रीय) समन्वय प्रणाली के परिवर्तन के साथ आवागमन करता है। | ||
== वक्रीय निर्देशांक में == | == वक्रीय निर्देशांक में == | ||
उपयुक्त व्यंजक वक्ररेखीय निर्देशांक ग्रेड, कर्ल, डिव, लाप्लासियन में अधिक जटिल है। सदिश क्षेत्र का विचलन स्वाभाविक रूप से आयाम के किसी भी अलग-अलग कई गुना तक फैलता है {{math|''n''}} जिसका आयतन {{mvar|μ}} का | उपयुक्त व्यंजक वक्ररेखीय निर्देशांक ग्रेड, कर्ल, डिव, लाप्लासियन में अधिक जटिल है। सदिश क्षेत्र का विचलन स्वाभाविक रूप से आयाम के किसी भी अलग-अलग कई गुना तक फैलता है {{math|''n''}} जिसका आयतन {{mvar|μ}} का रूप है (या [[कई गुना घनत्व]]) , उदा. [[रीमैनियन कई गुना]] या [[लोरेंट्ज़ियन कई गुना]] सदिश क्षेत्र के लिए दो रूपों के लिए {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} के निर्माण का सामान्यीकरण , ऐसे कई गुना सदिश क्षेत्र पर {{math|''X''}} परिभाषित करता है {{math|(''n'' − 1)}}-प्रपत्र {{math|1=''j'' = ''i''<sub>''X''</sub> ''μ''}} अनुबंध करके प्राप्त किया {{math|''X''}} साथ {{mvar|μ}}. विचलन तब द्वारा परिभाषित कार्य है | ||
:<math>dj = (\operatorname{div} X) \mu .</math> | :<math>dj = (\operatorname{div} X) \mu .</math> | ||
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:<math>\operatorname{div}(X) = \frac{1}{\sqrt{\left|\det g \right|}} \, \partial_a \left(\sqrt{\left|\det g \right|} \, X^a\right),</math> | :<math>\operatorname{div}(X) = \frac{1}{\sqrt{\left|\det g \right|}} \, \partial_a \left(\sqrt{\left|\det g \right|} \, X^a\right),</math> | ||
जहां {{mvar|g}} मीट्रिक टेंसर है और <math>\partial_a</math> समन्वय के संबंध में {{math|''x''{{i sup|''a''}}}} (के निर्धारक का निरपेक्ष मान) आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है। मीट्रिक का वर्गमूल प्रकट होता है क्योंकि विचलन को [[मात्रा]] की सही अवधारणा के साथ लिखा जाना चाहिए। घुमावदार निर्देशांक में, आधार सदिश अब असामान्य नहीं हैं; निर्धारक इस स्थिति में मात्रा के सही विचार को कूटबद्ध करता है। यहाँ पर यह | जहां {{mvar|g}} मीट्रिक टेंसर है और <math>\partial_a</math> समन्वय के संबंध में {{math|''x''{{i sup|''a''}}}} (के निर्धारक का निरपेक्ष मान) आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है। मीट्रिक का वर्गमूल प्रकट होता है क्योंकि विचलन को [[मात्रा]] की सही अवधारणा के साथ लिखा जाना चाहिए। घुमावदार निर्देशांक में, आधार सदिश अब असामान्य नहीं हैं; निर्धारक इस स्थिति में मात्रा के सही विचार को कूटबद्ध करता है। यहाँ पर यह बार प्रकट होता है, जिससे कि <math>X^a</math> फ्लैट स्थान में परिवर्तित किया जा सकता है (जहां निर्देशांक वास्तव में ऑर्थोनॉर्मल हैं), और बार फिर ऐसा <math>\partial_a</math> समतल स्थान में भी परिवर्तित हो जाता है, जिससे कि अंत में, साधारण विचलन को समतल स्थान में आयतन की सामान्य अवधारणा के साथ लिखा जा सके (अर्थात इकाई आयतन, अर्थात एक, अर्थात नीचे नहीं लिखा गया)। वर्ग-मूल भाजक में दिखाई देता है, क्योंकि व्युत्पन्न विपरीत विधि से (सहप्रसरण और सदिशों का प्रतिप्रसरण) सदिश (जो [[सदिशों का सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण]] है) में परिवर्तित होता है। समतल समन्वय प्रणाली प्राप्त करने का यह विचार जहां पारंपरिक विधि से स्थानीय संगणना की जा सकती है, उसे [[mylegs|माईलेग्स (mylegs)]] कहा जाता है। इसे देखने की अलग विधि यह ध्यान रखना है कि विचलन भेष में कोडिफरेंशियल है। विचलन अभिव्यक्ति से मेल खाता है <math>\star d\star</math> साथ <math>d</math> [[एक समारोह का अंतर|फंक्शन का अंतर]] और <math>\star</math> [[हॉज स्टार]] या हॉज स्टार, इसके निर्माण से, आयतन फॉर्म को सभी सही जगहों पर प्रकट होने का कारण बनता है। | ||
== [[टेन्सर]] का विचलन == | == [[टेन्सर]] का विचलन == | ||
डायवर्जेंस को टेंसर्स के लिए सामान्यीकृत भी किया जा सकता है। आइंस्टीन संकेतन में, | डायवर्जेंस को टेंसर्स के लिए सामान्यीकृत भी किया जा सकता है। आइंस्टीन संकेतन में, प्रतिपरिवर्ती सदिश का विचलन द्वारा दिया गया है | ||
:<math>\nabla \cdot \mathbf{F} = \nabla_\mu F^\mu ,</math> | :<math>\nabla \cdot \mathbf{F} = \nabla_\mu F^\mu ,</math> | ||
कहां {{math|∇<sub>''μ''</sub>}} [[सहपरिवर्ती व्युत्पन्न]] को दर्शाता है। इस सामान्य सेटिंग में, विचलन का सही सूत्रीकरण यह पहचानना है कि यह सह-विभेदक है; उपयुक्त गुण वहां से अनुसरण करते हैं। | कहां {{math|∇<sub>''μ''</sub>}} [[सहपरिवर्ती व्युत्पन्न]] को दर्शाता है। इस सामान्य सेटिंग में, विचलन का सही सूत्रीकरण यह पहचानना है कि यह सह-विभेदक है; उपयुक्त गुण वहां से अनुसरण करते हैं। | ||
समतुल्य रूप से, कुछ लेखक संगीत समरूपता का उपयोग करके [[मिश्रित टेंसर]] के विचलन को परिभाषित करते हैं {{music|sharp}}: यदि {{math|''T''}} | समतुल्य रूप से, कुछ लेखक संगीत समरूपता का उपयोग करके [[मिश्रित टेंसर]] के विचलन को परिभाषित करते हैं {{music|sharp}}: यदि {{math|''T''}} है {{math|(''p'', ''q'')}}-टेंसर ({{math|''p''}} प्रतिपरिवर्ती सदिश के लिए और {{math|''q''}} सहसंयोजक के लिए), फिर हम विचलन को परिभाषित करते हैं, इस प्रकार टेंसर{{mvar|T}} के लिए {{math|(''p'', ''q'' − 1)}}- | ||
:<math>(\operatorname{div} T) (Y_1 , \ldots , Y_{q-1}) = {\operatorname{trace}} \Big(X \mapsto \sharp (\nabla T) (X , \cdot , Y_1 , \ldots , Y_{q-1}) \Big);</math> | :<math>(\operatorname{div} T) (Y_1 , \ldots , Y_{q-1}) = {\operatorname{trace}} \Big(X \mapsto \sharp (\nabla T) (X , \cdot , Y_1 , \ldots , Y_{q-1}) \Big);</math> | ||
Revision as of 23:43, 9 January 2023
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