द्विपद प्रमेय: Difference between revisions

Latest revision as of 10:03, 14 December 2022

{\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}

द्विपद गुणांक(एनके) पास्कल के त्रिभुज की nवीं पंक्ति में प्रविष्टि के रूप में प्रतीत होता है, गिनती 0 से शुरू होती है। प्रत्येक प्रविष्टि इसके ऊपर दो का योग होता है।

प्रारंभिक बीजगणित में, द्विपद प्रमेय(या द्विपद विस्तार) द्विपद बहुपद के घातांक के बीजगणितीय प्रसार का वर्णन करता है। प्रमेय के अनुसार, बहुपद $(x + y) n$ को $ax b y c$ के रूप में पद वाले योग से विस्तारित करना संभव होता है, जहां घातांक $b$ तथा $c$ के साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक $b + c = n$ हैं और गुणांक $a$ के प्रत्येक पद का एक विशिष्ट धनात्मक पूर्णांक है जो $n$ और $b$ पर निर्भर करता है। तथा उदाहरण के लिए, के लिए $n = 4$ ,

(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.

$ax b y c$ के पद में गुणांक a को द्विपद गुणांक ${\tbinom {n}{b}}$ या ${\tbinom {n}{c}}$ के रूप में जाना जाता है, दोनों का मूल्य समान होता है। अलग-अलग के लिए ये गुणांक $n$ तथा $b$ पास्कल का त्रिभुज बनाने के लिए व्यवस्थित किया जाता है। ये नंबर साहचर्य में भी होते हैं, जहां ${\tbinom {n}{b}}$ उन तत्वों के विभिन्न संयोजनों की संख्या देता है जिन्हें n-तत्व के समुच्चय से चुना जाता है। इसलिए ${\tbinom {n}{b}}$ को अधिकांशता $n$ और $b$ के रूप में उच्चारित किया जाता है।

इतिहास

द्विपद प्रमेय में विशेष स्थितियां कम से कम चौथी शताब्दी ईसा पूर्व से ज्ञात थी, जब यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने घातांक $2$ के लिए द्विपद प्रमेय के विशेष स्थितियो का उल्लेख किया था।^[1]^[2] इस बात के प्रमाण हैं कि घन के लिए द्विपद प्रमेय भारत में छठी शताब्दी ईस्वी तक जाना जाता था।^[1]^[2]

बिना प्रतिस्थापन के $n$ में $k$ वस्तुओं के चयन तरीकों की संख्या को व्यक्त करने वाले संयोजी मात्राओं के रूप में द्विपद गुणांक, प्राचीन भारतीय गणितज्ञों के लिए रुचिकर थे। इस संयोजी समस्या का सबसे पहला ज्ञात संदर्भ, भारतीय गीतकार पिंगला द्वारा रचित चंदशास्त्र है। 200 ईसा पूर्व, जिसमें इसके समाधान की विधि निहित है।^[3]^: 230 10वीं शताब्दी ईस्वी के टिप्पणीकार हलायुध ने इस विधि की व्याख्या की है जिसे अब पास्कल के त्रिकोण के रूप में जाना जाता है।^[3] छठी शताब्दी ईस्वी तक, भारतीय गणितज्ञ अनुमानतः यह जानते थे कि इसे भागफल के रूप में कैसे व्यक्त किया जाए ${\textstyle {\frac {n!}{(n-k)!k!}}}$ ,^[4] और इस नियम का स्पष्ट विवरण भास्कर द्वितीय द्वारा लिखित 12वीं शताब्दी के ग्रंथ लीलावती में पाया जाता है।^[4]

हमारे ज्ञान के लिए द्विपद प्रमेय और द्विपद गुणांक की तालिका का पहला सूत्रीकरण, अल-काराजी के एक काम में पाया जा सकता है, जिसे अल-समावली ने अपने अल-बहिर में उद्धृत किया है।^[5]^[6]^[7] अल-काराजी ने द्विपद गुणांकों के त्रिकोणीय डिज़ाइन का वर्णन किया^[8] और गणितीय प्रेरण के प्रारंभिक रूप का उपयोग करते हुए द्विपद प्रमेय और पास्कल त्रिकोण दोनों का गणितीय प्रमाण भी प्रदान किया।^[8] फारसी कवि और गणितज्ञ उमर खय्याम अनुमानतः उच्च क्रम के सूत्र से परिचित थे, चूँकि, उनके कई गणितीय कार्य गुम हो गए थे।^[2] 13वीं शताब्दी के यांग हुई के गणितीय कार्यों में छोटी घात के द्विपद विस्तार ज्ञात थे^[9] और चू शिह-चीह भी।^[2] यांग हुई ने इस पद्धति का श्रेय जिया जियान के 11वीं शताब्दी के पाठ को दिया है, चूँकि, अब वे लेख भी खो गए हैं।^[3]^: 142

1544 में, माइकल स्टिफ़ेल ने द्विपद गुणांक शब्द को पेश किया और दिखाया कि उन्हें कैसे व्यक्त किया जाए $(1+a)^{n}$ के अनुसार $(1+a)^{n-1}$ पास्कल के त्रिकोण के माध्यम से।^[10] ब्लेज़ पास्कल ने अपने ट्रैटे डू त्रिकोण अंकगणित में व्यापक रूप से नामांकित त्रिभुज का अध्ययन किया।^[11] चूँकि, संख्याओं का डिज़ाइन पहले ही देर से पुनर्जागरण के यूरोपीय गणितज्ञों के लिए जाना जाता था, जिसमें स्टिफ़ेल, निकोलो फोंटाना टारटाग्लिया और साइमन स्टीविन सम्मिलित थे।^[10]

आईएएएसी न्यूटन को सामान्यता सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय के साथ श्रेय दिया जाता है, जो किसी भी तर्कसंगत घातांक के लिए मान्य होता है।^[10]^[12]

कथन

प्रमेय के अनुसार, $x + y$ फॉर्म के योग में किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घात का विस्तार करना संभव होता है।

(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},

जहाँ पे

n\geq 0

एक पूर्णांक है और प्रत्येक

{\tbinom {n}{k}}

एक धनात्मक पूर्णांक है जिसे द्विपद गुणांक के रूप में जाना जाता है। जब घातांक शून्य होता है, तो संबंधित घात अभिव्यक्ति को 1 माना जाता है और इस गुणन कारक को अधिकांशता शब्द से हटा दिया जाता है। इसलिए अधिकांशता दाहिने हाथ की ओर लिखा हुआ दिखाई देता है

{\textstyle {\binom {n}{0}}x^{n}+\cdots }

.) इस सूत्र को द्विपद सूत्र या द्विपद सर्वसमिका भी कहा जाता है। योग संकेतन का उपयोग करके, इसे इस रूप में लिखा जा सकता है।

(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.

अंतिम अभिव्यक्ति प्रथम अभिव्यक्ति में जब $x$ तथा $y$ की समरूपता होती है और तुलना करके यह इस प्रकार के सूत्र में द्विपद गुणकों का क्रम सममित करता है। तो प्रतिस्थापन(बीजगणित) द्वारा द्विपद सूत्र का सरल संस्करण प्राप्त किया जाता है $1$ के लिये $y$ , ताकि इसमें केवल एक चर(गणित) सम्मिलित हो। इस रूप में, सूत्र दिखता है

द्विपद सूत्र का एक सरल संस्करण y के लिए 1 को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है, चूँकि इसमें केवल एक चर सम्मिलित हो। सूत्र को इस रूप में पढ़ा जा सकता है

(1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n},

या समकक्ष

(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k},

या अधिक स्पष्ट रूप से^[13]

(1+x)^{n}=1+nx+{\frac {n(n-1)}{2!}}x^{2}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{3!}}x^{3}+\cdots +nx^{n-1}+x^{n}.

उदाहरण

यहाँ द्विपद प्रमेय के पहले कुछ कारक हैं

{\begin{aligned}(x+y)^{3}&=xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy&(2^{3}{\text{ terms}})\\&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}&(3+1{\text{ terms}})\end{aligned}}

[convergence-16] 1.0 ^1.1 This is to guarantee convergence. Depending on $r$ , the series may also converge sometimes when $| x | = | y |$ .

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[22] Artin, Algebra, 2nd edition, Pearson, 2018, equation (4.7.11).

[23] "पेसोआ पुरालेख: संपादित कार्य - न्यूटन का द्विपद वीनस डी मिलो जितना सुंदर है।". arquivopessoa.net.

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-|caption=द्विपद गुणांक(एनके) पास्कल के त्रिभुज की nवीं पंक्ति में केवें प्रविष्टि के रूप में प्रतीत होता है, गिनती 0 से शुरू होती है। प्रत्येक प्रविष्टि इसके ऊपर दो का योग होता है।}}
+|caption=द्विपद गुणांक(एनके) पास्कल के त्रिभुज की nवीं पंक्ति में प्रविष्टि के रूप में प्रतीत होता है, गिनती 0 से शुरू होती है। प्रत्येक प्रविष्टि इसके ऊपर दो का योग होता है।}}
-प्रारंभिक बीजगणित में, द्विपद प्रमेय (या द्विपद विस्तार) द्विपद बहुपद के घातांक के बीजगणितीय प्रसार का वर्णन करता है। प्रमेय के अनुसार, बहुपद {{math|(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} को {{math|''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup>}} के रूप में पद वाले योग से विस्तारित करना संभव होता है, जहां घातांक {{mvar|b}} तथा {{mvar|c}} के साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक {{math|1=''b'' + ''c'' = ''n''}} हैं और गुणांक {{mvar|a}} के प्रत्येक पद का एक विशिष्ट धनात्मक पूर्णांक है जो {{mvar|n}} और {{mvar|b}} पर निर्भर करता है। तथा उदाहरण के लिए, के लिए {{math|1=''n'' = 4}},<math display="block">(x+y)^4 = x^4 + 4 x^3y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4. </math>
+प्रारंभिक बीजगणित में, द्विपद प्रमेय(या द्विपद विस्तार) द्विपद बहुपद के घातांक के बीजगणितीय प्रसार का वर्णन करता है। प्रमेय के अनुसार, बहुपद {{math|(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} को {{math|''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup>}} के रूप में पद वाले योग से विस्तारित करना संभव होता है, जहां घातांक {{mvar|b}} तथा {{mvar|c}} के साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक {{math|1=''b'' + ''c'' = ''n''}} हैं और गुणांक {{mvar|a}} के प्रत्येक पद का एक विशिष्ट धनात्मक पूर्णांक है जो {{mvar|n}} और {{mvar|b}} पर निर्भर करता है। तथा उदाहरण के लिए, के लिए {{math|1=''n'' = 4}},<math display="block">(x+y)^4 = x^4 + 4 x^3y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4. </math>
 {{math|''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup>}} के पद में गुणांक a को द्विपद गुणांक <math>\tbinom{n}{b}</math> या <math>\tbinom{n}{c}</math> के रूप में जाना जाता है, दोनों का मूल्य समान होता है। अलग-अलग के लिए ये गुणांक {{mvar|n}} तथा {{mvar|b}} पास्कल का त्रिभुज बनाने के लिए व्यवस्थित किया जाता है। ये नंबर साहचर्य में भी होते हैं, जहां <math>\tbinom{n}{b}</math> उन तत्वों के विभिन्न संयोजनों की संख्या देता है जिन्हें n-तत्व के समुच्चय से चुना जाता है। इसलिए <math>\tbinom{n}{b}</math> को अधिकांशता {{mvar|n}} और {{mvar|b}} के रूप में उच्चारित किया जाता है।
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 द्विपद प्रमेय में विशेष स्थितियां कम से कम चौथी शताब्दी ईसा पूर्व से ज्ञात थी, जब यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने घातांक {{math|2}} के लिए द्विपद प्रमेय के विशेष स्थितियो का उल्लेख किया था।<ref name=wolfram>{{cite web| url=http://mathworld.wolfram.com/BinomialTheorem.html|title=द्विपद प्रमेय|website=Wolfram MathWorld|last=Weisstein|first=Eric W.}}</ref><ref name="Coolidge">{{cite journal|title=द्विपद प्रमेय की कहानी|first=J. L.|last=Coolidge|journal=The American Mathematical Monthly| volume=56| issue=3|date=1949|pages=147–157|doi=10.2307/2305028|jstor = 2305028}}</ref> इस बात के प्रमाण हैं कि घन के लिए द्विपद प्रमेय भारत में छठी शताब्दी ईस्वी तक जाना जाता था।<ref name=wolfram /><ref name="Coolidge" />
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+बिना प्रतिस्थापन के {{mvar|n}} में {{mvar|k}} वस्तुओं के चयन तरीकों की संख्या को व्यक्त करने वाले संयोजी मात्राओं के रूप में द्विपद गुणांक, प्राचीन भारतीय गणितज्ञों के लिए रुचिकर थे। इस संयोजी समस्या का सबसे पहला ज्ञात संदर्भ, भारतीय गीतकार पिंगला द्वारा रचित चंदशास्त्र है। 200 ईसा पूर्व, जिसमें इसके समाधान की विधि निहित है।<ref name=Chinese>{{cite book|title=चीनी गणित का इतिहास|author1=Jean-Claude Martzloff|author2=S.S. Wilson|author3=J. Gernet|author4=J. Dhombres|publisher=Springer| year=1987}}</ref>{{rp|230}} 10वीं शताब्दी ईस्वी के टिप्पणीकार हलायुध ने इस विधि की व्याख्या की है जिसे अब पास्कल के त्रिकोण के रूप में जाना जाता है।<ref name=Chinese /> छठी शताब्दी ईस्वी तक, भारतीय गणितज्ञ अनुमानतः यह जानते थे कि इसे भागफल के रूप में कैसे व्यक्त किया जाए <math display="inline">\frac{n!}{(n-k)!k!}</math>,<ref name="Biggs">{{cite journal|last=Biggs|first=N. L.|title=कॉम्बिनेटरिक्स की जड़ें| journal=Historia Math.|volume=6|date=1979|issue=2|pages=109–136|doi=10.1016/0315-0860(79)90074-0|doi-access=free}}</ref> और इस नियम का स्पष्ट विवरण भास्कर द्वितीय द्वारा लिखित 12वीं शताब्दी के ग्रंथ लीलावती में पाया जाता है।<ref name="Biggs" />
-हमारे ज्ञान के लिए द्विपद प्रमेय और द्विपद गुणांक की तालिका का पहला सूत्रीकरण, अल-काराजी के एक काम में पाया जा सकता है, जिसे अल-समावली ने अपने अल-बहिर में उद्धृत किया है।<ref>{{Cite web|url=https://core.ac.uk/download/pdf/82000184.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://core.ac.uk/download/pdf/82000184.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|website=core.ac.uk|access-date=2019-01-08|title=द्विपद प्रमेय: मध्यकालीन इस्लामी गणित में एक व्यापक अवधारणा|page=401}}</ref><ref>{{Cite journal|title=अज्ञात को वश में करना। पुरातनता से बीसवीं सदी की शुरुआत तक बीजगणित का इतिहास|url=https://www.ams.org/journals/bull/2015-52-04/S0273-0979-2015-01491-6/S0273-0979-2015-01491-6.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://www.ams.org/journals/bull/2015-52-04/S0273-0979-2015-01491-6/S0273-0979-2015-01491-6.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|page=727|quote=हालांकि, बीजगणित अन्य मामलों में उन्नत हुआ। लगभग 1000, अल-काराजी ने द्विपद प्रमेय को बताया}}</ref><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=vSkClSvU_9AC&pg=PA62|title=अरबी गणित का विकास: अंकगणित और बीजगणित के बीच|last=Rashed|first=R.|date=1994-06-30|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9780792325659|language=en|page=63}}</ref> अल-काराजी ने द्विपद गुणांकों के त्रिकोणीय डिज़ाइन का वर्णन किया<ref name=Karaji>{{MacTutor|id=Al-Karaji|title=Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji}}</ref> और गणितीय प्रेरण के प्रारंभिक रूप का उपयोग करते हुए द्विपद प्रमेय और पास्कल त्रिकोण दोनों का गणितीय प्रमाण भी प्रदान किया।<ref name=Karaji /> फारसी कवि और गणितज्ञ उमर खय्याम शायद उच्च क्रम के सूत्र से परिचित थे, चूँकि, उनके कई गणितीय कार्य गुम हो गए थे।<ref name="Coolidge" /> 13वीं शताब्दी के यांग हुई के गणितीय कार्यों में छोटी घात के द्विपद विस्तार ज्ञात थे<ref>{{cite web | last = Landau | first = James A. | title =हिस्टोरिया मैटमैटिका मेलिंग लिस्ट आर्काइव: पुन: [एचएम] पास्कल का त्रिभुज| work = Archives of Historia Matematica | format = mailing list email | access-date = 2007-04-13 | date = 1999-05-08 | url = http://archives.math.utk.edu/hypermail/historia/may99/0073.html }}</ref> और चू शिह-चीह भी।<ref name="Coolidge" /> यांग हुई ने इस पद्धति का श्रेय जिया जियान के 11वीं शताब्दी के पाठ को दिया है, चूँकि, अब वे लेख भी खो गए हैं।<ref name=Chinese />{{rp|142}}
+हमारे ज्ञान के लिए द्विपद प्रमेय और द्विपद गुणांक की तालिका का पहला सूत्रीकरण, अल-काराजी के एक काम में पाया जा सकता है, जिसे अल-समावली ने अपने अल-बहिर में उद्धृत किया है।<ref>{{Cite web|url=https://core.ac.uk/download/pdf/82000184.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://core.ac.uk/download/pdf/82000184.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|website=core.ac.uk|access-date=2019-01-08|title=द्विपद प्रमेय: मध्यकालीन इस्लामी गणित में एक व्यापक अवधारणा|page=401}}</ref><ref>{{Cite journal|title=अज्ञात को वश में करना। पुरातनता से बीसवीं सदी की शुरुआत तक बीजगणित का इतिहास|url=https://www.ams.org/journals/bull/2015-52-04/S0273-0979-2015-01491-6/S0273-0979-2015-01491-6.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://www.ams.org/journals/bull/2015-52-04/S0273-0979-2015-01491-6/S0273-0979-2015-01491-6.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|page=727|quote=हालांकि, बीजगणित अन्य मामलों में उन्नत हुआ। लगभग 1000, अल-काराजी ने द्विपद प्रमेय को बताया}}</ref><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=vSkClSvU_9AC&pg=PA62|title=अरबी गणित का विकास: अंकगणित और बीजगणित के बीच|last=Rashed|first=R.|date=1994-06-30|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9780792325659|language=en|page=63}}</ref> अल-काराजी ने द्विपद गुणांकों के त्रिकोणीय डिज़ाइन का वर्णन किया<ref name=Karaji>{{MacTutor|id=Al-Karaji|title=Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji}}</ref> और गणितीय प्रेरण के प्रारंभिक रूप का उपयोग करते हुए द्विपद प्रमेय और पास्कल त्रिकोण दोनों का गणितीय प्रमाण भी प्रदान किया।<ref name=Karaji /> फारसी कवि और गणितज्ञ उमर खय्याम अनुमानतः उच्च क्रम के सूत्र से परिचित थे, चूँकि, उनके कई गणितीय कार्य गुम हो गए थे।<ref name="Coolidge" /> 13वीं शताब्दी के यांग हुई के गणितीय कार्यों में छोटी घात के द्विपद विस्तार ज्ञात थे<ref>{{cite web | last = Landau | first = James A. | title =हिस्टोरिया मैटमैटिका मेलिंग लिस्ट आर्काइव: पुन: [एचएम] पास्कल का त्रिभुज| work = Archives of Historia Matematica | format = mailing list email | access-date = 2007-04-13 | date = 1999-05-08 | url = http://archives.math.utk.edu/hypermail/historia/may99/0073.html }}</ref> और चू शिह-चीह भी।<ref name="Coolidge" /> यांग हुई ने इस पद्धति का श्रेय जिया जियान के 11वीं शताब्दी के पाठ को दिया है, चूँकि, अब वे लेख भी खो गए हैं।<ref name=Chinese />{{rp|142}}
 में, माइकल स्टिफ़ेल ने द्विपद गुणांक शब्द को पेश किया और दिखाया कि उन्हें कैसे व्यक्त किया जाए <math>(1+a)^n</math> के अनुसार <math>(1+a)^{n-1}</math>पास्कल के त्रिकोण के माध्यम से।<ref name="Kline">{{cite book|title=गणितीय सोच का इतिहास|first=Morris| last=Kline| author-link=Morris Kline|page=273|publisher=Oxford University Press|year=1972}}</ref> ब्लेज़ पास्कल ने अपने ट्रैटे डू त्रिकोण अंकगणित में व्यापक रूप से नामांकित त्रिभुज का अध्ययन किया।<ref>{{Cite book|last=Katz|first=Victor|title=गणित का इतिहास: एक परिचय|publisher=Addison-Wesley|year=2009|isbn=978-0-321-38700-4|pages=491|chapter=14.3: Elementary Probability}}</ref> चूँकि, संख्याओं का डिज़ाइन पहले ही देर से पुनर्जागरण के यूरोपीय गणितज्ञों के लिए जाना जाता था, जिसमें स्टिफ़ेल, निकोलो फोंटाना टारटाग्लिया और साइमन स्टीविन सम्मिलित थे।<ref name="Kline" />
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 आईएएएसी न्यूटन को सामान्यता सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय के साथ श्रेय दिया जाता है, जो किसी भी तर्कसंगत घातांक के लिए मान्य होता है।<ref name="Kline" /><ref>{{cite book| title=गणित पेपरबैक के इतिहास के तत्व|date=18 November 1998|first=N.|last=Bourbaki|others=J. Meldrum (Translator)|isbn=978-3-540-64767-6|url-access=registration|url=https://archive.org/details/elementsofhistor0000bour}}</ref>
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 == कथन ==
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-अंतिम अभिव्यक्ति प्रथम अभिव्यक्ति में जब {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} की समरूपता होती है और तुलना करके यह इस प्रकार के सूत्र में द्विपद गुणकों का क्रम सममित करता है। तो प्रतिस्थापन (बीजगणित) द्वारा द्विपद सूत्र का सरल संस्करण प्राप्त किया जाता है {{math|1}} के लिये {{mvar|y}}, ताकि इसमें केवल एक चर (गणित) सम्मिलित हो। इस रूप में, सूत्र दिखता है
+अंतिम अभिव्यक्ति प्रथम अभिव्यक्ति में जब {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} की समरूपता होती है और तुलना करके यह इस प्रकार के सूत्र में द्विपद गुणकों का क्रम सममित करता है। तो प्रतिस्थापन(बीजगणित) द्वारा द्विपद सूत्र का सरल संस्करण प्राप्त किया जाता है {{math|1}} के लिये {{mvar|y}}, ताकि इसमें केवल एक चर(गणित) सम्मिलित हो। इस रूप में, सूत्र दिखता है
 द्विपद सूत्र का एक सरल संस्करण y के लिए 1 को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है, चूँकि इसमें केवल एक चर सम्मिलित हो। सूत्र को इस रूप में पढ़ा जा सकता है
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 === ज्यामितीय व्याख्या ===
-[[File:binomial_theorem_visualisation.svg|thumb|300px|चौथी शक्ति तक द्विपद विस्तार का दृश्य]]{{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} के सकारात्मक मूल्यों के लिए द्विपद प्रमेय के साथ {{math|1=''n'' = 2}} ज्यामितीय रूप से स्पष्ट तथ्य यह है कि भुजा {{math|''a'' + ''b''}} वाले वर्ग को भुजा {{mvar|a}} वाले वर्ग, भुजा {{mvar|b}},वाले वर्ग और भुजाओं {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}}.वाले दो आयतों में काटा जा सकता है। {{math|1=''n'' = 3}} के साथ, प्रमेय कहता है कि भुजा {{math|''a'' + ''b''}} के घन को भुजा {{mvar|a}} के घन, भुजा {{mvar|b}} के घन, तीन  {{math|''a'' × ''a'' × ''b''}}  आयताकार बक्से, और तीन {{math|''a'' × ''b'' × ''b''}} आयताकार बक्से में काटा जा सकता है।
+[[File:binomial_theorem_visualisation.svg|thumb|300px|चौथी शक्ति तक द्विपद विस्तार का दृश्य]]{{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} के सकारात्मक मूल्यों के लिए द्विपद प्रमेय के साथ {{math|1=''n'' = 2}} ज्यामितीय रूप से स्पष्ट तथ्य यह है कि भुजा {{math|''a'' + ''b''}} वाले वर्ग को भुजा {{mvar|a}} वाले वर्ग, भुजा {{mvar|b}},वाले वर्ग और भुजाओं {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}}.वाले दो आयतों में बाँटा जा सकता है। {{math|1=''n'' = 3}} के साथ, प्रमेय कहता है कि भुजा {{math|''a'' + ''b''}} के घन को भुजा {{mvar|a}} के घन, भुजा {{mvar|b}} के घन, तीन  {{math|''a'' × ''a'' × ''b''}}  आयताकार बक्से, और तीन {{math|''a'' × ''b'' × ''b''}} आयताकार बक्से में बाँटा जा सकता है।
-कलन में, यह चित्र अवकलज का ज्यामितीय प्रमाण भी देता है <math>(x^n)'=nx^{n-1}:</math><ref name="barth2004">{{cite journal | last = Barth | first = Nils R.| title = ''एन''-क्यूब की समरूपता द्वारा कैवलियरी के चतुर्भुज सूत्र की गणना| doi = 10.2307/4145193 | jstor = 4145193 | journal = The American Mathematical Monthly| issn = 0002-9890| volume = 111| issue = 9| pages = 811–813 | date=2004}}</ref> अगर कोई सम्मुचय करता है <math>a=x</math> तथा <math>b=\Delta x,</math> {{mvar|b}} को {{mvar|a}} में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन के रूप में व्याख्या करना,  यह चित्र एक {{mvar|n}}-आयामी अतिविम के आयतन में अतिसूक्ष्म परिवर्तन को दर्शाता है,<math>(x+\Delta x)^n,</math> जहां रैखिक शब्द का गुणांक (में <math>\Delta x</math>) है <math>nx^{n-1},</math>  {{mvar|n}} फलकों का क्षेत्र, प्रत्येक का आयाम {{math|''n'' &minus; 1}} है<math display="block">(x+\Delta x)^n = x^n + nx^{n-1}\Delta x + \binom{n}{2}x^{n-2}(\Delta x)^2 + \cdots.</math>एक अंतर भागफल और सीमा लेने के माध्यम से व्युत्पन्न की परिभाषा में इसे प्रतिस्थापित करने का अर्थ है कि उच्च क्रम की शर्तें, <math>(\Delta x)^2</math> और उच्चतर, नगण्य हो जाते हैं, और सूत्र प्राप्त करते हैं <math>(x^n)'=nx^{n-1},</math> के रूप में व्याख्या की है, किसी {{mvar|n}}-घन के आयतन में परिवर्तन की अतिसूक्ष्म दर, भुजा की लंबाई के रूप में भिन्न होती है, इसके {{math|(''n'' &minus; 1)}} विमीय फलकों के n का क्षेत्रफ है।
+कलन में, यह चित्र अवकलज का ज्यामितीय प्रमाण भी देता है <math>(x^n)'=nx^{n-1}:</math><ref name="barth2004">{{cite journal | last = Barth | first = Nils R.| title = ''एन''-क्यूब की समरूपता द्वारा कैवलियरी के चतुर्भुज सूत्र की गणना| doi = 10.2307/4145193 | jstor = 4145193 | journal = The American Mathematical Monthly| issn = 0002-9890| volume = 111| issue = 9| pages = 811–813 | date=2004}}</ref> अगर कोई सम्मुचय करता है <math>a=x</math> तथा <math>b=\Delta x,</math> {{mvar|b}} को {{mvar|a}} में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन के रूप में व्याख्या करना, यह चित्र एक{{mvar|n}}-आयामी अतिविम के आयतन में अतिसूक्ष्म परिवर्तन को दर्शाता है,<math>(x+\Delta x)^n,</math> जहां रैखिक शब्द का गुणांक (में <math>\Delta x</math>) है <math>nx^{n-1},</math>  {{mvar|n}} फलकों का क्षेत्र, प्रत्येक का आयाम {{math|''n'' &minus; 1}} है<math display="block">(x+\Delta x)^n = x^n + nx^{n-1}\Delta x + \binom{n}{2}x^{n-2}(\Delta x)^2 + \cdots.</math>एक अंतर भागफल और सीमा लेने के माध्यम से व्युत्पन्न की परिभाषा में इसे प्रतिस्थापित करने का अर्थ है कि उच्च क्रम की शर्तें, <math>(\Delta x)^2</math> और उच्चतर, नगण्य हो जाते हैं, और सूत्र प्राप्त करते हैं <math>(x^n)'=nx^{n-1},</math> के रूप में व्याख्या की है, किसी {{mvar|n}}-घन के आयतन में परिवर्तन की अतिसूक्ष्म दर, भुजा की लंबाई के रूप में भिन्न होती है, इसके {{math|(''n'' &minus; 1)}} विमीय फलकों के n का क्षेत्रफ है।
 यदि कोई इस चित्र को समाकलित करता है, जो कलन के मौलिक प्रमेय को लागू करने के अनुरूप है, तो उससे कैवलियरी का चतुर्भुज सूत्र, समाकलन प्राप्त होता है <math>\textstyle{\int x^{n-1}\,dx = \tfrac{1}{n} x^n}</math> - विवरण के लिए कैवलियरी के चतुर्भुज सूत्र का प्रमाण देखें।<ref name="barth2004" />
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     &= x^3 + 3x^2y + \underline{3xy^2} + y^3
 \end{align}</math>
-बराबर <math>\tbinom{3}{2}=3</math> क्योंकि वहाँ तीन {{math|''x'',''y''}} लंबाई 3 के तार बिल्कुल दो वाईएस के साथ हैं, अर्थात्।
+बराबर <math>\tbinom{3}{2}=3</math> क्योंकि वहाँ तीन {{math|''x'',''y''}} लंबाई 3 के तार बिल्कुल साथ हैं, अर्थात्।
 <math display="block">xyy, \; yxy, \; yyx,</math>
 अर्थात्{{math|{{mset|1, 2, 3}}}},के तीन-तत्वों के 2-उपसमूहों के अनुरूप,
@@ Line 179: / Line 179: @@
 तो, उदाहरण के लिए, जब {{math|1=''s'' = 1/2}} है,
 <math display="block">\frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 -\frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + \frac{35}{128}x^4 - \frac{63}{256}x^5 + \cdots</math>
-=== आगे सामान्यीकरण ===
+=== सामान्यीकरण ===
 सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय को इस स्थिति तक बढ़ाया जा सकता है जहां {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} जटिल संख्याएँ हैं। इस संस्करण में, एक को फिर से {{math|{{abs|''x''}} > {{abs|''y''}}}}<ref name="convergence" group="Note" />मान लेना चाहिए और {{mvar|x}} पर केंद्रित त्रिज्या {{math|{{abs|''x''}}}} की एक खुली डिस्क पर परिभाषित लॉग की पूर्ण सममितिक शाखा का उपयोग करके {{math|1=''x'' + ''y''}} और {{mvar|x}} की घातो को परिभाषित करता है। सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय बानाख बीजगणित के तत्वों {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} के लिए मान्य है जब तक कि {{math|1=''xy'' = ''yx''}}, और {{mvar|x}} व्युत्क्रमणीय है, और {{math|{{!}}{{!}}y/x{{!}}{{!}} < 1}}.है
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 जटिल संख्याओं के लिए द्विपद प्रमेय को ज्या और कोसाइन के लिए बहु-कोण सूत्र प्राप्त करने के लिए डी मोइवर के सूत्र के साथ जोड़ा जा सकता है। डी मोइवर के सूत्र के अनुसार,<math display="block">\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right) = \left(\cos x+i\sin x\right)^n.</math>
-द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए, दाहिनी ओर के व्यंजक (गणित) का विस्तार किया जा सकता है, और फिर वास्तविक और काल्पनिक भाग, कोज्या (एनएक्स) और ज्या ( एनएक्स) के सूत्र प्रस्तुत करने के लिए लिया जा सकता है।.उदाहरण के लिए, क्योंकि
+द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए, दाहिनी ओर के व्यंजक(गणित) का विस्तार किया जा सकता है, और फिर वास्तविक और काल्पनिक भाग, कोज्या(एनएक्स) और ज्या( एनएक्स) के सूत्र प्रस्तुत करने के लिए लिया जा सकता है।.उदाहरण के लिए, क्योंकि
 <math display="block">\left(\cos x + i\sin x\right)^2 = \cos^2 x + 2i \cos x \sin x - \sin^2 x,</math>
 डी मोइवर का सूत्र हमें यह बताता है
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 === ई के लिए श्रृंखला ===
-संख्या {{mvar|e}} (गणितीय स्थिरांक) को अधिकांशता सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है।
+संख्या {{mvar|e}}(गणितीय स्थिरांक) को अधिकांशता सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है।
 <math display="block">e = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.</math>
 द्विपद प्रमेय को इस अभिव्यक्ति पर लागू करने से {{mvar|e}} के लिए सामान्य अनंत श्रृंखला प्राप्त होती है। विशेष रूप से,
@@ Line 250: / Line 250: @@
 <math display="block">e=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}=\frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots.</math>वास्तव में, चूंकि द्विपद विस्तार का प्रत्येक पद {{mvar|n}} का वर्धमान फलन है, यह श्रृंखला के लिए एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय से अनुसरण करता है कि इस अनंत श्रृंखला का योग {{mvar|e}} के बराबर होता है।
 === संभावना ===
-द्विपद प्रमेय का निकटता से संबंधित द्विपद बंटन की प्रायिकता द्रव्यमान फलन से है। स्वतंत्र बर्नोली परीक्षणों के एक (गणनीय) संग्रह की प्रायिकता <math>\{X_t\}_{t\in S}</math> सफलता की संभावना के साथ <math>p\in [0,1]</math> सब कुछ ठीक नहीं है
+द्विपद प्रमेय का निकटता से संबंधित द्विपद बंटन की प्रायिकता द्रव्यमान फलन से है। स्वतंत्र बर्नोली परीक्षणों के एक(गणनीय) संग्रह की प्रायिकता <math>\{X_t\}_{t\in S}</math> सफलता की संभावना के साथ <math>p\in [0,1]</math> सब कुछ ठीक नहीं है
 :<math> P\left(\bigcap_{t\in S} X_t^C\right) = (1-p)^{|S|} = \sum_{n=0}^{|S|} {|S| \choose n} (-p)^n.</math>
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 * {{cite journal|last=Bag|first=Amulya Kumar|year=1966|title=Binomial theorem in ancient India|journal=Indian J. History Sci|volume=1|issue=1|pages=68–74}}
 * {{cite book|last1=Graham|first1=Ronald|first2=Donald |last2=Knuth|first3= Oren|last3= Patashnik|title=Concrete Mathematics|url=https://archive.org/details/concretemathemat00grah_444|url-access=limited|publisher=Addison Wesley|year=1994|edition=2nd|pages=[https://archive.org/details/concretemathemat00grah_444/page/n165 153]–256|chapter=(5) Binomial Coefficients|isbn=978-0-201-55802-9|oclc=17649857}}
-==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची==
 == बाहरी संबंध ==
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 {{Calculus topics}}
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v t e पथरी
Prealculus	द्विपद प्रमेय अवतल कार्य निरंतर कार्य फैक्टरियल परिमित अंतर मुक्त चर और बाध्य चर एक फ़ंक्शन का ग्राफ रैखिक प्रकार्य रेडियन रोले का प्रमेय सेकंट ढलान स्पर्शरेखा
सीमा	अनिश्चित रूप एक फ़ंक्शन की सीमा एकतरफा सीमा एक अनुक्रम की सीमा सन्निकटन का आदेश ((, Δ)-सीमा की सीमा
अंतर कलन	व्युत्पन्न दूसरा व्युत्पन्न आंशिक व्युत्पन्न अंतर विभेदक ऑपरेटर मतलब मान प्रमेय संकेतन Leibniz का अंकन न्यूटन की संकेतन भेदभाव के नियम रैखिकता शक्ति योग चेन l'hôpital's उत्पाद जनरल लीबनिज़ का नियम भागफल अन्य तकनीकें निहित भेदभाव उलटा कार्य और भेदभाव लॉगरिदमिक व्युत्पन्न संबंधित दरें स्थिर बिंदु पहला व्युत्पन्न परीक्षण दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण चरम मूल्य प्रमेय मैक्सिमा और मिनिमा आगे के आवेदन न्यूटन की विधि टेलर का प्रमेय अंतर समीकरण साधारण अंतर समीकरण आंशिक विभेदक समीकरण स्टोचस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन
समाकलन गणित	Antiderivative Arc length Riemann integral Basic properties Constant of integration Fundamental theorem of calculus Differentiating under the integral sign Integration by parts Integration by substitution trigonometric Euler Tangent half-angle substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Washer method Shell method Integral equation Integro-differential equation
वेक्टर कैलकुलस	डेरिवेटिव कर्ल दिशात्मक व्युत्पन्न विचलन ढाल लाप्लासियन बुनियादी प्रमेय लाइन इंटीग्रल ग्रीन स्टोक्स' गॉस '
बहुक्रियाशील पथरी	विचलन प्रमेय ज्यामितीय हेसियन मैट्रिक्स जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक Lagrange गुणक लाइन इंटीग्रल मैट्रिक्स एकाधिक अभिन्न आंशिक व्युत्पन्न सतह अभिन्न वॉल्यूम इंटीग्रल उन्नत विषय विभेदक रूप बाहरी व्युत्पन्न सामान्यीकृत स्टोक्स 'प्रमेय टेंसर कैलकुलस
अनुक्रम और श्रृंखला	अंकगणित-ज्यामितीय अनुक्रम श्रृंखला के प्रकार वैकल्पिक द्विपद फूरियर ज्यामितीय हार्मोनिक अनंत पावर Maclaurin टेलर दूरबीन अभिसरण के परीक्षण हाबिल अल्टरनेटिंग सीरीज़ Cauchy संघनन प्रत्यक्ष तुलना Dirichlet's अभिन्न सीमा तुलना अनुपात रूट शब्द
विशेष कार्य और संख्या	बर्नौली नंबर ई (गणितीय स्थिरांक) घातांक प्रकार्य प्राकृतिक स्टर्लिंग का अनुमान
कैलकुलस का इतिहास	पर्याप्तता ब्रुक टेलर कॉलिन मैक्लोरिन बीजगणित की सामान्यता गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ Infinitesimal Infinitesimal galulus आइजैक न्यूटन फ्लक्सियन निरंतरता का नियम लियोनहार्ड यूलर प्रवाह की विधि यांत्रिक प्रमेय की विधि
सूचियों	भेदभाव नियम घातीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कहीन कार्यों के अभिन्न अंग की सूची लघुगणक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कसंगत कार्यों के अभिन्न अंग की सूची त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची सेकंट सेकेंट क्यूबेड सीमाओं की सूची अभिन्न की सूची
विविध विषय	जटिल पथरी समोच्च अभिन्न अंतर ज्यामिति कई गुना वक्रता घटता सतहों का टेंसर यूलर -मेक्लॉरिन फॉर्मूला गेब्रियल का सींग एकीकरण मधुमक्खी प्रमाण है कि 22/7 से अधिक Regiomontanus 'कोण अधिकतमकरण समस्या स्टाइनमेट्ज़ सॉलिड

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द्विपद प्रमेय: Difference between revisions

Latest revision as of 10:03, 14 December 2022

इतिहास

कथन

उदाहरण

ज्यामितीय व्याख्या

द्विपद गुणांक

सूत्र

मिश्रित व्याख्या

प्रमाण

संयोजन प्रमाण

उदाहरण

सामान्य स्थिति

आगमनात्मक प्रमाण

सामान्यीकरण

न्यूटन का सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय

सामान्यीकरण

बहुपद प्रमेय

बहु-द्विपद प्रमेय

जनरल लीबनिज नियम

अनुप्रयोग

बहु-कोण पहचान

ई के लिए श्रृंखला

संभावना

अमूर्त बीजगणित में

लोकप्रिय संस्कृति में

यह भी देखें

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