गणितीय संरचना

For the notion of "structure" in mathematical logic, see Structure (mathematical logic).

गणित में, एक संरचना एक सेट (गणित) है जो सेट पर कुछ अतिरिक्त सुविधाओं के साथ संपन्न होती है (उदाहरण के लिए एक ऑपरेशन (गणित), संबंध (गणित), मीट्रिक (गणित), या टोपोलॉजिकल समूह)। अक्सर, अतिरिक्त विशेषताएं सेट से जुड़ी या संबंधित होती हैं, ताकि इसे कुछ अतिरिक्त अर्थ या महत्व प्रदान किया जा सके।

संभावित संरचनाओं की एक आंशिक सूची हैं माप सिद्धांत, बीजगणितीय संरचनाएं (समूह (गणित), क्षेत्र (गणित), आदि), टोपोलॉजी, मीट्रिक स्थान (ज्यामिति), आदेश सिद्धांत, घटना संरचना, तुल्यता संबंध, अंतर संरचनाएं, और श्रेणी (गणित)।

कभी-कभी, एक सेट एक साथ एक से अधिक विशेषताओं से संपन्न होता है, जो गणितज्ञों को विभिन्न संरचनाओं के बीच की बातचीत का अधिक समृद्ध अध्ययन करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, एक आदेश सेट पर एक कठोर रूप, आकृति या टोपोलॉजी लगाता है, और यदि एक सेट में एक टोपोलॉजी विशेषता और एक समूह सुविधा दोनों हैं, जैसे कि ये दो विशेषताएं एक निश्चित तरीके से संबंधित हैं, तो संरचना एक सांस्थितिक बन जाती है समूह। मानचित्र (गणित) सेट के बीच जो संरचनाओं को संरक्षित करता है (अर्थात, फ़ंक्शन के डोमेन में संरचनाएं कोडोमेन में समकक्ष संरचनाओं के लिए मैप की जाती हैं) गणित के कई क्षेत्रों में विशेष रुचि रखते हैं। उदाहरण समरूपताएं हैं, जो बीजगणितीय संरचनाओं को संरक्षित करती हैं; होमियोमोर्फिज्म, जो टोपोलॉजिकल संरचनाओं को संरक्षित करते हैं; और डिफियोमोर्फिज्म, जो विभेदक संरचनाओं को संरक्षित करते हैं।

इतिहास

1939 में, छद्म नाम निकोलस बोरबाकी के फ्रांसीसी समूह ने संरचनाओं को गणित की जड़ के रूप में देखा। उन्होंने पहली बार सेट के सिद्धांत के अपने संग्रह में उनका उल्लेख किया और 1957 के संस्करण के अध्याय IV में इसका विस्तार किया। उन्होंने तीन मूल संरचनाओं की पहचान की: बीजगणितीय, सामयिक और क्रम।

उदाहरण: वास्तविक संख्या

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में कई मानक संरचनाएँ होती हैं:

• एक क्रम: प्रत्येक संख्या किसी अन्य संख्या से या तो कम या अधिक होती है।
• बीजगणितीय संरचना: गुणन और जोड़ की संक्रियाएं होती हैं जो इसे एक क्षेत्र (गणित) बनाती हैं।
• एक माप: वास्तविक रेखा के अंतराल (गणित) की एक विशिष्ट लंबाई होती है, जिसे इसके कई उपसमुच्चयों पर लेबेस्ग माप तक बढ़ाया जा सकता है।
• एक मीट्रिक: बिंदुओं के बीच मीट्रिक (गणित) की धारणा है।
• एक ज्यामिति: यह एक मीट्रिक (गणित) से सुसज्जित है और समतलता (गणित) है।
• एक टोपोलॉजी: खुले सबसेट की धारणा है।

इनमें इंटरफेस हैं:

• इसका क्रम और, स्वतंत्र रूप से, इसकी मीट्रिक संरचना इसकी टोपोलॉजी को प्रेरित करती है।
• इसका क्रम और बीजगणितीय संरचना इसे एक क्रमबद्ध क्षेत्र में बनाती है।
• इसकी बीजगणितीय संरचना और टोपोलॉजी इसे लाई समूह में बनाती है, एक प्रकार का टोपोलॉजिकल समूह।

यह भी देखें

• सार संरचना
• समाकृतिकता
• गणितीय संरचनाओं की समतुल्य परिभाषाएँ
• अंतर्ज्ञानवादी प्रकार सिद्धांत
• अंतरिक्ष (गणित)

अग्रिम पठन

• Foldes, Stephan (1994). Fundamental Structures of Algebra and Discrete Mathematics. Hoboken: John Wiley & Sons. ISBN 9781118031438.
• Hegedus, Stephen John; Moreno-Armella, Luis (2011). "The emergence of mathematical structures". Educational Studies in Mathematics. 77 (2): 369–388. doi:10.1007/s10649-010-9297-7. S2CID 119981368.
• Kolman, Bernard; Busby, Robert C.; Ross, Sharon Cutler (2000). Discrete mathematical structures (4th ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-083143-9.
• Malik, D.S.; Sen, M.K. (2004). Discrete mathematical structures : theory and applications. Australia: Thomson/Course Technology. ISBN 978-0-619-21558-3.
• Pudlák, Pavel (2013). "Mathematical structures". Logical foundations of mathematics and computational complexity a gentle introduction. Cham: Springer. pp. 2–24. ISBN 9783319001197.
• Senechal, M. (21 May 1993). "Mathematical Structures". Science. 260 (5111): 1170–1173. doi:10.1126/science.260.5111.1170. PMID 17806355.

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• अंक शास्त्र
• विभेदक संरचना
• टोपोलॉजिकल स्पेस
• नक्शा (गणित)
• किसी फ़ंक्शन का डोमेन
• लेबेस्ग उपाय
• आदेशित क्षेत्र
• झूठ समूह
• खुला सेट
• अंतर्ज्ञानवादी प्रकार का सिद्धांत

बाहरी संबंध

• "Structure". PlanetMath. (provides a model theoretic definition.)
• Mathematical structures in computer science (journal)