उचित समय

सापेक्षता में, समयबद्ध विश्व रेखा के साथ उपयुक्त समय (लैटिन से, जिसका अर्थ है ''स्वयं का समय'') को उस समय के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो उस रेखा के बाद एक घड़ी द्वारा मापा जाता है। इस प्रकार यह निर्देशांकों से स्वतंत्र है, और लोरेंत्ज़ अदिश है। विश्व रेखा पर दो घटनाओं (सापेक्षता) के बीच उपयुक्त समय अंतराल उपयुक्त समय में परिवर्तन है। यह अंतराल संबंध की मात्रा है, क्योंकि उपयुक्त समय केवल एक एकपक्षीय रूप से योगात्मक स्थिरांक तक ही निर्धारित होता है, अर्थात् विश्व रेखा के साथ किसी घटना पर घड़ी का समायोजन होता है।

दो घटनाओं के बीच उपयुक्त समय अंतराल न केवल घटनाओं पर निर्भर करता है, बल्कि उन्हें जोड़ने वाली विश्व रेखा और इसलिए घटनाओं के बीच घड़ी की गति पर भी निर्भर करता है। इसे विश्व रेखा पर एक अभिन्न के रूप में व्यक्त किया गया है (यूक्लिडियन समष्टि में चाप की लंबाई के अनुरूप)। त्वरित घड़ी दो घटनाओं के बीच एक गैर-त्वरित (जड़त्वीय) घड़ी द्वारा मापी गई तुलना में दो घटनाओं के बीच कम व्यतीत समय मापेगी। समरूप पैराडॉक्स (विरोधाभास) इस आशय का एक उदाहरण है।

File:Proper and coordinate time.png

गहरे नीले रंग की ऊर्ध्वाधर रेखा घटनाओं E₁ और E₂ के बीच एक समन्वय समय अंतराल t को मापने वाले जड़त्वीय पर्यवेक्षक का प्रतिनिधित्व करती है। लाल वक्र उन्हीं दो घटनाओं के बीच अपने उपयुक्त समय अंतराल τ को मापने वाली घड़ी का प्रतिनिधित्व करता है।

विधि के अनुसार, उपयुक्त समय को सामान्य रूप से ग्रीक अक्षर τ (tau) द्वारा दर्शाया जाता है ताकि इसे t द्वारा दर्शाए गए समन्वय समय से अलग किया जा सके। समन्वय समय दो घटनाओं के बीच का समय है, जैसा कि एक पर्यवेक्षक द्वारा उस पर्यवेक्षक द्वारा किसी घटना को समय निर्दिष्ट करने की अपनी विधि का उपयोग करके मापा जाता है। विशेष सापेक्षता में एक जड़त्वीय पर्यवेक्षक के विशेष स्थिति में, पर्यवेक्षक की घड़ी और पर्यवेक्षक की एक साथ की परिभाषा का उपयोग करके समय को मापा जाता है।

1908 में हरमन मिन्कोव्स्की द्वारा उपयुक्त समय की अवधारणा प्रस्तुत की गई थी, और यह मिन्कोव्स्की आरेखों की एक महत्वपूर्ण विशेषता है।

गणितीय औपचारिकता

उपयुक्त समय की औपचारिक परिभाषा में समष्टि समय के माध्यम से पथ का वर्णन करना सम्मिलित है जो एक घड़ी, पर्यवेक्षक, या परीक्षण कण और उस समष्टि समय के आव्यूह प्रदिश (सामान्य सापेक्षता) का प्रतिनिधित्व करता है। उपयुक्त समय चार आयामी समष्टि-समय में विश्व रेखाओं की छद्म-रीमैनियन चाप लंबाई है। गणितीय दृष्टिकोण से, समन्वय समय को पूर्वनिर्धारित माना जाता है और समन्वय समय के कार्य के रूप में उपयुक्त समय के लिए एक अभिव्यक्ति की आवश्यकता होती है। दूसरी ओर, उपयुक्त समय को प्रयोगात्मक रूप से मापा जाता है और समन्वय समय की गणना जड़त्वीय घड़ियों के उपयुक्त समय से की जाती है।

उपयुक्त समय को केवल समष्टि समय के माध्यम से समय सदृश पथों के लिए परिभाषित किया जा सकता है जो भौतिक मापक और घड़ियों के साथ-साथ समुच्चय के निर्माण की स्वीकृति देता है। समष्टि जैसे पथ के लिए समान औपचारिकता उपयुक्त समय के अतिरिक्त उपयुक्त दूरी की माप की ओर ले जाती है। प्रकाश की तरह पथों के लिए, उपयुक्त समय की कोई अवधारणा सम्मिलित नहीं है और यह अपरिभाषित है क्योंकि समष्टि समय अंतराल शून्य है। इसके अतिरिक्त, समय से असंबंधित एकपक्षीय और भौतिक रूप से अप्रासंगिक एफ़िन पैरामीटर पेश किया जाना चाहिए।

विशेष सापेक्षता में

आव्यूह हस्ताक्षर के लिए समय सदृश संकेत के साथ, मिंकोवस्की मेट्रिक को इसके द्वारा परिभाषित किया गया है

$$\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},$$

और निर्देशांक द्वारा

$$(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)$$

एकपक्षीय रूप से लोरेंत्ज़ संरचना के लिए।

इस तरह के किसी भी रचना में अतिसूक्ष्म अंतराल, यहाँ दो घटनाओं के बीच समय की तरह माना जाता है

$$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu },$$

(1)

और एक कण के प्रक्षेपवक्र पर बिंदुओं को अलग करता है (घड़ी पर विचार करे)। उसी अंतराल को निर्देशांकों में व्यक्त किया जा सकता है जैसे कि प्रत्येक समय कण विरामस्थ पर है। इस तरह के फ्रेम को तात्कालिक विरामस्थ तंत्र कहा जाता है, जिसे प्रत्येक समय के लिए निर्देशांक $(c\tau ,x_{\tau },y_{\tau },z_{\tau })$ द्वारा यहां दर्शाया गया है। अंतराल के निश्चरता के कारण (अलग-अलग समय पर लिए गए तात्कालिक विरामस्थ तंत्र लोरेंत्ज़ परिवर्तनों से संबंधित हैं) कोई भी लिख सकता है

$$ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}-dx_{\tau }^{2}-dy_{\tau }^{2}-dz_{\tau }^{2}=c^{2}d\tau ^{2},$$

चूँकि तात्क्षणिक विरामस्थ रचना में, कण या संरचना स्वयं विरामस्थ में है, अर्थात, $dx_{\tau }=dy_{\tau }=dz_{\tau }=0$ है। चूंकि अंतराल को समय सदृश माना जाता है (अर्थात $ds^{2}>0$), उपरोक्त प्रतिफल का वर्गमूल लेते हुए

$$ds=cd\tau ,$$

या

$$d\tau ={\frac {ds}{c}}.$$

के लिए इस अंतर अभिव्यक्ति को देखते हुए τ, उपयुक्त समय अंतराल के रूप में परिभाषित किया गया है

$\Delta \tau =\int _{P}d\tau =\int {\frac {ds}{c}}.$          (2)

यहाँ P कुछ प्रारंभिक घटना से कुछ अंतिम घटना के लिए आवश्यक घटनाओं के क्रम के साथ विश्व रेखा है कि अंतिम घटना प्रारंभिक घटना की तुलना में घड़ी के अनुसार बाद में होती है।

का उपयोग करते हुए (1) और फिर से अंतराल का व्युत्क्रम, कोई लिख सकता है

$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}& ={\int <!--\; \int \; -->}_P\frac{1}{c}\sqrt{{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}d{x}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}d{x}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}\\ & ={\int <!--\; \int \; -->}_P\sqrt{}\end{array}$