प्रवणता

This article is about एक बहुभिन्नरूपी फ़ंक्शन का सामान्यीकृत व्युत्पन्न. For गणित में एक और प्रयोग, see ढलान. For कोण की एक समान वर्तनी वाली इकाई, see ग्रेडियन. For अन्य उपयोग, see प्रवणता (disambiguation).

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नीले तीरों द्वारा दर्शाया गया प्रवणता, स्केलर फलन के सबसे बड़े परिवर्तन की दिशा को दर्शाता है। फलन के मान ग्रेस्केल में दर्शाए जाते हैं और मान में सफेद (निम्न) से अंधेरे (उच्च) में वृद्धि होती है।

वेक्टर कैल्कुलस में, कई चर के स्केलर-मूल्यांकित विभेदक फलन f का प्रवणता वेक्टर क्षेत्र (या वेक्टर-मूल्यांकित प्रकार्य) है। $\nabla f$ जिसका मूल्य बिंदु पर $p$ है वेक्टर जिसका घटक $f$ के आंशिक यौगिक हैं $p$ वह इसके लिए $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$, इसकी प्रवणता है $\nabla f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ बिंदु पर परिभाषित किया गया है $p=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ एन-आयामी अंतरिक्ष में वेक्टर के रूप में

$\nabla f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}.$

नाबला प्रतीक $\nabla$ को ऊपर दिए गए त्रिभुज के रूप में लिखा गया है, "डेल" (Del) वेक्टर विभेदक प्रचालक को निर्दिष्ट करता है।

प्रवणता वेक्टर को "दिशा और सबसे तेजी से वृद्धि की दर" के रूप में व्याख्या की जा सकती है। यदि किसी फलन का प्रवणता किसी बिंदु p पर शून्य है, तो प्रवणता की दिशा वह दिशा है जिसमें कि फलन p से बहुत तेजी से बढ़ता है, और प्रवणता का परिमाण उस दिशा में वृद्धि की दर है, सबसे बड़ी निरपेक्ष दिशात्मक व्युत्पन्न। इसके अतिरिक्त एक बिंदु जहां कि प्रवणता शून्य वेक्टर है उसे अचल बिंदु कहते हैं। प्रवणता इस प्रकार इष्टतमीकरण सिद्धांत में एक बुनियादी भूमिका निभाता है, जहाँ यह प्रवणता आरोहण द्वारा प्रकार्य को अधिकतम करने के लिए प्रयुक्त होता है।

यह प्रवणता कुल व्युत्पन्न के दोहरे $df$: एक बिंदु पर प्रवणता का मान एक स्पर्शरेखा वेक्टर-प्रत्येक बिंदु पर एक वेक्टर होता है;जबकि एक बिंदु पर व्युत्पन्न का मान एक कोटिस्पर्शज्या वेक्टर-वैक्टर पर एक रेखीय प्रकार्य है। वे इस बात से संबंधित हैं कि एक बिंदु p पर f की प्रवणता के बिंदु उत्पाद का बिंदु, बिंदु V पर कार्य के p पर f के दिशात्मक व्युत्पन्न के बराबर होता है;अर्थात्,

${\textstyle \nabla f(p)\cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}(p)=df_{p}(\mathbf {v} )}$ प्रवणता विभिन्न सामान्यकरणों को विभिन्न स्तरों पर अधिक सामान्य कार्यों में मानती है; § सामान्यकरण देखें

अभिप्रेरण

एक ऐसे कमरे पर विचार करें जहाँ तापमान एक स्केलर , T द्वारा दिया जाता है, इसलिए प्रत्येक बिंदु पर (x, y, z) तापमान T(x, y, z) है, जो समय से स्वतंत्र होता है। कमरे के प्रत्येक बिंदु पर "T" का प्रवणता उस दिशा को दिखाएगा जिसमें तापमान तेजी से बढ़ता है, जो (x, y, z) से दूर होता है। प्रवणता का परिमाण इस दिशा में तापमान के बढ़ने की गति को निर्धारित करेगा।

एक सतह जिसकी समुद्री सतह की ऊंचाई (x, y) पर H(x, y) है उस पर विचार करें: एक बिंदु पर H का प्रवणता एक समतल वेक्टर है जो इस बिंदु पर सबसे तेज प्रवणता या श्रेणी की ओर इंगित करता है। उस बिंदु पर प्रवणता की ढलान प्रवणता वेक्टर के परिमाण द्वारा दी गई है।

प्रवणता का प्रयोग किसी डॉट उत्पाद को लेकर अदिश क्षेत्र की अन्य दिशाओं में परिवर्तन करने की बजाय उसका परिमाण मापने के लिए भी किया जा सकता है। मान लीजिए कि पहाड़ी पर सबसे तेज ढलान 40% है सीधी चढ़ाई वाली सड़क में 40% ढलान होता है, लेकिन पहाड़ी के चारों ओर एक कोण पर जाने वाली सड़क पर ढलान कम होगा। उदाहरण के लिए, यदि सड़क की ऊपरी दिशा से 60 डिग्री कोण पर है(जब दोनों दिशाओं को क्षैतिज तल पर प्रदर्शित किया जाता है) तो सड़क के किनारे की ढलान प्रवणता वेक्टर और यूनिट वेक्टर के बीच बिन्दु उत्पाद होगा जो कि सड़क पर 40 गुना 60 या 20% है।

सामान्यतया यदि पहाड़ी उच्चता फलन H विभेदकारी है तब बिंदु बिंदुकित का प्रवणता वेक्टर की दिशा में पहाडी का प्रवणता, इकाई वेक्टर के साथ H का दिशात्मक व्युत्पन्न प्रदान करता है।

संकेतन

बिंदु $a$ पर फलन $f$ की प्रवणता सामान्यता पर इस प्रकार लिखी जाती है $\nabla f(a)$। इसे निम्नलिखित में से किसी भी प्रकार के द्वारा दर्शाया जा सकता है:

• ${\vec {\nabla }}f(a)$ : परिणाम की वेक्टर प्रकृति पर जोर देने के लिए।
• grad f
• $\partial _{i}f$ तथा $f_{i}$ : आइंस्टीन संकेतन।

परिभाषा

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फलन का प्रवणता f(x,y) = −(cos²x + cos²y)² निचले तल पर एक प्रक्षेपित वेक्टर क्षेत्र के रूप में दर्शाया गया है।

एक अदिश फलन f(x₁, x₂, x₃, …, x_n) की प्रवणता (या प्रवणता वेक्टर क्षेत्र) को ∇f या →$f$ से निरूपित किया जाता है, जहां ∇ (नाबला) वेक्टर अंतर संकारक, डेल को दर्शाता है। प्रवणता का प्रतिनिधित्व करने के लिए अंकन ग्रैड grad f का भी सामान्यता पर उपयोग किया जाता है। $f$ के प्रवणता को अद्वितीय वेक्टर क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका डॉट उत्पाद प्रत्येक बिंदु x पर किसी भी वेक्टर v के साथ $f$ का दिशात्मक व्युत्पन्न है। अर्थात,

${\big (}\nabla f(x){\big )}\cdot \mathbf {v} =D_{\mathbf {v} }f(x)$

जहाँ पर दायां तरफ हाथ निदेशात्मक व्युत्पन्न होता है और उसे दर्शाने के कई तरीके हैं।औपचारिक रूप से, व्युत्पन्न प्रवणता के लिए दोहरी है; व्युत्पन्न के साथ संबंध देखें

जब प्रकार्य समय जैसे प्राचल पर भी निर्भर होता है तो प्रवणता से तात्पर्य केवल इसके स्थानिक व्युत्ग्राहकों के वेक्टर से होता है (विशेष प्रवणता देखें).

प्रवणता वेक्टर का परिमाण तथा दिशा विशेष निर्देशांक निरूपण से स्वतंत्र है।

कार्तीय निर्देशांक

त्रिआयामी कर्णनलिका निर्देशांक प्रणाली में, युक्लिडियन मेट्रिक के साथ, प्रवणता, यदि वह मौजूद है, दिया जाता है, तो निम्नलिखित है:

$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} ,$

जहां i, j, k मानक इकाई वैक्टर हैं क्रमशः x, y और z निर्देशांक के निर्देशों में उदाहरण के लिए, फलन की प्रवणता।

$f(x,y,z)=2x+3y^{2}-\sin(z)$

है

$\nabla f=2\mathbf {i} +6y\mathbf {j} -\cos(z)\mathbf {k} .$

कुछ अनुप्रयोगों में प्रवणता को आयताकार समन्वय प्रणाली में इसके घटकों के पंजर वेक्टर या स्तंभ वेक्टर के रूप में प्रदर्शित करने के लिए प्रथागत किया जाता है;यह लेख अनुक्रमणिका स्तंभ वेक्टर की परिपाटी के अनुसार है जबकि व्युत्पन्न एक पंक्ति वेक्टर है।

बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक

Main article: बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में डेल

बेलनाकार निर्देशांक में यूक्लिडियन मेट्रिक के साथ निर्देशांक, प्रवणता द्वारा दिया जाता है:

$\nabla f(\rho ,\varphi ,z)={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z},$

जहाँ पे ρ अक्षीय दूरी है, φ अज़ीमुथल या अज़ीमुथ कोण है, z अक्षीय निर्देशांक है, और e_ρ, e_φ और e_z निर्देशांक दिशाओं की ओर इशारा करते हुए इकाई वेक्टर हैं।

गोलाकार निर्देशांक में, प्रवणता द्वारा दिया जाता है:

$\nabla f(r,\theta ,\varphi )={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi },$

जहाँ r रेडियल दूरी है, φ अज़ीमुथल कोण है और θ ध्रुवीय कोण है, और e_r, e_θ तथा e_φ फिर से स्थानीय इकाई वेक्टर हैं जो निर्देशांक दिशाओं (अर्थात सामान्यीकृत सहसंयोजक आधार) की ओर इशारा करते हैं।

अन्य ऑर्थोगोनल कोऑर्डिनेट सिस्टम में प्रवणता के लिए, ऑर्थोगोनल कोऑर्डिनेट्स (तीन आयामों में विभेदीय संकारक) देखें।

सामान्य निर्देशांक

हम सामान्य निर्देशांक, जो हम x¹, …, xⁱ, …, xⁿ जहां एन डोमेन के आयाम की संख्या है पर विचार करें यहाँ, ऊपर सूचकांक निर्देशांक या घटक की सूची में स्थिति को दर्शाता है, इसलिए x² का संदर्भ है मात्रा x वर्ग नहीं.सूचकांक चर i एक मनमानी तत्व xⁱ संदर्भित करता है।आइंस्टीन संकेतन का उपयोग करके, प्रवणता तब के रूप में लिखा जा सकता है:

$$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}g^{ij}\mathbf {e} _{j}$$

(ध्यान दें कि इसका दोहरा स्थान है ${\textstyle \mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\mathbf {e} ^{i}}$),

कहाँ पे $\mathbf {e} _{i}=\partial \mathbf {x} /\partial x^{i}$ तथा $\mathbf {e} ^{i}=\mathrm {d} x^{i}$ असामान्य स्थानीय वक्रीय निर्देशांक देखें सहसंयोजक और विरोधाभासी आधार क्रमशः, $g^{ij}$ मीट्रिक प्रदिश # उलटा मीट्रिक है, और आइंस्टीन सारांश सम्मेलन i और j पर योग का तात्पर्य है।

यदि निर्देशांक ओर्थोगोनल हैं तो हम सामान्यीकृत आधारों के संदर्भ में प्रवणता (और विभेदक रूप) को आसानी से व्यक्त कर सकते हैं, जिसे हम इस रूप में संदर्भित करते हैं ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}$ तथा ${\hat {\mathbf {e} }}^{i}$, पैमाने के कारकों का उपयोग करना (जिन्हें लैमे गुणांक के रूप में भी जाना जाता है) $h_{i}=\lVert \mathbf {e} _{i}\rVert ={\sqrt {g_{ii}}}=1\,/\lVert \mathbf {e} ^{i}\rVert$ :

$$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}g^{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}{\sqrt {g_{jj}}}=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {1}{h_{i}}}\mathbf {\hat {e}} _{i}$$

(तथा ${\textstyle \mathrm {d} f=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {1}{h_{i}}}\mathbf {\hat {e}} ^{i}}$),

जहां हम आइंस्टाइन नोटेशन का प्रयोग नहीं कर सकते, क्योंकि दो से अधिक संकेतकों की पुनरावृत्ति से बचना असंभव है।} ऊपरी और निचले सूचकांक के उपयोग के बावजूद , $\mathbf {\hat {e}} _{i}$, $\mathbf {\hat {e}} ^{i}$, तथा $h_{i}$ न तो विरोधी हैं और न ही संस्कृतिक

बाद की अभिव्यक्ति बेलनाकार और गोलीय निर्देशांक के लिए ऊपर दी गई अभिव्यक्ति का मूल्यांकन करती है।

व्युत्पन्न के साथ संबंध

कुल व्युत्पन्न के साथ संबंध

प्रवणता कुल व्युत्पन्न (कुल अंतर) से निकटता से संबंधित है $df$: वे एक दूसरे को स्थानांतरित (रैखिक मानचित्र का स्थानांतरण) कर रहे हैं। उस सम्मेलन का उपयोग करना जो वेक्टर में $\mathbb {R} ^{n}$ कॉलम वेक्टर द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है, और वह कोवेक्टर (रैखिक मानचित्र) $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ पंक्ति वेक्टर द्वारा दर्शाए जाते हैं, प्रवणता $\nabla f$ और व्युत्पन्न $df$ एक ही घटक के साथ क्रमशः एक स्तंभ और पंक्ति वेक्टर के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, लेकिन एक दूसरे का स्थानान्तरण करते हैं:

$\nabla f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}};$

$df_{p}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}.$

जबकि इन दोनों में समान घटक होते हैं, वे किस प्रकार की गणितीय वस्तु का प्रतिनिधित्व करते हैं, वे भिन्न होते हैं: प्रत्येक बिंदु पर, व्युत्पन्न एक कोटिस्पर्शज्या वेक्टर होता है, एक रैखिक रूप(कोवेक्टर) जो व्यक्त करता है कि किसी दिए गए इनफिनिटिमल के लिए कितना(स्केलर) आउटपुट बदलता है(वेक्टर) इनपुट में परिवर्तन, जबकि प्रत्येक बिंदु पर, प्रवणता एक स्पर्शरेखा वेक्टर है, जो(वेक्टर) इनपुट में एक असीम परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। प्रतीकों में, प्रवणता एक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान का एक तत्व है, $\nabla f(p)\in T_{p}\mathbb {R} ^{n}$, जबकि व्युत्पन्न स्पर्शरेखा स्थान से वास्तविक संख्याओं तक का नक्शा है, $df_{p}\colon T_{p}\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$. के प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान $\mathbb {R} ^{n}$ स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है। वेक्टर स्पेस के साथ $\mathbb {R} ^{n}$ स्वयं, और इसी तरह प्रत्येक बिंदु पर कोटिस्पर्शज्या स्पेस को दोहरी वेक्टर स्पेस के साथ स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है $(\mathbb {R} ^{n})^{*}$ कोवेक्टरों का; इस प्रकार एक बिंदु पर प्रवणता के मूल्य को मूल में एक वेक्टर के बारे में सोचा जा सकता है $\mathbb {R} ^{n}$, न केवल एक स्पर्शरेखा वेक्टर के रूप में।

कंप्यूटेशनल, एक स्पर्शज्या वेक्टर को देखते हुए, वेक्टर को व्युत्पन्न (आव्यूहों के रूप में) से गुणा किया जा सकता है, जो कि प्रवणता के साथ डॉट-उत्पाद लेने के बराबर है:

$(df_{p})(v)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)v_{i}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\nabla f(p)\cdot v$

विभेदक या (बाहरी) व्युत्पन्न

एक अलग-अलग फलन के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

एक बिंदु पर x में Rⁿ से एक रैखिक नक्शा है Rⁿ प्रति R जिसे अक्सर द्वारा दर्शाया जाता है df_x या Df(x) और अंतर(कैलकुलस) या का कुल व्युत्पन्न कहा जाता है f पर x कार्यक्रम df, कौन सा नक्शा x प्रति df_x को का कुल अंतर या बाहरी व्युत्पन्न कहा जाता है f और अंतर 1-रूप का एक उदाहरण है।

जितना एक एकल चर के किसी फलन का व्युत्पन्न फलन के किसी फलन के ग्राफ के स्पर्शरेखा के ढलान का प्रतिनिधित्व करता है, कई चर राशि में एक फलन का दिशात्मक व्युत्पन्न वेक्टर की दिशा में स्पर्शरेखा हाइपरप्लेन की ढलान का प्रतिनिधित्व करता है।

प्रवणता सूत्र द्वारा अंतर से संबंधित है

$(\nabla f)_{x}\cdot v=df_{x}(v)$

किसी के लिए v ∈ Rⁿ, कहाँ पे $\cdot$ डॉट उत्पाद है: प्रवणता के साथ वेक्टर का डॉट उत्पाद लेना वेक्टर के साथ दिशात्मक व्युत्पन्न लेने जैसा ही है।

यदि Rⁿ (आयाम) के स्थान के रूप में देखा जाता है n) कॉलम वेक्टर (वास्तविक संख्याओं का), तो कोई मान सकता है df घटक के साथ पंक्ति वेक्टर के रूप में

$\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right),$

ताकि df_x(v) मैट्रिक्स गुणन द्वारा दिया जाता है। मानक यूक्लिडियन मीट्रिक को मानते हुए Rⁿ, प्रवणता तब संबंधित कॉलम वेक्टर होता है, अर्थात,

$(\nabla f)_{i}=df_{i}^{\mathsf {T}}.$

एक फलन के लिए रैखिक सन्निकटन

किसी फलन के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन व्युत्पन्न के बजाय प्रवणता के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। फलन का प्रवणता (गणित) f यूक्लिडियन अंतरिक्ष से Rⁿ प्रति R किसी विशेष बिंदु पर x₀ में Rⁿ सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन की विशेषता है f पर x₀ सन्निकटन इस प्रकार है:

$f(x)\approx f(x_{0})+(\nabla f)_{x_{0}}\cdot (x-x_{0})$

के लिये x के करीब x₀, कहाँ पे (∇f )_x0 का प्रवणता है f पर गणना की गई x₀, और बिंदु डॉट उत्पाद को दर्शाता है Rⁿ. यह समीकरण टेलर श्रृंखला में पहले दो पदों के बराबर है#टेलर श्रृंखला के कई चर विस्तार में f पर x₀.

फ़्रेचेट व्युत्पन्न के साथ संबंध

होने देना U में एक खुला सेट बनें Rⁿ. यदि फलन f : U → R अवकलनीय है, तो का अंतर f फ्रेचेट का व्युत्पन्न है f. इस प्रकार ∇f से एक फलन है U अंतरिक्ष के लिए Rⁿ ऐसा है कि

$$\lim _{h\to 0}{\frac {|f(x+h)-f(x)-\nabla f(x)\cdot h|}{\|h\|}}=0,$$

जहां डॉट उत्पाद है। एक परिणाम के रूप में, व्युत्पन्न के सामान्य गुण प्रवणता के लिए धारण करते हैं, हालांकि प्रवणता स्वयं व्युत्पन्न नहीं है, बल्कि व्युत्पन्न के लिए दोहरी है:

रैखिकता

प्रवणता इस अर्थ में रैखिक है कि यदि f तथा g बिंदु पर अलग-अलग दो वास्तविक-मूल्यवान कार्य हैं a ∈ Rⁿ, तथा α तथा β दो अचर हैं, तो αf + βg पर भिन्न है a, और इसके अलावा

$$\nabla \left(\alpha f+\beta g\right)(a)=\alpha \nabla f(a)+\beta \nabla g(a).$$

प्रॉडक्ट नियम

यदि f तथा g वास्तविक-मूल्यवान फलन एक बिंदु पर भिन्न होते हैं a ∈ Rⁿ, तो उत्पाद नियम यह दावा करता है कि उत्पाद fg पर भिन्न है a, तथा

$$\nabla (fg)(a)=f(a)\nabla g(a)+g(a)\nabla f(a).$$

श्रृंखला नियम

मान लो कि f : A → R एक सबसेट पर परिभाषित एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है A का Rⁿ, और कि f एक बिंदु पर अवकलनीय है a. प्रवणता पर लागू होने वाले चेन नियम के दो रूप हैं। सबसे पहले, मान लें कि फलन g एक पैरामीट्रिक वक्र है; वह है, एक फलन g : I → Rⁿ एक सबसेट को मैप करता है I ⊂ R में Rⁿ. यदि g एक बिंदु पर अवकलनीय है c ∈ I ऐसा है कि g(c) = a, फिर

$$(f\circ g)'(c)=\nabla f(a)\cdot g'(c),$$

जहां संरचना प्रचालक है: (f ∘ g)(x) = f(g(x)).

अधिक सामान्यता, यदि इसके बजाय I ⊂ R^k, तो निम्नलिखित धारण करता है:

$$\nabla (f\circ g)(c)={\big (}Dg(c){\big )}^{\mathsf {T}}{\big (}\nabla f(a){\big )},$$

कहाँ पे (Dg)^T ट्रांसपोज़ जैकोबियन मैट्रिक्स को दर्शाता है।

श्रृंखला नियम के दूसरे रूप के लिए, मान लीजिए कि h : I → R एक सबसेट पर एक वास्तविक मूल्यवान कार्य है I का R, और कि h बिंदु पर भिन्न है f(a) ∈ I. फिर

$$\nabla (h\circ f)(a)=h'{\big (}f(a){\big )}\nabla f(a).$$

अग्रिम गुण और अनुप्रयोग

स्तर सेट

See also: लेवल सेट लेवल सेट बनाम प्रवणता

एक स्तर की सतह, या समसतह, सभी बिंदुओं का सेट है जहां कुछ फलन के पास दिए गए मान हैं।

यदि f अवकलनीय है, तो डॉट उत्पाद (∇f )_x ⋅ v एक बिंदु पर प्रवणता का x एक वेक्टर के साथ v का दिशात्मक व्युत्पन्न देता है f पर x दिशा में v यह इस प्रकार है कि इस मामले में का प्रवणता f के स्तर सेट के लिए ओर्थोगोनल है f उदाहरण के लिए, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक स्तर की सतह को फॉर्म के समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है F(x, y, z) = c का प्रवणता F फिर सतह के लिए सामान्य है।

अधिक समानता, रिमेंनियन मैनिफोल्ड में किसी भी अंतर्निहित सबमनिफोल्ड उच्च सतह को फॉर्म के समीकरण द्वारा काटा जा सकता है F(P) = 0 ऐसा है कि dF शून्य कहीं नहीं है। का प्रवणता F फिर उच्च सतह के लिए सामान्य है।

इसी तरह, एक एफ़िन बीजीय किस्म को एक समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है F(x₁, ..., x_n) = 0, कहाँ पे F एक बहुपद है। का प्रवणता F उच्च सतह के एकवचन बिंदु पर शून्य है (यह एकवचन बिंदु की परिभाषा है)। एक गैर-एकवचन बिंदु पर, यह एक गैर-शून्य सामान्य वेक्टर है।

संरक्षी वेक्टर क्षेत्र और प्रवणता प्रमेय

Main article: प्रवणता प्रमेय

फलन के प्रवणता को प्रवणता क्षेत्र कहा जाता हैएक (सतत) प्रवणता क्षेत्र हमेशा अनुदैर्घ्य वेक्टर क्षेत्र होता है: किसी भी पथ के साथ इसकी रेखा समाकल पथ के अंतबिंदु पर निर्भर करता है तथा इसका मूल्यांकन प्रवणता प्रमेय (समाकल लाइन के लिए कलन का मूल प्रमेय) द्वारा किया जा सकता है।इसके विपरीत, एक (सतत) रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र हमेशा एक फलन की प्रवणता है।

सामान्यीकरण

जैकोबियन

Main article: जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक

जैकोबियन आव्यूह अनेक चरों के वेक्टर-मूल्यांकित कार्यों के लिए प्रवणता का सामान्यीकरण है और यूक्लिडियन स्थानों या, सामान्यतया, कई चरों के विभेदक मानचित्र के लिए बनाच स्थान के बीच एक फलन के लिए एक और सामान्यीकरण फ्रेचेट व्युत्पन्न है।

मान लीजिए f : Rⁿ → R^m एक ऐसा फलन है जिसका प्रत्येक प्रथम कोटि का आंशिक अवकलज मौजूद है ℝⁿ. तब का जैकोबियन मैट्रिक्स f एक के रूप में परिभाषित किया गया है m×n मैट्रिक्स, द्वारा दर्शाया गया $\mathbf {J} _{\mathbb {f} }(\mathbb {x} )$ या केवल $\mathbf {J}$. (i,j)वीं प्रविष्टि है $\mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}$. स्पष्ट रूप से

$$\mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathsf {T}}f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathsf {T}}f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}.$$

एक वेक्टर क्षेत्र की प्रवणता

See also: सहसंयोजक व्युत्पन्न

चूंकि वेक्टर क्षेत्र का कुल व्युत्पन्न, वैक्टर से वेक्टर तक का एक रेखीय प्रतिचित्रण है, यह प्रदिश राशि है।

आयताकार निर्देशांक में, एक वेक्टर क्षेत्र का प्रवणता f = ( f¹, f², f³) द्वारा परिभाषित किया जाता है:

$\nabla \mathbf {f} =g^{jk}{\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{k},$

(जहां आइंस्टाइन सममितन संकेतन का प्रयोग किया जाता है तथा वेक्टर e_i तथा e_k प्रदिश उत्पाद प्रकार (2,0) का एक दियाडिक प्रदिश होता है.कुल मिलाकर, यह अभिव्यक्ति जैकोबियन मैट्रिक्स के स्थानांतरण के बराबर होती है:

${\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}={\frac {\partial (f^{1},f^{2},f^{3})}{\partial (x^{1},x^{2},x^{3})}}.$

वक्रीय निर्देशांक में, या अधिक समानता एक घुमावदार मैनिफ़ोल्ड पर, प्रवणता में क्रिस्टोफिल प्रतीकों शामिल हैं:

$\nabla \mathbf {f} =g^{jk}\left({\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}+{\Gamma ^{i}}_{jl}f^{l}\right)\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{k},$

व्युत्क्रम मीट्रिक प्रदिश के घटक हैं और e_i निर्देशांक आधार वेक्टर हैं।

अधिक अपरिवर्तनीय रूप से व्यक्त किया गया, एक वेक्टर क्षेत्र का प्रवणता f लेवि-सिविटा संबंध और मीट्रिक प्रदिश द्वारा परिभाषित किया जा सकता है ।

$\nabla ^{a}f^{b}=g^{ac}\nabla _{c}f^{b},$

कहाँ पे ∇_c संबंध है।

रीमैनियन मैनिफोल्ड्स

किसी भी सुचारू कार्य के लिए f रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर (M, g), का प्रवणता f वेक्टर क्षेत्र है ∇f ऐसा है कि किसी भी वेक्टर क्षेत्र के लिए X,

$g(\nabla f,X)=\partial _{X}f,$

वह है,

$g_{x}{\big (}(\nabla f)_{x},X_{x}{\big )}=(\partial _{X}f)(x),$

g_x( , ) स्पर्शरेखा वेक्टर के आंतरिक उत्पाद को दर्शाता है x मीट्रिक द्वारा परिभाषित g तथा ∂_X f वह कार्य है जो किसी भी बिंदु को लेता है x ∈ M के दिशात्मक व्युत्पन्न के लिए f दिशा में X, पर मूल्यांकन किया गया x दूसरे शब्दों में, एक समन्वय चार्ट में φ के एक खुले उपसमुच्चय से M के एक खुले उपसमुच्चय के लिए Rⁿ, (∂_X f )(x) द्वारा दिया गया है:

$\sum _{j=1}^{n}X^{j}{\big (}\varphi (x){\big )}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(f\circ \varphi ^{-1}){\Bigg |}_{\varphi (x)},$

दर्शाता है jका वां घटक X इस समन्वय चार्ट में।

तो, प्रवणता का स्थानीय रूप रूप लेता है:

$\nabla f=g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}{\textbf {e}}_{i}.$

मामले का सामान्यीकरण M = Rⁿ, किसी फलन का प्रवणता उसके बाहरी व्युत्पन्न से संबंधित होता है, क्योंकि

$(\partial _{X}f)(x)=(df)_{x}(X_{x}).$

अधिक सटीक, प्रवणता ∇f अंतर 1-रूप से जुड़ा वेक्टर क्षेत्र है df संगीत समरूपता का उपयोग करना

$\sharp =\sharp ^{g}\colon T^{*}M\to TM$

(शार्प कहा जाता है) मीट्रिक द्वारा परिभाषित g. बाहरी व्युत्पन्न और किसी फलन के प्रवणता के बीच संबंध Rⁿ इसका एक विशेष मामला है जिसमें मीट्रिक डॉट उत्पाद द्वारा दिया गया फ्लैट मीट्रिक है।

यह भी देखें

• कर्ल (गणित)
• विचलन
• चार प्रवणता
• हेसियन मैट्रिक्स
• तिरछा प्रवणता

संदर्भ

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• "McGraw Hill Encyclopedia of Science & Technology". McGraw-Hill Encyclopedia of Science & Technology (10th ed.). New York: McGraw-Hill. 2007. ISBN 978-0-07-144143-8.
• Moise, Edwin E. (1967), Calculus: Complete, Reading: Addison-Wesley
• Protter, Murray H.; Morrey, Jr., Charles B. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042
• Schey, H. M. (1992). Div, Grad, Curl, and All That (2nd ed.). W. W. Norton. ISBN 0-393-96251-2. OCLC 25048561.
• Stoker, J. J. (1969), Differential Geometry, New York: Wiley, ISBN 0-471-82825-4
• Swokowski, Earl W.; Olinick, Michael; Pence, Dennis; Cole, Jeffery A. (1994), Calculus (6th ed.), Boston: PWS Publishing Company, ISBN 0-534-93624-5

अग्रिम पठन

• Korn, Theresa M.; Korn, Granino Arthur (2000). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. Dover Publications. pp. 157–160. ISBN 0-486-41147-8. OCLC 43864234.

बाहरी संबंध

• "Gradient". Khan Academy.
• Kuptsov, L.P. (2001) [1994], "Gradient", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Weisstein, Eric W. "Gradient". MathWorld.