पहला मौलिक रूप

अवकल ज्यामिति में, पहला मौलिक रूप त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में सतह (अंतर ज्यामिति) के स्पर्शरेखा स्थान पर आंतरिक उत्पाद है, जो R³ डॉट उत्पाद से विहित रूप से प्रेरित होता है। यह सतह की वक्रता एवं मीट्रिक गुणों की गणना की अनुमति देता है जैसे कि लंबाई एवं क्षेत्रफल परिवेशी स्थान के अनुरूप पहला मौलिक रूप रोमन अंक I द्वारा निरूपित किया जाता है।

$$\mathrm {I} (x,y)=\langle x,y\rangle .$$

परिभाषा

मान लीजिए X(u, v) पैरामीट्रिक सतह है। फिर दो स्पर्शरेखा सदिशों का आंतरिक उत्पाद होता है।

$${\begin{aligned}&{}\quad \mathrm {I} (aX_{u}+bX_{v},cX_{u}+dX_{v})\\&=ac\langle X_{u},X_{u}\rangle +(ad+bc)\langle X_{u},X_{v}\rangle +bd\langle X_{v},X_{v}\rangle \\&=Eac+F(ad+bc)+Gbd,\end{aligned}}$$

जहां E, F, एवं G पहला मौलिक रूप के गुणांक हैं।

पहला मौलिक रूप को सममित आव्यूह के रूप में दर्शाया जा सकता है।

$$\mathrm {I} (x,y)=x^{\mathsf {T}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}y$$

आगे का अंकन

जब पहला मौलिक रूप केवल तर्क के साथ लिखा जाता है, तो यह उस सदिश के आंतरिक उत्पाद को स्वयं के साथ दर्शाता है।

$$\mathrm {I} (v)=\langle v,v\rangle =|v|^{2}$$

पहला मौलिक रूप प्रायः मीट्रिक टेंसर के आधुनिक अंकन में लिखा जाता है। गुणांक तब g_ij के रूप में लिखा जा सकता है।

$$\left(g_{ij}\right)={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}$$

इस टेन्सर के घटकों की गणना स्पर्शरेखा सदिशों X₁ एवं X₂ के अदिश गुणनफल के रूप में की जाती है।

$$g_{ij}=X_{i}\cdot X_{j}$$

i, j = 1, 2 के लिए नीचे उदाहरण देखें।

लंबाई एवं क्षेत्रफल की गणना करना

पहला मौलिक रूप पूर्ण रूप से सतह के मीट्रिक गुणों का वर्णन करता है। इस प्रकार, यह सतह पर वक्रों की लंबाई एवं सतह पर क्षेत्रों के क्षेत्रों की गणना करने में सक्षम बनाता है। रेखा तत्व ds को पहला मौलिक रूप के गुणांकों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

$$ds^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}\,.$$

शास्त्रीय क्षेत्र तत्व द्वारा दिया गया dA = |X_u × X_v| du dv लैग्रेंज की पहचान की सहायता से पहला मौलिक रूप के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।

$$dA=|X_u\times <!--\; \times \; -->X_v|dudv=\sqrt{⟨<!--\; ⟨\; -->X_u,X_u⟩<!--\; ⟩\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->X_v,X_v⟩<!--\; ⟩\; -->-<!--\; -\; -->{⟨X_u,X_v⟩}^2}dudv=\sqrt{EG-<!--\; -\; -->}$$