नोथेर की प्रमेय

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एमी नोथेर के लेख इनवेरिएंट वेरिएशन्सप्रोब्लेमे (1918) का पहला पृष्ठ, जहां उन्होंने अपनी प्रमेय को सिद्ध किया।

नोथेर की प्रमेय में कहा गया है कि संरक्षी बल के साथ भौतिक प्रणाली की क्रिया (भौतिकी) की भौतिकता में प्रत्येक भिन्न कार्य समरूपता के अनुरूप संरक्षण नियम का पालन करती है। इस प्रकार इस प्रमेय में गणितज्ञ एमी नोथेर द्वारा 1915 में सिद्ध किया गया था और इसे पुनः 1918 में प्रकाशित किया गया था। भौतिक प्रणाली की क्रिया लैग्रैजियन यांत्रिकी फलन का समय के अनुसार अभिन्न अंग है, जिससे इस प्रणाली के व्यवहार में कम से कम प्रतिक्रिया के सिद्धांत द्वारा निर्धारित किया जा सकता है। इस प्रकार यह प्रमेय केवल भौतिक स्थान पर निरंतर और समतल समरूपता पर लागू होती है।

नोथेर के प्रमेय का उपयोग सैद्धांतिक भौतिकी और विविधताओं के विभिन्न कलनों में किया जाता है। यह भौतिक प्रणाली की समरूपता और संरक्षण नियमों के बीच मूलभूत संबंध को प्रकट करता है। इसने आधुनिक सैद्धांतिक भौतिकविदों को भौतिक प्रणालियों की समरूपता पर अधिक ध्यान केंद्रित किया हैं। लाग्रंगियन और हैमिल्टन यांत्रिकी (क्रमशः 1788 और 1833 में विकसित की गई थी) में गति के स्थिरांक पर योगों का सामान्यीकरण, यह उन प्रणालियों पर लागू नहीं होता है जिन्हें केवल लाग्रंगियन के साथ प्रारूपित नहीं किया जा सकता है, जैसे उदाहरण के लिए, रेले अपव्यय फलन के साथ प्रणाली को प्रारूपित नहीं कर सकते हैं। इस प्रकार विशेष रूप से, निरंतर समरूपता वाले अपव्यय प्रणालियों के लिए संबंधित संरक्षण नियम की आवश्यकता नहीं होती है।

मूल चित्र और पृष्ठभूमि

एक दृष्टांत के रूप में, यदि कोई भौतिक तंत्र इस बात की सावधानी किए बिना समान व्यवहार करता है कि यह समतल में कैसे उन्मुख है (अर्थात, यह अपरिवर्तनीय (गणित) है), तो इसका लैग्रैन्जियन यांत्रिकी निरंतर घूर्णन के अनुसार सममित है: इस प्रकार इस समरूपता से, नोथेर की प्रमेय यह निर्धारित करती है कि कोणीय गति इसकी गति के नियमों के परिणामस्वरूप प्रणाली का संरक्षण किया जाना चाहिए। इस प्रकार भौतिक प्रणाली को स्वयं सममित होने की आवश्यकता नहीं है, समतल में लुढ़का दांतेदार क्षुद्रग्रह अपनी विषमता के अतिरिक्त कोणीय गति को संरक्षित करता है। इस प्रकार इसके लिए गति का नियम इसमें सममित हैं।

एक अन्य उदाहरण के रूप में, यदि कोई भौतिक प्रक्रिया स्थान या समय की सावधानी किए बिना समान परिणाम प्रदर्शित करती है, तो इसका लैग्रेंजियन क्रमशः समतल और समय में निरंतर अनुवाद के अनुसार सममित है: नोथेर के प्रमेय द्वारा, ये समरूपता इस प्रणाली के भीतर संवेग और ऊर्जा के संरक्षण नियमों के लिए उत्तरदायी हैं।

नोथेर का प्रमेय महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह अंतर्दृष्टि संरक्षण नियमों में देता है, और व्यावहारिक गणना उपकरण के रूप में भी होती हैं। यह जांचकर्ताओं को भौतिक प्रणाली की देखी गई समरूपता से संरक्षित मात्रा (इनवेरिएंट) निर्धारित करने की अनुमति देता है। इस प्रकार इसके विपरीत यह शोधकर्ताओं को भौतिक प्रणाली का वर्णन करने के लिए दिए गए आक्रमणकारियों के साथ काल्पनिक लाग्रंगियन के पूरे वर्गों पर विचार करने की अनुमति देता है। उदाहरण के रूप में, मान लीजिए कि भौतिक सिद्धांत प्रस्तावित है जो मात्रा X का संरक्षण करता है। इस प्रकार शोधकर्ता निरंतर समरूपता के माध्यम से X का संरक्षण करने वाले लाग्रंगियन के प्रकारों की गणना कर सकता है। इस प्रकार नोथेर के प्रमेय के कारण, इन लाग्रंगियन के गुण निहितार्थ को समझने और नए सिद्धांत की उपयुक्तता का न्याय करने के लिए और मानदंड प्रदान करते हैं। नोथेर का प्रमेय क्यूएफटी में इतनी अच्छी तरह से सम्मिलित किया गया है कि: इस प्रकार भौतिकी में बहुत समकालीन शोध के लिए इसे गणितीय प्रारूप के रूप में कार्य करने की अनुमति देता है।

सामान्यता की अलग-अलग डिग्री के साथ नोथेर के प्रमेय के कई संस्करण हैं। इस प्रकार वार्ड पहचान में व्यक्त इस प्रमेय के प्राकृतिक क्वांटम के समकक्ष हैं। उपस्थान के लिए नोथेर के प्रमेय का सामान्यीकरण भी सम्मिलित है।

प्रमेय का अनौपचारिक विवरण

सभी ठीक तकनीकी बिंदु तरफ, नोथेर के प्रमेय को अनौपचारिक रूप से कहा जा सकता है:

यदि एक प्रणाली में निरंतर समरूपता गुण है, तो ऐसी संगत मात्राएँ हैं जिनके मान समय में संरक्षित हैं।

क्षेत्रों से जुड़े प्रमेय का अधिक परिष्कृत संस्करण बताता है कि:

स्थानीय क्रियाओं द्वारा उत्पन्न प्रत्येक भिन्न समरूपता के लिए एक संरक्षित वर्तमान से मेल खाता है।

उपर्युक्त कथन में समरूपता शब्द उस रूप के सामान्य सहप्रसरण को अधिक सटीक रूप से संदर्भित करता है जो भौतिक नियम कुछ तकनीकी मानदंडों को पूरा करने वाले परिवर्तनों के आयामी असत्य समूह के संबंध में लेता है। भौतिक मात्रा के संरक्षण नियम को सामान्यतः निरंतरता समीकरण के रूप में व्यक्त किया जाता है।

प्रमेय का औपचारिक प्रमाण संरक्षित भौतिक मात्रा से जुड़े वर्तमान के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए अपरिवर्तनीयता की स्थिति का उपयोग करता है। आधुनिक समय में (1980 के बाद से) इस शब्दावली में, संरक्षित मात्रा को नोथेर आवेश कहा जाता है, जबकि उस आवेश को वहन करने वाले प्रवाह को नोथेर धारा कहा जाता है। नोथेर धारा को सोलेन्वायेडल (डाइवर्जेंसलेस) वेक्टर फील्ड तक परिभाषित किया गया है।

गुरुत्वाकर्षण के संदर्भ में, प्रतिक्रिया के लिए नोथेर के प्रमेय के फेलिक्स क्लेन के अनुसार आक्रमणकारियों के लिए निर्धारित करता हैं:

यदि एक अभिन्न रूप के कारण एक सतत समूह G_ρ के अनुसार ρ पैरामीटर के साथ अपरिवर्तनीय है, तो ρ लैगरैंगियन अभिव्यक्तियों के रैखिक रूप से स्वतंत्र संयोजन विचलन हैं।

संक्षिप्त चित्रण और अवधारणा का अवलोकन

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समन्वय-वार समरूपता के लिए नोथेर के प्रमेय को दर्शाने वाला प्लॉट।

नोथेर के प्रमेय के पीछे मुख्य विचार समन्वय वाली प्रणाली द्वारा सबसे सरलता से $q$ को चित्रित किया गया है और सतत समरूपता $\varphi :q\mapsto q+\delta q$ (आरेख पर ग्रे तीर के अनुसार प्रदर्शित किया गया हैं। इस प्रकार किसी भी प्रक्षेपवक्र $q(t)$ पर विचार करें जो प्रणाली के यूलर-लैग्रेंज समीकरण को संतुष्ट करता है। अर्थात इस क्रिया में भौतिकी के अंतर्गत $S$ को इस प्रणाली को नियंत्रित करने तथा इस प्रक्षेप वक्र पर स्थिर बिंदु द्वारा प्रदर्शित किया जाता है, अर्थात इस प्रकार प्रक्षेपवक्र की भिन्नताओं के किसी भी स्थानीय कलन के अनुसार परिवर्तित नहीं होता है। विशेष रूप से यह समरूपता प्रवाह लागू करने वाली भिन्नता के अनुसार $\varphi$ समय खंड पर [t₀, t₁] पर नहीं परिवर्तित होगा और उस खंड के बाहर ही गतिहीन अवस्था में रहता है। इस प्रकार प्रक्षेपवक्र को निरंतर बनाए रखने के लिए, हम छोटे समय की बफरिंग अवधियों $\tau$ का उपयोग करते हैं और इन खंडों के बीच धीरे-धीरे संक्रमण करने के लिए पाये जाते हैं।

इस प्रतिक्रिया में कुल परिवर्तन $S$ अब खेल में हर अंतराल द्वारा लाए गए परिवर्तन सम्मिलित हैं। इस प्रकार इस भाग में जहाँ भिन्नता स्वयं लुप्त हो जाती है, नहीं लाते $\Delta S$. मध्य भाग भी क्रिया को नहीं परिवर्तित करता हैं, क्योंकि उसका परिवर्तन होता है जिसका समरूपता $\varphi$ है और इस प्रकार लाग्रंगियन $L$ को संरक्षित करता है और इस प्रतिक्रिया ${\textstyle S=\int L}$ के शेष भाग में बफ़रिंग के टुकड़े पाये जाते हैं। इस प्रकार मुख्य रूप से ये अधिकतर अपनी प्रवणता ${\dot {q}}\rightarrow {\dot {q}}\pm \delta q/\tau$ के माध्यम से योगदान देते हैं।

यह लाग्रंगियन $\Delta L\approx {\bigl (}\partial L/\partial {\dot {q}}{\bigr )}\Delta {\dot {q}}$ को परिवर्तित कर देता है, जो इसे एकीकृत करता है-

$$\Delta S=\int \Delta L\approx \int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\Delta {\dot {q}}\approx \int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\left(\pm {\frac {\delta q}{\tau }}\right)\approx \ \pm {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q=\pm {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi .$$

इन अंतिम शब्दों का मूल्यांकन समापन बिंदुओं $t_{0}$ और $t_{1}$ के आसपास किया जाता है, इस प्रकार इस प्रतिक्रिया में कुल परिवर्तन करने के लिए दूसरे को निरस्त करना चाहिए जिसके लिए $\Delta S$ का मान शून्य रहता हैं, जैसा कि अपेक्षित होगा यदि प्रक्षेपवक्र अर्थ है। इस कारण-

$$\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi \right)(t_{0})=\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi \right)(t_{1}),$$

इसके लिए यह मात्रा $\left(\partial L/\partial {\dot {q}}\right)\varphi$ संरक्षित रहती है, जो नोथेर की प्रमेय का निष्कर्ष है। उदाहरण के लिए यदि शुद्ध अनुवाद $q$ स्थिरांक समरूपता है, तो संरक्षित मात्रा $(\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}L/\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}$