द्विपद प्रमेय: Difference between revisions

Revision as of 00:51, 13 December 2022

{\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}

द्विपद गुणांक(एनके) पास्कल के त्रिभुज की nवीं पंक्ति में केवें प्रविष्टि के रूप में प्रतीत होता है, गिनती 0 से शुरू होती है। प्रत्येक प्रविष्टि इसके ऊपर दो का योग होता है।

प्रारंभिक बीजगणित में, द्विपद प्रमेय (या द्विपद विस्तार) द्विपद बहुपद के घातांक के बीजगणितीय प्रसार का वर्णन करता है। प्रमेय के अनुसार, बहुपद $(x + y) n$ को $ax b y c$ के रूप में पद वाले योग से विस्तारित करना संभव होता है, जहां घातांक $b$ तथा $c$ के साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक $b + c = n$ हैं और गुणांक $a$ के प्रत्येक पद का एक विशिष्ट धनात्मक पूर्णांक है जो $n$ और $b$ पर निर्भर करता है। तथा उदाहरण के लिए, के लिए $n = 4$ ,

(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.

$ax b y c$ के पद में गुणांक a को द्विपद गुणांक ${\tbinom {n}{b}}$ या ${\tbinom {n}{c}}$ के रूप में जाना जाता है, दोनों का मूल्य समान होता है। अलग-अलग के लिए ये गुणांक $n$ तथा $b$ पास्कल का त्रिभुज बनाने के लिए व्यवस्थित किया जाता है। ये नंबर साहचर्य में भी होते हैं, जहां ${\tbinom {n}{b}}$ उन तत्वों के विभिन्न संयोजनों की संख्या देता है जिन्हें n-तत्व के समुच्चय से चुना जाता है। इसलिए ${\tbinom {n}{b}}$ को अधिकांशता $n$ और $b$ के रूप में उच्चारित किया जाता है।

इतिहास

द्विपद प्रमेय में विशेष स्थितियां कम से कम चौथी शताब्दी ईसा पूर्व से ज्ञात थी, जब यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने घातांक $2$ के लिए द्विपद प्रमेय के विशेष स्थितियो का उल्लेख किया था।^[1]^[2] इस बात के प्रमाण हैं कि घन के लिए द्विपद प्रमेय भारत में छठी शताब्दी ईस्वी तक जाना जाता था।^[1]^[2]

बिना प्रतिस्थापन के $n$ में $k$ वस्तुओं के चयन तरीकों की संख्या को व्यक्त करने वाले संयोजी मात्राओं के रूप में द्विपद गुणांक, प्राचीन भारतीय गणितज्ञों के लिए रुचिकर थे। इस संयोजी समस्या का सबसे पहला ज्ञात संदर्भ, भारतीय गीतकार पिंगला द्वारा रचित चंदशास्त्र है। 200 ईसा पूर्व, जिसमें इसके समाधान की विधि निहित है।^[3]^: 230 10वीं शताब्दी ईस्वी के टिप्पणीकार हलायुध ने इस विधि की व्याख्या की है जिसे अब पास्कल के त्रिकोण के रूप में जाना जाता है।^[3] छठी शताब्दी ईस्वी तक, भारतीय गणितज्ञ शायद यह जानते थे कि इसे भागफल के रूप में कैसे व्यक्त किया जाए ${\textstyle {\frac {n!}{(n-k)!k!}}}$ ,^[4] और इस नियम का स्पष्ट विवरण भास्कर द्वितीय द्वारा लिखित 12वीं शताब्दी के ग्रंथ लीलावती में पाया जाता है।^[4]

हमारे ज्ञान के लिए द्विपद प्रमेय और द्विपद गुणांक की तालिका का पहला सूत्रीकरण, अल-काराजी के एक काम में पाया जा सकता है, जिसे अल-समावली ने अपने अल-बहिर में उद्धृत किया है।^[5]Cite error: Closing </ref> missing for <ref> tag अल-काराजी ने द्विपद गुणांकों के त्रिकोणीय डिज़ाइन का वर्णन किया^[6] और गणितीय प्रेरण के प्रारंभिक रूप का उपयोग करते हुए द्विपद प्रमेय और पास्कल त्रिकोण दोनों का गणितीय प्रमाण भी प्रदान किया।^[6] फारसी कवि और गणितज्ञ उमर खय्याम शायद उच्च क्रम के सूत्र से परिचित थे, चूँकि, उनके कई गणितीय कार्य गुम हो गए थे।^[2] 13वीं शताब्दी के यांग हुई के गणितीय कार्यों में छोटी घात के द्विपद विस्तार ज्ञात थे^[7] और चू शिह-चीह भी।^[2] यांग हुई ने इस पद्धति का श्रेय जिया जियान के 11वीं शताब्दी के पाठ को दिया है, चूँकि, अब वे लेख भी खो गए हैं।^[3]^: 142

1544 में, माइकल स्टिफ़ेल ने द्विपद गुणांक शब्द को पेश किया और दिखाया कि उन्हें कैसे व्यक्त किया जाए $(1+a)^{n}$ के अनुसार $(1+a)^{n-1}$ पास्कल के त्रिकोण के माध्यम से।^[8] ब्लेज़ पास्कल ने अपने ट्रैटे डू त्रिकोण अंकगणित में व्यापक रूप से नामांकित त्रिभुज का अध्ययन किया।^[9] चूँकि, संख्याओं का डिज़ाइन पहले ही देर से पुनर्जागरण के यूरोपीय गणितज्ञों के लिए जाना जाता था, जिसमें स्टिफ़ेल, निकोलो फोंटाना टारटाग्लिया और साइमन स्टीविन सम्मिलित थे।^[8]

आईएएएसी न्यूटन को सामान्यता सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय के साथ श्रेय दिया जाता है, जो किसी भी तर्कसंगत घातांक के लिए मान्य होता है।^[8]^[10]

कथन

प्रमेय के अनुसार, $x + y$ फॉर्म के योग में किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घात का विस्तार करना संभव होता है।

(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},

जहाँ पे

n\geq 0

एक पूर्णांक है और प्रत्येक

{\tbinom {n}{k}}

एक धनात्मक पूर्णांक है जिसे द्विपद गुणांक के रूप में जाना जाता है। जब घातांक शून्य होता है, तो संबंधित घात अभिव्यक्ति को 1 माना जाता है और इस गुणन कारक को अधिकांशता शब्द से हटा दिया जाता है। इसलिए अधिकांशता दाहिने हाथ की ओर लिखा हुआ दिखाई देता है

{\textstyle {\binom {n}{0}}x^{n}+\cdots }

.) इस सूत्र को द्विपद सूत्र या द्विपद सर्वसमिका भी कहा जाता है। योग संकेतन का उपयोग करके, इसे इस रूप में लिखा जा सकता है।

(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.

अंतिम अभिव्यक्ति प्रथम अभिव्यक्ति में जब $x$ तथा $y$ की समरूपता होती है और तुलना करके यह इस प्रकार के सूत्र में द्विपद गुणकों का क्रम सममित करता है। तो प्रतिस्थापन (बीजगणित) द्वारा द्विपद सूत्र का सरल संस्करण प्राप्त किया जाता है $1$ के लिये $y$ , ताकि इसमें केवल एक चर (गणित) सम्मिलित हो। इस रूप में, सूत्र दिखता है

द्विपद सूत्र का एक सरल संस्करण y के लिए 1 को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है, चूँकि इसमें केवल एक चर सम्मिलित हो। सूत्र को इस रूप में पढ़ा जा सकता है

(1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n},

या समकक्ष

(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k},

या अधिक स्पष्ट रूप से^[11]

(1+x)^{n}=1+nx+{\frac {n(n-1)}{2!}}x^{2}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{3!}}x^{3}+\cdots +nx^{n-1}+x^{n}.

उदाहरण

यहाँ द्विपद प्रमेय के पहले कुछ कारक हैं

{\begin{aligned}(x+y)^{3}&=xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy&(2^{3}{\text{ terms}})\\&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}&(3+1{\text{ terms}})\end{aligned}}

[convergence-14] 1.0 ^1.1 This is to guarantee convergence. Depending on $r$ , the series may also converge sometimes when $| x | = | y |$ .

[wolfram-1] 1.0 ^1.1 Weisstein, Eric W. "द्विपद प्रमेय". Wolfram MathWorld.

[Coolidge-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 Coolidge, J. L. (1949). "द्विपद प्रमेय की कहानी". The American Mathematical Monthly. 56 (3): 147–157. doi:10.2307/2305028. JSTOR 2305028.

[Chinese-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 Jean-Claude Martzloff; S.S. Wilson; J. Gernet; J. Dhombres (1987). चीनी गणित का इतिहास. Springer.

[Biggs-4] 4.0 ^4.1 Biggs, N. L. (1979). "कॉम्बिनेटरिक्स की जड़ें". Historia Math. 6 (2): 109–136. doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0.

[5] "द्विपद प्रमेय: मध्यकालीन इस्लामी गणित में एक व्यापक अवधारणा" (PDF). core.ac.uk. p. 401. Archived (PDF) from the original on 2022-10-09. Retrieved 2019-01-08.

[Karaji-6] 6.0 ^6.1 O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews

[7] Landau, James A. (1999-05-08). "हिस्टोरिया मैटमैटिका मेलिंग लिस्ट आर्काइव: पुन: [एचएम] पास्कल का त्रिभुज" (mailing list email). Archives of Historia Matematica. Retrieved 2007-04-13.

[Kline-8] 8.0 ^8.1 ^8.2 Kline, Morris (1972). गणितीय सोच का इतिहास. Oxford University Press. p. 273.

[9] Katz, Victor (2009). "14.3: Elementary Probability". गणित का इतिहास: एक परिचय. Addison-Wesley. p. 491. ISBN 978-0-321-38700-4.

[10] Bourbaki, N. (18 November 1998). गणित पेपरबैक के इतिहास के तत्व. J. Meldrum (Translator). ISBN 978-3-540-64767-6.

[11] भौतिकविदों के लिए गणितीय तरीके. 2013. p. 34. doi:10.1016/c2009-0-30629-7. ISBN 9780123846549.

[barth2004-12] 12.0 ^12.1 Barth, Nils R. (2004). "एन-क्यूब की समरूपता द्वारा कैवलियरी के चतुर्भुज सूत्र की गणना". The American Mathematical Monthly. 111 (9): 811–813. doi:10.2307/4145193. ISSN 0002-9890. JSTOR 4145193.

[13] Binomial theorem – inductive proofs Archived February 24, 2015, at the Wayback Machine

[Sokolowsky-15] Sokolowsky, Dan; Rennie, Basil C. (February 1979). "समस्या 352". Crux Mathematicorum. 5 (2): 55–56.

[16] Aigner, Martin (1997) [Reprint of the 1979 Edition]. संयोजन सिद्धांत. Springer. p. 105. ISBN 3-540-61787-6.

[17] Olver, Peter J. (2000). झूठ समूहों के विभेदक समीकरणों के अनुप्रयोग. Springer. pp. 318–319. ISBN 9780387950006.

[18] Spivey, Michael Z. (2019). द्विपद पहचान सिद्ध करने की कला. CRC Press. p. 71. ISBN 978-1351215800.

[19] Cover, Thomas M.; Thomas, Joy A. (2001-01-01). आधार - सामग्री संकोचन (in English). John Wiley & Sons, Inc. p. 320. doi:10.1002/0471200611.ch5. ISBN 9780471200611.

[20] Artin, Algebra, 2nd edition, Pearson, 2018, equation (4.7.11).

[21] "पेसोआ पुरालेख: संपादित कार्य - न्यूटन का द्विपद वीनस डी मिलो जितना सुंदर है।". arquivopessoa.net.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[Note 1]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

@@ Line 127: / Line 127: @@
 ==== सामान्य स्थिति ====
-{{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} का विस्तार करने पर {{math|1=''e''<sub>1</sub>''e''<sub>2</sub> ... ''e''<sub>''n''</sub>}} के रूप में {{math|2<sup>''n''</sup>}} उत्पादों का योग प्राप्त होता है, जहां प्रत्येक {{math|''e''<sub>''i''</sub>}}, {{mvar|''x''}} या{{mvar|y}} है पुनर्व्यवस्थित करने वाले कारकों से पता चलता है कि प्रत्येक उत्पाद {{math|0}} तथा {{mvar|n}} के बीच कुछ {{mvar|k}} के लिए {{math|''x''<sup>''n''&minus;''k''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} के बराबर होते है।
+{{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} का विस्तार करने पर {{math|1=''e''<sub>1</sub>''e''<sub>2</sub> ... ''e''<sub>''n''</sub>}} के रूप में {{math|2<sup>''n''</sup>}} उत्पादों का योग प्राप्त होता है, जहां प्रत्येक {{math|''e''<sub>''i''</sub>}}, {{mvar|''x''}} या {{mvar|y}} है, पुनर्व्यवस्थित करने वाले कारकों से पता चलता है कि प्रत्येक उत्पाद {{math|0}} तथा {{mvar|n}} के बीच कुछ {{mvar|k}} के लिए {{math|''x''<sup>''n''&minus;''k''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} के बराबर होते है।
-* प्रतियों की संख्या {{math|1=''x''<sup>''n''−''k''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} के विस्तार में,
+* प्रतियों की संख्या {{math|1=''x''<sup>''n''−''k''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} के विस्तार में है।
-*बिल्कुल {{mvar|k}} स्थितियों में {{mvar|y}} वाले {{mvar|n}}-वर्ण {{math|''x'',''y''}} तार की संख्या में,
+*बिल्कुल {{mvar|k}} स्थितियों में {{mvar|y}} वाले {{mvar|n}}-वर्ण {{math|''x'',''y''}} तार की संख्या में होते है।
-* {{math|1={{mset|1, 2, ..., ''n''}}}} के {{mvar|k}}-तत्व सबसम्मुचय की संख्या है।
+* {{math|1={{mset|1, 2, ..., ''n''}}}} {{mvar|k}}-तत्व सबसम्मुचय की संख्या है।
-* <math>\tbinom{n}{k},</math> या तो परिभाषा के अनुसार, या यदि कोई परिभाषित कर रहा है तो एक संक्षिप्त संयोजी तर्क द्वारा <math>\tbinom{n}{k}</math> जैसा <math>\tfrac{n!}{k! (n-k)!}.</math> यह द्विपद प्रमेय को सिद्ध करता है।
+* <math>\tbinom{n}{k},</math> या तो परिभाषा के अनुसार, या एक छोटे संयोजक के तर्क से अगर कोई <math>\tbinom{n}{k}</math> जैसा <math>\tfrac{n!}{k! (n-k)!}.</math> को परिभाषित करता है।
 === आगमनात्मक प्रमाण ===
@@ Line 149: / Line 149: @@
 {{Main|द्विपद श्रृंखला}}
-के आसपास, आइजैक न्यूटन ने गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के अलावा अन्य वास्तविक घातांकों की अनुमति देने के लिए द्विपद प्रमेय को सामान्यीकृत किया। वही सामान्यीकरण सम्मिश्र संख्या के घातांकों पर भी लागू होता है। इस सामान्यीकरण में, परिमित योग को एक अनंत श्रृंखला से बदल दिया जाता है। ऐसा करने के लिए, किसी यादृच्छिक ऊपरी सूचकांक के साथ द्विपद गुणांकों को अर्थ देने की आवश्यकता होती है, जो भाज्य के साथ सामान्य सूत्र का उपयोग करके नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, एक यादृच्छिक संख्या {{mvar|r}}, के लिए परिभाषित कर सकते हैं।
+के आसपास, आइजैक न्यूटन ने गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के अलावा अन्य वास्तविक घातांकों की अनुमति देने के लिए द्विपद प्रमेय को सामान्यीकृत करते है। वही सामान्यीकरण सम्मिश्र संख्या के घातांकों पर भी लागू होता है। इस सामान्यीकरण में, परिमित योग को एक अनंत श्रृंखला से बदल दिया जाता है। ऐसा करने के लिए, किसी यादृच्छिक ऊपरी सूचकांक के साथ द्विपद गुणांकों को अर्थ देने की आवश्यकता होती है, जो भाज्य के साथ सामान्य सूत्र का उपयोग करके नहीं किया जा सकता है। चूँकि, यादृच्छिक संख्या {{mvar|r}}, के लिए परिभाषित कर सकते हैं।
 <math display="block">{r \choose k}=\frac{r(r-1) \cdots (r-k+1)}{k!} =\frac{(r)_k}{k!},</math><!--This is not the same as \frac{r!}{k!(r−k)!}. Please do not change it.-->
-जहाँ पे <math>(\cdot)_k</math> पोचहैमर प्रतीक है, यह गिरते हुए क्रमगुणित के लिए खड़ा है। यह सामान्य परिभाषाओं से सहमत है जब {{mvar|r}} एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। तो यदि {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} के साथ वास्तविक संख्याएँ {{math|{{abs|''x''}} > {{abs|''y''}}}} हैं<ref name=convergence group=Note>This is to guarantee convergence. Depending on {{mvar|r}}, the series may also converge sometimes when {{math|1={{abs|''x''}} = {{abs|''y''}}}}.</ref> और r कोई सम्मिश्र संख्या है, जिसे किसी ने परिभाषित किया है,
+जहाँ पे <math>(\cdot)_k</math> पोचहैमर प्रतीक है, यह गिरते हुए क्रमगुणित के लिए लंबवत है। यह सामान्य परिभाषाओं से सहमत है जब {{mvar|r}} एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। तो यदि {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} के साथ वास्तविक संख्याएँ {{math|{{abs|''x''}} > {{abs|''y''}}}} हैं<ref name=convergence group=Note>This is to guarantee convergence. Depending on {{mvar|r}}, the series may also converge sometimes when {{math|1={{abs|''x''}} = {{abs|''y''}}}}.</ref> और r कोई सम्मिश्र संख्या है, जिसे किसी ने परिभाषित किया है,
 <math display="block">\begin{align}
     (x+y)^r & =\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^{r-k} y^k \\
@@ Line 159: / Line 159: @@
-जब {{mvar|r}} एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, के लिए द्विपद गुणांक {{math|1=''k'' > ''r''}} शून्य हैं, इसलिए यह समीकरण सामान्य द्विपद प्रमेय तक कम हो जाता है, और अधिक से अधिक {{math|1=''r'' + 1}} शून्येतर पद होते हैं। {{mvar|r}}, के अन्य मूल्यों के लिए, श्रृंखला में सामान्यता असीम रूप से कई गैर शून्य शब्द होते हैं।
+जब {{mvar|r}} एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, के लिए द्विपद गुणांक {{math|1=''k'' > ''r''}} शून्य हैं, इसलिए यह समीकरण सामान्य द्विपद प्रमेय तक कम हो जाता है, और अधिक से अधिक {{math|1=''r'' + 1}} शून्येतर पद देते हैं। {{mvar|r}}, के अन्य मूल्यों के लिए, श्रृंखला में सामान्यता असीम रूप से कई गैर शून्य शब्द होते हैं।
 उदाहरण के लिए, {{math|1=''r'' = 1/2}} वर्गमूल के लिए निम्नलिखित श्रृंखला देता है<math display="block">\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + \frac{7}{256}x^5 - \cdots</math>
@@ Line 168: / Line 168: @@
 <math display="block">\frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 -\frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + \frac{35}{128}x^4 - \frac{63}{256}x^5 + \cdots</math>
 === आगे सामान्यीकरण ===
-सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय को इस स्थिति तक बढ़ाया जा सकता है जहां {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} जटिल संख्याएँ हैं। इस संस्करण में, एक को फिर से {{math|{{abs|''x''}} > {{abs|''y''}}}}<ref name="convergence" group="Note" />मान लेना चाहिए और {{mvar|x}} पर केंद्रित त्रिज्या {{math|{{abs|''x''}}}} की एक खुली डिस्क पर परिभाषित लॉग की पूर्णसममितिक शाखा का उपयोग करके {{math|1=''x'' + ''y''}} और {{mvar|x}} की घातो को परिभाषित करता है। सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय बानाख बीजगणित के तत्वों {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} के लिए मान्य है जब तक कि {{math|1=''xy'' = ''yx''}}, और {{mvar|x}} व्युत्क्रमणीय है, और {{math|{{!}}{{!}}y/x{{!}}{{!}} < 1}}.है
+सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय को इस स्थिति तक बढ़ाया जा सकता है जहां {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} जटिल संख्याएँ हैं। इस संस्करण में, एक को फिर से {{math|{{abs|''x''}} > {{abs|''y''}}}}<ref name="convergence" group="Note" />मान लेना चाहिए और {{mvar|x}} पर केंद्रित त्रिज्या {{math|{{abs|''x''}}}} की एक खुली डिस्क पर परिभाषित लॉग की पूर्ण सममितिक शाखा का उपयोग करके {{math|1=''x'' + ''y''}} और {{mvar|x}} की घातो को परिभाषित करता है। सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय बानाख बीजगणित के तत्वों {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} के लिए मान्य है जब तक कि {{math|1=''xy'' = ''yx''}}, और {{mvar|x}} व्युत्क्रमणीय है, और {{math|{{!}}{{!}}y/x{{!}}{{!}} < 1}}.है
-द्विपद प्रमेय का एक संस्करण निम्नलिखित पोचहैमर प्रतीक के लिए मान्य है, जैसे किसी दिए गए वास्तविक स्थिरांक {{mvar|c}}, के लिए बहुपदों का परिवार, परिभाषित करें <math> x^{(0)} = 1 </math> तथा<math display="block"> x^{(n)} = \prod_{k=1}^{n}[x+(k-1)c]</math>
+द्विपद प्रमेय का संस्करण निम्नलिखित पोचहैमर प्रतीक के लिए मान्य है, जैसे किसी दिए गए वास्तविक स्थिरांक {{mvar|c}}, के लिए बहुपदों का समूह, <math> x^{(0)} = 1 </math> परिभाषित करता है तथा,<math display="block"> x^{(n)} = \prod_{k=1}^{n}[x+(k-1)c]</math>
 के लिये <math> n > 0.</math> फिर<ref name="Sokolowsky">{{cite journal| url=https://cms.math.ca/publications/crux/issue/?volume=5&issue=2| title=समस्या 352|first1=Dan|last1=Sokolowsky|first2=Basil C.|last2=Rennie|journal=Crux Mathematicorum|volume=5|issue=2|date=February 1979 | pages=55–56}}</ref>
@@ Line 181: / Line 180: @@
 * <math> p_0(0) = 1 </math>, तथा
 * <math> p_n(x+y) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p_k(x) p_{n-k}(y) </math> सभी के लिए <math>x</math>, <math>y</math>, तथा <math>n</math>.
-बहुपदों के अंतराल पर ऑपरेटर <math>Q</math> को अनुक्रम का आधार कहा जाता है।<math>\{p_n\}_{n=0}^\infty</math> यदि <math>Qp_0 = 0</math> तथा <math> Q p_n = n p_{n-1} </math> सभी के लिए <math> n \geqslant 1 </math>. एक क्रम <math>\{p_n\}_{n=0}^\infty</math> द्विपद है और यदि इसका आधार ऑपरेटर डेल्टा ऑपरेटर है।<ref>{{cite book |last1=Aigner |first1=Martin |title=संयोजन सिद्धांत|url=https://archive.org/details/combinatorialthe00aign_975 |url-access=limited |orig-date=Reprint of the 1979 Edition |date=1997 |publisher=Springer |isbn=3-540-61787-6 |page=[https://archive.org/details/combinatorialthe00aign_975/page/n112 105]}}</ref> तो <math> a </math> ऑपरेटर द्वारा शिफ्ट के लिए <math> E^a </math> लिखना, उपरोक्त, पौचहैमर समूहों के अनुरूप डेल्टा ऑपरेटर पिछड़े अंतर हैं <math> I - E^{-c} </math> के लिये <math> c>0 </math>, के लिए सामान्य व्युत्पन्न <math> c=0 </math>, और आगे का अंतर <math> E^{-c} - I </math> के लिये <math> c<0 </math>.है
+बहुपदों के अंतराल पर ऑपरेटर <math>Q</math> को अनुक्रम का आधार कहा जाता है।<math>\{p_n\}_{n=0}^\infty</math> यदि <math>Qp_0 = 0</math> तथा <math> Q p_n = n p_{n-1} </math> सभी के लिए <math> n \geqslant 1 </math>. एक क्रम <math>\{p_n\}_{n=0}^\infty</math> द्विपद है, और यदि इसका आधार ऑपरेटर डेल्टा ऑपरेटर है।<ref>{{cite book |last1=Aigner |first1=Martin |title=संयोजन सिद्धांत|url=https://archive.org/details/combinatorialthe00aign_975 |url-access=limited |orig-date=Reprint of the 1979 Edition |date=1997 |publisher=Springer |isbn=3-540-61787-6 |page=[https://archive.org/details/combinatorialthe00aign_975/page/n112 105]}}</ref> तो <math> a </math> ऑपरेटर द्वारा शिफ्ट के लिए <math> E^a </math> लिखना, उपरोक्त, पौचहैमर समूहों के अनुरूप डेल्टा ऑपरेटर पिछड़े अंतर हैं <math> I - E^{-c} </math> के लिये <math> c>0 </math>, के लिए सामान्य व्युत्पन्न <math> c=0 </math>, और आगे का अंतर <math> E^{-c} - I </math> के लिये <math> c<0 </math>.है
 === बहुपद प्रमेय ===
@@ Line 189: / Line 188: @@
 <math display="block">(x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n = \sum_{k_1+k_2+\cdots +k_m = n} \binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_m} x_1^{k_1} x_2^{k_2} \cdots x_m^{k_m}, </math>
-जहां गैर-ऋणात्मक पूर्णांक सूचकांक {{math|''k''<sub>1</sub>}} से {{math|''k''<sub>''m''</sub>}} के सभी अनुक्रमों पर योग लिया जाता है, जैसे कि सभी ''{{math|''k''<sub>''i''</sub>}}'' का योग {{mvar|n}} है। विस्तार में प्रत्येक पद के लिए, घातांकों को जोड़ना चाहिए {{mvar|n}} गुणांक <math> \tbinom{n}{k_1,\cdots,k_m} </math> बहुपद गुणांक के रूप में जाना जाता है, और सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है
+जहां गैर-ऋणात्मक पूर्णांक सूचकांक {{math|''k''<sub>1</sub>}} से {{math|''k''<sub>''m''</sub>}} के सभी अनुक्रमों का योग लिया जाता है, जैसे कि सभी ''{{math|''k''<sub>''i''</sub>}}'' का योग {{mvar|n}} है। विस्तार में प्रत्येक पद के लिए, घातांकों को जोड़ना चाहिए {{mvar|n}} गुणांक <math> \tbinom{n}{k_1,\cdots,k_m} </math> बहुपद गुणांक के रूप में जाना जाता है, और सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है
 <math display="block"> \binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdots k_m!}.</math>
-संयुक्त रूप से, बहुपद गुणांक <math>\tbinom{n}{k_1,\cdots,k_m}</math> आकार {{math|1=''k''<sub>1</sub>, ..., ''k''<sub>''m''</sub>}}. के असंयुक्त उपसम्मुचय में सम्मुचय {{mvar|n}}-तत्व को विभाजित करने के विभिन्न तरीकों की संख्या को सम्मिलित करता है।
+संयुक्त रूप से, बहुपद गुणांक <math>\tbinom{n}{k_1,\cdots,k_m}</math> आकार {{math|1=''k''<sub>1</sub>, ..., ''k''<sub>''m''</sub>}}. के असंयुक्त उपसम्मुचय में सम्मुचय {{mvar|n}}-तत्व को विभाजित करने के तरीकों की संख्या को दिखाता है।
 === बहु-द्विपद प्रमेय ===
-अधिक आयामों में कार्य करते समय, द्विपद अभिव्यक्तियों के उत्पादों का प्रयोग करना प्रायः उपयोगी होता है।द्विपदीय प्रमेय द्वारा यह बराबर होता है।
+अधिक आयामों में कार्य करते समय, द्विपद अभिव्यक्तियों के उत्पादों का प्रयोग करना प्रायः उपयोगी होता है। द्विपदीय प्रमेय में यह बराबर होता है।
 <math display="block"> (x_1+y_1)^{n_1}\dotsm(x_d+y_d)^{n_d} = \sum_{k_1=0}^{n_1}\dotsm\sum_{k_d=0}^{n_d} \binom{n_1}{k_1} x_1^{k_1}y_1^{n_1-k_1} \dotsc \binom{n_d}{k_d} x_d^{k_d}y_d^{n_d-k_d}. </math>
 यह अधिक संक्षेप में बहु-सूचकांक संकेतन द्वारा लिखा जा सकता है, जैसे
@@ Line 207: / Line 206: @@
 <math display="block">(fg)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n-k)}(x) g^{(k)}(x).</math>
+यहाँ, सुपरस्क्रिप्ट {{math|(''n'')}} किसी फलन के {{mvar|n}}वें व्युत्पन्न को इंगित करता है। यदि एक सेट {{math|1=''f''(''x'') = ''e''{{sup|''ax''}}}} तथा {{math|1=''g''(''x'') = ''e''{{sup|''bx''}}}} और फिर {{math|''e''{{sup|(''a'' + ''b'')''x''}}}} के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द कर देता है, तो परिणाम के दोनों पक्षों से, सामान्य द्विपद प्रमेय प्राप्त होता है।<ref>{{cite book |last1=Spivey |first1=Michael Z. |title=द्विपद पहचान सिद्ध करने की कला|date=2019 |publisher=CRC Press |isbn=978-1351215800 |page=71}}</ref>
-यहाँ, सुपरस्क्रिप्ट {{math|(''n'')}} किसी फलन के {{mvar|n}}वें व्युत्पन्न को इंगित करता है। यदि कोई {{math|1=''f''(''x'') = ''e''{{sup|''ax''}}}} तथा {{math|1=''g''(''x'') = ''e''{{sup|''bx''}}}}, सेट करता है, और फिर {{math|''e''{{sup|(''a'' + ''b'')''x''}}}} के सामान्य कारक को रद्द कर देता है , तो सामान्य द्विपद प्रमेय को पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।<ref>{{cite book |last1=Spivey |first1=Michael Z. |title=द्विपद पहचान सिद्ध करने की कला|date=2019 |publisher=CRC Press |isbn=978-1351215800 |page=71}}</ref>
 == अनुप्रयोग ==
@@ Line 214: / Line 212: @@
 जटिल संख्याओं के लिए द्विपद प्रमेय को ज्या और कोसाइन के लिए बहु-कोण सूत्र प्राप्त करने के लिए डी मोइवर के सूत्र के साथ जोड़ा जा सकता है। डी मोइवर के सूत्र के अनुसार,<math display="block">\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right) = \left(\cos x+i\sin x\right)^n.</math>
+द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए, दाहिनी ओर के व्यंजक (गणित) का विस्तार किया जा सकता है, और फिर वास्तविक और काल्पनिक भाग, कोज्या (एनएक्स) और ज्या ( एनएक्स) के सूत्र प्रस्तुत करने के लिए लिया जा सकता है।.उदाहरण के लिए, क्योंकि
-द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए, दाहिनी ओर के व्यंजक(गणित) का विस्तार किया जा सकता है, और फिर वास्तविक और काल्पनिक भाग, कोज्या(एनएक्स) और ज्या( एनएक्स) के सूत्र प्रस्तुत करने के लिए लिया जा सकता है।.उदाहरण के लिए, क्योंकि
 <math display="block">\left(\cos x + i\sin x\right)^2 = \cos^2 x + 2i \cos x \sin x - \sin^2 x,</math>
 डी मोइवर का सूत्र हमें यह बताता है
@@ Line 229: / Line 226: @@
 === ई के लिए श्रृंखला ===
-संख्या {{mvar|e}}(गणितीय स्थिरांक) को अधिकांशता सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है।
+संख्या {{mvar|e}} (गणितीय स्थिरांक) को अधिकांशता सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है।
 <math display="block">e = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.</math>
 द्विपद प्रमेय को इस अभिव्यक्ति पर लागू करने से {{mvar|e}} के लिए सामान्य अनंत श्रृंखला प्राप्त होती है। विशेष रूप से,
@@ Line 237: / Line 234: @@
 जैसा {{math|''n'' → ∞}}, के रूप में, दाईं ओर तर्कसंगत अभिव्यक्ति {{math|1}} तक पहुंचती है, और इसलिए,
 <math display="block">\lim_{n\to\infty} {n \choose k}\frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!}.</math>
 यह इंगित करता है कि {{mvar|e}} को एक श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है।
 <math display="block">e=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}=\frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots.</math>वास्तव में, चूंकि द्विपद विस्तार का प्रत्येक पद {{mvar|n}} का वर्धमान फलन है, यह श्रृंखला के लिए एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय से अनुसरण करता है कि इस अनंत श्रृंखला का योग {{mvar|e}} के बराबर होता है।
 === संभावना ===
-द्विपद प्रमेय का निकटता से संबंधित द्विपद बंटन की प्रायिकता द्रव्यमान फलन से है। स्वतंत्र बर्नोली परीक्षणों के एक(गणनीय) संग्रह की प्रायिकता<math>\{X_t\}_{t\in S}</math> सफलता की संभावना के साथ <math>p\in [0,1]</math> सब कुछ नहीं हो रहा है
+द्विपद प्रमेय का निकटता से संबंधित द्विपद बंटन की प्रायिकता द्रव्यमान फलन से है। स्वतंत्र बर्नोली परीक्षणों के एक (गणनीय) संग्रह की प्रायिकता <math>\{X_t\}_{t\in S}</math> सफलता की संभावना के साथ <math>p\in [0,1]</math> सब कुछ ठीक नहीं है
 :<math> P\left(\bigcap_{t\in S} X_t^C\right) = (1-p)^{|S|} = \sum_{n=0}^{|S|} {|S| \choose n} (-p)^n.</math>
-इस मात्रा के लिए एक ऊपरी सीमा है <math> e^{-p|S|}.</math><ref>{{Cite book|title=आधार - सामग्री संकोचन|last1=Cover|first1=Thomas M.|last2=Thomas|first2=Joy A.|date=2001-01-01|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|isbn=9780471200611|pages=320|language=en|doi=10.1002/0471200611.ch5}}</ref>
+इस मात्रा के लिए एक ऊपरी सीमा <math> e^{-p|S|}.</math><ref>{{Cite book|title=आधार - सामग्री संकोचन|last1=Cover|first1=Thomas M.|last2=Thomas|first2=Joy A.|date=2001-01-01|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|isbn=9780471200611|pages=320|language=en|doi=10.1002/0471200611.ch5}}</ref> है
@@ Line 254: / Line 250: @@
 द्विपद प्रमेय अधिकांशतया वलय में {{math|''x''}} तथा {{math|''y''}} दो तत्वों के लिए, या समीकारक के लिए, उपयुक्त माना जाता है, बशर्ते कि यह {{math|1=''xy'' = ''yx''}}.के, उदाहरण के लिए, यह दो {{math|''n'' × ''n''}} आव्यूह धारण करता है, बशर्ते कि इस आव्यूह का परिचालन उस आव्यूह के कंप्यूटिंग घातको में उपयोगी होता है।<ref>Artin, ''Algebra'', 2nd edition, Pearson, 2018, equation (4.7.11).</ref>
-द्विपद प्रमेय को बहुपद अनुक्रम कहकर कहा जा सकता है {{math|1={{mset|1, ''x'', ''x''<sup>2</sup>, ''x''<sup>3</sup>, ...}}}} द्विपद प्रकार का है।
+द्विपद प्रमेय को बहुपद अनुक्रम कर कहा जा सकता है {{math|1={{mset|1, ''x'', ''x''<sup>2</sup>, ''x''<sup>3</sup>, ...}}}}ये द्विपद प्रकार का है।
 == लोकप्रिय संस्कृति में ==

v t e पथरी
Prealculus	द्विपद प्रमेय अवतल कार्य निरंतर कार्य फैक्टरियल परिमित अंतर मुक्त चर और बाध्य चर एक फ़ंक्शन का ग्राफ रैखिक प्रकार्य रेडियन रोले का प्रमेय सेकंट ढलान स्पर्शरेखा
सीमा	अनिश्चित रूप एक फ़ंक्शन की सीमा एकतरफा सीमा एक अनुक्रम की सीमा सन्निकटन का आदेश ((, Δ)-सीमा की सीमा
अंतर कलन	व्युत्पन्न दूसरा व्युत्पन्न आंशिक व्युत्पन्न अंतर विभेदक ऑपरेटर मतलब मान प्रमेय संकेतन Leibniz का अंकन न्यूटन की संकेतन भेदभाव के नियम रैखिकता शक्ति योग चेन l'hôpital's उत्पाद जनरल लीबनिज़ का नियम भागफल अन्य तकनीकें निहित भेदभाव उलटा कार्य और भेदभाव लॉगरिदमिक व्युत्पन्न संबंधित दरें स्थिर बिंदु पहला व्युत्पन्न परीक्षण दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण चरम मूल्य प्रमेय मैक्सिमा और मिनिमा आगे के आवेदन न्यूटन की विधि टेलर का प्रमेय अंतर समीकरण साधारण अंतर समीकरण आंशिक विभेदक समीकरण स्टोचस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन
समाकलन गणित	Antiderivative Arc length Riemann integral Basic properties Constant of integration Fundamental theorem of calculus Differentiating under the integral sign Integration by parts Integration by substitution trigonometric Euler Tangent half-angle substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Washer method Shell method Integral equation Integro-differential equation
वेक्टर कैलकुलस	डेरिवेटिव कर्ल दिशात्मक व्युत्पन्न विचलन ढाल लाप्लासियन बुनियादी प्रमेय लाइन इंटीग्रल ग्रीन स्टोक्स' गॉस '
बहुक्रियाशील पथरी	विचलन प्रमेय ज्यामितीय हेसियन मैट्रिक्स जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक Lagrange गुणक लाइन इंटीग्रल मैट्रिक्स एकाधिक अभिन्न आंशिक व्युत्पन्न सतह अभिन्न वॉल्यूम इंटीग्रल उन्नत विषय विभेदक रूप बाहरी व्युत्पन्न सामान्यीकृत स्टोक्स 'प्रमेय टेंसर कैलकुलस
अनुक्रम और श्रृंखला	अंकगणित-ज्यामितीय अनुक्रम श्रृंखला के प्रकार वैकल्पिक द्विपद फूरियर ज्यामितीय हार्मोनिक अनंत पावर Maclaurin टेलर दूरबीन अभिसरण के परीक्षण हाबिल अल्टरनेटिंग सीरीज़ Cauchy संघनन प्रत्यक्ष तुलना Dirichlet's अभिन्न सीमा तुलना अनुपात रूट शब्द
विशेष कार्य और संख्या	बर्नौली नंबर ई (गणितीय स्थिरांक) घातांक प्रकार्य प्राकृतिक स्टर्लिंग का अनुमान
कैलकुलस का इतिहास	पर्याप्तता ब्रुक टेलर कॉलिन मैक्लोरिन बीजगणित की सामान्यता गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ Infinitesimal Infinitesimal galulus आइजैक न्यूटन फ्लक्सियन निरंतरता का नियम लियोनहार्ड यूलर प्रवाह की विधि यांत्रिक प्रमेय की विधि
सूचियों	भेदभाव नियम घातीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कहीन कार्यों के अभिन्न अंग की सूची लघुगणक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कसंगत कार्यों के अभिन्न अंग की सूची त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची सेकंट सेकेंट क्यूबेड सीमाओं की सूची अभिन्न की सूची
विविध विषय	जटिल पथरी समोच्च अभिन्न अंतर ज्यामिति कई गुना वक्रता घटता सतहों का टेंसर यूलर -मेक्लॉरिन फॉर्मूला गेब्रियल का सींग एकीकरण मधुमक्खी प्रमाण है कि 22/7 से अधिक Regiomontanus 'कोण अधिकतमकरण समस्या स्टाइनमेट्ज़ सॉलिड

Anonymous

Search

द्विपद प्रमेय: Difference between revisions

Revision as of 00:51, 13 December 2022

इतिहास

कथन

उदाहरण

ज्यामितीय व्याख्या

द्विपद गुणांक

सूत्र

मिश्रित व्याख्या

प्रमाण

संयोजन प्रमाण

उदाहरण

सामान्य स्थिति

आगमनात्मक प्रमाण

सामान्यीकरण

न्यूटन का सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय

आगे सामान्यीकरण

बहुपद प्रमेय

बहु-द्विपद प्रमेय

जनरल लीबनिज नियम

अनुप्रयोग

बहु-कोण पहचान

ई के लिए श्रृंखला

संभावना

अमूर्त बीजगणित में

लोकप्रिय संस्कृति में

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

संदर्भ

अग्रिम पठन

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

बाहरी संबंध

Navigation

Wiki tools

Page tools

Other projects

Categories