मीट्रिक टेंसर

This article is about मैनिफोल्ड पर मीट्रिक संरचनाएँ. For सापेक्षता के दिक्काल की विशिष्ट स्थिति, see मीट्रिक टेंसर (सामान्य सापेक्षता).

अवकल ज्यामिति के गणितीय क्षेत्र में, एक मीट्रिक टेन्सर (या केवल मीट्रिक) मैनिफोल्ड M (जैसे सतह) पर एक ऐसी अतिरिक्त गणितीय संरचना है जो दूरी और कोणों को परिभाषित करने की अनुमति ठीक उसी प्रदान करती है, जिस प्रकार यूक्लिडीय अंतरिक्ष पर आंतरिक गुणनफल, दूरी और कोण को परिभाषित करने की अनुमति प्रदान करता है। अधिक यथार्थ रूप से, M के किसी बिंदु p पर एक मीट्रिक टेन्सर, p पर स्पर्शरेखा समष्टि पर परिभाषित एक द्विरेखीय रूप है (अर्थात्, एक द्विरेखीय फलन, जो स्पर्शरेखा सदिश युग्मों को वास्तविक संख्याओं में प्रतिचित्रित करता है), और M पर एक मीट्रिक टेंसर में M के प्रत्येक बिंदु p पर एक ऐसा मीट्रिक टेंसर होता है जो आसानी से p के साथ परिवर्तित होता रहता है।

एक मीट्रिक टेन्सर g धनात्मक-निश्चित होता है यदि, प्रत्येक अशून्य सदिश v के लिए, g(v, v) > 0। धनात्मक-निश्चित मीट्रिक टेन्सर से सुसज्जित मैनिफोल्ड को रीमैनियन मैनिफोल्ड के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार के एक मीट्रिक टेन्सर पर किसी मैनिफोल्ड पर अतिसूक्ष्म दूरी को निर्दिष्ट करने के बारे में विचार किया जा सकता है। रीमैनियन मैनिफोल्ड M पर, दो बिंदुओं p और q के बीच एक निष्कोण वक्र की लंबाई को समाकलन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, और p और q के बीच की दूरी को इस प्रकार के सभी वक्रों की लंबाई के न्यूनतम के रूप में परिभाषित किया जा सकता है; यह M को एक मीट्रिक समष्टि बनाता है। इसके विपरीत, मीट्रिक टेन्सर स्वयं दूरी फलन (उपयुक्त तरीके से लिया गया) का अवकलज है।

हालाँकि एक मीट्रिक टेन्सर की धारणा कुछ अर्थों में कार्ल गॉस जैसे गणितज्ञों को 19वीं शताब्दी के प्रारंभ से ज्ञात थी, फिर भी 20वीं शताब्दी के प्रारंभ तक ऐसा नहीं था कि टेन्सर के रूप में इसके गुणों को विशेष रूप से ग्रेगोरियो रिक्की-क्लैस्ट्रो और टुल्लियो लेवी-सिविटा द्वारा समझा गया था, जिन्होंने पहली बार एक टेंसर की धारणा को संहिताबद्ध किया। मीट्रिक टेंसर, टेंसर क्षेत्र का एक उदाहरण है।

किसी मीट्रिक टेन्सर के घटक एक निर्देशांक आधार पर एक सममित आव्यूह के रूप में लिए जाते हैं, जिनकी प्रविष्टियाँ निर्देशांक प्रणाली में परिवर्तन के तहत सहपरिवर्ती रूप से रूपांतरित होती हैं। इस प्रकार एक मीट्रिक टेन्सर एक सहपरिवर्ती सममित टेन्सर होता है। निर्देशांक-मुक्त दृष्टिकोण से, एक मीट्रिक टेन्सर क्षेत्र को प्रत्येक स्पर्शरेखा समष्टि पर एक ऐसे अविकृत सममित द्विरेखीय रूप के रूप में परिभाषित किया जाता है जो बिंदु से बिंदु तक सुचारू रूप से परिवर्तित होता है।

परिचय

कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने अपने वर्ष 1827 के डिक्विजिशन्स जेनरल सर्का सुपरफिसीज कर्वस (वक्राकार सतहों की सामान्य जाँच) में दो सहायक चरों u और v के आधार पर सतह पर बिंदुओं के कार्तीय निर्देशांक x, y, और z वाली एक सतह को प्राचलिक रूप से माना। इस प्रकार प्राचलिक सतह (वर्तमान संदर्भ में) एक सदिश-मान फलन होता है

${\vec {r}}(u,\,v)={\bigl (}x(u,\,v),\,y(u,\,v),\,z(u,\,v){\bigr )}$

वास्तविक चर (u, v) के एक क्रमित युग्म के आधार पर, और uv-समतल में इसे एक खुले समुच्चय D में परिभाषित किया गया है। गॉस की जाँच के मुख्य उद्देश्यों में से एक सतह की उन विशेषताओं को प्राप्त करना था, जिन्हें एक ऐसे फलन द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो सतह के अंतरिक्ष में एक परिवर्तन (जैसे सतह को बिना खींचे हुए झुकना), या एक ही ज्यामितीय सतह के विशेष प्राचलिक रूप में परिवर्तन से गुजरने पर अपरिवर्तित रहता है।

सतह के अनुदिश खींची गई वक्र की लंबाई ऐसी ही एक प्राकृतिक अपरिवर्तनीय राशि है। ऐसी ही एक अन्य राशि, सतह के अनुदिश खींचे गए वक्रों के एक युग्म और एक उभयनिष्ठ बिंदु पर प्रतिच्छेदन के बीच का कोण है। सतह के एक खण्ड का क्षेत्रफल भी ऐसी ही एक तीसरी राशि है। सतह के इन निश्चरों के अध्ययन ने गॉस को मीट्रिक टेन्सर की आधुनिक धारणा के पूर्ववर्ती को प्रस्तुत करने के लिए प्रेरित किया।

नीचे दिए गए विवरण में ${\textstyle {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}$मीट्रिक टेन्सर है; इस आव्यूह में E, F, और G कोई भी संख्या ग्रहण कर सकते हैं जब तक कि आव्यूह धनात्मक निश्चित है।

चाप की लंबाई

यदि चरों u और v को एक अंतराल [a, b] से मान ग्रहण हुए एक तीसरे चर, t पर निर्भर करते हुए लिया जाता है, तो r→(u(t), v(t)), प्राचलिक सतह M में एक प्राचलिक वक्र आरेखित करता है। इस वक्र के चाप की लंबाई निम्न समाकल द्वारा दी जाती है

${\begin{aligned}s&=\int _{a}^{b}\left\|{\frac {d}{dt}}{\vec {r}}(u(t),v(t))\right\|\,dt\\[5pt]&=\int _{a}^{b}{\sqrt {u'(t)^{2}\,{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}+2u'(t)v'(t)\,{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}+v'(t)^{2}\,{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}}}\,dt\,,\end{aligned}}$

जहाँ $\left\|\cdot \right\|$ यूक्लिडीय मानक (फलन) को निरूपित करता है। यहाँ श्रृंखला नियम लागू किया गया है, और सबस्क्रिप्ट निम्न आंशिक अवकलजों को दर्शाते हैं:

${\vec {r}}_{u}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u}}\,,\quad {\vec {r}}_{v}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial v}}\,.$

समाकल्य (द्विघात) निम्न अवकल के वर्गमूल के वक्र के लिए प्रतिबंध है

$(ds)^{2}=E\,(du)^{2}+2F\,du\,dv+G\,(dv)^{2},$

(1)

जहाँ

$E={\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_u\cdot <!--\; \cdot \; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_u,F={\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_u\cdot <!--\; \cdot \; -->$