रिक्की वक्रता

विभेदक ज्यामिति में रिक्की वक्रता टेंसर को मुख्य रूप से जिसका नाम ग्रेगोरियो रिक्की-कर्बस्ट्रो के नाम पर रखा गया है, यह एक प्रकार से ज्यामितीय से जुड़ा ऐसा तत्व है, जो कई गुना हो जाने पर रीमैनियन मैनिफोल्ड या स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड या स्यूडो-रीमैनियन मीट्रिक की आवश्यकता से निर्धारित होती है। मुख्य रूप से इसे उस डिग्री के माप के रूप में माना जाता है, जिस तक किसी दिए गए मीट्रिक टेंसर की ज्यामिति सामान्य [[स्यूडो-यूक्लिडियन स्थान]] या स्यूडो-यूक्लिडियन स्थान से स्थानीय रूप से भिन्न होती है।

रिक्की टेंसर को इस माप से पहचाना जा सकता है कि स्थान में जियोडेसिक के साथ चलते समय आकृति कैसे विकृत हो जाती है। सामान्य सापेक्षता में, जिसमें स्यूडो-रिमानियन सेटिंग उपस्थित है, यह रायचौधुरी समीकरण में रिक्की टेंसर की उपस्थिति से परिलक्षित होता है। इसे आंशिक रूप से इसी कारण आइंस्टीन क्षेत्र के समीकरणों के प्रस्ताव पर आधारित किया गया है, क्योंकि स्पेसटाइम को स्यूडो-रीमैनियन मीट्रिक द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जिसमें रिक्की टेंसर और ब्रह्मांड के लिए पदार्थों के बीच आश्चर्यजनक सरल संबंध स्थापित हो जाता है।

मीट्रिक टेंसर के समान, रिक्की टेंसर मैनिफ़ोल्ड के प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान को सममित द्विरेखीय रूप (बेसे 1987, p. 43) प्रदान करता है। मुख्य रूप से कोई रीमैनियन ज्यामिति में रिक्की वक्रता की भूमिका को कार्यों के विश्लेषण में लाप्लास ऑपरेटर की भूमिका के अनुरूप बनाता है, इस सादृश्य में रीमैन वक्रता टेंसर, जिसमें से रिक्की वक्रता प्राकृतिक उप-उत्पाद है, फलन के दूसरे डेरिवेटिव के पूर्ण आव्यूह के अनुरूप होगा। चूंकि, समान सादृश्य निकालने के लिए लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर हैं।

निम्न-आयामी टोपोलॉजी या थ्री-डायमेंशनल टोपोलॉजी में, रिक्की टेंसर में वह सारी जानकारी होती है जो उच्च आयामों में अधिक जटिल रीमैन वक्रता टेंसर द्वारा एन्कोड की जाती है। इसकी कुछ सीमा तक यह स्थिति कई ज्यामितीय और विश्लेषणात्मक उपकरणों के अनुप्रयोग की अनुमति देती है, जिसके कारण रिचर्ड एस हैमिल्टन और ग्रिगोरी पेरेलमैन के काम के माध्यम से पोंकारे अनुमान का हल प्राप्त हुआ हैं।

विभेदक ज्यामिति में, रीमैनियन मैनिफोल्ड पर रिक्की टेंसर पर निचली सीमाएं स्थिर वक्रता वाले स्थान रूप की ज्यामिति के साथ तुलना करके वैश्विक ज्यामितीय और टोपोलॉजिकल जानकारी निकालने की अनुमति देती हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि रिक्की टेंसर पर निचली सीमाओं का उपयोग रीमानियन ज्यामिति में लंबाई कार्यात्मकता का अध्ययन करने में सफलतापूर्वक किया जा सकता है, जैसा कि पहली बार 1941 में मायर्स प्रमेय के माध्यम से दिखाया गया था।

रिक्की टेंसर का सामान्य स्रोत यह है कि यह तब उत्पन्न होता है जब कोई टेंसर लाप्लासियन के साथ सहसंयोजक व्युत्पन्न को स्थानांतरित करता है। उदाहरण के लिए, यह बोचनर के सूत्र में इसकी उपस्थिति की व्याख्या करता है, जिसका उपयोग रीमैनियन ज्यामिति में सर्वव्यापी रूप से किया जाता है। उदाहरण के लिए, यह सूत्र बताता है कि क्यों शिंग-तुंग याउ और चेंग-याउ और ली-याउ असमानताओं जैसे उनके विकास होने के कारण ग्रेडिएंट अनुमान लगभग सदैव रिक्की वक्रता के लिए निचली सीमा पर निर्भर करते हैं।

2007 में, जॉन लोट (गणितज्ञ), कार्ल-थियोडोर स्टर्म और सेड्रिक विलानी ने निर्णायक रूप से प्रदर्शित किया कि रिक्की वक्रता पर निचली सीमा को पूर्ण रूप से रीमैनियन मैनिफोल्ड की मीट्रिक स्थान संरचना के साथ-साथ इसके आयतन प्रारूप के संदर्भ में समझा जा सकता है। इसने रिक्की वक्रता और वासेरस्टीन मीट्रिक और परिवहन सिद्धांत (गणित) के बीच गहरा संबंध स्थापित किया, जो वर्तमान समय में बहुत शोध का विषय है।

परिभाषा

इसके कारण ऐसा लगता है कि $\left(M,g\right)$ $n$आयामी रीमैनियन मैनिफोल्ड या स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड से सुसज्जित होने के कारण लेवी-सिविटा कनेक्शन $\nabla$ के साथ रीमैनियन वक्रता टेंसर $M$ का ऐसा नक्शा है, जो सहज सदिश क्षेत्र $X$, $Y$, और $Z$ को उपयोग करता है और इसी के आधार पर सदिश क्षेत्र लौटाता है।

$$R(X,Y)Z:=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z$$

सदिश क्षेत्र पर $X,Y,Z$. तब से $R$ के लिए टेंसर क्षेत्र है, जिसे प्रत्येक बिंदु $p\in M$, यह (बहुरेखीय) मानचित्र को जन्म देता है:

$$\operatorname {R} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\to T_{p}M.$$

प्रत्येक बिंदु के लिए परिभाषित करता हैं, इस प्रकार $p\in M$ वो नक्शा $\operatorname {Ric} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R}$ से प्रदर्शित होता हैं।

$$\operatorname {Ric} _{p}(Y,Z):=\operatorname {tr} {\big (}X\mapsto \operatorname {R} _{p}(X,Y)Z{\big )}.$$

अर्ताथ यहाँ पर तय किया जा सकता है कि $Y$ और $Z$ किसी भी आधार पर इस प्रकार प्रदर्शित होगा।

$v_{1},\ldots ,v_{n}$ सदिश स्थान का $T_{p}M$ के लिए इस प्रकार होगा।

$$\operatorname {Ric} _{p}(Y,Z)=\sum _{i=1}\langle \operatorname {R} _{p}(v_{i},Y)Z,v_{i}\rangle .$$

यह विविध रैखिक का मानक अभ्यास है, यहाँ पर बीजगणित यह सत्यापित करने के लिए कि इस परिभाषा के आधार के रूप पर निर्भर नहीं करती है

$v_{1},\ldots ,v_{n}$.

स्यूडो सूचकांक संकेतन में,

$$\mathrm {Ric} _{ab}=\mathrm {R} ^{c}{}_{bca}=\mathrm {R} ^{c}{}_{acb}.$$

इसके आधार पर संयोजन के विषय में ध्यान दें कि कुछ स्रोत $R(X,Y)Z$ द्वारा परिभाषित करते हैं,

यहां हम यह कह सकते हैं कि $-<!--\; -\; -->R(X,Y)$