नोथेर की प्रमेय

This article is about Emmy Noether's first theorem, which derives conserved quantities from symmetries. For other uses, see नोथेर की प्रमेय (disambiguation).

एमी नोथेर के लेख इनवेरिएंट वेरिएशन्सप्रोब्लेमे (1918) का पहला पृष्ठ, जहां उन्होंने अपनी प्रमेय को सिद्ध किया।

नोएदर की प्रमेय या नोएदर की पहली प्रमेय में कहा गया है कि कंज़र्वेटिव बल के साथ एक भौतिक प्रणाली की क्रिया (भौतिकी) की भौतिकी में प्रत्येक भिन्न कार्य समरूपता के अनुरूप संरक्षण कानून है। प्रमेय गणितज्ञ एमी नोथेर द्वारा 1915 में सिद्ध किया गया था और 1918 में प्रकाशित हुआ था। एक भौतिक प्रणाली की क्रिया लैग्रैजियन यांत्रिकी समारोह का समय अभिन्न अंग है, जिससे सिस्टम का व्यवहार कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत द्वारा निर्धारित किया जा सकता है। यह प्रमेय केवल भौतिक स्थान पर निरंतर और चिकनी समरूपता पर लागू होता है।

नोएदर के प्रमेय का उपयोग सैद्धांतिक भौतिकी और विविधताओं की कलन में किया जाता है। यह एक भौतिक प्रणाली की समरूपता और संरक्षण कानूनों के बीच मूलभूत संबंध को प्रकट करता है। इसने आधुनिक सैद्धांतिक भौतिकविदों को भौतिक प्रणालियों की समरूपता पर अधिक ध्यान केंद्रित किया। Lagrangian और हैमिल्टन यांत्रिकी (क्रमशः 1788 और 1833 में विकसित) में गति के स्थिरांक पर योगों का एक सामान्यीकरण, यह उन प्रणालियों पर लागू नहीं होता है जिन्हें केवल Lagrangian के साथ मॉडलिंग नहीं किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, रेले अपव्यय समारोह के साथ सिस्टम)। विशेष रूप से, निरंतर समरूपता वाले अपव्यय प्रणालियों के लिए संबंधित संरक्षण कानून की आवश्यकता नहीं होती है।

मूल चित्र और पृष्ठभूमि

एक दृष्टांत के रूप में, यदि कोई भौतिक तंत्र इस बात की परवाह किए बिना समान व्यवहार करता है कि यह अंतरिक्ष में कैसे उन्मुख है (अर्थात, यह अपरिवर्तनीय (गणित) है), तो इसका लैग्रैन्जियन यांत्रिकी निरंतर रोटेशन के तहत सममित है: इस समरूपता से, नोएदर का प्रमेय यह निर्धारित करता है कि कोणीय गति इसकी गति के नियमों के परिणामस्वरूप प्रणाली का संरक्षण किया जाना चाहिए। भौतिक प्रणाली को स्वयं सममित होने की आवश्यकता नहीं है; अंतरिक्ष में लुढ़का एक दांतेदार क्षुद्रग्रह अपनी विषमता के बावजूद कोणीय गति को संरक्षित करता है। इसकी गति के नियम सममित हैं।

एक अन्य उदाहरण के रूप में, यदि कोई भौतिक प्रक्रिया स्थान या समय की परवाह किए बिना समान परिणाम प्रदर्शित करती है, तो इसका लैग्रेंजियन क्रमशः अंतरिक्ष और समय में निरंतर अनुवाद के तहत सममित है: नोएदर के प्रमेय द्वारा, ये समरूपता इस प्रणाली के भीतर संवेग और ऊर्जा के संरक्षण कानूनों के लिए जिम्मेदार हैं। , क्रमश।

नोएदर का प्रमेय महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह अंतर्दृष्टि संरक्षण कानूनों में देता है, और एक व्यावहारिक गणना उपकरण के रूप में भी। यह जांचकर्ताओं को एक भौतिक प्रणाली की देखी गई समरूपता से संरक्षित मात्रा (इनवेरिएंट) निर्धारित करने की अनुमति देता है। इसके विपरीत, यह शोधकर्ताओं को एक भौतिक प्रणाली का वर्णन करने के लिए, दिए गए आक्रमणकारियों के साथ काल्पनिक Lagrangians के पूरे वर्गों पर विचार करने की अनुमति देता है। एक उदाहरण के रूप में, मान लीजिए कि एक भौतिक सिद्धांत प्रस्तावित है जो एक मात्रा X का संरक्षण करता है। एक शोधकर्ता एक निरंतर समरूपता के माध्यम से X का संरक्षण करने वाले Lagrangians के प्रकारों की गणना कर सकता है। नोएदर के प्रमेय के कारण, इन Lagrangians के गुण निहितार्थ को समझने और नए सिद्धांत की उपयुक्तता का न्याय करने के लिए और मानदंड प्रदान करते हैं। नोएदर का प्रमेय QFT में इतनी अच्छी तरह से शामिल किया गया है कि:भौतिकी में बहुत समकालीन शोध के लिए इसे एक गणितीय मॉडल के रूप में कार्य करने की अनुमति देता है।

सामान्यता की अलग-अलग डिग्री के साथ नोएदर के प्रमेय के कई संस्करण हैं। वार्ड-ताकाहाशी पहचान | वार्ड-ताकाहाशी पहचान में व्यक्त इस प्रमेय के प्राकृतिक क्वांटम समकक्ष हैं। superspace के लिए नोएदर के प्रमेय का सामान्यीकरण भी मौजूद है।

प्रमेय का अनौपचारिक विवरण

सभी ठीक तकनीकी बिंदु एक तरफ, नोएदर के प्रमेय को अनौपचारिक रूप से कहा जा सकता है:

If a system has a continuous symmetry property, then there are corresponding quantities whose values are conserved in time.

खेतों से जुड़े प्रमेय का एक अधिक परिष्कृत संस्करण बताता है कि:

To every differentiable symmetry generated by local actions there corresponds a conserved current.

उपर्युक्त कथन में समरूपता शब्द उस रूप के सामान्य सहप्रसरण को अधिक सटीक रूप से संदर्भित करता है जो एक भौतिक कानून कुछ तकनीकी मानदंडों को पूरा करने वाले परिवर्तनों के एक आयामी झूठ समूह के संबंध में लेता है। भौतिक मात्रा के संरक्षण नियम को आमतौर पर निरंतरता समीकरण के रूप में व्यक्त किया जाता है।

प्रमेय का औपचारिक प्रमाण एक संरक्षित भौतिक मात्रा से जुड़े वर्तमान के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए अपरिवर्तनीयता की स्थिति का उपयोग करता है। आधुनिक में (सी। 1980 के बाद से) शब्दावली में, संरक्षित मात्रा को नोएदर आवेश कहा जाता है, जबकि उस आवेश को वहन करने वाले प्रवाह को नोएदर धारा कहा जाता है। नोएदर करंट को solenoidal (डाइवर्जेंसलेस) वेक्टर फील्ड तक परिभाषित किया गया है।

गुरुत्वाकर्षण के संदर्भ में, कार्रवाई के लिए नोएदर के प्रमेय के फेलिक्स क्लेन का बयान मैं आक्रमणकारियों के लिए निर्धारित करता हूं:

If an integral I is invariant under a continuous group G_ρ with ρ parameters, then ρ linearly independent combinations of the Lagrangian expressions are divergences.

संक्षिप्त चित्रण और अवधारणा का अवलोकन

समन्वय-वार समरूपता के लिए नोएदर के प्रमेय को दर्शाने वाला प्लॉट।

नोएदर के प्रमेय के पीछे मुख्य विचार एक समन्वय वाली प्रणाली द्वारा सबसे आसानी से चित्रित किया गया है $q$ और एक सतत समरूपता $\varphi :q\mapsto q+\delta q$ (आरेख पर ग्रे तीर)। किसी भी प्रक्षेपवक्र पर विचार करें $q(t)$ (आरेख पर बोल्ड) जो सिस्टम के यूलर-लैग्रेंज समीकरण को संतुष्ट करता है। यानी क्रिया (भौतिकी) $S$ इस प्रणाली को नियंत्रित करना इस प्रक्षेपवक्र पर स्थिर बिंदु है, अर्थात प्रक्षेपवक्र की भिन्नताओं के किसी भी स्थानीय कलन के तहत नहीं बदलता है। विशेष रूप से यह समरूपता प्रवाह लागू करने वाली भिन्नता के तहत नहीं बदलेगा $\varphi$ एक समय खंड पर [t₀, t₁] और उस खंड के बाहर गतिहीन है। प्रक्षेपवक्र को निरंतर बनाए रखने के लिए, हम छोटे समय की बफरिंग अवधियों का उपयोग करते हैं $\tau$ खंडों के बीच धीरे-धीरे संक्रमण करने के लिए।

कार्रवाई में कुल परिवर्तन $S$ अब खेल में हर अंतराल द्वारा लाए गए परिवर्तन शामिल हैं। भाग, जहाँ भिन्नता स्वयं लुप्त हो जाती है, नहीं लाते $\Delta S$. मध्य भाग भी क्रिया को नहीं बदलता, क्योंकि उसका परिवर्तन होता है $\varphi$ एक समरूपता है और इस प्रकार Lagrangian को संरक्षित करता है $L$ और कार्रवाई ${\textstyle S=\int L}$. केवल शेष भाग बफ़रिंग टुकड़े हैं। मोटे तौर पर बोलते हुए, वे अधिकतर अपने झुकाव के माध्यम से योगदान देते हैं ${\dot {q}}\rightarrow {\dot {q}}\pm \delta q/\tau$.

यह Lagrangian को बदल देता है $\Delta L\approx {\bigl (}\partial L/\partial {\dot {q}}{\bigr )}\Delta {\dot {q}}$, जो एकीकृत करता है

$$\Delta S=\int \Delta L\approx \int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\Delta {\dot {q}}\approx \int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\left(\pm {\frac {\delta q}{\tau }}\right)\approx \ \pm {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q=\pm {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi .$$

इन अंतिम शब्दों का मूल्यांकन समापन बिंदुओं के आसपास किया जाता है $t_{0}$ और $t_{1}$, कार्रवाई में कुल परिवर्तन करने के लिए एक दूसरे को रद्द करना चाहिए $\Delta S$ शून्य हो, जैसा कि अपेक्षित होगा यदि प्रक्षेपवक्र एक समाधान है। वह है

$$\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi \right)(t_{0})=\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi \right)(t_{1}),$$

मतलब मात्रा $\left(\partial L/\partial {\dot {q}}\right)\varphi$ संरक्षित है, जो नोएदर के प्रमेय का निष्कर्ष है। उदाहरण के लिए यदि शुद्ध अनुवाद $q$ एक स्थिरांक समरूपता है, तो संरक्षित मात्रा न्यायपूर्ण हो जाती है $\left(\partial L/\partial {\dot {q}}\right)=p$, विहित गति।

अधिक सामान्य मामले एक ही विचार का पालन करते हैं:

• When more coordinates $q_{r}$ undergo a symmetry transformation $q_{r}\mapsto q_{r}+\varphi _{r}$, their effects add up by linearity to a conserved quantity ${\textstyle \sum _{r}\left(\partial L/\partial {\dot {q}}_{r}\right)\varphi _{r}}$.
• When there are time transformations $t\mapsto t+T$, they cause the "buffering" segments to contribute the two following terms to $\Delta S$:
  $$\Delta S\approx \pm \left(TL+\int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{r}}}\Delta {\dot {q}}_{r}\right)\approx \pm T\left(L-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{r}}}{\dot {q}}_{r}\right),$$
  first term being due to stretching in temporal dimension of the "buffering" segment (that changes the size of the domain of integration), and the second is due to its "slanting" just as in the exemplar case. Together they add a summand ${\textstyle T\left(L-\sum _{r}\left(\partial L/\partial {\dot {q}}_{r}\right){\dot {q}}_{r}\right)}$ to the conserved quantity.
• Finally, when instead of a trajectory $q(t)$ entire fields $\psi (q_{r},t)$ are considered, the argument replaces
  • the interval $[t_{0},t_{1}]$ with a bounded region $U$ of the $(q_{r},t)$-domain,
  • the endpoints $t_{0}$ and $t_{1}$ with the boundary $\partial U$ of the region,
  • and its contribution to $\Delta S$ is interpreted as a flux of a conserved current $j_{r}$, that is built in a way analogous to the prior definition of a conserved quantity.
  Now, the zero contribution of the "buffering" $\partial U$ to $\Delta S$ is interpreted as vanishing of the total flux of the current $j_{r}$ through the $\partial U$. That is the sense in which it is conserved: how much is "flowing" in, just as much is "flowing" out.

ऐतिहासिक संदर्भ

Main articles: Constant of motion, conservation law, and conserved current

एक संरक्षण कानून कहता है कि किसी प्रणाली के विकास के गणितीय विवरण में कुछ मात्रा X इसकी गति के दौरान स्थिर रहती है - यह एक अपरिवर्तनीय (भौतिकी) है। गणितीय रूप से, X के परिवर्तन की दर (समय के संबंध में इसका व्युत्पन्न) शून्य है,

${\frac {dX}{dt}}={\dot {X}}=0~.$

ऐसी मात्राओं को संरक्षित कहा जाता है; उन्हें अक्सर गति का स्थिरांक कहा जाता है (हालाँकि गति को स्वयं में शामिल करने की आवश्यकता नहीं है, केवल समय में विकास)। उदाहरण के लिए, यदि एक प्रणाली की ऊर्जा संरक्षित है, तो इसकी ऊर्जा हर समय अपरिवर्तनीय होती है, जो प्रणाली की गति पर बाधा डालती है और इसके समाधान में मदद कर सकती है। अंतर्दृष्टि के अलावा गति के ऐसे स्थिरांक एक प्रणाली की प्रकृति में देते हैं, वे एक उपयोगी गणनात्मक उपकरण हैं; उदाहरण के लिए, उपयुक्त संरक्षण कानूनों को संतुष्ट करने वाले निकटतम राज्य को ढूंढकर अनुमानित समाधान को सही किया जा सकता है।

खोजे गए गति के शुरुआती स्थिरांक संवेग और गतिज ऊर्जा थे, जो 17 वीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस और गॉटफ्रीड लीबनिज द्वारा टक्कर प्रयोगों के आधार पर प्रस्तावित किए गए थे, और बाद के शोधकर्ताओं द्वारा परिष्कृत किए गए थे। आइजैक न्यूटन अपने आधुनिक रूप में संवेग के संरक्षण को प्रतिपादित करने वाले पहले व्यक्ति थे, और उन्होंने दिखाया कि यह न्यूटन के गति के नियमों का परिणाम था|न्यूटन का तीसरा नियम। सामान्य सापेक्षता के अनुसार, रैखिक संवेग, ऊर्जा और कोणीय संवेग के संरक्षण नियम विश्व स्तर पर केवल तभी सही होते हैं जब तनाव-ऊर्जा टेंसर (गैर-गुरुत्वाकर्षण तनाव-ऊर्जा) और तनाव-ऊर्जा-संवेग स्यूडोटेंसर के योग के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। #Landau-Lifshitz स्यूडोटेन्सर|Landau-Lifshitz तनाव-ऊर्जा-संवेग स्यूडोटेन्सर (गुरुत्वाकर्षण तनाव-ऊर्जा)। मुक्त-गिरने वाले संदर्भ फ्रेम में गैर-गुरुत्वाकर्षण रैखिक गति और ऊर्जा का स्थानीय संरक्षण तनाव-ऊर्जा टेंसर के सहसंयोजक विचलन के लुप्त होने से व्यक्त होता है। खगोलीय पिंडों के आकाशीय यांत्रिकी के अध्ययन में खोजी गई एक अन्य महत्वपूर्ण संरक्षित मात्रा, लाप्लास-रेंज-लेनज़ वेक्टर है।

18वीं सदी के अंत और 19वीं सदी की शुरुआत में, भौतिकविदों ने आक्रमणकारियों की खोज के लिए अधिक व्यवस्थित तरीके विकसित किए। 1788 में Lagrangian Mechanics के विकास के साथ एक बड़ी प्रगति हुई, जो कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत से संबंधित है। इस दृष्टिकोण में, सिस्टम की स्थिति को किसी भी प्रकार के सामान्यीकृत निर्देशांक 'q' द्वारा वर्णित किया जा सकता है; गति के नियमों को कार्तीय समन्वय प्रणाली में व्यक्त करने की आवश्यकता नहीं है, जैसा कि न्यूटोनियन यांत्रिकी में प्रथागत था। क्रिया (भौतिकी) को एक फ़ंक्शन के समय अभिन्न I के रूप में परिभाषित किया गया है जिसे Lagrangian Mechanics L के रूप में जाना जाता है

$I=\int L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,dt~,$

जहाँ q पर डॉट निर्देशांक q के परिवर्तन की दर को दर्शाता है,

${\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}~.$

हैमिल्टन के सिद्धांत में कहा गया है कि भौतिक पथ q(t) - जो वास्तव में सिस्टम द्वारा लिया गया है - एक ऐसा मार्ग है जिसके लिए उस पथ में अत्यल्प भिन्नता के कारण I में कोई परिवर्तन नहीं होता है, कम से कम पहले क्रम तक . इस सिद्धांत का परिणाम यूलर-लैग्रेंज समीकरणों में होता है,

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}~.$

इस प्रकार, यदि कोई एक निर्देशांक है, तो q कहें_k, Lagrangian में प्रकट नहीं होता है, समीकरण का दाहिना पक्ष शून्य है, और बाएँ पक्ष के लिए आवश्यक है कि

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)={\frac {dp_{k}}{dt}}=0~,$

जहां गति

$p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}$

गति के दौरान (भौतिक पथ पर) संरक्षित है।

इस प्रकार, अज्ञानी समन्वय क्यू की अनुपस्थिति_kLagrangian से तात्पर्य है कि Lagrangian q के परिवर्तनों या परिवर्तनों से अप्रभावित है_k; Lagrangian अपरिवर्तनीय है, और इस तरह के परिवर्तनों के तहत भौतिकी में समरूपता प्रदर्शित करने के लिए कहा जाता है। यह नोएदर के प्रमेय में सामान्यीकृत बीज विचार है।

उन्नीसवीं शताब्दी में संरक्षित मात्राओं को खोजने के लिए कई वैकल्पिक तरीकों का विकास किया गया, विशेष रूप से विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा। उदाहरण के लिए, उन्होंने विहित परिवर्तनों का एक सिद्धांत विकसित किया, जिसने निर्देशांक बदलने की अनुमति दी, ताकि ऊपर के रूप में लैग्रैंगियन से कुछ निर्देशांक गायब हो जाएं, जिसके परिणामस्वरूप कैनोनिकल संवेग संरक्षित हो। एक अन्य दृष्टिकोण, और शायद संरक्षित मात्रा खोजने के लिए सबसे कुशल, हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण है।

गणितीय अभिव्यक्ति

See also: Perturbation theory

गड़बड़ी का उपयोग करके सरल रूप

नोएदर के प्रमेय का सार अज्ञानतापूर्ण निर्देशांकों की धारणा का सामान्यीकरण करना है।

कोई यह मान सकता है कि ऊपर परिभाषित Lagrangian L समय चर t और सामान्यीकृत निर्देशांक 'q' के छोटे क्षोभ (ताना-बाना) के तहत अपरिवर्तनीय है। कोई लिख सकता है

${\begin{aligned}t&\rightarrow t^{\prime }=t+\delta t\\\mathbf {q} &\rightarrow \mathbf {q} ^{\prime }=\mathbf {q} +\delta \mathbf {q} ~,\end{aligned}}$

जहां क्षोभ δt और δ'q' दोनों छोटे हैं, लेकिन परिवर्तनशील हैं। व्यापकता के लिए, मान लें कि (कहते हैं) क्रिया के ऐसे समरूपता परिवर्तन हैं, अर्थात क्रिया को अपरिवर्तित छोड़ते हुए परिवर्तन; इंडेक्स r = 1, 2, 3, ..., N द्वारा लेबल किया गया।

तब परिणामी क्षोभ को अलग-अलग प्रकार के क्षोभों के रैखिक योग के रूप में लिखा जा सकता है,

${\begin{aligned}\delta t&=\sum _{r}\varepsilon _{r}T_{r}\\\delta \mathbf {q} &=\sum _{r}\varepsilon _{r}\mathbf {Q} _{r}~,\end{aligned}}$

जहां ई_r प्रत्येक के अनुरूप बहुत छोता पैरामीटर गुणांक हैं:

• झूठ समूह # द एक्सपोनेंशियल मैप टी_rसमय के विकास की, और
• लेट ग्रुप#द एक्सपोनेंशियल मैप 'क्यू'_r सामान्यीकृत निर्देशांक की।

अनुवाद के लिए, क्यू_r लंबाई की इकाइयों के साथ एक स्थिरांक है; घुमाव के लिए, यह q के घटकों में एक रैखिक अभिव्यक्ति है, और पैरामीटर एक कोण बनाते हैं।

इन परिभाषाओं का उपयोग करते हुए, एमी नोथेर ने दिखाया कि N मात्राएँ

$\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T_{r}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} _{r}$

संरक्षित हैं (गति के स्थिर)।

उदाहरण

I. समय invariance

उदाहरण के लिए, एक Lagrangian पर विचार करें जो समय पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात, निर्देशांक q में किसी भी परिवर्तन के बिना परिवर्तन 't → t + δt के तहत अपरिवर्तनीय (सममित) है। इस मामले में, N = 1, T = 1 और Q = 0; संबंधित संरक्षित मात्रा कुल ऊर्जा H है

$H={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L.$

द्वितीय। अनुवाद संबंधी व्युत्क्रम

एक Lagrangian पर विचार करें जो एक (उपरोक्त के रूप में अनदेखा) पर निर्भर नहीं करता है, 'q' समन्वय करता है_k; इसलिए यह परिवर्तन q के तहत अपरिवर्तनीय (सममित) है_k → क्यू_k + क्यू_k. उस मामले में, एन = 1, टी = 0, और क्यू_k= 1; संरक्षित मात्रा संगत रैखिक संवेग p है_k

$p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}.$

विशेष सापेक्षता और सामान्य सापेक्षता में, इन दो संरक्षण कानूनों को विश्व स्तर पर (जैसा कि ऊपर किया गया है), या स्थानीय रूप से निरंतरता समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। वैश्विक संस्करणों को एक वैश्विक संरक्षण कानून में एकजुट किया जा सकता है: ऊर्जा-संवेग 4-वेक्टर का संरक्षण। ऊर्जा और संवेग संरक्षण के स्थानीय संस्करण (अंतरिक्ष-समय में किसी भी बिंदु पर) को भी जोड़ा जा सकता है, अंतरिक्ष-समय बिंदु पर स्थानीय रूप से परिभाषित मात्रा के संरक्षण में: तनाव-ऊर्जा टेंसर <रेफ नाम = तनाव-ऊर्जा_टेंसर>Goldstein 1980, pp. 592–593</ref> (यह अगले भाग में प्राप्त किया जाएगा)।

तृतीय। घूर्णी व्युत्क्रमण

कोणीय संवेग L = r × p का संरक्षण इसके रैखिक संवेग समकक्ष के अनुरूप है। यह माना जाता है कि Lagrangian की समरूपता घूर्णी है, यानी, Lagrangian अंतरिक्ष में भौतिक प्रणाली के पूर्ण अभिविन्यास पर निर्भर नहीं करता है। संक्षिप्तता के लिए, मान लें कि अक्ष 'n' के बारे में δθ कोण के छोटे घुमावों के तहत Lagrangian नहीं बदलता है; ऐसा घुमाव समीकरण द्वारा कार्तीय समन्वय प्रणाली को बदल देता है

$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\delta \theta \,\mathbf {n} \times \mathbf {r} .$

चूँकि समय परिवर्तित नहीं हो रहा है, T = 0, और N = 1. δθ को ε पैरामीटर के रूप में लेना और कार्टेशियन 'r' को सामान्यीकृत निर्देशांक 'q' के रूप में निर्देशित करता है, संबंधित 'Q' चर द्वारा दिया जाता है

$\mathbf {Q} =\mathbf {n} \times \mathbf {r} .$

फिर नोएदर के प्रमेय में कहा गया है कि निम्न मात्रा संरक्षित है,

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} =\mathbf {p} \cdot \left(\mathbf {n} \times \mathbf {r} \right)=\mathbf {n} \cdot \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)=\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} .$

दूसरे शब्दों में, n अक्ष के अनुदिश कोणीय संवेग L का घटक संरक्षित रहता है। और यदि n मनमाना है, अर्थात, यदि तंत्र किसी भी घूर्णन के प्रति असंवेदनशील है, तो L का प्रत्येक घटक संरक्षित है; संक्षेप में, कोणीय गति संरक्षित है।

क्षेत्र सिद्धांत संस्करण

हालांकि यह अपने आप में उपयोगी है, नोएदर के प्रमेय का अभी दिया गया संस्करण 1915 में प्राप्त सामान्य संस्करण का एक विशेष मामला है। सामान्य प्रमेय का स्वाद देने के लिए, चार-आयामी अंतरिक्ष-समय में निरंतर क्षेत्रों के लिए नोएदर के प्रमेय का एक संस्करण अब दिया गया है। चूंकि यांत्रिकी समस्याओं की तुलना में क्षेत्र सिद्धांत की समस्याएं आधुनिक भौतिकी में अधिक आम हैं, यह क्षेत्र सिद्धांत संस्करण नोएदर के प्रमेय का सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला (या अक्सर लागू किया गया) संस्करण है।

अलग-अलग क्षेत्र (भौतिकी) का एक सेट होने दें $\varphi$ सभी स्थान और समय पर परिभाषित; उदाहरण के लिए, तापमान $T(\mathbf {x} ,t)$ प्रत्येक स्थान और समय पर परिभाषित एक संख्या होने के नाते, ऐसे क्षेत्र का प्रतिनिधि होगा। कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत ऐसे क्षेत्रों पर लागू किया जा सकता है, लेकिन कार्रवाई अब अंतरिक्ष और समय पर एक अभिन्न अंग है

${\mathcal {S}}=\int {\mathcal {L}}\left(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x^{\mu }\right)\,d^{4}x$

(प्रमेय को आगे उस मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है जहां Lagrangian n तक निर्भर करता है^th व्युत्पन्न, और जेट बंडलों का उपयोग करके भी तैयार किया जा सकता है)।

खेतों का एक सतत परिवर्तन $\varphi$ के रूप में असीम रूप से लिखा जा सकता है

$\varphi \mapsto \varphi +\varepsilon \Psi ,$

कहाँ $\Psi$ सामान्य रूप से एक ऐसा कार्य है जो दोनों पर निर्भर हो सकता है $x^{\mu }$ और $\varphi$. के लिए शर्त $\Psi$ एक भौतिक समरूपता उत्पन्न करने के लिए वह क्रिया है ${\mathcal {S}}$ अपरिवर्तनीय छोड़ दिया गया है। यह निश्चित रूप से सही होगा अगर Lagrangian घनत्व ${\mathcal {L}}$ अपरिवर्तित छोड़ दिया गया है, लेकिन यह भी सच होगा अगर लैग्रैन्जियन एक विचलन से बदलता है,

${\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\varepsilon \partial _{\mu }\Lambda ^{\mu },$

चूँकि डायवर्जेंस का इंटीग्रल डायवर्जेंस प्रमेय के अनुसार एक सीमा शब्द बन जाता है। किसी दिए गए क्रिया द्वारा वर्णित प्रणाली में इस प्रकार के कई स्वतंत्र समरूपताएं हो सकती हैं, जिन्हें अनुक्रमित किया गया है $r=1,2,\ldots ,N,$ इसलिए सबसे सामान्य समरूपता परिवर्तन को इस रूप में लिखा जाएगा

$\varphi \mapsto \varphi +\varepsilon _{r}\Psi _{r},$

परिणाम के साथ

${\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\varepsilon _{r}\partial _{\mu }\Lambda _{r}^{\mu }.$

ऐसी प्रणालियों के लिए, नोएदर के प्रमेय में कहा गया है कि वहाँ हैं $N$ संरक्षित संरक्षित वर्तमान

$j_{r}^{\nu }=\Lambda _{r}^{\nu }-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{,\nu }}}\cdot \Psi _{r}$

(जहां डॉट उत्पाद को फील्ड इंडेक्स को अनुबंधित करने के लिए समझा जाता है, नहीं $\nu$ सूचकांक या $r$ अनुक्रमणिका)।

ऐसे मामलों में, संरक्षण नियम को चार आयामी तरीके से व्यक्त किया जाता है

$\partial _{\nu }j^{\nu }=0,$

जो इस विचार को व्यक्त करता है कि एक गोले के भीतर संरक्षित मात्रा की मात्रा तब तक नहीं बदल सकती जब तक कि इसका कुछ हिस्सा गोले से बाहर न निकल जाए। उदाहरण के लिए, विद्युत आवेश संरक्षित होता है; एक गोले के भीतर आवेश की मात्रा तब तक नहीं बदल सकती जब तक कि कुछ आवेश गोले को छोड़ न दे।

उदाहरण के लिए, फ़ील्ड की एक भौतिक प्रणाली पर विचार करें जो समय और स्थान में अनुवाद के तहत समान व्यवहार करती है, जैसा कि ऊपर माना गया है; दूसरे शब्दों में, $L\left({\boldsymbol {\varphi }},\partial _{\mu }{\boldsymbol {\varphi }},x^{\mu }\right)$ अपने तीसरे तर्क में स्थिर है। उस स्थिति में, N = 4, स्थान और समय के प्रत्येक आयाम के लिए एक। अंतरिक्ष में एक अपरिमेय अनुवाद, $x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }$ (साथ $\delta$ क्रोनकर डेल्टा को निरूपित करते हुए), खेतों को प्रभावित करता है $\varphi (x^{\mu })\mapsto \varphi \left(x^{\mu }-\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }\right)$: यानी, निर्देशांक को फिर से लेबल करना, फ़ील्ड का अनुवाद करते समय निर्देशांक को जगह पर छोड़ने के बराबर है, जो बदले में प्रत्येक बिंदु पर इसके मान को बदलकर फ़ील्ड को बदलने के बराबर है $x^{\mu }$ बिंदु पर मूल्य के साथ $x^{\mu }-\varepsilon X^{\mu }$ इसके पीछे जिस पर मैप किया जाएगा $x^{\mu }$ विचाराधीन अत्यल्प विस्थापन द्वारा। चूँकि यह अतिसूक्ष्म है, हम इस परिवर्तन को इस रूप में लिख सकते हैं

$\Psi _{r}=-\delta _{r}^{\mu }\partial _{\mu }\varphi .$

Lagrangian घनत्व उसी तरह बदलता है, ${\mathcal {L}}\left(x^{\mu }\right)\mapsto {\mathcal {L}}\left(x^{\mu }-\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }\right)$, इसलिए

$\Lambda _{r}^{\mu }=-\delta _{r}^{\mu }{\mathcal {L}}$

और इस प्रकार नोएदर का प्रमेय तनाव-ऊर्जा टेन्सर टी के संरक्षण कानून के अनुरूप है_μ^ν, <रेफरी नाम = तनाव-ऊर्जा_टेंसर /> जहां हमने उपयोग किया है $\mu$ की जगह $r$. बुद्धि के लिए, पहले दी गई अभिव्यक्ति का उपयोग करके, और चार संरक्षित धाराओं (प्रत्येक के लिए एक $\mu$) एक टेंसर में $T$, नोथेर का प्रमेय देता है

$T_{\mu }{}^{\nu }=-\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}+\delta _{\mu }^{\sigma }\partial _{\sigma }\varphi {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{,\nu }}}=\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{,\nu }}}\right)\cdot \varphi _{,\mu }-\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}$

साथ

$T_{\mu }{}^{\nu }{}_{,\nu }=0$

(हमने पुनः लेबल किया $\mu$ जैसा $\sigma$ संघर्ष से बचने के लिए एक मध्यवर्ती कदम पर)। (हालांकि $T$ इस तरह से प्राप्त किया गया सामान्य सापेक्षता में स्रोत शब्द के रूप में प्रयुक्त सममित टेन्सर से भिन्न हो सकता है; तनाव-ऊर्जा टेंसर#कैनोनिकल स्ट्रेस देखें। E2.80.93एनर्जी टेंसर|कैनोनिकल स्ट्रेस-एनर्जी टेंसर।)

विद्युत आवेश का संरक्षण, इसके विपरीत, डेरिवेटिव के बजाय फ़ील्ड φ में Ψ रैखिक पर विचार करके प्राप्त किया जा सकता है। क्वांटम यांत्रिकी में, एक बिंदु 'x' पर एक कण को ​​​​खोजने की संभावना आयाम ψ('x') एक जटिल क्षेत्र φ है, क्योंकि यह अंतरिक्ष और समय में प्रत्येक बिंदु के लिए एक जटिल संख्या का वर्णन करता है। प्रायिकता का आयाम स्वयं शारीरिक रूप से अमापीय है; केवल प्रायिकता पी = |ψ|^{माप के एक सेट से 2} का अनुमान लगाया जा सकता है। इसलिए, सिस्टम ψ क्षेत्र और इसके जटिल संयुग्म क्षेत्र ψ के परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय है^* जो छोड़ दें |ψ|² अपरिवर्तित, जैसे

$\psi \rightarrow e^{i\theta }\psi \ ,\ \psi ^{*}\rightarrow e^{-i\theta }\psi ^{*}~,$

एक जटिल घुमाव। सीमा में जब चरण θ असीम रूप से छोटा हो जाता है, δθ, इसे पैरामीटर ε के रूप में लिया जा सकता है, जबकि Ψ क्रमशः iψ और -iψ* के बराबर हैं। एक विशिष्ट उदाहरण क्लेन-गॉर्डन समीकरण है, स्पिन (भौतिकी) कणों के लिए श्रोडिंगर समीकरण का विशेष सापेक्षता संस्करण, जिसमें लैग्रैंगियन घनत्व है

$L=\partial _{\nu }\psi \partial _{\mu }\psi ^{*}\eta ^{\nu \mu }+m^{2}\psi \psi ^{*}.$

इस मामले में, नोएदर के प्रमेय में कहा गया है कि संरक्षित (∂ ⋅ j = 0) वर्तमान बराबर है

$j^{\nu }=i\left({\frac {\partial \psi }{\partial x^{\mu }}}\psi ^{*}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x^{\mu }}}\psi \right)\eta ^{\nu \mu }~,$

जिसे, उस प्रकार के कण पर आवेश से गुणा करने पर, उस प्रकार के कण के कारण विद्युत धारा घनत्व के बराबर हो जाता है। यह गेज इनवेरियन सबसे पहले हरमन वेइल द्वारा नोट किया गया था, और यह भौतिकी के प्रोटोटाइप गेज समरूपता में से एक है।

व्युत्पत्ति

एक स्वतंत्र चर

सबसे सरल मामले पर विचार करें, एक प्रणाली जिसमें एक स्वतंत्र चर, समय है। मान लीजिए आश्रित चर q ऐसे हैं कि क्रिया अभिन्न है

$$I=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} [t],{\dot {\mathbf {q} }}[t],t]\,dt$$

निर्भर चरों में संक्षिप्त अतिसूक्ष्म विविधताओं के तहत अपरिवर्तनीय है। दूसरे शब्दों में, वे यूलर-लैग्रेंज समीकरणों को संतुष्ट करते हैं

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}[t]={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}[t].$

और मान लीजिए कि निरंतर समरूपता के तहत अभिन्न अपरिवर्तनीय है। गणितीय रूप से ऐसी समरूपता को प्रवाह (गणित) के रूप में दर्शाया जाता है, φ, जो निम्न प्रकार से चरों पर कार्य करता है

${\begin{aligned}t&\rightarrow t'=t+\varepsilon T\\\mathbf {q} [t]&\rightarrow \mathbf {q} '[t']=\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]=\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]\end{aligned}}$

जहां ε एक वास्तविक चर है जो प्रवाह की मात्रा को दर्शाता है, और T एक वास्तविक स्थिरांक है (जो शून्य हो सकता है) यह दर्शाता है कि प्रवाह कितना समय बदलता है।

${\dot {\mathbf {q} }}[t]\rightarrow {\dot {\mathbf {q} }}'[t']={\frac {d}{dt}}\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]={\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T].$

क्रिया अभिन्न प्रवाहित होती है

${\begin{aligned}I'[\varepsilon ]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\mathbf {q} '[t'],{\dot {\mathbf {q} }}'[t'],t']\,dt'\\[6pt]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ],{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T],t']\,dt'\end{aligned}}$

जिसे ε के कार्य के रूप में माना जा सकता है। ε' = 0 पर अवकलज की गणना करने पर और लाइबनिज के नियम (डेरिवेटिव और इंटीग्रल) |लीबनिज के नियम का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

${\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\left(-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}\right)+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left(-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}^{2}T+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}T\right)\,dt.\end{aligned}}$

ध्यान दें कि यूलर-लैग्रेंज समीकरणों का अर्थ है

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T\right)&=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T\\[6pt]&={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T.\end{aligned}}$

इसे पिछले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, प्राप्त होता है

${\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}\,dt.\end{aligned}}$

फिर से यूलर-लैग्रेंज समीकरणों का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}\right)=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}.$

इसे पिछले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, प्राप्त होता है

${\begin{aligned}0={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{2}]-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{1}].\end{aligned}}$

जिससे यह देखा जा सकता है

$\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}$

गति का एक स्थिरांक है, अर्थात यह एक संरक्षित मात्रा है। चूँकि φ[q, 0] = q, हम पाते हैं ${\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}=1$ और इसलिए संरक्षित मात्रा सरल हो जाती है

$\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}.$

सूत्रों की अत्यधिक जटिलता से बचने के लिए, इस व्युत्पत्ति ने माना कि समय बीतने के साथ प्रवाह नहीं बदलता है। अधिक सामान्य मामले में एक ही परिणाम प्राप्त किया जा सकता है।

क्षेत्र-सैद्धांतिक व्युत्पत्ति

टेन्सर क्षेत्रों φ के लिए नोएदर प्रमेय भी व्युत्पन्न किया जा सकता है^A जहां अनुक्रमणिका A विभिन्न टेन्सर फ़ील्ड के विभिन्न घटकों पर होती है। ये फ़ील्ड मात्राएँ एक चार-आयामी स्थान पर परिभाषित कार्य हैं जिनके बिंदुओं को निर्देशांक x द्वारा लेबल किया जाता है^μ जहां सूचकांक μ समय के साथ (μ = 0) और तीन स्थानिक आयाम (μ = 1, 2, 3) होता है। ये चार निर्देशांक स्वतंत्र चर हैं; और प्रत्येक घटना में फ़ील्ड्स के मान निर्भर चर हैं। एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन के तहत, निर्देशांक में भिन्नता लिखी जाती है

$x^{\mu }\rightarrow \xi ^{\mu }=x^{\mu }+\delta x^{\mu }$

जबकि क्षेत्र चर के परिवर्तन के रूप में व्यक्त किया गया है

$\varphi ^{A}\rightarrow \alpha ^{A}\left(\xi ^{\mu }\right)=\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)+\delta \varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)\,.$

इस परिभाषा के अनुसार, क्षेत्र भिन्नताएं δφ^A दो कारकों से परिणाम: क्षेत्र में आंतरिक परिवर्तन और निर्देशांक में परिवर्तन, रूपांतरित क्षेत्र α के बाद से^A रूपांतरित निर्देशांक ξ पर निर्भर करता है^μ. आंतरिक परिवर्तनों को अलग करने के लिए, एक बिंदु x पर फ़ील्ड भिन्नता^μ परिभाषित किया जा सकता है

$\alpha ^{A}\left(x^{\mu }\right)=\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)+{\bar {\delta }}\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)\,.$

यदि निर्देशांक बदल दिए जाते हैं, तो अंतरिक्ष-समय के क्षेत्र की सीमा भी बदल जाती है, जिस पर लग्रांगियन को एकीकृत किया जा रहा है; मूल सीमा और इसके रूपांतरित संस्करण को क्रमशः Ω और Ω' के रूप में दर्शाया जाता है।

नोएदर का प्रमेय इस धारणा से शुरू होता है कि निर्देशांक और क्षेत्र चर का एक विशिष्ट परिवर्तन क्रिया (भौतिकी) को नहीं बदलता है, जिसे स्पेसटाइम के दिए गए क्षेत्र पर लैग्रैंगियन घनत्व के अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया गया है। गणितीय रूप से व्यक्त, इस धारणा को इस रूप में लिखा जा सकता है

$\int _{\Omega ^{\prime }}L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },\xi ^{\mu }\right)d^{4}\xi -\int _{\Omega }L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)d^{4}x=0$

जहां कॉमा सबस्क्रिप्ट अल्पविराम के बाद आने वाले निर्देशांक (ओं) के संबंध में एक आंशिक व्युत्पन्न को इंगित करता है, उदा।

${\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}\,.$

चूंकि ξ एकीकरण का एक डमी चर है, और चूंकि सीमा Ω में परिवर्तन धारणा से असीम है, इसलिए दो इंटीग्रल को विचलन प्रमेय के चार-आयामी संस्करण का उपयोग करके निम्नलिखित रूप में जोड़ा जा सकता है

$\int _{\Omega }\left\{\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left[L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right]\right\}d^{4}x=0\,.$

Lagrangians के अंतर को पहले-क्रम में अत्यल्प विविधताओं में लिखा जा सकता है

$\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }\,.$

हालाँकि, क्योंकि भिन्नताएँ उसी बिंदु पर परिभाषित की गई हैं जैसा कि ऊपर वर्णित है, भिन्नता और व्युत्पन्न को विपरीत क्रम में किया जा सकता है; वे क्रमविनिमेयता

${\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\bar {\delta }}{\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\bar {\delta }}\varphi ^{A}\right)\,.$

यूलर-लैग्रेंज क्षेत्र समीकरणों का उपयोग करना

${\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}$

Lagrangians में अंतर को बड़े करीने से लिखा जा सकता है

${\begin{aligned}&\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]\\[4pt]={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right){\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}\right).\end{aligned}}$

इस प्रकार, क्रिया में परिवर्तन को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$\int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}d^{4}x=0\,.$

चूँकि यह किसी भी क्षेत्र Ω के लिए लागू होता है, समाकलन शून्य होना चाहिए

${\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}=0\,.$

भौतिकी परिवर्तनों में विभिन्न समरूपता के किसी भी संयोजन के लिए गड़बड़ी लिखी जा सकती है

${\begin{aligned}\delta x^{\mu }&=\varepsilon X^{\mu }\\\delta \varphi ^{A}&=\varepsilon \Psi ^{A}={\bar {\delta }}\varphi ^{A}+\varepsilon {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}\end{aligned}}$

कहाँ ${\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}$ φ का झूठ व्युत्पन्न है^ए एक्स में^मी दिशा। जब एफ^A एक अदिश या है ${X^{\mu }}_{,\nu }=0$,

${\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}={\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\mu }}}X^{\mu }\,.$

इन समीकरणों का अर्थ है कि एक बिंदु पर लिया गया क्षेत्र परिवर्तन बराबर होता है

${\bar {\delta }}\varphi ^{A}=\varepsilon \Psi ^{A}-\varepsilon {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}\,.$

उपरोक्त विचलन को ε के संबंध में ε = 0 पर अलग करना और चिह्न बदलने से संरक्षण कानून प्राप्त होता है

${\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}j^{\sigma }=0$

जहां संरक्षित धारा बराबर होती है

$j^{\sigma }=\left[{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}-L\,X^{\sigma }\right]-\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)\Psi ^{A}\,.$

कई गुना/फाइबर बंडल व्युत्पत्ति

मान लें कि हमारे पास एक एन-डायमेंशनल ओरिएंटेड रीमैनियन कई गुना , एम और एक टारगेट मैनिफोल्ड टी है। चलो ${\mathcal {C}}$ M से T तक सुचारू कार्यों का विन्यास स्थान (भौतिकी) हो। (अधिक सामान्यतः, हम M पर एक फाइबर बंडल के चिकने खंड रख सकते हैं।)

भौतिकी में इस एम के उदाहरणों में शामिल हैं:

• शास्त्रीय यांत्रिकी में, हैमिल्टनियन यांत्रिकी सूत्रीकरण में, एम एक आयामी कई गुना है $\mathbb {R}$, समय और लक्ष्य स्थान का प्रतिनिधित्व करना सामान्यीकृत स्थितियों के स्थान का स्पर्शरेखा बंडल है।
• फील्ड (भौतिकी) में, एम [[ अंतरिक्ष समय ]] मैनिफोल्ड है और टारगेट स्पेस उन मूल्यों का सेट है जो फ़ील्ड किसी भी बिंदु पर ले सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एम वास्तविक संख्या-मूल्यवान अदिश क्षेत्र हैं, $\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{m}$, तो लक्ष्य कई गुना है $\mathbb {R} ^{m}$. यदि फ़ील्ड एक वास्तविक वेक्टर फ़ील्ड है, तो लक्ष्य मैनिफोल्ड समरूपी है $\mathbb {R} ^{3}$.

अब मान लीजिए कि एक कार्यात्मक (गणित) है

${\mathcal {S}}:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R} ,$

क्रिया (भौतिकी) कहा जाता है। (यह मूल्यों को लेता है $\mathbb {R}$, इसके बजाय $\mathbb {C}$; यह भौतिक कारणों से है, और इस प्रमाण के लिए महत्वहीन है।)

नोएदर के प्रमेय के सामान्य संस्करण को प्राप्त करने के लिए, हमें क्रिया (भौतिकी) पर अतिरिक्त प्रतिबंधों की आवश्यकता है। हम यह मानते है कि ${\mathcal {S}}[\varphi ]$ एक समारोह के एम पर अभिन्न अंग है

${\mathcal {L}}(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x)$

लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत) कहा जाता है, जो φ, इसके व्युत्पन्न और स्थिति पर निर्भर करता है। दूसरे शब्दों में, φ के लिए में ${\mathcal {C}}$

${\mathcal {S}}[\varphi ]\,=\,\int _{M}{\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x]\,d^{n}x.$

मान लीजिए कि हमें सीमा की स्थिति दी गई है, यानी, सीमा (टोपोलॉजी) पर φ के मान का एक विनिर्देश यदि एम कॉम्पैक्ट जगह है, या φ पर कुछ सीमा है क्योंकि एक्स ∞ तक पहुंचता है। फिर की उप-स्थान टोपोलॉजी ${\mathcal {C}}$ कार्यों से मिलकर φ जैसे कि सभी कार्यात्मक डेरिवेटिव ${\mathcal {S}}$ φ पर शून्य हैं, वह है:

${\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi (x)}}\approx 0$

और वह φ दी गई सीमा शर्तों को संतुष्ट करता है, शेल समाधानों पर उप-स्थान है। (स्थिर क्रिया का सिद्धांत देखें)

अब, मान लीजिए कि हमारे पास एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन है ${\mathcal {C}}$, एक कार्यात्मक (गणित) व्युत्पत्ति (सार बीजगणित) द्वारा उत्पन्न, क्यू ऐसा है

$Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]\approx \int _{\partial N}f^{\mu }[\varphi (x),\partial \varphi ,\partial \partial \varphi ,\ldots ]\,ds_{\mu }$

सभी कॉम्पैक्ट सबमेनिफोल्ड एन या दूसरे शब्दों में,

$Q[{\mathcal {L}}(x)]\approx \partial _{\mu }f^{\mu }(x)$

सभी एक्स के लिए, जहां हम सेट करते हैं

${\mathcal {L}}(x)={\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x].$

यदि यह शेल और बंद खोल पर कायम है, तो हम कहते हैं कि Q एक ऑफ-शेल समरूपता उत्पन्न करता है। यदि यह केवल शेल पर टिका रहता है, तो हम कहते हैं कि Q एक ऑन-शेल समरूपता उत्पन्न करता है। फिर, हम कहते हैं कि क्यू एक-पैरामीटर समूह समरूपता ली समूह का जनरेटर है।

अब, किसी भी N के लिए, शेल पर (और केवल ऑन-शेल) यूलर-लैग्रेंज प्रमेय के कारण, हमारे पास है

${\begin{aligned}Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]&=\int _{N}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right]Q[\varphi ]\,\mathrm {d} ^{n}x+\int _{\partial N}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]\,\mathrm {d} s_{\mu }\\&\approx \int _{\partial N}f^{\mu }\,\mathrm {d} s_{\mu }.\end{aligned}}$

चूँकि यह किसी भी N के लिए सत्य है, हमारे पास है

$\partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu }\right]\approx 0.$

लेकिन यह वर्तमान के लिए निरंतरता समीकरण है $J^{\mu }$ द्वारा परिभाषित:

$J^{\mu }\,=\,{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu },$

जिसे समरूपता से जुड़ा नोएदर करंट कहा जाता है। निरंतरता समीकरण हमें बताता है कि यदि हम इस धारा को अंतरिक्ष की तरह के टुकड़े पर एकीकृत करते हैं, तो हमें एक संरक्षण कानून मिलता है जिसे नोएदर चार्ज कहा जाता है (बशर्ते, यदि 'एम' गैर-कॉम्पैक्ट है, धाराएं अनंत पर पर्याप्त तेजी से गिरती हैं) ).

टिप्पणियाँ

नोएदर की प्रमेय एक खोल प्रमेय है: यह गति के समीकरणों के उपयोग पर निर्भर करती है - शास्त्रीय पथ। यह सीमा शर्तों और परिवर्तनशील सिद्धांत के बीच संबंध को दर्शाता है। कार्रवाई में कोई सीमा शर्तें नहीं मानते हुए, नोएदर के प्रमेय का तात्पर्य है

$\int _{\partial N}J^{\mu }ds_{\mu }\approx 0.$

नोएदर के प्रमेय के क्वांटम एनालॉग्स में अपेक्षा मान शामिल हैं (उदाहरण के लिए, ${\textstyle \left\langle \int d^{4}x~\partial \cdot {\textbf {J}}\right\rangle =0}$) वार्ड-ताकाहाशी पहचान | वार्ड-ताकाहाशी पहचान के साथ-साथ शैल मात्राओं की जांच करना।

झूठे बीजगणित का सामान्यीकरण

मान लीजिए कि हमारे पास दो सममिति व्युत्पन्न हैं Q₁ और क्यू₂. तब, [प्र₁, क्यू₂] भी एक सममिति व्युत्पत्ति है। आइए इसे स्पष्ट रूप से देखें। हमें कहने दें

$$Q_{1}[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f_{1}^{\mu }$$

और

$$Q_{2}[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f_{2}^{\mu }$$

तब,

$$[Q_{1},Q_{2}][{\mathcal {L}}]=Q_{1}[Q_{2}[{\mathcal {L}}]]-Q_{2}[Q_{1}[{\mathcal {L}}]]\approx \partial _{\mu }f_{12}^{\mu }$$

जहां च₁₂= क्यू₁[एफ₂^μ] − Q₂[एफ₁^मी]। इसलिए,

$$j_{12}^{\mu }=\left({\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right)(Q_{1}[Q_{2}[\varphi ]]-Q_{2}[Q_{1}[\varphi ]])-f_{12}^{\mu }.$$

इससे पता चलता है कि हम प्राकृतिक तरीके से बड़े ले बीजगणित में नोएदर के प्रमेय का विस्तार कर सकते हैं।

प्रमाण का सामान्यीकरण

यह किसी भी स्थानीय समरूपता व्युत्पत्ति Q पर लागू होता है जो QS ≈ 0 को संतुष्ट करता है, और अधिक सामान्य स्थानीय कार्यात्मक भिन्नात्मक क्रियाओं पर भी लागू होता है, जिसमें वे भी शामिल हैं जहाँ Lagrangian फ़ील्ड के उच्च डेरिवेटिव पर निर्भर करता है। चलो ε स्पेसटाइम (या समय) का कोई भी मनमाना सुचारू कार्य है, जैसे कि इसके समर्थन का बंद होना सीमा से अलग है। ε एक परीक्षण कार्य है। फिर, भिन्नता सिद्धांत के कारण (जो सीमा पर लागू नहीं होता है), क्यू [ε] [Φ (x)] = ε (x) क्यू [Φ (x)] द्वारा उत्पन्न व्युत्पन्न वितरण q संतुष्ट करता है q[ε][S] ≈ 0 प्रत्येक ε के लिए, या अधिक संक्षिप्त रूप से, q(x)[S] ≈ 0 सभी x के लिए सीमा पर नहीं है (लेकिन याद रखें कि q(x) व्युत्पत्ति वितरण के लिए एक आशुलिपि है, नहीं सामान्य रूप से एक्स द्वारा व्युत्पन्न एक व्युत्पत्ति)। यह नोएदर के प्रमेय का सामान्यीकरण है।

यह देखने के लिए कि सामान्यीकरण ऊपर दिए गए संस्करण से कैसे संबंधित है, मान लें कि कार्रवाई लैग्रैन्जियन का स्पेसटाइम इंटीग्रल है जो केवल φ और इसके पहले डेरिवेटिव पर निर्भर करता है। साथ ही, मान लीजिए

$Q[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f^{\mu }$

तब,

${\begin{aligned}q[\varepsilon ][{\mathcal {S}}]&=\int q[\varepsilon ][{\mathcal {L}}]d^{n}x\\[6pt]&=\int \left\{\left({\frac {\partial }{\partial \varphi }}{\mathcal {L}}\right)\varepsilon Q[\varphi ]+\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]\partial _{\mu }(\varepsilon Q[\varphi ])\right\}d^{n}x\\[6pt]&=\int \left\{\varepsilon Q[{\mathcal {L}}]+\partial _{\mu }\varepsilon \left[{\frac {\partial }{\partial \left(\partial _{\mu }\varphi \right)}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right\}\,d^{n}x\\[6pt]&\approx \int \varepsilon \partial _{\mu }\left\{f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right\}\,d^{n}x\end{aligned}}$

सभी के लिए $\varepsilon$.

अधिक सामान्यतः, यदि Lagrangian उच्च डेरिवेटिव पर निर्भर करता है, तो

$\partial _{\mu }\left[f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]-2\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]\partial _{\nu }Q[\varphi ]+\partial _{\nu }\left[\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right]-\,\dotsm \right]\approx 0.$

उदाहरण

उदाहरण 1: ऊर्जा का संरक्षण

द्रव्यमान m के एक न्यूटोनियन कण के विशिष्ट मामले को देखते हुए, x का समन्वय करें, एक संभावित V के प्रभाव के तहत गतिमान, समय t द्वारा समन्वित। क्रिया (भौतिकी), एस, है:

${\begin{aligned}{\mathcal {S}}[x]&=\int L\left[x(t),{\dot {x}}(t)\right]\,dt\\&=\int \left({\frac {m}{2}}\sum _{i=1}^{3}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x(t))\right)\,dt.\end{aligned}}$

कोष्ठक में पहला शब्द कण की गतिज ऊर्जा है, जबकि दूसरा इसकी संभावित ऊर्जा है। समय अनुवाद के जनरेटर पर विचार करें Q = d/dt। दूसरे शब्दों में, $Q[x(t)]={\dot {x}}(t)$. निर्देशांक x की समय पर स्पष्ट निर्भरता है, जबकि V की नहीं; फलस्वरूप:

$Q[L]={\frac {d}{dt}}\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}{\ddot {x}}_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial V(x)}{\partial x_{i}}}{\dot {x}}_{i}$

ताकि हम सेट कर सकें

$L={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x).$

तब,

${\begin{aligned}j&=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}Q[x_{i}]-L\\&=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]\\[3pt]&={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}+V(x).\end{aligned}}$

दाहिने हाथ की ओर ऊर्जा है, और नोएदर की प्रमेय यह बताती है $dj/dt=0$ (यानी ऊर्जा के संरक्षण का सिद्धांत समय अनुवाद के तहत अपरिवर्तनीयता का परिणाम है)।

अधिक आम तौर पर, यदि Lagrangian समय, मात्रा पर स्पष्ट रूप से निर्भर नहीं करता है

$\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}{\dot {x_{i}}}-L$

(हैमिल्टनियन यांत्रिकी कहा जाता है) संरक्षित है।

उदाहरण 2: गति के केंद्र का संरक्षण

अभी भी 1-आयामी समय पर विचार करते हुए, आइए

${\begin{aligned}{\mathcal {S}}\left[{\vec {x}}\right]&=\int {\mathcal {L}}\left[{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t)\right]dt\\[3pt]&=\int \left[\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {m_{\alpha }}{2}}\left({\dot {\vec {x}}}_{\alpha }\right)^{2}-\sum _{\alpha <\beta }V_{\alpha \beta }\left({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha }\right)\right]dt,\end{aligned}}$

या $N$ न्यूटोनियन कण जहां क्षमता केवल सापेक्ष विस्थापन पर जोड़ीदार रूप से निर्भर करती है।

के लिए ${\vec {Q}}$, गैलिलियन परिवर्तनों के जनरेटर पर विचार करें (अर्थात संदर्भ के फ्रेम में बदलाव)। दूसरे शब्दों में,

$Q_{i}\left[x_{\alpha }^{j}(t)\right]=t\delta _{i}^{j}.$

और

${\begin{aligned}Q_{i}[{\mathcal {L}}]&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}-\sum _{\alpha <\beta }t\partial _{i}V_{\alpha \beta }\left({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha }\right)\\&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}.\end{aligned}}$

इसका रूप है ${\textstyle {\frac {d}{dt}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha }^{i}}$ ताकि हम सेट कर सकें

${\vec {f}}=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\vec {x}}_{\alpha }.$

तब,

${\begin{aligned}{\vec {j}}&=\sum _{\alpha }\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {\vec {x}}}_{\alpha }}}{\mathcal {L}}\right)\cdot {\vec {Q}}\left[{\vec {x}}_{\alpha }\right]-{\vec {f}}\\[6pt]&=\sum _{\alpha }\left(m_{\alpha }{\dot {\vec {x}}}_{\alpha }t-m_{\alpha }{\vec {x}}_{\alpha }\right)\\[3pt]&={\vec {P}}t-M{\vec {x}}_{CM}\end{aligned}}$

कहाँ ${\vec {P}}$ कुल संवेग है, M कुल द्रव्यमान है और ${\vec {x}}_{CM}$ द्रव्यमान का केंद्र है। नोथेर के प्रमेय में कहा गया है:

${\frac {d{\vec {j}}}{dt}}=0\Rightarrow {\vec {P}}-M{\dot {\vec {x}}}_{CM}=0.$

उदाहरण 3: अनुरूप परिवर्तन

दोनों उदाहरण 1 और 2 एक 1-आयामी कई गुना (समय) से अधिक हैं। स्पेसटाइम को शामिल करने वाला एक उदाहरण (3 + 1)मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम में क्वार्टिक इंटरेक्शन के साथ द्रव्यमान रहित वास्तविक स्केलर फ़ील्ड का एक अनुरूप परिवर्तन है।

${\begin{aligned}{\mathcal {S}}[\varphi ]&=\int {\mathcal {L}}\left[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x)\right]d^{4}x\\[3pt]&=\int \left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -\lambda \varphi ^{4}\right)d^{4}x\end{aligned}}$

क्यू के लिए, स्पेसटाइम रीस्केलिंग के जनरेटर पर विचार करें। दूसरे शब्दों में,

$Q[\varphi (x)]=x^{\mu }\partial _{\mu }\varphi (x)+\varphi (x).$

दाहिने हाथ की ओर दूसरा पद के अनुरूप भार के कारण है $\varphi$. और

$Q[{\mathcal {L}}]=\partial ^{\mu }\varphi \left(\partial _{\mu }\varphi +x^{\nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi +\partial _{\mu }\varphi \right)-4\lambda \varphi ^{3}\left(x^{\mu }\partial _{\mu }\varphi +\varphi \right).$

इसका रूप है

$\partial _{\mu }\left[{\frac {1}{2}}x^{\mu }\partial ^{\nu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -\lambda x^{\mu }\varphi ^{4}\right]=\partial _{\mu }\left(x^{\mu }{\mathcal {L}}\right)$

(जहां हमने डमी इंडेक्स में बदलाव किया है) तो सेट करें

$f^{\mu }=x^{\mu }{\mathcal {L}}.$

तब

${\begin{aligned}j^{\mu }&=\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]-f^{\mu }\\&=\partial ^{\mu }\varphi \left(x^{\nu }\partial _{\nu }\varphi +\varphi \right)-x^{\mu }\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\nu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -\lambda \varphi ^{4}\right).\end{aligned}}$

नोथेर के प्रमेय में कहा गया है कि $\partial _{\mu }j^{\mu }=0$ (जैसा कि बाएं हाथ की ओर यूलर-लैग्रेंज समीकरणों को प्रतिस्थापित करके स्पष्ट रूप से जांचा जा सकता है)।

यदि कोई इस समीकरण के वार्ड-ताकाहाशी पहचान | वार्ड-ताकाहाशी एनालॉग को खोजने की कोशिश करता है, तो वह विसंगति (भौतिकी) के कारण एक समस्या में चला जाता है।

अनुप्रयोग

नोएदर के प्रमेय का अनुप्रयोग भौतिकविदों को भौतिक विज्ञान में किसी भी सामान्य सिद्धांत में शक्तिशाली अंतर्दृष्टि प्राप्त करने की अनुमति देता है, केवल विभिन्न परिवर्तनों का विश्लेषण करके जो कानूनों के रूप को अपरिवर्तनीय बनाते हैं। उदाहरण के लिए:

• स्थानिक अनुवाद (भौतिकी) के संबंध में एक पृथक प्रणाली का आक्रमण (दूसरे शब्दों में, भौतिकी के नियम अंतरिक्ष में सभी स्थानों पर समान हैं) रैखिक गति के संरक्षण का कानून देता है (जो बताता है कि कुल रैखिक गति एक पृथक प्रणाली स्थिर है)
• टाइम ट्रांसलेशन के संबंध में एक पृथक प्रणाली का आक्रमण (अर्थात भौतिकी के नियम समय के सभी बिंदुओं पर समान हैं) ऊर्जा के संरक्षण का नियम देता है (जो बताता है कि एक पृथक प्रणाली की कुल ऊर्जा स्थिर है)
• ROTATION के संबंध में एक पृथक प्रणाली का आक्रमण (अर्थात, अंतरिक्ष में सभी कोणीय अभिविन्यासों के संबंध में भौतिकी के नियम समान हैं) कोणीय गति के संरक्षण का नियम देता है (जो बताता है कि एक पृथक प्रणाली का कुल कोणीय गति स्थिर है)
• लोरेंत्ज़ बूस्ट के संबंध में एक पृथक प्रणाली का आक्रमण (अर्थात, भौतिकी के नियम सभी जड़त्वीय संदर्भ फ़्रेमों के संबंध में समान हैं) द्रव्यमान प्रमेय का केंद्र देता है (जो बताता है कि द्रव्यमान का केंद्र पृथक प्रणाली एक स्थिर वेग से चलती है)।

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, नोएदर के प्रमेय के अनुरूप, वार्ड-ताकाहाशी पहचान, आगे के संरक्षण कानूनों का उत्पादन करती है, जैसे आवेशित कण के जटिल संख्या क्षेत्र के चरण कारक में परिवर्तन के संबंध में विद्युत आवेश का संरक्षण। और विद्युत क्षमता और सदिश क्षमता के संबंधित गेज आक्रमण।

स्थिर ब्लैक होल की एन्ट्रॉपी की गणना में नोएदर चार्ज का भी उपयोग किया जाता है।

यह भी देखें

• संरक्षण कानून
• चार्ज (भौतिकी)
• गेज समरूपता
• गेज समरूपता (गणित)
• अपरिवर्तनीय (भौतिकी)
• गोल्डस्टोन बोसोन
• भौतिकी में समरूपता

संदर्भ

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बाहरी संबंध

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• Google Tech Talk, (June 16, 2010) Emmy Noether and The Fabric of Reality on YouTube