द्विपद प्रमेय

${\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}$

The binomial coefficient ${\tbinom {n}{k}}$ appears as the kth entry in the nth row of Pascal's triangle (counting starts at 0). Each entry is the sum of the two above it.

प्रारंभिक बीजगणित में, द्विपद प्रमेय या द्विपद विस्तार एक द्विपद बहुपद के घातांक के बीजगणितीय प्रसार का वर्णन करता है। प्रमेय के अनुसार, बहुपद का विस्तार करना संभव है (x + y)ⁿ फॉर्म की शर्तों को शामिल करने वाले योग में ax^by^c, जहां घातांक b तथा c के साथ अऋणात्मक पूर्णांक हैं b + c = n, और गुणांक a प्रत्येक शब्द का एक विशिष्ट सकारात्मक पूर्णांक निर्भर करता है n तथा b. उदाहरण के लिए, के लिए n = 4,

$$(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.$$

ax^by^c के पद में गुणांक a को द्विपद गुणांक ${\tbinom {n}{b}}$ या ${\tbinom {n}{c}}$ के रूप में जाना जाता है, दोनों का मूल्य समान होता है। अलग-अलग के लिए ये गुणांक n तथा b पास्कल का त्रिभुज बनाने के लिए व्यवस्थित किया जा सकता है। ये नंबर साहचर्य में भी होते हैं, जहां ${\tbinom {n}{b}}$उन तत्वों के विभिन्न संयोजनों की संख्या देता है जिन्हें n-तत्व के समुच्चय से चुना जाता है। इसलिए ${\tbinom {n}{b}}$ को अक्सर n और b के रूप में उच्चारित किया जाता है।

इतिहास

द्विपद प्रमेय के विशेष मामले कम से कम चौथी शताब्दी ईसा पूर्व से ज्ञात थे जब यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने घातांक 2 के लिए द्विपद प्रमेय के विशेष मामले का उल्लेख किया था।. इस बात के सबूत हैं कि घनफल के लिए द्विपद प्रमेय भारत में छठी शताब्दी ईस्वी तक जाना जाता था।

बिना प्रतिस्थापन के n में k वस्तुओं के चयन तरीकों की संख्या को व्यक्त करने वाले संयोजी मात्राओं के रूप में द्विपद गुणांक, प्राचीन भारतीय गणितज्ञों के लिए रुचिकर थे। इस मिश्रित समस्या का सबसे पहला ज्ञात संदर्भ भारतीय गीतकार पिंगला द्वारा रचित चंदशास्त्र (सी. 200 ई.पू.) है, जिसमें इसके समाधान के लिए एक विधि सम्मिलित है। 10वीं शताब्दी ईस्वी के टिप्पणीकार हलायुध ने इस विधि की व्याख्या की है जिसे अब पास्कल के त्रिकोण के रूप में जाना जाता है। छठी शताब्दी ईस्वी तक, भारतीय गणितज्ञ शायद यह जानते थे कि इसे भागफल के रूप में कैसे व्यक्त किया जाए ${\textstyle {\frac {n!}{(n-k)!k!}}}$, और इस नियम का स्पष्ट विवरण भास्कर द्वितीय द्वारा लिखित 12वीं शताब्दी के ग्रंथ लीलावती में पाया जा सकता है।

हमारे ज्ञान के लिए द्विपद प्रमेय और द्विपद गुणांक की तालिका का पहला सूत्रीकरण, अल-काराजी के एक काम में पाया जा सकता है, जिसे अल-समावली ने अपने अल-बहिर में उद्धृत किया है। अल-काराजी ने द्विपद गुणांकों के त्रिकोणीय पैटर्न का वर्णन किया और गणितीय प्रेरण के प्रारंभिक रूप का उपयोग करते हुए द्विपद प्रमेय और पास्कल त्रिकोण दोनों का गणितीय प्रमाण भी प्रदान किया। फारसी कवि और गणितज्ञ उमर खय्याम शायद उच्च क्रम के सूत्र से परिचित थे, चूँकि, उनके कई गणितीय कार्य बर्बाद हो गए थे। 13वीं शताब्दी के यांग हुई के गणितीय कार्यों में छोटी घात के द्विपद विस्तार ज्ञात थे और चू शिह-चीह भी। यांग हुई ने इस पद्धति का श्रेय जिया जियान के 11वीं शताब्दी के बहुत पहले के पाठ को दिया है, हालांकि अब वे लेख भी खो गए हैं।

1544 में, माइकल स्टिफ़ेल ने द्विपद गुणांक शब्द पेश किया और दिखाया कि उन्हें कैसे व्यक्त किया जाए $(1+a)^{n}$ के अनुसार $(1+a)^{n-1}$पास्कल के त्रिकोण के माध्यम से। ब्लेज़ पास्कल ने अपने ट्रैटे डू त्रिकोण अंकगणित में व्यापक रूप से नामांकित त्रिभुज का अध्ययन किया। हालांकि, संख्याओं का पैटर्न पहले से ही देर से पुनर्जागरण के यूरोपीय गणितज्ञों के लिए जाना जाता था, जिसमें स्टिफ़ेल, निकोलो फोंटाना टारटाग्लिया और साइमन स्टीविन सम्मिलित थे।

आइजैक न्यूटन को आम तौर पर सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय का श्रेय दिया जाता है, जो किसी भी तर्कसंगत घातांक के लिए मान्य होता है।

कथन

प्रमेय के अनुसार, की किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक शक्ति का विस्तार करना संभव है x + y फॉर्म के योग में

$$(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},$$

कहाँ पे $n\geq 0$ एक पूर्णांक है और प्रत्येक ${\tbinom {n}{k}}$ एक सकारात्मक पूर्णांक है जिसे द्विपद गुणांक के रूप में जाना जाता है। (जब एक घातांक शून्य होता है, तो संबंधित शक्ति अभिव्यक्ति को 1 माना जाता है और इस गुणन कारक को अक्सर शब्द से हटा दिया जाता है। इसलिए अक्सर दाहिने हाथ की ओर लिखा हुआ दिखाई देता है ${\textstyle {\binom {n}{0}}x^{n}+\cdots }$.) इस सूत्र को द्विपद सूत्र या द्विपद सर्वसमिका भी कहा जाता है। कैपिटल-सिग्मा नोटेशन का उपयोग करके इसे इस रूप में लिखा जा सकता है

$$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.$$

अंतिम अभिव्यक्ति पिछले एक की समरूपता से होती है x तथा y पहली अभिव्यक्ति में, और तुलना करके यह इस प्रकार है कि सूत्र में द्विपद गुणांक का क्रम सममित है। प्रतिस्थापन (बीजगणित) द्वारा द्विपद सूत्र का एक सरल संस्करण प्राप्त किया जाता है 1 के लिये y, ताकि इसमें केवल एक चर (गणित) शामिल हो। इस रूप में, सूत्र पढ़ता है

$$(1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n},$$

या समकक्ष

$$(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k},$$

या अधिक स्पष्ट रूप से

$$(1+x)^{n}=1+nx+{\frac {n(n-1)}{2!}}x^{2}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{3!}}x^{3}+\cdots +nx^{n-1}+x^{n}.$$

उदाहरण

यहाँ द्विपद प्रमेय के पहले कुछ मामले हैं:

$${\begin{aligned}(x+y)^{3}&=xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy&(2^{3}{\text{ terms}})\\&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}&(3+1{\text{ terms}})\end{aligned}}$$