स्पर्शरेखा: Difference between revisions

Latest revision as of 16:21, 18 August 2022

Error creating thumbnail:

एक वक्र के लिए स्पर्शरेखा।लाल रेखा एक लाल बिंदु द्वारा चिह्नित बिंदु पर वक्र के लिए स्पर्शरेखा है।

एक गोले के लिए स्पर्शरेखा विमान

ज्यामिति में, किसी दिए गए बिंदु पर एक समतल वक्र के लिए एक स्पर्शरेखा (या मात्र स्पर्शरेखा) एक सीधी रेखा होती है जो उस बिंदु पर वक्र को "केवल स्पर्श" करती है। लाइबनिट्स (Leibniz) ने इसे वक्र पर असीम रूप से करीबी बिंदुओं की एक जोड़ी के माध्यम से लाइन के रूप में परिभाषित किया।^[1] अधिक सटीक रूप से, एक सीधी रेखा को एक वक्र का एक स्पर्शरेखा कहा जाता है y = f(x) एक बिंदु पर x = c यदि रेखा बिंदु से गुजरती है (c, f(c)) वक्र पर और ढलान है f'(c), जहां f' f का व्युत्पन्न है। इसी तरह की परिभाषा एन-डायमेंशनल (n-dimensional) यूक्लिडियन स्पेस में अंतरिक्ष वक्र (space curve and curves in n-dimensional) पर लागू होती है।

जैसा कि यह उस बिंदु से गुजरता है जहां स्पर्शरेखा रेखा और वक्र मिलते हैं, जिसे 'स्पर्शरेखा का बिंदु' कहा जाता है, स्पर्शरेखा रेखा वक्र के समान दिशा में जा रही है, और इस प्रकार उस पर वक्र के लिए सबसे अच्छी सीधी रेखा का अनुमान है।बिंदु।

एक अलग वक्र पर एक बिंदु के लिए स्पर्शरेखा रेखा को एक स्पर्शरेखा रेखा सन्निकटन के रूप में भी सोचा जा सकता है, एफाइन फलन (affine function) का ग्राफ जो दिए गए बिंदु पर मुख्य फलन को सबसे अच्छा लगता है।^[2] इसी तरह, एक दिए गए बिंदु पर एक सतह पर स्पर्शरेखा सतह है जो उस बिंदु पर सतह को छूता है। एक स्पर्शरेखा की अवधारणा डिफरेंशियल ज्यामिति में सबसे मौलिक धारणाओं में से एक है और इसे बड़े पैमाने पर सामान्यीकृत किया गया है; see Tangent space।

स्पर्शरेखा शब्द लैटिन tangere 'स्पर्श' से आता है ।

इतिहास

यूक्लिड स्पर्शरेखा के कई संदर्भ बनाता है Euclid के तत्वों की पुस्तक-III में एक सर्कल के लिए सिद्धांत (ἐφαπτομένη ephaptoménē) (c. 300 ईसा पूर्व)।^[3] अपोलोनियस के काम के शंकुधारी (सी। 225 ईसा पूर्व) में वह एक स्पर्शरेखा को एक लाइन के रूप में परिभाषित करता है जैसे कि कोई अन्य सीधी रेखा नहीं कर सकती है इसके और वक्र के बीच गिरना।^[4] आर्किमिडीज (c. 287 - c. 212 ईसा पूर्व) वक्र के साथ चलते हुए एक बिंदु के पथ पर विचार करके एक आर्किमेडियन सर्पिल को स्पर्शरेखा मिला।^[4]

1630 के दशक में फर्मेट ने विश्लेषण में स्पर्शरेखा और अन्य समस्याओं की गणना करने के लिए पर्याप्तता की तकनीक विकसित की और इसका उपयोग परवलय को स्पर्शरेखा की गणना करने के लिए किया। पर्याप्तता की तकनीक के बीच अंतर लेने के समान है $f(x+h)$ तथा $f(x)$ और $h$ की घात से विभाजित करने के समान है। स्वतंत्र रूप से डेसकार्टेस ने अवलोकन के आधार पर मानदंडों की अपनी विधि का उपयोग किया कि एक वृत्त की त्रिज्या हमेशा वृत्त के लिए सामान्य होती है।^[5] इन विधियों ने 17 वीं शताब्दी में विभेदक कलन (Differential calculus) के विकास के नेतृत्व में कई लोगों ने योगदान दिया। रोबर्वल ने स्पर्शरेखा को चित्रित करने की एक सामान्य विधि की खोज की, एक वक्र पर विचार करके एक चलती बिंदु द्वारा वर्णित, जिसकी गति कई सरल गतियों का परिणाम है।^[6] रेने-फ्रांस्वा डे स्लूस और जोहान्स हड ने स्पर्शरेखा को खोजने के लिए बीजगणितीय एल्गोरिदम पाया।^[7] आगे के घटनाक्रम में जॉन वालिस और इसहाक बैरो शामिल थे, जो इसहाक न्यूटन और गॉटफ्रीड लीबनिज के सिद्धांत के लिए अग्रणी थे।

एक स्पर्शरेखा की एक 1828 की परिभाषा एक सही रेखा थी जो एक वक्र को छूती है, लेकिन जब उत्पादित होने पर, इसे काटता नहीं है।^[8] यह पुरानी परिभाषा विभक्ति बिंदुओं को किसी भी स्पर्शरेखा होने से रोकती है। इसे खारिज कर दिया गया है और आधुनिक परिभाषाएँ लीबनिज़ के बराबर हैं, जिन्होंने वक्र पर असीम रूप से करीबी बिंदुओं की एक जोड़ी के माध्यम से स्पर्शरेखा रेखा को परिभाषित किया।

एक सतह वक्र के लिए स्पर्शरेखा रेखा

Error creating thumbnail:

एक स्पर्शरेखा, एक कॉर्ड, और एक सर्कल के लिए एक सेकंड

सहज ज्ञान युक्त धारणा कि एक स्पर्शरेखा रेखा एक वक्र को छूती है, दो बिंदुओं, A और B से गुजरने वाली सीधी रेखाओं (छेदक लाइनों) के अनुक्रम पर विचार करके अधिक स्पष्ट किया जा सकता है, जो फ़ंक्शन वक्र पर स्थित हैं। एक पर स्पर्शरेखा की सीमा होती है जब बिंदु B अनुमानित करता है या A को जाता है। स्पर्शरेखा का अस्तित्व और विशिष्टता एक निश्चित प्रकार की गणितीय सरलता पर निर्भर करती है, जिसे भिन्नता के रूप में जाना जाता है। उदाहरण के लिए, यदि दो गोलाकार चाप (arcs) एक नुकीले बिंदु (एक शीर्ष) पर मिलते हैं, तो शीर्ष पर कोई विशिष्ट रूप से परिभाषित स्पर्शरेखा नहीं है क्योंकि छेदक लाइनों की प्रगति की सीमा उस दिशा पर निर्भर करती है जिसमें बिंदु B शीर्ष के पास पहुंचता है।

अधिकांश बिंदुओं पर, स्पर्शरेखा इसे पार किए बिना वक्र को छूती है (हालांकि यह, जब जारी रह सकती है, तो स्पर्शरेखा के बिंदु से दूर अन्य स्थानों पर वक्र को पार कर सकती है।) एक बिंदु जहां स्पर्शरेखा (इस बिंदु पर) वक्र को पार करती है, को एक विभक्ति बिंदु कहा जाता है। वृत्त, परवलय, अतिपरवलय और दीर्घवृत्त में कोई विभक्ति बिंदु नहीं होता है, लेकिन अधिक जटिल होता है, जैसे कि क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ होता है, जिसमें बिल्कुल एक विभक्ति बिंदु होता है, या एक साइनसॉइड (sinusoid,) होता है, जिसमें प्रत्येक अवधि के अनुसार दो विभक्ति बिंदु ज्या (sine) होते हैं।

इसके विपरीत, ऐसा हो सकता है कि वक्र पूरी तरह से एक सीधी रेखा के एक तरफ है जो उस पर एक बिंदु से गुजरता है, और फिर भी यह सीधी रेखा एक स्पर्शरेखा रेखा नहीं है। यह मामला है, उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज के शीर्ष से गुजरने वाली एक पंक्ति के लिए और इसे अन्यथा नहीं, जहां ऊपर बताए गए कारणों के लिए स्पर्शरेखा रेखा मौजूद नहीं है। उत्तल ज्यामिति में, ऐसी लाइनों को सहायक लाइनें कहा जाता है।

File:Graph of sliding derivative line.gif

प्रत्येक बिंदु पर, चलती लाइन हमेशा वक्र के लिए स्पर्शरेखा होती है।इसकी ढलान व्युत्पन्न है;हरे रंग के निशान सकारात्मक व्युत्पन्न, लाल निशान नकारात्मक व्युत्पन्न और काले निशान शून्य व्युत्पन्न।बिंदु (x, y) = (0,1) जहां स्पर्शरेखा वक्र को प्रतिच्छेद करती है, एक अधिकतम, या एक मिनट नहीं है, लेकिन विभक्ति का एक बिंदु है।

विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण

स्पर्शरेखा रेखा की सीमा के रूप में स्पर्शरेखा रेखा का ज्यामितीय विचार विश्लेषणात्मक तरीकों के लिए प्रेरणा के रूप में कार्य करता है जो स्पष्ट रूप से स्पर्शरेखा रेखाओं को खोजने के लिए उपयोग किए जाते हैं।एक ग्राफ, या स्पर्शरेखा रेखा की समस्या के लिए स्पर्शरेखा रेखा को खोजने का सवाल, 17 वीं शताब्दी में कैलकुलस के विकास के लिए अग्रणी केंद्रीय प्रश्नों में से एक था।उनकी ज्यामिति की दूसरी पुस्तक में,^[9] रेने डेसकार्टेस ने एक वक्र के लिए स्पर्शरेखा के निर्माण की समस्या के बारे में कहा, "और मैं कहता हूं कि यह न केवल ज्यामिति में सबसे उपयोगी और सबसे सामान्य समस्या है जो मुझे पता है, लेकिन यहां तक कि मुझे भी पता है कि मैं कभी जानना चाहता हूं।" ^[10]

सहज ज्ञान युक्त विवरण

मान लीजिए कि एक वक्र को एक फ़ंक्शन के ग्राफ के रूप में दिया जाता है, y = f (x) बिंदु p = (a, f (a)) पर स्पर्शरेखा रेखा को खोजने के लिए, वक्र पर एक और पास के बिंदु q = (a + h, f (a + h)) पर विचार करें। p और q से गुजरने वाली छेदक लाइन का ढलान अंतर भागफल के बराबर है

{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.

जैसे-जैसे बिंदु q, p के पास पहुंचता है, जो h को छोटा और छोटा बनाने के लिए संगत है, अंतर भागफल को एक निश्चित सीमित मान k से संपर्क करना चाहिए, जो बिंदु p पर स्पर्शरेखा रेखा का ढलान है। यदि k ज्ञात है, तो स्पर्शरेखा रेखा का समीकरण बिंदु-ढलान के रूप में पाया जा सकता है:

y-f(a)=k(x-a).\,

अधिक कठोर विवरण

पूर्ववर्ती तर्क को कठोर बनाने के लिए, किसी को यह समझाना होगा कि अंतर भागफल का क्या मतलब है एक निश्चित सीमित मूल्य k के करीब पहुंचने के लिए।सटीक गणितीय सूत्रीकरण ऑगस्टिन-लुइस कॉची द्वारा दिया गया था। 19 वीं शताब्दी में कॉची और सीमा की धारणा पर आधारित है। मान लीजिए कि ग्राफ में p पर एक ब्रेक या एक तेज धार नहीं है और यह न तो प्लंब है और न ही p के पास बहुत अधिक है। फिर k का एक अनूठा मान होता है जैसे कि, जैसे-जैसे h, 0 के पास जाता है, अंतर भागफल k के करीब और करीब हो जाता है, और h के आकार की तुलना में उनके बीच की दूरी नगण्य हो जाती है, यदि h काफी छोटा है। यह फ़ंक्शन f के लिए अंतर उद्धरणों की सीमा के रूप में ग्राफ में स्पर्शरेखा रेखा की ढलान की परिभाषा की ओर जाता है। यह सीमा x = a पर फ़ंक्शन f का व्युत्पन्न है, f(a) को दर्शाया गया है। यौगिक (derivative) का उपयोग करते हुए, स्पर्शरेखा रेखा के समीकरण को निम्नानुसार कहा जा सकता है:

y=f(a)+f'(a)(x-a).\,

कैलकुलस कार्यों के डेरिवेटिव (derivative) की गणना के लिए नियम प्रदान करता है जो सूत्रों द्वारा दिए गए हैं, जैसे कि पावर फ़ंक्शन, त्रिकोणमितीय कार्य, घातीय कार्य, लॉगरिदम और उनके विभिन्न संयोजनों। इस प्रकार, इन सभी कार्यों के रेखांकन के लिए स्पर्शरेखा के समीकरण, साथ ही साथ कई अन्य, कैलकुलस के तरीकों से पाए जा सकते हैं।

विधि कैसे विफल हो सकती है

कैलकुलस यह भी दर्शाता है कि उनके रेखांकन पर कार्य और बिंदु हैं जिनके लिए स्पर्शरेखा रेखा के ढलान को निर्धारित करने वाली सीमा मौजूद नहीं है। इन बिंदुओं के लिए फ़ंक्शन f गैर-विभेद्य है। विफल होने के लिए सीमाओं और डेरिवेटिव के आधार पर स्पर्शरेखाओं को खोजने की विधि के दो संभावित कारण हैं या तो ज्यामितीय स्पर्शरेखा मौजूद है, लेकिन यह एक ऊर्ध्वाधर रेखा है, जो कि बिंदु-ढलान के रूप में नहीं दी जा सकती है क्योंकि यह नहीं है। ढलान, या ग्राफ तीन व्यवहारों में से एक को प्रदर्शित करता है जो एक ज्यामितीय स्पर्शरेखा को रोकता है।

ग्राफ y = x^1/3 पहली संभावना को दिखाता है, यहां a = 0 पर अंतर भागफल h के बराबर है h^1/3/h = h^−2/3 , जो बहुत बड़ा हो जाता है क्योंकि h दृष्टिकोण 0, इस वक्र में मूल में एक स्पर्शरेखा रेखा होती है जो ऊर्ध्वाधर होती है।

ग्राफ y = x^2/3 एक और संभावना दिखाता है, इस ग्राफ में मूल में एक उभार (cusp) है। इसका मतलब यह है कि, जब h , 0 के पास पहुंचता है, तो x के संकेत के आधार पर a = 0 पर अंतर कोटिएंट प्लस या माइनस इन्फिनिटी का दृष्टिकोण होता है। इस प्रकार वक्र की दोनों शाखाएँ आधी ऊर्ध्वाधर रेखा के पास हैं, जिसके लिए y = 0, लेकिन कोई भी इस लाइन के नकारात्मक भाग के पास नहीं है। मूल रूप से, इस मामले में मूल में कोई स्पर्शरेखा नहीं है, लेकिन कुछ संदर्भ में एक इस रेखा को एक स्पर्शरेखा के रूप में, और यहां तक कि बीजगणितीय ज्यामिति में, एक डबल स्पर्शरेखा के रूप में मान सकता है।

ग्राफ y = | x | निरपेक्ष मान फ़ंक्शन में दो सीधी रेखाएं होती हैं, जिनमें विभिन्न ढलानों के साथ मूल में शामिल होते हैं। एक बिंदु Q के रूप में दाईं ओर से मूल के पास पहुंचता है, सेकेंट लाइन में हमेशा ढलान होता है। एक बिंदु क्यू के रूप में बाईं ओर से मूल के पास पहुंचता है, सेकेंट लाइन में हमेशा ढलान होता है। 1। इसलिए, मूल में ग्राफ के लिए कोई अद्वितीय स्पर्शरेखा नहीं है। दो अलग-अलग (लेकिन परिमित) ढलान को एक कोने कहा जाता है।

अंत में, चूंकि भिन्नता का अर्थ निरंतरता है, इसलिए विरोधाभासी स्थिति असंतोष का अर्थ गैर-अंतरतापूर्णता है। ऐसी किसी भी कूद या बिंदु असंतोष में कोई स्पर्शरेखा रेखा नहीं होगी। इसमें ऐसे मामले शामिल हैं जहां एक ढलान सकारात्मक अनंतता के करीब पहुंचता है जबकि दूसरा नकारात्मक अनंतता के करीब पहुंचता है, जिससे एक अनंत कूदता है

समीकरण

जब वक्र y = f (x) द्वारा दिया जाता है तो स्पर्शरेखा का ढलान होता है ${\frac {dy}{dx}},$ तो रैखिक समीकरण द्वारा#बिंदु -धीमी गति से

y-Y={\frac {dy}{dx}}(X)\cdot (x-X)

जहां (x, y) स्पर्शरेखा रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक हैं, और जहां व्युत्पन्न का मूल्यांकन किया जाता है $x=X$ .^[11] जब वक्र y = f (x) द्वारा दिया जाता है, तो स्पर्शरेखा रेखा समीकरण भी पाया जा सकता है^[12] विभाजित करने के लिए बहुपद विभाजन का उपयोग करके $f\,(x)$ द्वारा $(x-X)^{2}$ ;यदि शेष को निरूपित किया जाता है $g(x)$ , फिर स्पर्शरेखा रेखा का समीकरण द्वारा दिया गया है

y=g(x).

जब वक्र का समीकरण फॉर्म f (x, y) = 0 में दिया जाता है, तो ढलान का मान निहित भेदभाव द्वारा पाया जा सकता है, दे रहा है

{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}}.

एक बिंदु (x, y) पर स्पर्शरेखा रेखा का समीकरण जैसे कि f (x, y) = 0 तब है^[11]: ${\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot (x-X)+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot (y-Y)=0.$ यह समीकरण सच है अगर ${\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)=0$ लेकिन ${\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\neq 0$ (इस मामले में स्पर्शरेखा का ढलान अनंत है)।यदि ${\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)=0,$ स्पर्शरेखा रेखा को परिभाषित नहीं किया गया है और बिंदु (x, y) को विलक्षण कहा जाता है।

बीजगणितीय घटता के लिए, कम्प्यूटेशन को सजातीय निर्देशांक में परिवर्तित करके कुछ हद तक सरल किया जा सकता है। विशेष रूप से, वक्र के सजातीय समीकरण को G (x, y, z) = 0 होने दें, जहां G डिग्री n का एक सजातीय कार्य है।फिर, अगर (x, y, z) वक्र पर स्थित है, यूलर का प्रमेय का अर्थ है

{\frac {\partial g}{\partial x}}\cdot X+{\frac {\partial g}{\partial y}}\cdot Y+{\frac {\partial g}{\partial z}}\cdot Z=ng(X,Y,Z)=0.

यह इस प्रकार है कि स्पर्शरेखा रेखा का सजातीय समीकरण है

{\frac {\partial g}{\partial x}}(X,Y,Z)\cdot x+{\frac {\partial g}{\partial y}}(X,Y,Z)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,Z)\cdot z=0.

कार्टेशियन निर्देशांक में स्पर्शरेखा रेखा का समीकरण इस समीकरण में z = 1 सेट करके पाया जा सकता है।^[13] इसे बीजगणितीय घटता पर लागू करने के लिए, f (x, y) के रूप में लिखें

f=u_{n}+u_{n-1}+\dots +u_{1}+u_{0}\,

जहां प्रत्येक यू_r डिग्री आर की सभी शर्तों का योग है।वक्र का सजातीय समीकरण तब है

g=u_{n}+u_{n-1}z+\dots +u_{1}z^{n-1}+u_{0}z^{n}=0.\,

उपरोक्त समीकरण को लागू करना और z = 1 सेट करना पैदा करता है

{\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot x+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,1)=0

स्पर्शरेखा रेखा के समीकरण के रूप में।^[14] इस रूप में समीकरण अक्सर व्यवहार में उपयोग करने के लिए सरल होता है क्योंकि इसे लागू होने के बाद कोई और सरलीकरण की आवश्यकता नहीं होती है।^[13]

यदि वक्र को पैरामीट्रिक रूप से दिया जाता है

x=x(t),\quad y=y(t)

फिर स्पर्शरेखा का ढलान है

{\frac {dy}{dx}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}

स्पर्शरेखा रेखा के लिए समीकरण दे रहा है $\,t=T,\,X=x(T),\,Y=y(T)$ जैसा^[15]

{\frac {dx}{dt}}(T)\cdot (y-Y)={\frac {dy}{dt}}(T)\cdot (x-X).

यदि ${\frac {dx}{dt}}(T)={\frac {dy}{dt}}(T)=0,$ स्पर्शरेखा रेखा को परिभाषित नहीं किया गया है।हालांकि, यह हो सकता है कि स्पर्शरेखा रेखा मौजूद है और वक्र के एक अंतर्निहित समीकरण से गणना की जा सकती है।

एक वक्र के लिए सामान्य रेखा

स्पर्शरेखा के बिंदु पर एक वक्र के लिए स्पर्शरेखा रेखा के लंबवत रेखा को उस बिंदु पर वक्र के लिए सामान्य रेखा कहा जाता है।लंबवत रेखाओं की ढलानों में उत्पाद −1 होता है, इसलिए यदि वक्र का समीकरण

y = f (x) है तो सामान्य रेखा का ढलान है

-{\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}

और यह निम्नानुसार है कि सामान्य रेखा का समीकरण (x, y) है

(x-X)+{\frac {dy}{dx}}(y-Y)=0.

इसी तरह, यदि वक्र के समीकरण में फॉर्म f (x, y) = 0 है, तो सामान्य रेखा का समीकरण द्वारा दिया गया है^[16]

{\frac {\partial f}{\partial y}}(x-X)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(y-Y)=0.

यदि वक्र को पैरामीट्रिक रूप से दिया जाता है

x=x(t),\quad y=y(t)

फिर सामान्य रेखा का समीकरण है^[15]

${\frac {dx}{dt}}(x-X)+{\frac {dy}{dt}}(y-Y)=0.$

वक्रों के बीच कोण

एक बिंदु पर दो घटता के बीच का कोण जहां वे प्रतिच्छेद करते हैं, को उस बिंदु पर उनकी स्पर्शरेखा लाइनों के बीच के कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है। अधिक विशेष रूप से, दो वक्रों को एक बिंदु पर स्पर्शरेखा कहा जाता है यदि उनके पास एक बिंदु पर एक ही स्पर्शरेखा है, और ऑर्थोगोनल यदि उनकी स्पर्शरेखा रेखाएं ऑर्थोगोनल हैं।^[17]

एक बिंदु पर कई स्पर्शरेखा

Error creating thumbnail:

द लीमेन ट्रिसेक्ट्रिक्स: मूल में दो स्पर्शरेखा के साथ एक वक्र।

जब बिंदु एक विलक्षण बिंदु होता है, तो उपरोक्त सूत्र विफल होते हैं। इस मामले में वक्र की दो या अधिक शाखाएँ हो सकती हैं जो बिंदु से गुजरती हैं, प्रत्येक शाखा में अपनी स्पर्शरेखा रेखा होती है। जब बिंदु मूल होता है, तो इन पंक्तियों के समीकरणों को बीजगणितीय घटता के लिए पाया जा सकता है, जो मूल समीकरण से सभी लेकिन सबसे कम डिग्री की शर्तों को समाप्त करके गठित समीकरण को फैक्टर कर देता है। चूंकि किसी भी बिंदु को चर के परिवर्तन (या वक्र का अनुवाद करके) द्वारा मूल बनाया जा सकता है, यह किसी भी विलक्षण बिंदु पर स्पर्शरेखा लाइनों को खोजने के लिए एक विधि देता है।

उदाहरण के लिए, दाईं ओर दिखाए गए लीमैकॉन ट्रिसेक्ट्रिक्स का समीकरण है

(x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2}).\,

इसका विस्तार करना और डिग्री २ की शर्तों को समाप्त करना देता है

a^{2}(3x^{2}-y^{2})=0\,

जो, जब फैक्ट किया हुआ, बन जाता है

y=\pm {\sqrt {3}}x.

तो ये मूल के माध्यम से दो स्पर्शरेखा लाइनों के समीकरण हैं।^[18] जब वक्र स्व-क्रॉस नहीं होता है, तो एक संदर्भ बिंदु पर स्पर्शरेखा को अभी भी विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है क्योंकि वक्र उस बिंदु पर भिन्न नहीं है, हालांकि यह कहीं और अलग है। इस मामले में बाएं और दाएं डेरिवेटिव को व्युत्पन्न की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिस बिंदु पर इसका मूल्यांकन किया जाता है, वह क्रमशः बाएं (निम्न मान) या दाएं (उच्च मान) से संदर्भ बिंदु तक पहुंचता है। उदाहरण के लिए, वक्र y = | x | x = 0 पर भिन्न नहीं है: इसके बाएं और दाएं डेरिवेटिव में संबंधित ढलान −1 और 1 है; उन ढलानों के साथ उस बिंदु पर स्पर्शरेखा को बाएं और दाएं स्पर्शरेखा कहा जाता है।^[19] कभी -कभी बाएं और दाएं स्पर्शरेखा रेखाओं की ढलान समान होती है, इसलिए स्पर्शरेखा रेखाएं मेल खाती हैं। यह सच है, उदाहरण के लिए, वक्र y = x के लिए ^2/3, जिसके लिए x = 0 पर बाएं और दाएं दोनों डेरिवेटिव अनंत हैं;बाईं और दाएं स्पर्शरेखा रेखाओं दोनों में समीकरण x = 0 है।

एक अंतरिक्ष वक्र के लिए स्पर्शरेखा रेखा

गणित में, एक स्पर्शरेखा वेक्टर एक सदिश होता है जो किसी दिए गए बिंदु पर वक्र या सतह की स्पर्शरेखा होता है। स्पर्शरेखा सदिशों को Rⁿ में वक्रों के संदर्भ में वक्रों की विभेदक ज्यामिति में वर्णित किया गया है। अधिक आम तौर पर, स्पर्शरेखा वैक्टर एक अलग-अलग मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा स्थान के तत्व होते हैं। स्पर्शरेखा सदिशों को germ के संदर्भ में भी वर्णित किया जा सकता है। औपचारिक रूप से, बिंदु {\displaystyle x}x पर एक स्पर्शरेखा वेक्टर {\displaystyle x}x पर रोगाणुओं के सेट द्वारा परिभाषित बीजगणित की एक रैखिक व्युत्पत्ति है।

स्पर्शरेखा वृत्त

स्पर्शरेखा घेरे के दो जोड़े। आंतरिक रूप से और नीचे के बाहरी रूप से गैर-समान त्रिज्या के बाहरी रूप से tangent two सर्कल, दोनों एक ही सतह में, एक दूसरे के लिए स्पर्शरेखा कहा जाता है यदि वे केवल एक बिंदु पर मिलते हैं।बराबर, दो सर्कल, आर के रेडी के साथ_i और केंद्रों पर केंद्र (x_i, y_i), और i = 1, 2 के लिए कहा जाता है

File:Tangent circles.svg

Two pairs of tangent circles. Above internally and below externally tangent

\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}\pm r_{2}\right)^{2}.\,

दो सर्कल 'बाहरी रूप से स्पर्शरेखा' हैं यदि उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनके रेडी के योग के बराबर है।

\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}.\,

दो सर्कल 'आंतरिक रूप से स्पर्शरेखा' हैं यदि उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनके रेडी के बीच के अंतर के बराबर है।^[20]

$\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}.\,$

एक सतह पर स्पर्शरेखा सतह

किसी दिए गए बिंदु पर एक सतह पर स्पर्शरेखा सतह p को स्पर्शरेखा रेखा के अनुरूप तरीके से परिभाषित किया गया है। यह सतह p का सबसे अच्छा अनुमानित सतह है, और इसे P के करीब सतह पर 3 अलग-अलग बिंदुओं से गुजरने वाले सतह की सीमित स्थिति के रूप में प्राप्त किया जा सकता है क्योंकि ये बिंदु p में परिवर्तित होते हैं।

उच्च-आयामी कई गुना

अधिक आम तौर पर, एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस में के-आयामी कई गुना के प्रत्येक बिंदु पर एक के-आयामी स्पर्शरेखा स्थान होता है।

यह भी देखें

न्यूटन की विधि
सामान्य (ज्यामिति)
ऑस्कुलेटिंग वृत्त
ऑस्कुलेटिंग वक्र
लंबवत
उपस्पर्शी
सहायक रेखा
स्पर्शरेखा शंकु
स्पर्शरेखा कोण
स्पर्शरेखा घटक
वृत्त की स्पर्श रेखाएं
स्पर्शरेखा वेक्टर
बहुलता (गणित)#एक बहुमूल के निकट बहुपद फलन का व्यवहार
बीजगणितीय वक्र#एक बिंदु पर स्पर्शरेखा

संदर्भ

↑ Leibniz, G., "Nova Methodus pro Maximis et Minimis", Acta Eruditorum, Oct. 1684.
↑ Dan Sloughter (2000) . "Best Affine Approximations"
↑ Euclid. "Euclid's Elements". Retrieved 1 June 2015.
↑ ^4.0 ^4.1 Shenk, Al. "e-CALCULUS Section 2.8" (PDF). p. 2.8. Retrieved 1 June 2015.
↑ Katz, Victor J. (2008). A History of Mathematics (3rd ed.). Addison Wesley. p. 510. ISBN 978-0321387004.
↑ Wolfson, Paul R. (2001). "The Crooked Made Straight: Roberval and Newton on Tangents". The American Mathematical Monthly. 108 (3): 206–216. doi:10.2307/2695381. JSTOR 2695381.
↑ Katz, Victor J. (2008). A History of Mathematics (3rd ed.). Addison Wesley. pp. 512–514. ISBN 978-0321387004.
↑ Noah Webster, American Dictionary of the English Language (New York: S. Converse, 1828), vol. 2, p. 733, [1]
↑ Descartes, René (1954). The geometry of René Descartes. Courier Dover. p. 95. ISBN 0-486-60068-8. {{cite book}}: External link in |publisher= (help)
↑ R. E. Langer (October 1937). "Rene Descartes". American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 44 (8): 495–512. doi:10.2307/2301226. JSTOR 2301226.
↑ ^11.0 ^11.1 Edwards Art. 191
↑ Strickland-Constable, Charles, "A simple method for finding tangents to polynomial graphs", Mathematical Gazette, November 2005, 466–467.
↑ ^13.0 ^13.1 Edwards Art. 192
↑ Edwards Art. 193
↑ ^15.0 ^15.1 Edwards Art. 196
↑ Edwards Art. 194
↑ Edwards Art. 195
↑ Edwards Art. 197
↑ Thomas, George B. Jr., and Finney, Ross L. (1979), Calculus and Analytic Geometry, Addison Wesley Publ. Co.: p. 140.
↑ "Circles For Leaving Certificate Honours Mathematics by Thomas O'Sullivan 1997".

सूत्रों का कहना है

J. Edwards (1892). Differential Calculus. London: MacMillan and Co. pp. 143 ff.

बाहरी संबंध

"Tangent line", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Tangent Line". MathWorld.
Tangent to a circle With interactive animation
Tangent and first derivative — An interactive simulation

[1] Leibniz, G., "Nova Methodus pro Maximis et Minimis", Acta Eruditorum, Oct. 1684.

[2] Dan Sloughter (2000) . "Best Affine Approximations"

[3] Euclid. "Euclid's Elements". Retrieved 1 June 2015.

[Shenk-4] 4.0 ^4.1 Shenk, Al. "e-CALCULUS Section 2.8" (PDF). p. 2.8. Retrieved 1 June 2015.

[5] Katz, Victor J. (2008). A History of Mathematics (3rd ed.). Addison Wesley. p. 510. ISBN 978-0321387004.

[6] Wolfson, Paul R. (2001). "The Crooked Made Straight: Roberval and Newton on Tangents". The American Mathematical Monthly. 108 (3): 206–216. doi:10.2307/2695381. JSTOR 2695381.

[7] Katz, Victor J. (2008). A History of Mathematics (3rd ed.). Addison Wesley. pp. 512–514. ISBN 978-0321387004.

[8] Noah Webster, American Dictionary of the English Language (New York: S. Converse, 1828), vol. 2, p. 733, [1]

[9] Descartes, René (1954). The geometry of René Descartes. Courier Dover. p. 95. ISBN 0-486-60068-8. {{cite book}}: External link in |publisher= (help)

[10] R. E. Langer (October 1937). "Rene Descartes". American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 44 (8): 495–512. doi:10.2307/2301226. JSTOR 2301226.

[E191-11] 11.0 ^11.1 Edwards Art. 191

[12] Strickland-Constable, Charles, "A simple method for finding tangents to polynomial graphs", Mathematical Gazette, November 2005, 466–467.

[E192-13] 13.0 ^13.1 Edwards Art. 192

[E193-14] Edwards Art. 193

[E196-15] 15.0 ^15.1 Edwards Art. 196

[E194-16] Edwards Art. 194

[E195-17] Edwards Art. 195

[E197-18] Edwards Art. 197

[19] Thomas, George B. Jr., and Finney, Ross L. (1979), Calculus and Analytic Geometry, Addison Wesley Publ. Co.: p. 140.

[20] "Circles For Leaving Certificate Honours Mathematics by Thomas O'Sullivan 1997".

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

v t e पथरी
Prealculus	द्विपद प्रमेय अवतल कार्य निरंतर कार्य फैक्टरियल परिमित अंतर मुक्त चर और बाध्य चर एक फ़ंक्शन का ग्राफ रैखिक प्रकार्य रेडियन रोले का प्रमेय सेकंट ढलान स्पर्शरेखा
सीमा	अनिश्चित रूप एक फ़ंक्शन की सीमा एकतरफा सीमा एक अनुक्रम की सीमा सन्निकटन का आदेश ((, Δ)-सीमा की सीमा
अंतर कलन	व्युत्पन्न दूसरा व्युत्पन्न आंशिक व्युत्पन्न अंतर विभेदक ऑपरेटर मतलब मान प्रमेय संकेतन Leibniz का अंकन न्यूटन की संकेतन भेदभाव के नियम रैखिकता शक्ति योग चेन l'hôpital's उत्पाद जनरल लीबनिज़ का नियम भागफल अन्य तकनीकें निहित भेदभाव उलटा कार्य और भेदभाव लॉगरिदमिक व्युत्पन्न संबंधित दरें स्थिर बिंदु पहला व्युत्पन्न परीक्षण दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण चरम मूल्य प्रमेय मैक्सिमा और मिनिमा आगे के आवेदन न्यूटन की विधि टेलर का प्रमेय अंतर समीकरण साधारण अंतर समीकरण आंशिक विभेदक समीकरण स्टोचस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन
समाकलन गणित	Antiderivative Arc length Riemann integral Basic properties Constant of integration Fundamental theorem of calculus Differentiating under the integral sign Integration by parts Integration by substitution trigonometric Euler Tangent half-angle substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Washer method Shell method Integral equation Integro-differential equation
वेक्टर कैलकुलस	डेरिवेटिव कर्ल दिशात्मक व्युत्पन्न विचलन ढाल लाप्लासियन बुनियादी प्रमेय लाइन इंटीग्रल ग्रीन स्टोक्स' गॉस '
बहुक्रियाशील पथरी	विचलन प्रमेय ज्यामितीय हेसियन मैट्रिक्स जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक Lagrange गुणक लाइन इंटीग्रल मैट्रिक्स एकाधिक अभिन्न आंशिक व्युत्पन्न सतह अभिन्न वॉल्यूम इंटीग्रल उन्नत विषय विभेदक रूप बाहरी व्युत्पन्न सामान्यीकृत स्टोक्स 'प्रमेय टेंसर कैलकुलस
अनुक्रम और श्रृंखला	अंकगणित-ज्यामितीय अनुक्रम श्रृंखला के प्रकार वैकल्पिक द्विपद फूरियर ज्यामितीय हार्मोनिक अनंत पावर Maclaurin टेलर दूरबीन अभिसरण के परीक्षण हाबिल अल्टरनेटिंग सीरीज़ Cauchy संघनन प्रत्यक्ष तुलना Dirichlet's अभिन्न सीमा तुलना अनुपात रूट शब्द
विशेष कार्य और संख्या	बर्नौली नंबर ई (गणितीय स्थिरांक) घातांक प्रकार्य प्राकृतिक स्टर्लिंग का अनुमान
कैलकुलस का इतिहास	पर्याप्तता ब्रुक टेलर कॉलिन मैक्लोरिन बीजगणित की सामान्यता गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ Infinitesimal Infinitesimal galulus आइजैक न्यूटन फ्लक्सियन निरंतरता का नियम लियोनहार्ड यूलर प्रवाह की विधि यांत्रिक प्रमेय की विधि
सूचियों	भेदभाव नियम घातीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कहीन कार्यों के अभिन्न अंग की सूची लघुगणक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कसंगत कार्यों के अभिन्न अंग की सूची त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची सेकंट सेकेंट क्यूबेड सीमाओं की सूची अभिन्न की सूची
विविध विषय	जटिल पथरी समोच्च अभिन्न अंतर ज्यामिति कई गुना वक्रता घटता सतहों का टेंसर यूलर -मेक्लॉरिन फॉर्मूला गेब्रियल का सींग एकीकरण मधुमक्खी प्रमाण है कि 22/7 से अधिक Regiomontanus 'कोण अधिकतमकरण समस्या स्टाइनमेट्ज़ सॉलिड

Anonymous

Search

स्पर्शरेखा: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

Latest revision as of 16:21, 18 August 2022

Contents

इतिहास

एक सतह वक्र के लिए स्पर्शरेखा रेखा

विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण

सहज ज्ञान युक्त विवरण

अधिक कठोर विवरण

विधि कैसे विफल हो सकती है

समीकरण

एक वक्र के लिए सामान्य रेखा

वक्रों के बीच कोण

एक बिंदु पर कई स्पर्शरेखा

एक अंतरिक्ष वक्र के लिए स्पर्शरेखा रेखा

स्पर्शरेखा वृत्त

एक सतह पर स्पर्शरेखा सतह

उच्च-आयामी कई गुना

यह भी देखें

संदर्भ

सूत्रों का कहना है

बाहरी संबंध

Navigation

Navigation

Wiki tools

Wiki tools

@@ Line 1: / Line 1: @@
-{{Use dmy dates|date=September 2021}}
-{{Short description|In mathematics, straight line touching a plane curve without crossing it}}
-{{About||the tangent function|Tangent (trigonometry)|other uses|Tangent (disambiguation)}}
 [[Image:Tangent to a curve.svg|220px|right|thumb|एक वक्र के लिए स्पर्शरेखा।लाल रेखा एक लाल बिंदु द्वारा चिह्नित बिंदु पर वक्र के लिए स्पर्शरेखा है।]]
 [[Image:Image Tangent-plane.svg|220px|right|thumb|एक गोले के लिए स्पर्शरेखा विमान]]
-ज्यामिति में, एक दिए गए बिंदु पर एक सतह वक्र के लिए '''स्पर्शरेखा रेखा''' (या simply '''स्पर्शरेखा''') सीधी रेखा है जो उस बिंदु पर "वक्र को स्पर्श" है। लाइबनिट्स (Leibniz) ने इसे वक्र पर असीम रूप से करीबी बिंदुओं की एक जोड़ी के माध्यम से लाइन के रूप में परिभाषित किया।<ref>Leibniz, G., "[[Nova Methodus pro Maximis et Minimis]]", ''[[Acta Eruditorum]]'', Oct. 1684.</ref> अधिक सटीक रूप से, एक सीधी रेखा को एक वक्र का एक स्पर्शरेखा कहा जाता है {{nowrap|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} एक बिंदु पर {{nowrap|''x'' {{=}} ''c''}} यदि रेखा बिंदु से गुजरती है {{nowrap|(''c'', ''f''(''c''))}} वक्र पर और ढलान है {{nowrap|''f''{{'}}(''c'')}}, जहां f{{'}} f का व्युत्पन्न है। इसी तरह की परिभाषा एन-डायमेंशनल (n-dimensional) यूक्लिडियन स्पेस में अंतरिक्ष घटता और घटता पर लागू होती है।
+'''ज्यामिति में''', किसी दिए गए बिंदु पर एक समतल वक्र के लिए एक '''स्पर्शरेखा''' (या मात्र स्पर्शरेखा) एक सीधी रेखा होती है जो उस बिंदु पर वक्र को "केवल स्पर्श" करती है। लाइबनिट्स (Leibniz) ने इसे वक्र पर असीम रूप से करीबी बिंदुओं की एक जोड़ी के माध्यम से लाइन के रूप में परिभाषित किया।<ref>Leibniz, G., "[[Nova Methodus pro Maximis et Minimis]]", ''[[Acta Eruditorum]]'', Oct. 1684.</ref> अधिक सटीक रूप से, एक सीधी रेखा को एक वक्र का एक स्पर्शरेखा कहा जाता है {{nowrap|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} एक बिंदु पर {{nowrap|''x'' {{=}} ''c''}} यदि रेखा बिंदु से गुजरती है {{nowrap|(''c'', ''f''(''c''))}} वक्र पर और ढलान है {{nowrap|''f''{{'}}(''c'')}}, जहां f{{'}} f का व्युत्पन्न है। इसी तरह की परिभाषा एन-डायमेंशनल (n-dimensional) यूक्लिडियन स्पेस में अंतरिक्ष वक्र (space curve and curves in n-dimensional) पर लागू होती है।
 जैसा कि यह उस बिंदु से गुजरता है जहां स्पर्शरेखा रेखा और वक्र मिलते हैं, जिसे 'स्पर्शरेखा का बिंदु' कहा जाता है, स्पर्शरेखा रेखा वक्र के समान दिशा में जा रही है, और इस प्रकार उस पर वक्र के लिए सबसे अच्छी सीधी रेखा का अनुमान है।बिंदु।
-एक अलग वक्र पर एक बिंदु के लिए स्पर्शरेखा रेखा को एक स्पर्शरेखा रेखा सन्निकटन के रूप में भी सोचा जा सकता है, Affine फ़ंक्शन का ग्राफ जो दिए गए बिंदु पर मूल फ़ंक्शन को सबसे अच्छा लगता है।<ref>Dan Sloughter (2000) . "[https://math.dartmouth.edu/opencalc2/dcsbook/c3pdf/sec31.pdf Best Affine Approximations]"</ref>
+एक अलग वक्र पर एक बिंदु के लिए स्पर्शरेखा रेखा को एक स्पर्शरेखा रेखा सन्निकटन के रूप में भी सोचा जा सकता है, एफाइन फलन (affine function) का ग्राफ जो दिए गए बिंदु पर मुख्य फलन को सबसे अच्छा लगता है।<ref>Dan Sloughter (2000) . "[https://math.dartmouth.edu/opencalc2/dcsbook/c3pdf/sec31.pdf Best Affine Approximations]"</ref>  इसी तरह, एक दिए गए बिंदु पर एक सतह पर स्पर्शरेखा सतह है जो उस बिंदु पर सतह को छूता है। एक स्पर्शरेखा की अवधारणा डिफरेंशियल ज्यामिति में सबसे मौलिक धारणाओं में से एक है और इसे बड़े पैमाने पर सामान्यीकृत किया गया है; {{Crossreference|see [[Tangent space]]}}।
-इसी तरह, एक दिए गए बिंदु पर एक सतह पर स्पर्शरेखा विमान विमान है जो उस बिंदु पर सतह को छूता है।एक स्पर्शरेखा की अवधारणा अंतर ज्यामिति में सबसे मौलिक धारणाओं में से एक है और इसे बड़े पैमाने पर सामान्यीकृत किया गया है; {{Crossreference|see [[Tangent space]]}}।
-स्पर्शरेखा शब्द लैटिन से आता है {{lang|la|[[wikt:en:tangere#Latin|tangere]]}},  छूना ।
+स्पर्शरेखा शब्द लैटिन  {{lang|la|[[wikt:en:tangere#Latin|tangere]]}} 'स्पर्श' से आता है ।
 == इतिहास ==
-यूक्लिड स्पर्शरेखा के कई संदर्भ बनाता है ({{lang|grc|ἐφαπτομένη}} Euclid के तत्वों की पुस्तक III में एक सर्कल के लिए ephaptoménē) | तत्व (सी। 300 ईसा पूर्व)।<ref>{{cite web|last1=Euclid|title=Euclid's Elements|url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html|access-date=1 June 2015}}</ref> अपोलोनियस के काम के शंकुधारी (सी। 225 ईसा पूर्व) में वह एक स्पर्शरेखा को एक लाइन के रूप में परिभाषित करता है जैसे कि कोई अन्य सीधी रेखा नहीं कर सकती है
+यूक्लिड स्पर्शरेखा के कई संदर्भ बनाता है Euclid के तत्वों की पुस्तक-III में एक सर्कल के लिए सिद्धांत ({{lang|grc|ἐφαπτομένη}} ''ephaptoménē'')  (c. 300 ईसा पूर्व)।<ref>{{cite web|last1=Euclid|title=Euclid's Elements|url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html|access-date=1 June 2015}}</ref> अपोलोनियस के काम के शंकुधारी (सी। 225 ईसा पूर्व) में वह एक स्पर्शरेखा को एक लाइन के रूप में परिभाषित करता है जैसे कि कोई अन्य सीधी रेखा नहीं कर सकती है इसके और वक्र के बीच गिरना।<ref name="Shenk">{{cite web|last1=Shenk|first1=Al|title=e-CALCULUS Section 2.8|url=http://math.ucsd.edu/~ashenk/Section2_8.pdf|pages=2.8|access-date=1 June 2015}}</ref> आर्किमिडीज (c. 287 - c. 212 ईसा पूर्व) वक्र के साथ चलते हुए एक बिंदु के पथ पर विचार करके एक आर्किमेडियन सर्पिल को स्पर्शरेखा मिला।<ref name="Shenk"/>
-इसके और वक्र के बीच गिरना।<ref name="Shenk">{{cite web|last1=Shenk|first1=Al|title=e-CALCULUS Section 2.8|url=http://math.ucsd.edu/~ashenk/Section2_8.pdf|pages=2.8|access-date=1 June 2015}}</ref>
-आर्किमिडीज (सी। 287 - सी। 212 ईसा पूर्व) वक्र के साथ चलते हुए एक बिंदु के पथ पर विचार करके एक आर्किमेडियन सर्पिल को स्पर्शरेखा मिला।<ref name="Shenk"/>
-के दशक में फर्मेट ने विश्लेषण में स्पर्शरेखा और अन्य समस्याओं की गणना करने के लिए पर्याप्तता की तकनीक विकसित की और इसका उपयोग परबोला को स्पर्शरेखा की गणना करने के लिए किया।पर्याप्तता की तकनीक के बीच अंतर लेने के समान है <math>f(x+h)</math> तथा <math>f(x)</math> और की शक्ति से विभाजित <math>h</math>।स्वतंत्र रूप से डेसकार्टेस ने अवलोकन के आधार पर मानदंडों की अपनी विधि का उपयोग किया कि एक सर्कल की त्रिज्या हमेशा सर्कल के लिए सामान्य होती है।<ref>{{cite book|last=Katz|first=Victor J.|year=2008|title=A History of Mathematics|edition=3rd|publisher=Addison Wesley|isbn=978-0321387004|page=510}}</ref>
+के दशक में फर्मेट ने विश्लेषण में स्पर्शरेखा और अन्य समस्याओं की गणना करने के लिए पर्याप्तता की तकनीक विकसित की और इसका उपयोग परवलय  को स्पर्शरेखा की गणना करने के लिए किया। पर्याप्तता की तकनीक के बीच अंतर लेने के समान है <math>f(x+h)</math> तथा <math>f(x)</math> और <math>h</math> की घात  से विभाजित करने के समान है।   स्वतंत्र रूप से डेसकार्टेस ने अवलोकन के आधार पर मानदंडों की अपनी विधि का उपयोग किया कि एक वृत्त की त्रिज्या हमेशा वृत्त के लिए सामान्य होती है।<ref>{{cite book|last=Katz|first=Victor J.|year=2008|title=A History of Mathematics|edition=3rd|publisher=Addison Wesley|isbn=978-0321387004|page=510}}</ref> इन विधियों ने 17 वीं शताब्दी में विभेदक कलन (Differential calculus) के विकास के नेतृत्व में कई लोगों ने योगदान दिया। रोबर्वल ने स्पर्शरेखा को चित्रित करने की एक सामान्य विधि की खोज की, एक वक्र पर विचार करके एक चलती बिंदु द्वारा वर्णित, जिसकी गति कई सरल गतियों का परिणाम है।<ref>{{cite journal|last=Wolfson|first=Paul R.|year=2001|title=The Crooked Made Straight: Roberval and Newton on Tangents| journal=The American Mathematical Monthly | volume=108 | number=3 | pages=206–216 | doi=10.2307/2695381|jstor=2695381}}</ref> रेने-फ्रांस्वा डे स्लूस और जोहान्स हड ने स्पर्शरेखा को खोजने के लिए बीजगणितीय एल्गोरिदम पाया।<ref>{{cite book|last=Katz|first=Victor J.|year=2008|title=A History of Mathematics|edition=3rd|publisher=Addison Wesley|isbn=978-0321387004|pages=512–514}}</ref> आगे के घटनाक्रम में जॉन वालिस और इसहाक बैरो शामिल थे, जो इसहाक न्यूटन और गॉटफ्रीड लीबनिज के सिद्धांत के लिए अग्रणी थे।
-इन विधियों ने 17 वीं शताब्दी में अंतर पथरी के विकास का नेतृत्व किया।कई लोगों ने योगदान दिया।रोबर्वल ने स्पर्शरेखा को चित्रित करने की एक सामान्य विधि की खोज की, एक वक्र पर विचार करके एक चलती बिंदु द्वारा वर्णित, जिसकी गति कई सरल गतियों का परिणाम है।<ref>{{cite journal|last=Wolfson|first=Paul R.|year=2001|title=The Crooked Made Straight: Roberval and Newton on Tangents| journal=The American Mathematical Monthly | volume=108 | number=3 | pages=206–216 | doi=10.2307/2695381|jstor=2695381}}</ref>
-रेने-फ्रांस्वा डे स्लूस और जोहान्स हड ने स्पर्शरेखा को खोजने के लिए बीजगणितीय एल्गोरिदम पाया।<ref>{{cite book|last=Katz|first=Victor J.|year=2008|title=A History of Mathematics|edition=3rd|publisher=Addison Wesley|isbn=978-0321387004|pages=512–514}}</ref> आगे के घटनाक्रम में जॉन वालिस और इसहाक बैरो शामिल थे, जो इसहाक न्यूटन और गॉटफ्रीड लीबनिज के सिद्धांत के लिए अग्रणी थे।
-एक स्पर्शरेखा की एक 1828 की परिभाषा एक सही रेखा थी जो एक वक्र को छूती है, लेकिन जब उत्पादित होने पर, इसे काटता नहीं है।<ref>Noah Webster, ''American Dictionary of the English Language'' (New York: S. Converse, 1828), vol. 2, p. 733, [https://archive.org/stream/americandictiona02websrich#page/n733/mode/2up]</ref> यह पुरानी परिभाषा विभक्ति बिंदुओं को किसी भी स्पर्शरेखा होने से रोकती है।इसे खारिज कर दिया गया है और आधुनिक परिभाषाएँ लीबनिज़ के बराबर हैं, जिन्होंने वक्र पर असीम रूप से करीबी बिंदुओं की एक जोड़ी के माध्यम से स्पर्शरेखा रेखा को परिभाषित किया।
+एक स्पर्शरेखा की एक 1828 की परिभाषा एक सही रेखा थी जो एक वक्र को छूती है, लेकिन जब उत्पादित होने पर, इसे काटता नहीं है।<ref>Noah Webster, ''American Dictionary of the English Language'' (New York: S. Converse, 1828), vol. 2, p. 733, [https://archive.org/stream/americandictiona02websrich#page/n733/mode/2up]</ref> यह पुरानी परिभाषा विभक्ति बिंदुओं को किसी भी स्पर्शरेखा होने से रोकती है। इसे खारिज कर दिया गया है और आधुनिक परिभाषाएँ लीबनिज़ के बराबर हैं, जिन्होंने वक्र पर असीम रूप से करीबी बिंदुओं की एक जोड़ी के माध्यम से स्पर्शरेखा रेखा को परिभाषित किया।
-== एक विमान वक्र के लिए स्पर्शरेखा रेखा{{anchor|Line}}==
+== एक सतह वक्र के लिए स्पर्शरेखा रेखा==
-{{further|Differentiable curve#Tangent vector|Frenet–Serret formulas}}
 [[Image:CIRCLE LINES-en.svg|thumb|220px|एक स्पर्शरेखा, एक कॉर्ड, और एक सर्कल के लिए एक सेकंड]]
-सहज ज्ञान युक्त धारणा कि एक स्पर्शरेखा रेखा एक वक्र को छूती है, दो बिंदुओं, ए और बी से गुजरने वाली सीधी रेखाओं (सेकंट लाइनों) के अनुक्रम पर विचार करके अधिक स्पष्ट किया जा सकता है, जो फ़ंक्शन वक्र पर झूठ बोलते हैं। एक पर स्पर्शरेखा की सीमा होती है जब बिंदु बी अनुमानित करता है या ए को जाता है। स्पर्शरेखा रेखा का अस्तित्व और विशिष्टता एक निश्चित प्रकार की गणितीय चिकनाई पर निर्भर करती है, जिसे भिन्नता के रूप में जाना जाता है। उदाहरण के लिए, यदि दो गोलाकार आर्क एक तेज बिंदु (एक शीर्ष) पर मिलते हैं, तो वर्टेक्स पर कोई विशिष्ट रूप से परिभाषित स्पर्शरेखा नहीं है क्योंकि सेकेंट लाइनों की प्रगति की सीमा उस दिशा पर निर्भर करती है जिसमें बिंदु बी वर्टेक्स के पास पहुंचता है।
+सहज ज्ञान युक्त धारणा कि एक स्पर्शरेखा रेखा एक वक्र को छूती है, दो बिंदुओं, A और B से गुजरने वाली सीधी रेखाओं (छेदक लाइनों) के अनुक्रम पर विचार करके अधिक स्पष्ट किया जा सकता है, जो फ़ंक्शन वक्र पर स्थित हैं। एक पर स्पर्शरेखा की सीमा होती है जब बिंदु B अनुमानित करता है या A को जाता है। स्पर्शरेखा का अस्तित्व और विशिष्टता एक निश्चित प्रकार की गणितीय सरलता पर निर्भर करती है, जिसे भिन्नता के रूप में जाना जाता है। उदाहरण के लिए, यदि दो गोलाकार चाप (arcs) एक नुकीले बिंदु (एक शीर्ष) पर मिलते हैं, तो शीर्ष पर कोई विशिष्ट रूप से परिभाषित स्पर्शरेखा नहीं है क्योंकि छेदक लाइनों की प्रगति की सीमा उस दिशा पर निर्भर करती है जिसमें बिंदु B शीर्ष के पास पहुंचता है।
-अधिकांश बिंदुओं पर, स्पर्शरेखा इसे पार किए बिना वक्र को छूती है (हालांकि यह, जब जारी रह सकती है, तो स्पर्शरेखा के बिंदु से दूर अन्य स्थानों पर वक्र को पार करें)। एक बिंदु जहां स्पर्शरेखा (इस बिंदु पर) वक्र को पार करती है, को एक विभक्ति बिंदु कहा जाता है। सर्कल, परबोलस, हाइपरबोलस और दीर्घवृत्त में कोई विभक्ति बिंदु नहीं होता है, लेकिन अधिक जटिल घटता होता है, जैसे कि क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ होता है, जिसमें बिल्कुल एक विभक्ति बिंदु होता है, या एक साइनसॉइड होता है, जिसमें प्रत्येक अवधि के अनुसार दो विभक्ति बिंदु होते हैं। साइन।
+अधिकांश बिंदुओं पर, स्पर्शरेखा इसे पार किए बिना वक्र को छूती है (हालांकि यह, जब जारी रह सकती है, तो स्पर्शरेखा के बिंदु से दूर अन्य स्थानों पर वक्र को पार कर सकती है।) एक बिंदु जहां स्पर्शरेखा (इस बिंदु पर) वक्र को पार करती है, को एक विभक्ति बिंदु कहा जाता है। वृत्त, परवलय, अतिपरवलय और दीर्घवृत्त में कोई विभक्ति बिंदु नहीं होता है, लेकिन अधिक जटिल होता है, जैसे कि क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ होता है, जिसमें बिल्कुल एक विभक्ति बिंदु होता है, या एक साइनसॉइड (sinusoid,) होता है, जिसमें प्रत्येक अवधि के अनुसार दो विभक्ति बिंदु ज्या (sine) होते हैं।
 इसके विपरीत, ऐसा हो सकता है कि वक्र पूरी तरह से एक सीधी रेखा के एक तरफ है जो उस पर एक बिंदु से गुजरता है, और फिर भी यह सीधी रेखा एक स्पर्शरेखा रेखा नहीं है। यह मामला है, उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज के शीर्ष से गुजरने वाली एक पंक्ति के लिए और इसे अन्यथा नहीं, जहां ऊपर बताए गए कारणों के लिए स्पर्शरेखा रेखा मौजूद नहीं है। उत्तल ज्यामिति में, ऐसी लाइनों को सहायक लाइनें कहा जाता है।
@@ Line 37: / Line 28: @@
 === विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण ===
-स्पर्शरेखा रेखा की सीमा के रूप में स्पर्शरेखा रेखा का ज्यामितीय विचार विश्लेषणात्मक तरीकों के लिए प्रेरणा के रूप में कार्य करता है जो स्पष्ट रूप से स्पर्शरेखा रेखाओं को खोजने के लिए उपयोग किए जाते हैं।एक ग्राफ, या स्पर्शरेखा रेखा की समस्या के लिए स्पर्शरेखा रेखा को खोजने का सवाल, 17 वीं शताब्दी में कैलकुलस के विकास के लिए अग्रणी केंद्रीय प्रश्नों में से एक था।उनकी '' ज्यामिति '' की दूसरी पुस्तक में, रेने डेसकार्टेस<ref>{{cite book |publisher=Courier [http://store.doverpublications.com/0486600688.html Dover] |isbn=0-486-60068-8 |pages=95 |last=Descartes |first=René |title=The geometry of René Descartes |year=1954 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/geometryofrenede00rend/page/95 }}</ref> S: FR: PAGE: Descartes la Géométrie.djvu/52 | एक वक्र के लिए स्पर्शरेखा के निर्माण की समस्या के बारे में कहा, और मैं कहता हूं कि यह न केवल ज्यामिति में सबसे उपयोगी और सबसे सामान्य समस्या है जो मुझे पता है, लेकिन यहां तक कि मुझे भी पता हैकि मैं कभी जानना चाहता हूं।<ref>{{cite journal |author=R. E. Langer |date=October 1937 |title=Rene Descartes |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=44 |issue=8 |pages=495–512 |publisher=Mathematical Association of America |doi=10.2307/2301226 |jstor=2301226}}</ref>
+स्पर्शरेखा रेखा की सीमा के रूप में स्पर्शरेखा रेखा का ज्यामितीय विचार विश्लेषणात्मक तरीकों के लिए प्रेरणा के रूप में कार्य करता है जो स्पष्ट रूप से स्पर्शरेखा रेखाओं को खोजने के लिए उपयोग किए जाते हैं।एक ग्राफ, या स्पर्शरेखा रेखा की समस्या के लिए स्पर्शरेखा रेखा को खोजने का सवाल, 17 वीं शताब्दी में कैलकुलस के विकास के लिए अग्रणी केंद्रीय प्रश्नों में से एक था।उनकी '' ज्यामिति '' की दूसरी पुस्तक में,<ref>{{cite book |publisher=Courier [http://store.doverpublications.com/0486600688.html Dover] |isbn=0-486-60068-8 |pages=95 |last=Descartes |first=René |title=The geometry of René Descartes |year=1954 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/geometryofrenede00rend/page/95 }}</ref>  रेने डेसकार्टेस ने एक वक्र के लिए स्पर्शरेखा के निर्माण की समस्या के बारे में कहा, "और मैं कहता हूं कि यह न केवल ज्यामिति में सबसे उपयोगी और सबसे सामान्य समस्या है जो मुझे पता है, लेकिन यहां तक कि मुझे भी पता है कि मैं कभी जानना चाहता हूं।" <ref>{{cite journal |author=R. E. Langer |date=October 1937 |title=Rene Descartes |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=44 |issue=8 |pages=495–512 |publisher=Mathematical Association of America |doi=10.2307/2301226 |jstor=2301226}}</ref>
 ==== सहज ज्ञान युक्त विवरण ====
-मान लीजिए कि एक वक्र को एक फ़ंक्शन के ग्राफ के रूप में दिया जाता है, y = f (x)।बिंदु p = (a, f (a)) पर स्पर्शरेखा रेखा को खोजने के लिए, वक्र पर एक और पास के बिंदु q = (a + h, f (a + h)) पर विचार करें।पी और क्यू से गुजरने वाली सेकेंड लाइन का ढलान अंतर भागफल के बराबर है
+मान लीजिए कि एक वक्र को एक फ़ंक्शन के ग्राफ के रूप में दिया जाता है, y = f (x) बिंदु p = (a, f (a)) पर स्पर्शरेखा रेखा को खोजने के लिए, वक्र पर एक और पास के बिंदु q = (a + h, f (a + h)) पर विचार करें। p और q से गुजरने वाली छेदक लाइन का ढलान अंतर भागफल के बराबर है
 : <math>\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.</math>
-जैसे -जैसे बिंदु q होता है, P, जो h को छोटा और छोटा बनाने से मेल खाती है, अंतर भागफल को एक निश्चित सीमित मूल्य k से संपर्क करना चाहिए, जो बिंदु p पर स्पर्शरेखा रेखा का ढलान है।यदि k ज्ञात है, तो स्पर्शरेखा रेखा का समीकरण बिंदु-ढलान के रूप में पाया जा सकता है:
+जैसे-जैसे बिंदु q, p के पास पहुंचता है, जो h को छोटा और छोटा बनाने के लिए संगत है, अंतर भागफल को एक निश्चित सीमित मान k से संपर्क करना चाहिए, जो बिंदु p पर स्पर्शरेखा रेखा का ढलान है। यदि k ज्ञात है, तो स्पर्शरेखा रेखा का समीकरण बिंदु-ढलान के रूप में पाया जा सकता है:
 : <math> y-f(a) = k(x-a).\,</math>
 ==== अधिक कठोर विवरण ====
-पूर्ववर्ती तर्क को कठोर बनाने के लिए, किसी को यह समझाना होगा कि अंतर भागफल का क्या मतलब है एक निश्चित सीमित मूल्य k के करीब पहुंचने के लिए।सटीक गणितीय सूत्रीकरण ऑगस्टिन-लुइस कॉची द्वारा दिया गया था। 19 वीं शताब्दी में कॉची और सीमा की धारणा पर आधारित है।मान लीजिए कि ग्राफ में पी पर एक ब्रेक या एक तेज धार नहीं है और यह न तो प्लंब है और न ही पी के पास बहुत अधिक है।फिर k का एक अनूठा मान होता है जैसे कि, जैसे -जैसे H 0 के पास जाता है, अंतर भागफल K के करीब और करीब हो जाता है, और H के आकार की तुलना में उनके बीच की दूरी नगण्य हो जाती है, यदि H काफी छोटा है।यह फ़ंक्शन f के लिए अंतर उद्धरणों की सीमा के रूप में ग्राफ में स्पर्शरेखा रेखा की ढलान की परिभाषा की ओर जाता है।यह सीमा X = a पर फ़ंक्शन f का व्युत्पन्न है, f & nbsp; ′ (a) को दर्शाया गया है।डेरिवेटिव का उपयोग करते हुए, स्पर्शरेखा रेखा के समीकरण को निम्नानुसार कहा जा सकता है:
+पूर्ववर्ती तर्क को कठोर बनाने के लिए, किसी को यह समझाना होगा कि अंतर भागफल का क्या मतलब है एक निश्चित सीमित मूल्य k के करीब पहुंचने के लिए।सटीक गणितीय सूत्रीकरण ऑगस्टिन-लुइस कॉची द्वारा दिया गया था। 19 वीं शताब्दी में कॉची और सीमा की धारणा पर आधारित है। मान लीजिए कि ग्राफ में p पर एक ब्रेक या एक तेज धार नहीं है और यह न तो प्लंब है और न ही p के पास बहुत अधिक है। फिर k का एक अनूठा मान होता है जैसे कि, जैसे-जैसे h, 0 के पास जाता है, अंतर भागफल k के करीब और करीब हो जाता है, और h के आकार की तुलना में उनके बीच की दूरी नगण्य हो जाती है, यदि h काफी छोटा है। यह फ़ंक्शन f के लिए अंतर उद्धरणों की सीमा के रूप में ग्राफ में स्पर्शरेखा रेखा की ढलान की परिभाषा की ओर जाता है। यह सीमा x = a पर फ़ंक्शन f का व्युत्पन्न है, f(a) को दर्शाया गया है। यौगिक (derivative) का उपयोग करते हुए, स्पर्शरेखा रेखा के समीकरण को निम्नानुसार कहा जा सकता है:
 : <math> y=f(a)+f'(a)(x-a).\,</math>
-कैलकुलस कार्यों के डेरिवेटिव की गणना के लिए नियम प्रदान करता है जो सूत्रों द्वारा दिए गए हैं, जैसे कि पावर फ़ंक्शन, त्रिकोणमितीय कार्य, घातीय कार्य, लॉगरिदम और उनके विभिन्न संयोजनों।इस प्रकार, इन सभी कार्यों के रेखांकन के लिए स्पर्शरेखा के समीकरण, साथ ही साथ कई अन्य, कैलकुलस के तरीकों से पाए जा सकते हैं।
+कैलकुलस कार्यों के डेरिवेटिव (derivative) की गणना के लिए नियम प्रदान करता है जो सूत्रों द्वारा दिए गए हैं, जैसे कि पावर फ़ंक्शन, त्रिकोणमितीय कार्य, घातीय कार्य, लॉगरिदम और उनके विभिन्न संयोजनों। इस प्रकार, इन सभी कार्यों के रेखांकन के लिए स्पर्शरेखा के समीकरण, साथ ही साथ कई अन्य, कैलकुलस के तरीकों से पाए जा सकते हैं।
 ==== विधि कैसे विफल हो सकती है ====
-कैलकुलस यह भी दर्शाता है कि उनके रेखांकन पर कार्य और बिंदु हैं जिनके लिए स्पर्शरेखा रेखा के ढलान को निर्धारित करने वाली सीमा मौजूद नहीं है।इन बिंदुओं के लिए फ़ंक्शन f गैर-विभेद्य है।विफल होने के लिए सीमाओं और डेरिवेटिव के आधार पर स्पर्शरेखाओं को खोजने की विधि के दो संभावित कारण हैं: या तो ज्यामितीय स्पर्शरेखा मौजूद है, लेकिन यह एक ऊर्ध्वाधर रेखा है, जो कि बिंदु-ढलान के रूप में नहीं दी जा सकती है क्योंकि यह नहीं हैढलान, या ग्राफ तीन व्यवहारों में से एक को प्रदर्शित करता है जो एक ज्यामितीय स्पर्शरेखा को रोकता है।
+कैलकुलस यह भी दर्शाता है कि उनके रेखांकन पर कार्य और बिंदु हैं जिनके लिए स्पर्शरेखा रेखा के ढलान को निर्धारित करने वाली सीमा मौजूद नहीं है। इन बिंदुओं के लिए फ़ंक्शन f गैर-विभेद्य है। विफल होने के लिए सीमाओं और डेरिवेटिव के आधार पर स्पर्शरेखाओं को खोजने की विधि के दो संभावित कारण हैं या तो ज्यामितीय स्पर्शरेखा मौजूद है, लेकिन यह एक ऊर्ध्वाधर रेखा है, जो कि बिंदु-ढलान के रूप में नहीं दी जा सकती है क्योंकि यह नहीं है। ढलान, या ग्राफ तीन व्यवहारों में से एक को प्रदर्शित करता है जो एक ज्यामितीय स्पर्शरेखा को रोकता है।
-ग्राफ y = x<sup>1/3 </sup> पहली संभावना को दिखाता है: यहां A = 0 पर अंतर भागफल H के बराबर है<sup>1/3 </sup>/h = h<sup>−2/3 </sup>, जो बहुत बड़ा हो जाता है क्योंकि H दृष्टिकोण 0. इस वक्र में मूल में एक स्पर्शरेखा रेखा होती है जो ऊर्ध्वाधर होती है।
+ग्राफ y = x<sup>1/3 </sup> पहली संभावना को दिखाता है, यहां a = 0 पर अंतर भागफल h के बराबर है ''h''<sup>1/3</sup>/''h'' = ''h''<sup>−2/3</sup> , जो बहुत बड़ा हो जाता है क्योंकि h दृष्टिकोण 0, इस वक्र में मूल में एक स्पर्शरेखा रेखा होती है जो ऊर्ध्वाधर होती है।
-ग्राफ y = x<sup>2/3 </sup> एक और संभावना दिखाता है: इस ग्राफ में मूल में एक पुच्छ है। इसका मतलब यह है कि, जब एच 0 के पास पहुंचता है, तो एक्स के संकेत के आधार पर ए = 0 पर अंतर कोटिएंट प्लस या माइनस इन्फिनिटी का दृष्टिकोण होता है। इस प्रकार वक्र की दोनों शाखाएँ आधी ऊर्ध्वाधर रेखा के पास हैं, जिसके लिए y = 0, लेकिन कोई भी इस लाइन के नकारात्मक भाग के पास नहीं है। मूल रूप से, इस मामले में मूल में कोई स्पर्शरेखा नहीं है, लेकिन कुछ संदर्भ में एक इस रेखा को एक स्पर्शरेखा के रूप में, और यहां तक कि बीजगणितीय ज्यामिति में, एक डबल स्पर्शरेखा के रूप में मान सकता है।
+ग्राफ y = x<sup>2/3 </sup> एक और संभावना दिखाता है, इस ग्राफ में मूल में एक उभार (cusp) है। इसका मतलब यह है कि, जब h , 0 के पास पहुंचता है, तो x के संकेत के आधार पर a = 0 पर अंतर कोटिएंट प्लस या माइनस इन्फिनिटी का दृष्टिकोण होता है। इस प्रकार वक्र की दोनों शाखाएँ आधी ऊर्ध्वाधर रेखा के पास हैं, जिसके लिए y = 0, लेकिन कोई भी इस लाइन के नकारात्मक भाग के पास नहीं है। मूल रूप से, इस मामले में मूल में कोई स्पर्शरेखा नहीं है, लेकिन कुछ संदर्भ में एक इस रेखा को एक स्पर्शरेखा के रूप में, और यहां तक कि बीजगणितीय ज्यामिति में, एक डबल स्पर्शरेखा के रूप में मान सकता है।
-ग्राफ y = | x | निरपेक्ष मान फ़ंक्शन में दो सीधी रेखाएं होती हैं, जिनमें विभिन्न ढलानों के साथ मूल में शामिल होते हैं। एक बिंदु Q के रूप में दाईं ओर से मूल के पास पहुंचता है, सेकेंट लाइन में हमेशा ढलान होता है। एक बिंदु क्यू के रूप में बाईं ओर से मूल के पास पहुंचता है, सेकेंट लाइन में हमेशा ढलान होता है। 1। इसलिए, मूल में ग्राफ के लिए कोई अद्वितीय स्पर्शरेखा नहीं है। दो अलग -अलग (लेकिन परिमित) ढलान को एक कोने कहा जाता है।
+ग्राफ y = | x | निरपेक्ष मान फ़ंक्शन में दो सीधी रेखाएं होती हैं, जिनमें विभिन्न ढलानों के साथ मूल में शामिल होते हैं। एक बिंदु Q के रूप में दाईं ओर से मूल के पास पहुंचता है, सेकेंट लाइन में हमेशा ढलान होता है। एक बिंदु क्यू के रूप में बाईं ओर से मूल के पास पहुंचता है, सेकेंट लाइन में हमेशा ढलान होता है। 1। इसलिए, मूल में ग्राफ के लिए कोई अद्वितीय स्पर्शरेखा नहीं है। दो अलग-अलग (लेकिन परिमित) ढलान को एक कोने कहा जाता है।
-अंत में, चूंकि भिन्नता का अर्थ निरंतरता है, इसलिए विरोधाभासी राज्यों असंतोष का अर्थ गैर-अंतरतापूर्णता है। ऐसी किसी भी कूद या बिंदु असंतोष में कोई स्पर्शरेखा रेखा नहीं होगी। इसमें ऐसे मामले शामिल हैं जहां एक ढलान सकारात्मक अनंतता के करीब पहुंचता है जबकि दूसरा नकारात्मक अनंतता के करीब पहुंचता है, जिससे एक अनंत कूदता है
+अंत में, चूंकि भिन्नता का अर्थ निरंतरता है, इसलिए विरोधाभासी स्थिति असंतोष का अर्थ गैर-अंतरतापूर्णता है। ऐसी किसी भी कूद या बिंदु असंतोष में कोई स्पर्शरेखा रेखा नहीं होगी। इसमें ऐसे मामले शामिल हैं जहां एक ढलान सकारात्मक अनंतता के करीब पहुंचता है जबकि दूसरा नकारात्मक अनंतता के करीब पहुंचता है, जिससे एक अनंत कूदता है
 === समीकरण ===
-जब वक्र y = f (x) द्वारा दिया जाता है तो स्पर्शरेखा का ढलान होता है <math>\frac{dy}{dx},</math>
+जब वक्र y = f (x) द्वारा दिया जाता है तो स्पर्शरेखा का ढलान होता है <math>\frac{dy}{dx},</math> तो रैखिक समीकरण द्वारा#बिंदु -धीमी गति से
-तो रैखिक समीकरण द्वारा#बिंदु -धीमी गति से
+:<math>y-Y=\frac{dy}{dx}(X) \cdot (x-X)</math>
-:<math>y-Y=\frac{dy}{dx}(X) \cdot (x-X)</math>
+जहां (x, y) स्पर्शरेखा रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक हैं, और जहां व्युत्पन्न का मूल्यांकन किया जाता है <math>x=X</math>.<ref name=E191>Edwards Art. 191</ref>
-जहां (x, & nbsp; y) स्पर्शरेखा रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक हैं, और जहां व्युत्पन्न का मूल्यांकन किया जाता है <math>x=X</math>.<ref name=E191>Edwards Art. 191</ref>
 जब वक्र y = f (x) द्वारा दिया जाता है, तो स्पर्शरेखा रेखा समीकरण भी पाया जा सकता है<ref>Strickland-Constable, Charles, "A simple method for finding tangents to polynomial graphs", ''[[Mathematical Gazette]]'', November 2005, 466–467.</ref> विभाजित करने के लिए बहुपद विभाजन का उपयोग करके <math>f \, (x)</math> द्वारा <math>(x-X)^2</math>;यदि शेष को निरूपित किया जाता है <math>g(x)</math>, फिर स्पर्शरेखा रेखा का समीकरण द्वारा दिया गया है
 :<math>y=g(x).</math>
-जब वक्र का समीकरण फॉर्म f (x, & nbsp; y) = 0 में दिया जाता है, तो ढलान का मान निहित भेदभाव द्वारा पाया जा सकता है, दे रहा है
+जब वक्र का समीकरण फॉर्म f (x, y) = 0 में दिया जाता है, तो ढलान का मान निहित भेदभाव द्वारा पाया जा सकता है, दे रहा है
 :<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}.</math>
 एक बिंदु (x, y) पर स्पर्शरेखा रेखा का समीकरण जैसे कि f (x, y) = 0 तब है<ref name=E191/>:<math>\frac{\partial f}{\partial x}(X,Y) \cdot (x-X)+\frac{\partial f}{\partial y}(X,Y) \cdot (y-Y)=0.</math>
 यह समीकरण सच है अगर <math>\frac{\partial f}{\partial y}(X,Y) = 0</math> लेकिन <math>\frac{\partial f}{\partial x}(X,Y) \neq 0</math> (इस मामले में स्पर्शरेखा का ढलान अनंत है)।यदि <math>\frac{\partial f}{\partial y}(X,Y) =  \frac{\partial f}{\partial x}(X,Y)  =0, </math> स्पर्शरेखा रेखा को परिभाषित नहीं किया गया है और बिंदु (x, y) को विलक्षण कहा जाता है।
-{{clear}}
+बीजगणितीय घटता के लिए, कम्प्यूटेशन को सजातीय निर्देशांक में परिवर्तित करके कुछ हद तक सरल किया जा सकता है। विशेष रूप से, वक्र के सजातीय समीकरण को G (x, y, z) = 0 होने दें, जहां G डिग्री n का एक सजातीय कार्य है।फिर, अगर (x, y, z) वक्र पर स्थित है, यूलर का प्रमेय का अर्थ है
-बीजगणितीय घटता के लिए, कम्प्यूटेशन को सजातीय निर्देशांक में परिवर्तित करके कुछ हद तक सरल किया जा सकता है।विशेष रूप से, वक्र के सजातीय समीकरण को G (x, & nbsp; y, & nbsp; z) = 0 होने दें, जहां G डिग्री n का एक सजातीय कार्य है।फिर, अगर (x, & nbsp; y, & nbsp; z) वक्र पर स्थित है, यूलर का प्रमेय का अर्थ है
 <math display=block>\frac{\partial g}{\partial x} \cdot X +\frac{\partial g}{\partial y} \cdot Y+\frac{\partial g}{\partial z} \cdot Z=ng(X, Y, Z)=0.</math>
 यह इस प्रकार है कि स्पर्शरेखा रेखा का सजातीय समीकरण है
 :<math>\frac{\partial g}{\partial x}(X,Y,Z) \cdot x+\frac{\partial g}{\partial y}(X,Y,Z) \cdot y+\frac{\partial g}{\partial z}(X,Y,Z) \cdot z=0.</math>
-कार्टेशियन निर्देशांक में स्पर्शरेखा रेखा का समीकरण इस समीकरण में z = 1 सेट करके पाया जा सकता है।<ref name=E192>Edwards Art. 192</ref>
+कार्टेशियन निर्देशांक में स्पर्शरेखा रेखा का समीकरण इस समीकरण में z = 1 सेट करके पाया जा सकता है।<ref name=E192>Edwards Art. 192</ref>  इसे बीजगणितीय घटता पर लागू करने के लिए, f (x, y) के रूप में लिखें
-इसे बीजगणितीय घटता पर लागू करने के लिए, f (x, & nbsp; y) के रूप में लिखें
 :<math>f=u_n+u_{n-1}+\dots+u_1+u_0\,</math>
 जहां प्रत्येक यू<sub>''r''</sub> डिग्री आर की सभी शर्तों का योग है।वक्र का सजातीय समीकरण तब है
@@ Line 102: / Line 88: @@
 === एक वक्र के लिए सामान्य रेखा ===
-{{further|Normal (geometry)}}
+स्पर्शरेखा के बिंदु पर एक वक्र के लिए स्पर्शरेखा रेखा के लंबवत रेखा को उस बिंदु पर वक्र के लिए सामान्य रेखा कहा जाता है।लंबवत रेखाओं की ढलानों में उत्पाद −1 होता है, इसलिए यदि वक्र का समीकरण
-स्पर्शरेखा के बिंदु पर एक वक्र के लिए स्पर्शरेखा रेखा के लंबवत रेखा को उस बिंदु पर वक्र के लिए सामान्य रेखा कहा जाता है।लंबवत रेखाओं की ढलानों में उत्पाद −1 होता है, इसलिए यदि वक्र का समीकरण y = f (x) है तो सामान्य रेखा का ढलान है
+y = f (x) है तो सामान्य रेखा का ढलान है
 :<math>-\frac{1}{\frac{dy}{dx}}</math>
 और यह निम्नानुसार है कि सामान्य रेखा का समीकरण (x, y) है
 :<math>(x-X)+\frac{dy}{dx}(y-Y)=0.</math>
-इसी तरह, यदि वक्र के समीकरण में फॉर्म f (x, & nbsp; y) = 0 है, तो सामान्य रेखा का समीकरण द्वारा दिया गया है<ref name=E194>Edwards Art. 194</ref>
+इसी तरह, यदि वक्र के समीकरण में फॉर्म f (x, y) = 0 है, तो सामान्य रेखा का समीकरण द्वारा दिया गया है<ref name=E194>Edwards Art. 194</ref>
 :<math>\frac{\partial f}{\partial y}(x-X)-\frac{\partial f}{\partial x}(y-Y)=0.</math>
 यदि वक्र को पैरामीट्रिक रूप से दिया जाता है
 :<math>x=x(t),\quad y=y(t)</math>
-फिर सामान्य रेखा का समीकरण है<ref name=E196 />:<math>\frac{dx}{dt}(x-X)+\frac{dy}{dt}(y-Y)=0.</math>
+फिर सामान्य रेखा का समीकरण है<ref name=E196 />
+<math>\frac{dx}{dt}(x-X)+\frac{dy}{dt}(y-Y)=0.</math>
 === वक्रों के बीच कोण ===
-{{See also|Angle#Angles between curves}}
+एक बिंदु पर दो घटता के बीच का कोण जहां वे प्रतिच्छेद करते हैं, को उस बिंदु पर उनकी स्पर्शरेखा लाइनों के बीच के कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है। अधिक विशेष रूप से, दो वक्रों को एक बिंदु पर स्पर्शरेखा कहा जाता है यदि उनके पास एक बिंदु पर एक ही स्पर्शरेखा है, और ऑर्थोगोनल यदि उनकी स्पर्शरेखा रेखाएं ऑर्थोगोनल हैं।<ref name=E195>Edwards Art. 195</ref>
-एक बिंदु पर दो घटता के बीच का कोण जहां वे प्रतिच्छेद करते हैं, को उस बिंदु पर उनकी स्पर्शरेखा लाइनों के बीच के कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है।अधिक विशेष रूप से, दो वक्रों को एक बिंदु पर स्पर्शरेखा कहा जाता है यदि उनके पास एक बिंदु पर एक ही स्पर्शरेखा है, और ऑर्थोगोनल यदि उनकी स्पर्शरेखा रेखाएं ऑर्थोगोनल हैं।<ref name=E195>Edwards Art. 195</ref>
 === एक बिंदु पर कई स्पर्शरेखा ===
 [[Image:LimaçonTrisectrix.svg|right|thumb|300px|द लीमेन ट्रिसेक्ट्रिक्स: मूल में दो स्पर्शरेखा के साथ एक वक्र।]]
-जब बिंदु एक विलक्षण बिंदु होता है, तो उपरोक्त सूत्र विफल होते हैं।इस मामले में वक्र की दो या अधिक शाखाएँ हो सकती हैं जो बिंदु से गुजरती हैं, प्रत्येक शाखा में अपनी स्पर्शरेखा रेखा होती है।जब बिंदु मूल होता है, तो इन पंक्तियों के समीकरणों को बीजगणितीय घटता के लिए पाया जा सकता है, जो मूल समीकरण से सभी लेकिन सबसे कम डिग्री की शर्तों को समाप्त करके गठित समीकरण को फैक्टर कर देता है।चूंकि किसी भी बिंदु को चर के परिवर्तन (या वक्र का अनुवाद करके) द्वारा मूल बनाया जा सकता है, यह किसी भी विलक्षण बिंदु पर स्पर्शरेखा लाइनों को खोजने के लिए एक विधि देता है।
+जब बिंदु एक विलक्षण बिंदु होता है, तो उपरोक्त सूत्र विफल होते हैं। इस मामले में वक्र की दो या अधिक शाखाएँ हो सकती हैं जो बिंदु से गुजरती हैं, प्रत्येक शाखा में अपनी स्पर्शरेखा रेखा होती है। जब बिंदु मूल होता है, तो इन पंक्तियों के समीकरणों को बीजगणितीय घटता के लिए पाया जा सकता है, जो मूल समीकरण से सभी लेकिन सबसे कम डिग्री की शर्तों को समाप्त करके गठित समीकरण को फैक्टर कर देता है। चूंकि किसी भी बिंदु को चर के परिवर्तन (या वक्र का अनुवाद करके) द्वारा मूल बनाया जा सकता है, यह किसी भी विलक्षण बिंदु पर स्पर्शरेखा लाइनों को खोजने के लिए एक विधि देता है।
 उदाहरण के लिए, दाईं ओर दिखाए गए लीमैकॉन ट्रिसेक्ट्रिक्स का समीकरण है
@@ Line 129: / Line 113: @@
 जो, जब फैक्ट किया हुआ, बन जाता है
 :<math>y=\pm\sqrt{3}x.</math>
-तो ये मूल के माध्यम से दो स्पर्शरेखा लाइनों के समीकरण हैं।<ref name=E197>Edwards Art. 197</ref>
+तो ये मूल के माध्यम से दो स्पर्शरेखा लाइनों के समीकरण हैं।<ref name=E197>Edwards Art. 197</ref>  जब वक्र स्व-क्रॉस नहीं होता है, तो एक संदर्भ बिंदु पर स्पर्शरेखा को अभी भी विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है क्योंकि वक्र उस बिंदु पर भिन्न नहीं है, हालांकि यह कहीं और अलग है। इस मामले में बाएं और दाएं डेरिवेटिव को व्युत्पन्न की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिस बिंदु पर इसका मूल्यांकन किया जाता है, वह क्रमशः बाएं (निम्न मान) या दाएं (उच्च मान) से संदर्भ बिंदु तक पहुंचता है। उदाहरण के लिए, वक्र y = | x | x = 0 पर भिन्न नहीं है: इसके बाएं और दाएं डेरिवेटिव में संबंधित ढलान −1 और 1 है; उन ढलानों के साथ उस बिंदु पर स्पर्शरेखा को बाएं और दाएं स्पर्शरेखा कहा जाता है।<ref>Thomas, George B. Jr., and Finney, Ross L. (1979), ''Calculus and Analytic Geometry'', Addison Wesley Publ. Co.: p. 140.</ref>  कभी -कभी बाएं और दाएं स्पर्शरेखा रेखाओं की ढलान समान होती है, इसलिए स्पर्शरेखा रेखाएं मेल खाती हैं। यह सच है, उदाहरण के लिए, वक्र y = x के लिए <sup>2/3 </sup>, जिसके लिए x = 0 पर बाएं और दाएं दोनों डेरिवेटिव अनंत हैं;बाईं और दाएं स्पर्शरेखा रेखाओं दोनों में समीकरण x = 0 है।
-जब वक्र स्व-क्रॉस नहीं होता है, तो एक संदर्भ बिंदु पर स्पर्शरेखा को अभी भी विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है क्योंकि वक्र उस बिंदु पर भिन्न नहीं है, हालांकि यह कहीं और अलग है।इस मामले में बाएं और दाएं डेरिवेटिव को व्युत्पन्न की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिस बिंदु पर इसका मूल्यांकन किया जाता है, वह क्रमशः बाएं (निम्न मान) या दाएं (उच्च मान) से संदर्भ बिंदु तक पहुंचता है।उदाहरण के लिए, वक्र y = | x |x = 0 पर भिन्न नहीं है: इसके बाएं और दाएं डेरिवेटिव में संबंधित ढलान −1 और 1 है;उन ढलानों के साथ उस बिंदु पर स्पर्शरेखा को बाएं और दाएं स्पर्शरेखा कहा जाता है।<ref>Thomas, George B. Jr., and Finney, Ross L. (1979), ''Calculus and Analytic Geometry'', Addison Wesley Publ. Co.: p. 140.</ref>
-कभी -कभी बाएं और दाएं स्पर्शरेखा रेखाओं की ढलान समान होती है, इसलिए स्पर्शरेखा रेखाएं मेल खाती हैं।यह सच है, उदाहरण के लिए, वक्र y = x के लिए <sup>2/3 </sup>, जिसके लिए x = 0 पर बाएं और दाएं दोनों डेरिवेटिव अनंत हैं;बाईं और दाएं स्पर्शरेखा रेखाओं दोनों में समीकरण x = 0 है।
 == एक अंतरिक्ष वक्र के लिए स्पर्शरेखा रेखा ==
-{{excerpt|Tangent vector}}
+गणित में, एक स्पर्शरेखा वेक्टर एक सदिश होता है जो किसी दिए गए बिंदु पर वक्र या सतह की स्पर्शरेखा होता है। स्पर्शरेखा सदिशों को R<sup>''n''</sup> में वक्रों के संदर्भ में वक्रों की विभेदक ज्यामिति में वर्णित किया गया है। अधिक आम तौर पर, स्पर्शरेखा वैक्टर एक अलग-अलग मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा स्थान के तत्व होते हैं। स्पर्शरेखा सदिशों को '''germ''' के संदर्भ में भी वर्णित किया जा सकता है। औपचारिक रूप से, बिंदु {\displaystyle x}x पर एक स्पर्शरेखा वेक्टर {\displaystyle x}x पर रोगाणुओं के सेट द्वारा परिभाषित बीजगणित की एक रैखिक व्युत्पत्ति है।
+== स्पर्शरेखा वृत्त ==
+स्पर्शरेखा घेरे के दो जोड़े। आंतरिक रूप से और नीचे के बाहरी रूप से गैर-समान त्रिज्या के बाहरी रूप से tangent two सर्कल, दोनों एक ही सतह में, एक दूसरे के लिए स्पर्शरेखा कहा जाता है यदि वे केवल एक बिंदु पर मिलते हैं।बराबर, दो सर्कल, आर के रेडी के साथ<sub>i</sub> और केंद्रों पर केंद्र (x<sub>i</sub>, y<sub>i</sub>), और  i = 1, 2 के लिए कहा जाता है
+[[File:Tangent circles.svg|thumb|200px|Two pairs of tangent circles. Above internally and below externally tangent]]
+:<math>\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2=\left(r_1\pm r_2\right)^2.\,</math>
+* दो सर्कल 'बाहरी रूप से स्पर्शरेखा' हैं यदि उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनके रेडी के योग के बराबर है।
+:<math>\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2=\left(r_1 + r_2\right)^2.\,</math>
+* दो सर्कल 'आंतरिक रूप से स्पर्शरेखा' हैं यदि उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनके रेडी के बीच के अंतर के बराबर है।<ref>{{cite web| url = http://homepage.eircom.net/~phabfys/circles.html| title = Circles For Leaving Certificate Honours Mathematics by Thomas O'Sullivan 1997}}</ref>
+<math>\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2=\left(r_1 - r_2\right)^2.\,</math>
-== स्पर्शरेखा घेरे ==
-{{Main|Tangent circles}}
-[[File:Tangent circles.svg|thumb|200px|स्पर्शरेखा घेरे के दो जोड़े।आंतरिक रूप से और नीचे के बाहरी रूप से गैर-समान त्रिज्या के बाहरी रूप से tangenttwo सर्कल, दोनों एक ही विमान में, एक दूसरे के लिए स्पर्शरेखा कहा जाता है यदि वे केवल एक बिंदु पर मिलते हैं।बराबर, दो सर्कल, आर के रेडी के साथ<sub>i</sub> और केंद्रों पर केंद्र<sub>i</sub>, y<sub>i</sub>), i & nbsp; = & nbsp; 1, & nbsp; 2 के लिए कहा जाता है
-:<math>\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2=\left(r_1\pm r_2\right)^2.\,</math>
-* दो सर्कल 'बाहरी रूप से स्पर्शरेखा' हैं यदि उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनके रेडी के योग के बराबर है।
-:<math>\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2=\left(r_1 + r_2\right)^2.\,</math>
-* दो सर्कल 'आंतरिक रूप से स्पर्शरेखा' हैं यदि उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनके रेडी के बीच के अंतर के बराबर है।<ref>{{cite web| url = http://homepage.eircom.net/~phabfys/circles.html| title = Circles For Leaving Certificate Honours Mathematics by Thomas O'Sullivan 1997}}</ref>
-:<math>\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2=\left(r_1 - r_2\right)^2.\,</math>
-== एक सतह पर स्पर्शरेखा विमान{{anchor|For surfaces|Surfaces|Plane}}==
+== एक सतह पर स्पर्शरेखा सतह ==
-{{redirect|Tangent plane|the geographical concept|Local tangent plane}}
+किसी दिए गए बिंदु पर एक सतह पर स्पर्शरेखा सतह ''p '' को स्पर्शरेखा रेखा के अनुरूप तरीके से परिभाषित किया गया है। यह सतह  p का सबसे अच्छा अनुमानित सतह  है, और इसे '' P '' के करीब सतह पर 3 अलग-अलग बिंदुओं से गुजरने वाले सतह की सीमित स्थिति के रूप में प्राप्त किया जा सकता है क्योंकि ये बिंदु p में परिवर्तित होते हैं।
-{{further|Differential geometry of surfaces#Tangent plane|Parametric surface#Tangent plane}}
-{{see also|Normal plane (geometry)}}
-{{expand section|date=May 2022}}
-किसी दिए गए बिंदु पर एक सतह पर स्पर्शरेखा विमान '' p '' को घटता के मामले में स्पर्शरेखा रेखा के अनुरूप तरीके से परिभाषित किया गया है।यह '' P '' पर एक विमान द्वारा सतह का सबसे अच्छा अनुमान है, और इसे '' P '' के करीब सतह पर 3 अलग -अलग बिंदुओं से गुजरने वाले विमानों की सीमित स्थिति के रूप में प्राप्त किया जा सकता है क्योंकि ये बिंदु 'में परिवर्तित होते हैं''पी''।
 == उच्च-आयामी कई गुना ==
-{{Main|Tangent space}}
 अधिक आम तौर पर, एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस में के-आयामी कई गुना के प्रत्येक बिंदु पर एक के-आयामी स्पर्शरेखा स्थान होता है।
@@ Line 163: / Line 145: @@
 * न्यूटन की विधि
 * सामान्य (ज्यामिति)
-* ऑस्कुलेटिंग सर्कल
+* ऑस्कुलेटिंग वृत्त
 * ऑस्कुलेटिंग वक्र
 * लंबवत
-* उपशीर्षक
+* उपस्पर्शी
-* सहायक लाइन
+* सहायक रेखा
 * स्पर्शरेखा शंकु
 * स्पर्शरेखा कोण
 * स्पर्शरेखा घटक
-* हलकों के लिए स्पर्शरेखा रेखाएँ
+* वृत्त की स्पर्श रेखाएं
 * स्पर्शरेखा वेक्टर
-* बहुपक्षीय (गणित) #Behavior एक बहुपत्नी फ़ंक्शन के पास एक बहुपक्षीय फ़ंक्शन
+* बहुलता (गणित)#एक बहुमूल के निकट बहुपद फलन का व्यवहार
 * बीजगणितीय वक्र#एक बिंदु पर स्पर्शरेखा
@@ Line 194: / Line 176: @@
 {{Calculus topics}}
 {{Authority control}}
-[[Category: अंतर ज्यामिति]]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
-[[Category: विभेदक टोपोलॉजी]]
-[[Category: विश्लेषणात्मक ज्यामिति]]]
-[[Category: प्राथमिक ज्यामिति]]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:AC with 0 elements]]
+[[Category:Articles containing Ancient Greek (to 1453)-language text]]
+[[Category:Articles containing Latin-language text]]
+[[Category:CS1]]
+[[Category:CS1 errors]]
+[[Category:CS1 maint]]
+[[Category:Commons category link is locally defined]]
+[[Category:Exclude in print]]
+[[Category:Interwiki category linking templates]]
+[[Category:Interwiki link templates]]
+[[Category:Pages with script errors]]
+[[Category:Pages with template loops]]
+[[Category:Templates that add a tracking category]]
+[[Category:Templates using TemplateData]]
+[[Category:Wikimedia Commons templates]]
+[[Category:अंतर ज्यामिति]]
+[[Category:प्राथमिक ज्यामिति]]
+[[Category:विभेदक टोपोलॉजी]]
+[[Category:विश्लेषणात्मक ज्यामिति]]

Anonymous

Search

स्पर्शरेखा: Difference between revisions

Latest revision as of 16:21, 18 August 2022

इतिहास

एक सतह वक्र के लिए स्पर्शरेखा रेखा

विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण

सहज ज्ञान युक्त विवरण

अधिक कठोर विवरण

विधि कैसे विफल हो सकती है

समीकरण

एक वक्र के लिए सामान्य रेखा

वक्रों के बीच कोण

एक बिंदु पर कई स्पर्शरेखा

एक अंतरिक्ष वक्र के लिए स्पर्शरेखा रेखा

स्पर्शरेखा वृत्त

एक सतह पर स्पर्शरेखा सतह

उच्च-आयामी कई गुना

यह भी देखें

संदर्भ

सूत्रों का कहना है

बाहरी संबंध

Navigation

Wiki tools

Page tools

Other projects

Categories