द्विपद प्रमेय: Difference between revisions

Latest revision as of 10:03, 14 December 2022

{\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}

द्विपद गुणांक(एनके) पास्कल के त्रिभुज की nवीं पंक्ति में प्रविष्टि के रूप में प्रतीत होता है, गिनती 0 से शुरू होती है। प्रत्येक प्रविष्टि इसके ऊपर दो का योग होता है।

प्रारंभिक बीजगणित में, द्विपद प्रमेय(या द्विपद विस्तार) द्विपद बहुपद के घातांक के बीजगणितीय प्रसार का वर्णन करता है। प्रमेय के अनुसार, बहुपद $(x + y) n$ को $ax b y c$ के रूप में पद वाले योग से विस्तारित करना संभव होता है, जहां घातांक $b$ तथा $c$ के साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक $b + c = n$ हैं और गुणांक $a$ के प्रत्येक पद का एक विशिष्ट धनात्मक पूर्णांक है जो $n$ और $b$ पर निर्भर करता है। तथा उदाहरण के लिए, के लिए $n = 4$ ,

(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.

$ax b y c$ के पद में गुणांक a को द्विपद गुणांक ${\tbinom {n}{b}}$ या ${\tbinom {n}{c}}$ के रूप में जाना जाता है, दोनों का मूल्य समान होता है। अलग-अलग के लिए ये गुणांक $n$ तथा $b$ पास्कल का त्रिभुज बनाने के लिए व्यवस्थित किया जाता है। ये नंबर साहचर्य में भी होते हैं, जहां ${\tbinom {n}{b}}$ उन तत्वों के विभिन्न संयोजनों की संख्या देता है जिन्हें n-तत्व के समुच्चय से चुना जाता है। इसलिए ${\tbinom {n}{b}}$ को अधिकांशता $n$ और $b$ के रूप में उच्चारित किया जाता है।

इतिहास

द्विपद प्रमेय में विशेष स्थितियां कम से कम चौथी शताब्दी ईसा पूर्व से ज्ञात थी, जब यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने घातांक $2$ के लिए द्विपद प्रमेय के विशेष स्थितियो का उल्लेख किया था।^[1]^[2] इस बात के प्रमाण हैं कि घन के लिए द्विपद प्रमेय भारत में छठी शताब्दी ईस्वी तक जाना जाता था।^[1]^[2]

बिना प्रतिस्थापन के $n$ में $k$ वस्तुओं के चयन तरीकों की संख्या को व्यक्त करने वाले संयोजी मात्राओं के रूप में द्विपद गुणांक, प्राचीन भारतीय गणितज्ञों के लिए रुचिकर थे। इस संयोजी समस्या का सबसे पहला ज्ञात संदर्भ, भारतीय गीतकार पिंगला द्वारा रचित चंदशास्त्र है। 200 ईसा पूर्व, जिसमें इसके समाधान की विधि निहित है।^[3]^: 230 10वीं शताब्दी ईस्वी के टिप्पणीकार हलायुध ने इस विधि की व्याख्या की है जिसे अब पास्कल के त्रिकोण के रूप में जाना जाता है।^[3] छठी शताब्दी ईस्वी तक, भारतीय गणितज्ञ अनुमानतः यह जानते थे कि इसे भागफल के रूप में कैसे व्यक्त किया जाए ${\textstyle {\frac {n!}{(n-k)!k!}}}$ ,^[4] और इस नियम का स्पष्ट विवरण भास्कर द्वितीय द्वारा लिखित 12वीं शताब्दी के ग्रंथ लीलावती में पाया जाता है।^[4]

हमारे ज्ञान के लिए द्विपद प्रमेय और द्विपद गुणांक की तालिका का पहला सूत्रीकरण, अल-काराजी के एक काम में पाया जा सकता है, जिसे अल-समावली ने अपने अल-बहिर में उद्धृत किया है।^[5]^[6]^[7] अल-काराजी ने द्विपद गुणांकों के त्रिकोणीय डिज़ाइन का वर्णन किया^[8] और गणितीय प्रेरण के प्रारंभिक रूप का उपयोग करते हुए द्विपद प्रमेय और पास्कल त्रिकोण दोनों का गणितीय प्रमाण भी प्रदान किया।^[8] फारसी कवि और गणितज्ञ उमर खय्याम अनुमानतः उच्च क्रम के सूत्र से परिचित थे, चूँकि, उनके कई गणितीय कार्य गुम हो गए थे।^[2] 13वीं शताब्दी के यांग हुई के गणितीय कार्यों में छोटी घात के द्विपद विस्तार ज्ञात थे^[9] और चू शिह-चीह भी।^[2] यांग हुई ने इस पद्धति का श्रेय जिया जियान के 11वीं शताब्दी के पाठ को दिया है, चूँकि, अब वे लेख भी खो गए हैं।^[3]^: 142

1544 में, माइकल स्टिफ़ेल ने द्विपद गुणांक शब्द को पेश किया और दिखाया कि उन्हें कैसे व्यक्त किया जाए $(1+a)^{n}$ के अनुसार $(1+a)^{n-1}$ पास्कल के त्रिकोण के माध्यम से।^[10] ब्लेज़ पास्कल ने अपने ट्रैटे डू त्रिकोण अंकगणित में व्यापक रूप से नामांकित त्रिभुज का अध्ययन किया।^[11] चूँकि, संख्याओं का डिज़ाइन पहले ही देर से पुनर्जागरण के यूरोपीय गणितज्ञों के लिए जाना जाता था, जिसमें स्टिफ़ेल, निकोलो फोंटाना टारटाग्लिया और साइमन स्टीविन सम्मिलित थे।^[10]

आईएएएसी न्यूटन को सामान्यता सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय के साथ श्रेय दिया जाता है, जो किसी भी तर्कसंगत घातांक के लिए मान्य होता है।^[10]^[12]

कथन

प्रमेय के अनुसार, $x + y$ फॉर्म के योग में किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घात का विस्तार करना संभव होता है।

(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},

जहाँ पे

n\geq 0

एक पूर्णांक है और प्रत्येक

{\tbinom {n}{k}}

एक धनात्मक पूर्णांक है जिसे द्विपद गुणांक के रूप में जाना जाता है। जब घातांक शून्य होता है, तो संबंधित घात अभिव्यक्ति को 1 माना जाता है और इस गुणन कारक को अधिकांशता शब्द से हटा दिया जाता है। इसलिए अधिकांशता दाहिने हाथ की ओर लिखा हुआ दिखाई देता है

{\textstyle {\binom {n}{0}}x^{n}+\cdots }

.) इस सूत्र को द्विपद सूत्र या द्विपद सर्वसमिका भी कहा जाता है। योग संकेतन का उपयोग करके, इसे इस रूप में लिखा जा सकता है।

(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.

अंतिम अभिव्यक्ति प्रथम अभिव्यक्ति में जब $x$ तथा $y$ की समरूपता होती है और तुलना करके यह इस प्रकार के सूत्र में द्विपद गुणकों का क्रम सममित करता है। तो प्रतिस्थापन(बीजगणित) द्वारा द्विपद सूत्र का सरल संस्करण प्राप्त किया जाता है $1$ के लिये $y$ , ताकि इसमें केवल एक चर(गणित) सम्मिलित हो। इस रूप में, सूत्र दिखता है

द्विपद सूत्र का एक सरल संस्करण y के लिए 1 को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है, चूँकि इसमें केवल एक चर सम्मिलित हो। सूत्र को इस रूप में पढ़ा जा सकता है

(1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n},

या समकक्ष

(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k},

या अधिक स्पष्ट रूप से^[13]

(1+x)^{n}=1+nx+{\frac {n(n-1)}{2!}}x^{2}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{3!}}x^{3}+\cdots +nx^{n-1}+x^{n}.

उदाहरण

यहाँ द्विपद प्रमेय के पहले कुछ कारक हैं

{\begin{aligned}(x+y)^{3}&=xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy&(2^{3}{\text{ terms}})\\&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}&(3+1{\text{ terms}})\end{aligned}}

[convergence-16] 1.0 ^1.1 This is to guarantee convergence. Depending on $r$ , the series may also converge sometimes when $| x | = | y |$ .

[wolfram-1] 1.0 ^1.1 Weisstein, Eric W. "द्विपद प्रमेय". Wolfram MathWorld.

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[22] Artin, Algebra, 2nd edition, Pearson, 2018, equation (4.7.11).

[23] "पेसोआ पुरालेख: संपादित कार्य - न्यूटन का द्विपद वीनस डी मिलो जितना सुंदर है।". arquivopessoa.net.

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[Note 1]

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[22]

v t e पथरी
Prealculus	द्विपद प्रमेय अवतल कार्य निरंतर कार्य फैक्टरियल परिमित अंतर मुक्त चर और बाध्य चर एक फ़ंक्शन का ग्राफ रैखिक प्रकार्य रेडियन रोले का प्रमेय सेकंट ढलान स्पर्शरेखा
सीमा	अनिश्चित रूप एक फ़ंक्शन की सीमा एकतरफा सीमा एक अनुक्रम की सीमा सन्निकटन का आदेश ((, Δ)-सीमा की सीमा
अंतर कलन	व्युत्पन्न दूसरा व्युत्पन्न आंशिक व्युत्पन्न अंतर विभेदक ऑपरेटर मतलब मान प्रमेय संकेतन Leibniz का अंकन न्यूटन की संकेतन भेदभाव के नियम रैखिकता शक्ति योग चेन l'hôpital's उत्पाद जनरल लीबनिज़ का नियम भागफल अन्य तकनीकें निहित भेदभाव उलटा कार्य और भेदभाव लॉगरिदमिक व्युत्पन्न संबंधित दरें स्थिर बिंदु पहला व्युत्पन्न परीक्षण दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण चरम मूल्य प्रमेय मैक्सिमा और मिनिमा आगे के आवेदन न्यूटन की विधि टेलर का प्रमेय अंतर समीकरण साधारण अंतर समीकरण आंशिक विभेदक समीकरण स्टोचस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन
समाकलन गणित	Antiderivative Arc length Riemann integral Basic properties Constant of integration Fundamental theorem of calculus Differentiating under the integral sign Integration by parts Integration by substitution trigonometric Euler Tangent half-angle substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Washer method Shell method Integral equation Integro-differential equation
वेक्टर कैलकुलस	डेरिवेटिव कर्ल दिशात्मक व्युत्पन्न विचलन ढाल लाप्लासियन बुनियादी प्रमेय लाइन इंटीग्रल ग्रीन स्टोक्स' गॉस '
बहुक्रियाशील पथरी	विचलन प्रमेय ज्यामितीय हेसियन मैट्रिक्स जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक Lagrange गुणक लाइन इंटीग्रल मैट्रिक्स एकाधिक अभिन्न आंशिक व्युत्पन्न सतह अभिन्न वॉल्यूम इंटीग्रल उन्नत विषय विभेदक रूप बाहरी व्युत्पन्न सामान्यीकृत स्टोक्स 'प्रमेय टेंसर कैलकुलस
अनुक्रम और श्रृंखला	अंकगणित-ज्यामितीय अनुक्रम श्रृंखला के प्रकार वैकल्पिक द्विपद फूरियर ज्यामितीय हार्मोनिक अनंत पावर Maclaurin टेलर दूरबीन अभिसरण के परीक्षण हाबिल अल्टरनेटिंग सीरीज़ Cauchy संघनन प्रत्यक्ष तुलना Dirichlet's अभिन्न सीमा तुलना अनुपात रूट शब्द
विशेष कार्य और संख्या	बर्नौली नंबर ई (गणितीय स्थिरांक) घातांक प्रकार्य प्राकृतिक स्टर्लिंग का अनुमान
कैलकुलस का इतिहास	पर्याप्तता ब्रुक टेलर कॉलिन मैक्लोरिन बीजगणित की सामान्यता गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ Infinitesimal Infinitesimal galulus आइजैक न्यूटन फ्लक्सियन निरंतरता का नियम लियोनहार्ड यूलर प्रवाह की विधि यांत्रिक प्रमेय की विधि
सूचियों	भेदभाव नियम घातीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कहीन कार्यों के अभिन्न अंग की सूची लघुगणक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कसंगत कार्यों के अभिन्न अंग की सूची त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची सेकंट सेकेंट क्यूबेड सीमाओं की सूची अभिन्न की सूची
विविध विषय	जटिल पथरी समोच्च अभिन्न अंतर ज्यामिति कई गुना वक्रता घटता सतहों का टेंसर यूलर -मेक्लॉरिन फॉर्मूला गेब्रियल का सींग एकीकरण मधुमक्खी प्रमाण है कि 22/7 से अधिक Regiomontanus 'कोण अधिकतमकरण समस्या स्टाइनमेट्ज़ सॉलिड

@@ Line 14: / Line 14: @@
 \end{array}
 </math>
-|caption=The [[binomial coefficient]] <math>\tbinom{n}{k}</math> appears as the {{mvar|k}}th entry in the {{mvar|n}}th row of [[Pascal's triangle]] (counting starts at {{math|0}}). Each entry is the sum of the two above it.}}
+|caption=द्विपद गुणांक(एनके) पास्कल के त्रिभुज की nवीं पंक्ति में प्रविष्टि के रूप में प्रतीत होता है, गिनती 0 से शुरू होती है। प्रत्येक प्रविष्टि इसके ऊपर दो का योग होता है।}}
-प्रारंभिक बीजगणित में, द्विपद प्रमेय या द्विपद विस्तार एक द्विपद बहुपद के घातांक के बीजगणितीय प्रसार का वर्णन करता है। प्रमेय के अनुसार, बहुपद {{math|(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} को {{math|''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup>}} के रूप में पद वाले योग से विस्तारित करना संभव है, जहां घातांक {{mvar|b}} तथा {{mvar|c}} के साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक  {{math|1=''b'' + ''c'' = ''n''}} हैं और गुणांक {{mvar|a}} प्रत्येक पद का एक विशिष्ट सकारात्मक पूर्णांक है जो {{mvar|n}} और {{mvar|b}} पर निर्भर करता है।  तथा  उदाहरण के लिए, के लिए {{math|1=''n'' = 4}},<math display="block">(x+y)^4 = x^4 + 4 x^3y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4. </math>
+प्रारंभिक बीजगणित में, द्विपद प्रमेय(या द्विपद विस्तार) द्विपद बहुपद के घातांक के बीजगणितीय प्रसार का वर्णन करता है। प्रमेय के अनुसार, बहुपद {{math|(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} को {{math|''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup>}} के रूप में पद वाले योग से विस्तारित करना संभव होता है, जहां घातांक {{mvar|b}} तथा {{mvar|c}} के साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक {{math|1=''b'' + ''c'' = ''n''}} हैं और गुणांक {{mvar|a}} के प्रत्येक पद का एक विशिष्ट धनात्मक पूर्णांक है जो {{mvar|n}} और {{mvar|b}} पर निर्भर करता है। तथा उदाहरण के लिए, के लिए {{math|1=''n'' = 4}},<math display="block">(x+y)^4 = x^4 + 4 x^3y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4. </math>
+{{math|''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup>}} के पद में गुणांक a को द्विपद गुणांक <math>\tbinom{n}{b}</math> या <math>\tbinom{n}{c}</math> के रूप में जाना जाता है, दोनों का मूल्य समान होता है। अलग-अलग के लिए ये गुणांक {{mvar|n}} तथा {{mvar|b}} पास्कल का त्रिभुज बनाने के लिए व्यवस्थित किया जाता है। ये नंबर साहचर्य में भी होते हैं, जहां <math>\tbinom{n}{b}</math> उन तत्वों के विभिन्न संयोजनों की संख्या देता है जिन्हें n-तत्व के समुच्चय से चुना जाता है। इसलिए <math>\tbinom{n}{b}</math> को अधिकांशता {{mvar|n}} और {{mvar|b}} के रूप में उच्चारित किया जाता है।
+== इतिहास ==
+द्विपद प्रमेय में विशेष स्थितियां कम से कम चौथी शताब्दी ईसा पूर्व से ज्ञात थी, जब यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने घातांक {{math|2}} के लिए द्विपद प्रमेय के विशेष स्थितियो का उल्लेख किया था।<ref name=wolfram>{{cite web| url=http://mathworld.wolfram.com/BinomialTheorem.html|title=द्विपद प्रमेय|website=Wolfram MathWorld|last=Weisstein|first=Eric W.}}</ref><ref name="Coolidge">{{cite journal|title=द्विपद प्रमेय की कहानी|first=J. L.|last=Coolidge|journal=The American Mathematical Monthly| volume=56| issue=3|date=1949|pages=147–157|doi=10.2307/2305028|jstor = 2305028}}</ref> इस बात के प्रमाण हैं कि घन के लिए द्विपद प्रमेय भारत में छठी शताब्दी ईस्वी तक जाना जाता था।<ref name=wolfram /><ref name="Coolidge" />
+बिना प्रतिस्थापन के {{mvar|n}} में {{mvar|k}} वस्तुओं के चयन तरीकों की संख्या को व्यक्त करने वाले संयोजी मात्राओं के रूप में द्विपद गुणांक, प्राचीन भारतीय गणितज्ञों के लिए रुचिकर थे। इस संयोजी समस्या का सबसे पहला ज्ञात संदर्भ, भारतीय गीतकार पिंगला द्वारा रचित चंदशास्त्र है। 200 ईसा पूर्व, जिसमें इसके समाधान की विधि निहित है।<ref name=Chinese>{{cite book|title=चीनी गणित का इतिहास|author1=Jean-Claude Martzloff|author2=S.S. Wilson|author3=J. Gernet|author4=J. Dhombres|publisher=Springer| year=1987}}</ref>{{rp|230}} 10वीं शताब्दी ईस्वी के टिप्पणीकार हलायुध ने इस विधि की व्याख्या की है जिसे अब पास्कल के त्रिकोण के रूप में जाना जाता है।<ref name=Chinese /> छठी शताब्दी ईस्वी तक, भारतीय गणितज्ञ अनुमानतः यह जानते थे कि इसे भागफल के रूप में कैसे व्यक्त किया जाए <math display="inline">\frac{n!}{(n-k)!k!}</math>,<ref name="Biggs">{{cite journal|last=Biggs|first=N. L.|title=कॉम्बिनेटरिक्स की जड़ें| journal=Historia Math.|volume=6|date=1979|issue=2|pages=109–136|doi=10.1016/0315-0860(79)90074-0|doi-access=free}}</ref> और इस नियम का स्पष्ट विवरण भास्कर द्वितीय द्वारा लिखित 12वीं शताब्दी के ग्रंथ लीलावती में पाया जाता है।<ref name="Biggs" />
+हमारे ज्ञान के लिए द्विपद प्रमेय और द्विपद गुणांक की तालिका का पहला सूत्रीकरण, अल-काराजी के एक काम में पाया जा सकता है, जिसे अल-समावली ने अपने अल-बहिर में उद्धृत किया है।<ref>{{Cite web|url=https://core.ac.uk/download/pdf/82000184.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://core.ac.uk/download/pdf/82000184.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|website=core.ac.uk|access-date=2019-01-08|title=द्विपद प्रमेय: मध्यकालीन इस्लामी गणित में एक व्यापक अवधारणा|page=401}}</ref><ref>{{Cite journal|title=अज्ञात को वश में करना। पुरातनता से बीसवीं सदी की शुरुआत तक बीजगणित का इतिहास|url=https://www.ams.org/journals/bull/2015-52-04/S0273-0979-2015-01491-6/S0273-0979-2015-01491-6.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://www.ams.org/journals/bull/2015-52-04/S0273-0979-2015-01491-6/S0273-0979-2015-01491-6.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|page=727|quote=हालांकि, बीजगणित अन्य मामलों में उन्नत हुआ। लगभग 1000, अल-काराजी ने द्विपद प्रमेय को बताया}}</ref><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=vSkClSvU_9AC&pg=PA62|title=अरबी गणित का विकास: अंकगणित और बीजगणित के बीच|last=Rashed|first=R.|date=1994-06-30|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9780792325659|language=en|page=63}}</ref> अल-काराजी ने द्विपद गुणांकों के त्रिकोणीय डिज़ाइन का वर्णन किया<ref name=Karaji>{{MacTutor|id=Al-Karaji|title=Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji}}</ref> और गणितीय प्रेरण के प्रारंभिक रूप का उपयोग करते हुए द्विपद प्रमेय और पास्कल त्रिकोण दोनों का गणितीय प्रमाण भी प्रदान किया।<ref name=Karaji /> फारसी कवि और गणितज्ञ उमर खय्याम अनुमानतः उच्च क्रम के सूत्र से परिचित थे, चूँकि, उनके कई गणितीय कार्य गुम हो गए थे।<ref name="Coolidge" /> 13वीं शताब्दी के यांग हुई के गणितीय कार्यों में छोटी घात के द्विपद विस्तार ज्ञात थे<ref>{{cite web | last = Landau | first = James A. | title =हिस्टोरिया मैटमैटिका मेलिंग लिस्ट आर्काइव: पुन: [एचएम] पास्कल का त्रिभुज| work = Archives of Historia Matematica | format = mailing list email | access-date = 2007-04-13 | date = 1999-05-08 | url = http://archives.math.utk.edu/hypermail/historia/may99/0073.html }}</ref> और चू शिह-चीह भी।<ref name="Coolidge" /> यांग हुई ने इस पद्धति का श्रेय जिया जियान के 11वीं शताब्दी के पाठ को दिया है, चूँकि, अब वे लेख भी खो गए हैं।<ref name=Chinese />{{rp|142}}
+में, माइकल स्टिफ़ेल ने द्विपद गुणांक शब्द को पेश किया और दिखाया कि उन्हें कैसे व्यक्त किया जाए <math>(1+a)^n</math> के अनुसार <math>(1+a)^{n-1}</math>पास्कल के त्रिकोण के माध्यम से।<ref name="Kline">{{cite book|title=गणितीय सोच का इतिहास|first=Morris| last=Kline| author-link=Morris Kline|page=273|publisher=Oxford University Press|year=1972}}</ref> ब्लेज़ पास्कल ने अपने ट्रैटे डू त्रिकोण अंकगणित में व्यापक रूप से नामांकित त्रिभुज का अध्ययन किया।<ref>{{Cite book|last=Katz|first=Victor|title=गणित का इतिहास: एक परिचय|publisher=Addison-Wesley|year=2009|isbn=978-0-321-38700-4|pages=491|chapter=14.3: Elementary Probability}}</ref> चूँकि, संख्याओं का डिज़ाइन पहले ही देर से पुनर्जागरण के यूरोपीय गणितज्ञों के लिए जाना जाता था, जिसमें स्टिफ़ेल, निकोलो फोंटाना टारटाग्लिया और साइमन स्टीविन सम्मिलित थे।<ref name="Kline" />
+आईएएएसी न्यूटन को सामान्यता सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय के साथ श्रेय दिया जाता है, जो किसी भी तर्कसंगत घातांक के लिए मान्य होता है।<ref name="Kline" /><ref>{{cite book| title=गणित पेपरबैक के इतिहास के तत्व|date=18 November 1998|first=N.|last=Bourbaki|others=J. Meldrum (Translator)|isbn=978-3-540-64767-6|url-access=registration|url=https://archive.org/details/elementsofhistor0000bour}}</ref>
-{{math|''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup>}} के पद में गुणांक a को द्विपद गुणांक <math>\tbinom{n}{b}</math> या <math>\tbinom{n}{c}</math> के रूप में जाना जाता है, दोनों का मूल्य समान होता है। अलग-अलग के लिए ये गुणांक {{mvar|n}} तथा {{mvar|b}} पास्कल का त्रिभुज बनाने के लिए व्यवस्थित किया जा सकता है। ये नंबर साहचर्य में भी होते हैं, जहां <math>\tbinom{n}{b}</math>उन  तत्वों के विभिन्न संयोजनों की संख्या देता है जिन्हें n-तत्व के समुच्चय से चुना जाता है। इसलिए <math>\tbinom{n}{b}</math> को अक्सर {{mvar|n}} और {{mvar|b}} के रूप में उच्चारित किया जाता है।
-== इतिहास ==
-द्विपद प्रमेय के विशेष मामले कम से कम चौथी शताब्दी ईसा पूर्व से ज्ञात थे जब यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने  घातांक {{math|2}}  के लिए द्विपद प्रमेय के विशेष मामले का उल्लेख किया था।.<ref name=wolfram>{{cite web| url=http://mathworld.wolfram.com/BinomialTheorem.html|title=द्विपद प्रमेय|website=Wolfram MathWorld|last=Weisstein|first=Eric W.}}</ref><ref name="Coolidge">{{cite journal|title=द्विपद प्रमेय की कहानी|first=J. L.|last=Coolidge|journal=The American Mathematical Monthly| volume=56| issue=3|date=1949|pages=147–157|doi=10.2307/2305028|jstor = 2305028}}</ref> इस बात के सबूत हैं कि घनफल के लिए द्विपद प्रमेय भारत में छठी शताब्दी ईस्वी तक जाना जाता था।<ref name=wolfram /><ref name="Coolidge" />
-बिना प्रतिस्थापन के {{mvar|n}} में {{mvar|k}}  वस्तुओं के चयन तरीकों की संख्या को व्यक्त करने वाले संयोजी मात्राओं के रूप में द्विपद गुणांक, प्राचीन भारतीय गणितज्ञों के लिए रुचिकर थे। इस मिश्रित समस्या का सबसे पहला ज्ञात संदर्भ भारतीय गीतकार पिंगला द्वारा रचित चंदशास्त्र (सी. 200 ई.पू.) है, जिसमें इसके समाधान के लिए एक विधि सम्मिलित है।<ref name=Chinese>{{cite book|title=चीनी गणित का इतिहास|author1=Jean-Claude Martzloff|author2=S.S. Wilson|author3=J. Gernet|author4=J. Dhombres|publisher=Springer| year=1987}}</ref>{{rp|230}} 10वीं शताब्दी ईस्वी के टिप्पणीकार हलायुध ने इस विधि की व्याख्या की है जिसे अब पास्कल के त्रिकोण के रूप में जाना जाता है।<ref name=Chinese />  छठी शताब्दी ईस्वी तक, भारतीय गणितज्ञ शायद यह जानते थे कि इसे भागफल के रूप में कैसे व्यक्त किया जाए <math display="inline">\frac{n!}{(n-k)!k!}</math>,<ref name="Biggs">{{cite journal|last=Biggs|first=N. L.|title=कॉम्बिनेटरिक्स की जड़ें| journal=Historia Math.|volume=6|date=1979|issue=2|pages=109–136|doi=10.1016/0315-0860(79)90074-0|doi-access=free}}</ref> और इस नियम का स्पष्ट विवरण भास्कर द्वितीय द्वारा लिखित 12वीं शताब्दी के ग्रंथ लीलावती में पाया जा सकता है।<ref name="Biggs" />
-हमारे ज्ञान के लिए द्विपद प्रमेय और द्विपद गुणांक की तालिका का पहला सूत्रीकरण, अल-काराजी के एक काम में पाया जा सकता है, जिसे अल-समावली ने अपने अल-बहिर में उद्धृत किया है।<ref>{{Cite web|url=https://core.ac.uk/download/pdf/82000184.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://core.ac.uk/download/pdf/82000184.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|website=core.ac.uk|access-date=2019-01-08|title=द्विपद प्रमेय: मध्यकालीन इस्लामी गणित में एक व्यापक अवधारणा|page=401}}</ref><ref>{{Cite journal|title=अज्ञात को वश में करना। पुरातनता से बीसवीं सदी की शुरुआत तक बीजगणित का इतिहास|url=https://www.ams.org/journals/bull/2015-52-04/S0273-0979-2015-01491-6/S0273-0979-2015-01491-6.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://www.ams.org/journals/bull/2015-52-04/S0273-0979-2015-01491-6/S0273-0979-2015-01491-6.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|page=727|quote=हालांकि, बीजगणित अन्य मामलों में उन्नत हुआ। लगभग 1000, अल-काराजी ने द्विपद प्रमेय}}</ref को बताया><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=vSkClSvU_9AC&pg=PA62|title=अरबी गणित का विकास: अंकगणित और बीजगणित के बीच|last=Rashed|first=R.|date=1994-06-30|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9780792325659|language=en|page=63}}</ref> अल-काराजी ने द्विपद गुणांकों के त्रिकोणीय पैटर्न का वर्णन किया<ref name=Karaji>{{MacTutor|id=Al-Karaji|title=Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji}}</ref> और गणितीय प्रेरण के प्रारंभिक रूप का उपयोग करते हुए द्विपद प्रमेय और पास्कल त्रिकोण दोनों का गणितीय प्रमाण भी प्रदान किया।<ref name=Karaji />  फारसी कवि और गणितज्ञ उमर खय्याम शायद उच्च क्रम के सूत्र से परिचित थे, चूँकि, उनके कई गणितीय कार्य बर्बाद हो गए थे।<ref name="Coolidge" /> 13वीं शताब्दी के यांग हुई के गणितीय कार्यों में छोटी घात के द्विपद विस्तार ज्ञात थे<ref>{{cite web | last = Landau | first = James A. | title =हिस्टोरिया मैटमैटिका मेलिंग लिस्ट आर्काइव: पुन: [एचएम] पास्कल का त्रिभुज| work = Archives of Historia Matematica | format = mailing list email | access-date = 2007-04-13 | date = 1999-05-08 | url = http://archives.math.utk.edu/hypermail/historia/may99/0073.html }}</ref> और चू शिह-चीह भी।<ref name="Coolidge" /> यांग हुई ने इस पद्धति का श्रेय जिया जियान के 11वीं शताब्दी के बहुत पहले के पाठ को दिया है, हालांकि अब वे लेख भी खो गए हैं।<ref name=Chinese />{{rp|142}}
-में, माइकल स्टिफ़ेल ने द्विपद गुणांक शब्द पेश किया और दिखाया कि उन्हें कैसे व्यक्त किया जाए <math>(1+a)^n</math> के अनुसार <math>(1+a)^{n-1}</math>पास्कल के त्रिकोण के माध्यम से।<ref name="Kline">{{cite book|title=गणितीय सोच का इतिहास|first=Morris| last=Kline| author-link=Morris Kline|page=273|publisher=Oxford University Press|year=1972}}</ref> ब्लेज़ पास्कल ने अपने ट्रैटे डू त्रिकोण अंकगणित में व्यापक रूप से नामांकित त्रिभुज का अध्ययन किया।<ref>{{Cite book|last=Katz|first=Victor|title=गणित का इतिहास: एक परिचय|publisher=Addison-Wesley|year=2009|isbn=978-0-321-38700-4|pages=491|chapter=14.3: Elementary Probability}}</ref> हालांकि, संख्याओं का पैटर्न पहले से ही देर से पुनर्जागरण के यूरोपीय गणितज्ञों के लिए जाना जाता था, जिसमें स्टिफ़ेल, निकोलो फोंटाना टारटाग्लिया और साइमन स्टीविन सम्मिलित थे।<ref name="Kline" />
-आइजैक न्यूटन को आम तौर पर सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय का श्रेय दिया जाता है, जो किसी भी तर्कसंगत घातांक के लिए मान्य होता है।<ref name="Kline" /><ref>{{cite book| title=गणित पेपरबैक के इतिहास के तत्व|date=18 November 1998|first=N.|last=Bourbaki|others=J. Meldrum (Translator)|isbn=978-3-540-64767-6|url-access=registration|url=https://archive.org/details/elementsofhistor0000bour}}</ref>
 == कथन ==
-प्रमेय के अनुसार, {{math|''x'' + ''y''}} फॉर्म के योग में किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घात का विस्तार करना संभव है
+प्रमेय के अनुसार, {{math|''x'' + ''y''}} फॉर्म के योग में किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घात का विस्तार करना संभव होता है।
 <math display="block">(x+y)^n = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1} y^1 + {n \choose 2}x^{n-2} y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n,</math>
-जहाँ पे <math>n \geq 0</math> एक पूर्णांक है और प्रत्येक <math> \tbinom nk </math> एक सकारात्मक पूर्णांक है जिसे द्विपद गुणांक के रूप में जाना जाता है। जब एक घातांक शून्य होता है, तो संबंधित घात अभिव्यक्ति को 1 माना जाता है और इस गुणन कारक को अक्सर शब्द से हटा दिया जाता है। इसलिए अक्सर दाहिने हाथ की ओर लिखा हुआ दिखाई देता है <math display="inline">\binom{n}{0} x^n + \cdots</math>.) इस सूत्र को द्विपद सूत्र या द्विपद सर्वसमिका भी कहा जाता है। संकलन अंकन पद्धति का उपयोग कर के इसे इस रूप में लिखा जाता है।
+जहाँ पे <math>n \geq 0</math> एक पूर्णांक है और प्रत्येक <math> \tbinom nk </math> एक धनात्मक पूर्णांक है जिसे द्विपद गुणांक के रूप में जाना जाता है। जब घातांक शून्य होता है, तो संबंधित घात अभिव्यक्ति को 1 माना जाता है और इस गुणन कारक को अधिकांशता शब्द से हटा दिया जाता है। इसलिए अधिकांशता दाहिने हाथ की ओर लिखा हुआ दिखाई देता है <math display="inline">\binom{n}{0} x^n + \cdots</math>.) इस सूत्र को द्विपद सूत्र या द्विपद सर्वसमिका भी कहा जाता है। योग संकेतन का उपयोग करके, इसे इस रूप में लिखा जा सकता है।<math display="block">(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}y^{n-k}.</math>
-<math display="block">(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}y^{n-k}.</math>
-अंतिम अभिव्यक्ति प्रथम अभिव्यक्ति में जब {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} की समरूपता होती है और तुलना करके यह इस प्रकार है कि सूत्र में द्विपद गुणकों का क्रम सममित होता है। प्रतिस्थापन (बीजगणित) द्वारा द्विपद सूत्र का एक सरल संस्करण प्राप्त किया जाता है {{math|1}} के लिये {{mvar|y}}, ताकि इसमें केवल एक चर (गणित) शामिल हो। इस रूप में, सूत्र पढ़ता है
-द्विपद सूत्र का एक सरल संस्करण y के लिए 1 को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है, ताकि इसमें केवल एक चर सम्मिलित कर के, इसे सूत्र के रूप में सूत्र पढ़ा जा सके
+अंतिम अभिव्यक्ति प्रथम अभिव्यक्ति में जब {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} की समरूपता होती है और तुलना करके यह इस प्रकार के सूत्र में द्विपद गुणकों का क्रम सममित करता है। तो प्रतिस्थापन(बीजगणित) द्वारा द्विपद सूत्र का सरल संस्करण प्राप्त किया जाता है {{math|1}} के लिये {{mvar|y}}, ताकि इसमें केवल एक चर(गणित) सम्मिलित हो। इस रूप में, सूत्र दिखता है
+द्विपद सूत्र का एक सरल संस्करण y के लिए 1 को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है, चूँकि इसमें केवल एक चर सम्मिलित हो। सूत्र को इस रूप में पढ़ा जा सकता है
 <math display="block">(1+x)^n = {n \choose 0}x^0 + {n \choose 1}x^1 + {n \choose 2}x^2 + \cdots + {n \choose {n-1}}x^{n-1} + {n \choose n}x^n,</math>
 या समकक्ष
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 == उदाहरण ==
-यहाँ द्विपद प्रमेय के पहले कुछ मामले हैं
+यहाँ द्विपद प्रमेय के पहले कुछ कारक हैं
 <math display="block">\begin{align}
 (x+y)^0 & = 1, \\[8pt]
@@ Line 59: / Line 71: @@
 (x+y)^8 & = x^8 + 8x^7y + 28x^6y^2 + 56x^5y^3 + 70x^4y^4 + 56x^3y^5 + 28x^2y^6 + 8xy^7 + y^8.
 \end{align}</math>
-सामान्य तौर पर,  {{math|(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} के विस्तार के लिए {{mvar|n}}वीं पंक्ति में दाहिनी ओर क्रमांकित ताकि शीर्ष पंक्ति 0 वीं पंक्ति हो,
+सामान्यता , {{math|(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} के विस्तार के लिए {{mvar|n}}वीं पंक्ति में दाहिनी ओर क्रमांकित चूँकि शीर्ष पंक्ति 0 वीं पंक्ति हो,
 * पदों में {{mvar|x}} के घातांक {{math|''n'', ''n'' − 1, ..., 2, 1, 0}} हैं, अंतिम पद में अंतर्निहित रूप से {{math|1=''x''<sup>0</sup> = 1}},
-* शब्दों में {{mvar|y}} के घातांक {{math|0, 1, 2, ..., ''n'' − 1, ''n''}} हैं, पहले पद में स्पष्ट रूप से  {{math|1=''y''<sup>0</sup> = 1}}) सम्मिलित है,
+* शब्दों में {{mvar|y}} के घातांक {{math|0, 1, 2, ..., ''n'' − 1, ''n''}} हैं, पहले पद में स्पष्ट रूप से {{math|1=''y''<sup>0</sup> = 1}}) सम्मिलित है,
 * गुणांक पास्कल के त्रिभुज की {{mvar|n}}वीं पंक्ति बनाते हैं
 * समान पदों के संयोजन से पहले, विस्तार में {{math|2<sup>''n''</sup>}} वाँ पद {{math|''x''<sup>''i''</sup>''y''<sup>''j''</sup>}} नहीं दिखाया गया
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 === ज्यामितीय व्याख्या ===
-[[File:binomial_theorem_visualisation.svg|thumb|300px|चौथी शक्ति तक द्विपद विस्तार का दृश्य]]{{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} के सकारात्मक मूल्यों के लिए द्विपद प्रमेय के साथ {{math|1=''n'' = 2}} ज्यामितीय रूप से स्पष्ट तथ्य यह है कि भुजा {{math|''a'' + ''b''}} वाले वर्ग को भुजा {{mvar|a}} वाले वर्ग, भुजा {{mvar|b}},वाले वर्ग और भुजाओं {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}}.वाले दो आयतों में काटा जा सकता है। {{math|1=''n'' = 3}} के साथ, प्रमेय कहता है कि भुजा {{math|''a'' + ''b''}} के घन को भुजा {{mvar|a}} के घन, भुजा {{mvar|b}} के घन, तीन  {{math|''a'' × ''a'' × ''b''}}  आयताकार बक्से, और तीन {{math|''a'' × ''b'' × ''b''}} आयताकार बक्से में काटा जा सकता है।
+[[File:binomial_theorem_visualisation.svg|thumb|300px|चौथी शक्ति तक द्विपद विस्तार का दृश्य]]{{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} के सकारात्मक मूल्यों के लिए द्विपद प्रमेय के साथ {{math|1=''n'' = 2}} ज्यामितीय रूप से स्पष्ट तथ्य यह है कि भुजा {{math|''a'' + ''b''}} वाले वर्ग को भुजा {{mvar|a}} वाले वर्ग, भुजा {{mvar|b}},वाले वर्ग और भुजाओं {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}}.वाले दो आयतों में बाँटा जा सकता है। {{math|1=''n'' = 3}} के साथ, प्रमेय कहता है कि भुजा {{math|''a'' + ''b''}} के घन को भुजा {{mvar|a}} के घन, भुजा {{mvar|b}} के घन, तीन  {{math|''a'' × ''a'' × ''b''}}  आयताकार बक्से, और तीन {{math|''a'' × ''b'' × ''b''}} आयताकार बक्से में बाँटा जा सकता है।
-कलन में, यह चित्र अवकलज का ज्यामितीय प्रमाण भी देता है <math>(x^n)'=nx^{n-1}:</math><ref name="barth2004">{{cite journal | last = Barth | first = Nils R.| title = ''एन''-क्यूब की समरूपता द्वारा कैवलियरी के चतुर्भुज सूत्र की गणना| doi = 10.2307/4145193 | jstor = 4145193 | journal = The American Mathematical Monthly| issn = 0002-9890| volume = 111| issue = 9| pages = 811–813 | date=2004}}</ref> अगर कोई सम्मुचय करता है <math>a=x</math> तथा <math>b=\Delta x,</math> {{mvar|b}} को {{mvar|a}} में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन के रूप में व्याख्या करना,  यह चित्र एक {{mvar|n}}-आयामी अतिविम के आयतन में अतिसूक्ष्म परिवर्तन को दर्शाता है,<math>(x+\Delta x)^n,</math> जहां रैखिक शब्द का गुणांक (में <math>\Delta x</math>) है <math>nx^{n-1},</math>  {{mvar|n}} फेसेस का क्षेत्र, प्रत्येक का आयाम {{math|''n'' &minus; 1}} है<math display="block">(x+\Delta x)^n = x^n + nx^{n-1}\Delta x + \binom{n}{2}x^{n-2}(\Delta x)^2 + \cdots.</math>
+कलन में, यह चित्र अवकलज का ज्यामितीय प्रमाण भी देता है <math>(x^n)'=nx^{n-1}:</math><ref name="barth2004">{{cite journal | last = Barth | first = Nils R.| title = ''एन''-क्यूब की समरूपता द्वारा कैवलियरी के चतुर्भुज सूत्र की गणना| doi = 10.2307/4145193 | jstor = 4145193 | journal = The American Mathematical Monthly| issn = 0002-9890| volume = 111| issue = 9| pages = 811–813 | date=2004}}</ref> अगर कोई सम्मुचय करता है <math>a=x</math> तथा <math>b=\Delta x,</math> {{mvar|b}} को {{mvar|a}} में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन के रूप में व्याख्या करना, यह चित्र एक{{mvar|n}}-आयामी अतिविम के आयतन में अतिसूक्ष्म परिवर्तन को दर्शाता है,<math>(x+\Delta x)^n,</math> जहां रैखिक शब्द का गुणांक (में <math>\Delta x</math>) है <math>nx^{n-1},</math>  {{mvar|n}} फलकों का क्षेत्र, प्रत्येक का आयाम {{math|''n'' &minus; 1}} है<math display="block">(x+\Delta x)^n = x^n + nx^{n-1}\Delta x + \binom{n}{2}x^{n-2}(\Delta x)^2 + \cdots.</math>एक अंतर भागफल और सीमा लेने के माध्यम से व्युत्पन्न की परिभाषा में इसे प्रतिस्थापित करने का अर्थ है कि उच्च क्रम की शर्तें, <math>(\Delta x)^2</math> और उच्चतर, नगण्य हो जाते हैं, और सूत्र प्राप्त करते हैं <math>(x^n)'=nx^{n-1},</math> के रूप में व्याख्या की है, किसी {{mvar|n}}-घन के आयतन में परिवर्तन की अतिसूक्ष्म दर, भुजा की लंबाई के रूप में भिन्न होती है, इसके {{math|(''n'' &minus; 1)}} विमीय फलकों के n का क्षेत्रफ है।
+यदि कोई इस चित्र को समाकलित करता है, जो कलन के मौलिक प्रमेय को लागू करने के अनुरूप है, तो उससे कैवलियरी का चतुर्भुज सूत्र, समाकलन प्राप्त होता है <math>\textstyle{\int x^{n-1}\,dx = \tfrac{1}{n} x^n}</math> - विवरण के लिए कैवलियरी के चतुर्भुज सूत्र का प्रमाण देखें।<ref name="barth2004" />
-एक अंतर भागफल और सीमा लेने के माध्यम से व्युत्पन्न की परिभाषा में इसे प्रतिस्थापित करने का अर्थ है कि उच्च क्रम की शर्तें, <math>(\Delta x)^2</math> और उच्चतर, नगण्य हो जाते हैं, और सूत्र प्राप्त करते हैं <math>(x^n)'=nx^{n-1},</math> के रूप में व्याख्या की है
-किसी {{mvar|n}}-घन के आयतन में परिवर्तन की अतिसूक्ष्म दर, भुजा की लंबाई के रूप में भिन्न होती है, इसके {{math|(''n'' &minus; 1)}} विमीय फलकों के n का क्षेत्रफ है।
-यदि कोई इस चित्र को एकीकृत करता है, जो कलन के मौलिक प्रमेय को लागू करने के अनुरूप है, तो उससे कैवलियरी का चतुर्भुज सूत्र, समाकलन प्राप्त होता है <math>\textstyle{\int x^{n-1}\,dx = \tfrac{1}{n} x^n}</math> - विवरण के लिए कैवलियरी के चतुर्भुज सूत्र का प्रमाण देखें।<ref name="barth2004" />
 {{clear}}
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 == द्विपद गुणांक ==
 {{Main|द्विपद गुणांक}}
-द्विपद प्रसार में प्रकट होने वाले गुणांक द्विपद गुणांक कहलाते हैं। ये आमतौर पर लिखे जाते हैं <math>\tbinom{n}{k},</math> और उच्चारित {{mvar|n}} चुनें {{mvar|k}}
+द्विपद प्रसार में प्रकट होने वाले गुणांक द्विपद गुणांक कहलाते हैं। इन्हें सामान्तया <math>\tbinom{n}{k},</math> के रूप में लिखा जाता है, {{mvar|n}} को चुन कर {{mvar|k}} का उच्चारण किया जाता है।
 === सूत्र ===
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 जिसे क्रमगुणित फलन {{math|''n''!}} के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। समतुल्य रूप से यह सूत्र लिखा जा सकता है
 <math display="block">\binom{n}{k} = \frac{n (n-1) \cdots (n-k+1)}{k (k-1) \cdots 1} = \prod_{\ell=1}^k \frac{n-\ell+1}{\ell} = \prod_{\ell=0}^{k-1} \frac{n-\ell}{k - \ell}</math>
-भिन्न के अंश और हर दोनों में {{mvar|k}} गुणकों के साथ। हालांकि इस सूत्र में एक अंश शामिल है, द्विपद गुणांक <math>\tbinom{n}{k}</math> वास्तव में एक पूर्णांक है।
+भिन्न के अंश और हर दोनों में {{mvar|k}} गुणकों के साथ है। चूँकि इस सूत्र में एक अंश सम्मिलित है, द्विपद गुणांक <math>\tbinom{n}{k}</math> वास्तव में एक पूर्णांक है।
 === मिश्रित व्याख्या ===
 द्विपद गुणांक <math> \tbinom nk </math> की व्याख्या {{mvar|n}}-तत्व सम्मुचय से {{mvar|k}} तत्वों को चुनने के तरीकों की संख्या के रूप में की जा सकती है। यह निम्नलिखित कारणों से द्विपदों से संबंधित है, यदि हम {{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} को गुणनफल के रूप में लिखते हैं।
-<math display="block">(x+y)(x+y)(x+y)\cdots(x+y),</math>
+<math display="block">(x+y)(x+y)(x+y)\cdots(x+y),</math><br />फिर, वितरण नियम के अनुसार, गुणनफल के प्रत्येक द्विपद से {{mvar|x}} या {{mvar|y}} के प्रत्येक विकल्प के विस्तार में एक शब्द होता है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक द्विपद से x को चुनने के संगत केवल एक पद {{math|''x''<sup>''n''</sup>}} होता है। चूँकि , {{math|''x''<sup>''n''−2</sup>''y''<sup>2</sup>}}, के रूप में कई पद होते है, {{mvar|y}}.का योगदान करने के लिए ठीक दो द्विपदों को चुनने के प्रत्येक तरीके के लिए हैं। इसलिए, समान पदों के संयोजन के बाद, का गुणांक {{math|''x''<sup>''n''−2</sup>''y''<sup>2</sup>}} {{mvar|n}}-तत्व सम्मुचय से ठीक {{math|2}} तत्वों को चुनने के तरीकों की संख्या के बराबर होता है।
-फिर, वितरण नियम के अनुसार, गुणनफल के प्रत्येक द्विपद से {{mvar|x}} या {{mvar|y}} के प्रत्येक विकल्प के विस्तार में एक शब्द होगा। उदाहरण के लिए, प्रत्येक द्विपद से x को चुनने के संगत केवल एक पद {{math|''x''<sup>''n''</sup>}} होगा। हालांकि, {{math|''x''<sup>''n''−2</sup>''y''<sup>2</sup>}}, के रूप में {{mvar|y}}.योगदान करने के लिए बिल्कुल दो द्विपक्षीय चुनने के प्रत्येक तरीके के लिए एक हैं। इसलिए, समान पदों के संयोजन के बाद, का गुणांक {{math|''x''<sup>''n''−2</sup>''y''<sup>2</sup>}}  {{mvar|n}}-तत्व सम्मुचय से बिल्कुल {{math|2}} तत्वों को चुनने के तरीकों की संख्या के बराबर होगा।
 == प्रमाण ==
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     &= x^3 + 3x^2y + \underline{3xy^2} + y^3
 \end{align}</math>
-बराबर <math>\tbinom{3}{2}=3</math> क्योंकि वहाँ तीन {{math|''x'',''y''}} लंबाई 3 के तार बिल्कुल दो वाईएस के साथ हैं, अर्थात्।
+बराबर <math>\tbinom{3}{2}=3</math> क्योंकि वहाँ तीन {{math|''x'',''y''}} लंबाई 3 के तार बिल्कुल साथ हैं, अर्थात्।
 <math display="block">xyy, \; yxy, \; yyx,</math>
 अर्थात्{{math|{{mset|1, 2, 3}}}},के तीन-तत्वों के 2-उपसमूहों के अनुरूप,
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 ==== सामान्य स्थिति ====
-{{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} का विस्तार करने पर {{math|1=''e''<sub>1</sub>''e''<sub>2</sub> ... ''e''<sub>''n''</sub>}} के रूप में {{math|2<sup>''n''</sup>}} उत्पादों का योग प्राप्त होता है, जहां प्रत्येक {{math|''e''<sub>''i''</sub>}}, {{mvar|''x''}} या{{mvar|y}} है पुनर्व्यवस्थित करने वाले कारकों से पता चलता है कि प्रत्येक उत्पाद  {{math|0}} तथा {{mvar|n}} के बीच कुछ {{mvar|k}}  के लिए {{math|''x''<sup>''n''&minus;''k''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} के बराबर होते है।
+{{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} का विस्तार करने पर {{math|1=''e''<sub>1</sub>''e''<sub>2</sub> ... ''e''<sub>''n''</sub>}} के रूप में {{math|2<sup>''n''</sup>}} उत्पादों का योग प्राप्त होता है, जहां प्रत्येक {{math|''e''<sub>''i''</sub>}}, {{mvar|''x''}} या {{mvar|y}} है, पुनर्व्यवस्थित करने वाले कारकों से पता चलता है कि प्रत्येक उत्पाद {{math|0}} तथा {{mvar|n}} के बीच कुछ {{mvar|k}} के लिए {{math|''x''<sup>''n''&minus;''k''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} के बराबर होते है।
-* प्रतियों की संख्या {{math|1=''x''<sup>''n''−''k''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} के विस्तार में,
+* प्रतियों की संख्या {{math|1=''x''<sup>''n''−''k''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} के विस्तार में है।
-*बिल्कुल {{mvar|k}}  स्थितियों में {{mvar|y}} वाले {{mvar|n}}-वर्ण {{math|''x'',''y''}} तार की संख्या में,
+*बिल्कुल {{mvar|k}} स्थितियों में {{mvar|y}} वाले {{mvar|n}}-वर्ण {{math|''x'',''y''}} तार की संख्या में होते है।
-* {{math|1={{mset|1, 2, ..., ''n''}}}} के {{mvar|k}}-तत्व सबसम्मुचय की संख्या है।
+* {{math|1={{mset|1, 2, ..., ''n''}}}} {{mvar|k}}-तत्व सबसम्मुचय की संख्या है।
-* <math>\tbinom{n}{k},</math> या तो परिभाषा के अनुसार, या यदि कोई परिभाषित कर रहा है तो एक संक्षिप्त संयोजी तर्क द्वारा <math>\tbinom{n}{k}</math> जैसा <math>\tfrac{n!}{k! (n-k)!}.</math> यह द्विपद प्रमेय को सिद्ध करता है।
+* <math>\tbinom{n}{k},</math> या तो परिभाषा के अनुसार, या एक छोटे संयोजक के तर्क से अगर कोई <math>\tbinom{n}{k}</math> जैसा <math>\tfrac{n!}{k! (n-k)!}.</math> को परिभाषित करता है।
 === आगमनात्मक प्रमाण ===
-गणितीय आगमन द्विपद प्रमेय का एक और प्रमाण देता है। जब {{math|1=''n'' = 0}}, दोनों पक्ष 1 के बराबर होते हैं, क्योंकि {{math|1=''x''<sup>0</sup> = 1}} तथा <math>\tbinom{0}{0}=1.</math> है। अब मान लीजिए कि दिए गए {{mvar|n}}, के लिए समानता लागू होती है, हम इसे {{math|1=''n'' + 1}}. के लिये सिद्ध करते है। और {{math|1=''j'', ''k'' ≥ 0}}, के लिए {{math|1=[''f''(''x'', ''y'')]<sub>''j'',''k''</sub>}} के गुणांक को निरूपित करते है {{math|1=''x''<sup>''j''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} बहुपद  {{math|1=''f''(''x'', ''y'')}}.में। आगमनात्मक परिकल्पना के अनुसार, {{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}},  {{mvar|x}} और {{mvar|y}} में एक बहुपद है जैसे कि {{math|1=[(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>]<sub>''j'',''k''</sub>}} है <math>\tbinom{n}{k}</math> यदि  {{math|1=''j'' + ''k'' = ''n''}}, तथा {{mvar|0}} अन्यथा इकाई में,
+गणितीय आगमन द्विपद प्रमेय का एक और प्रमाण देता है। जब {{math|1=''n'' = 0}}, दोनों पक्ष 1 के बराबर होते हैं, क्योंकि {{math|1=''x''<sup>0</sup> = 1}} तथा <math>\tbinom{0}{0}=1.</math> है। अब मान लीजिए कि दिए गए {{mvar|n}}, के लिए समानता लागू होती है, हम इसे {{math|1=''n'' + 1}}. के लिये सिद्ध करते है। और {{math|1=''j'', ''k'' ≥ 0}}, के लिए {{math|1=[''f''(''x'', ''y'')]<sub>''j'',''k''</sub>}} के गुणांक को निरूपित करते है {{math|1=''x''<sup>''j''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} बहुपद {{math|1=''f''(''x'', ''y'')}}.में। आगमनात्मक परिकल्पना के अनुसार, {{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}}, {{mvar|x}} और {{mvar|y}} में एक बहुपद है जैसे कि {{math|1=[(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>]<sub>''j'',''k''</sub>}} है <math>\tbinom{n}{k}</math> यदि {{math|1=''j'' + ''k'' = ''n''}}, तथा {{mvar|0}} अन्यथा इकाई में,
 <math display="block"> (x+y)^{n+1} = x(x+y)^n + y(x+y)^n</math>
 दिखाता है {{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''+1</sup>}} {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}}, में एक बहुपद है, तथा
 <math display="block"> [(x+y)^{n+1}]_{j,k} = [(x+y)^n]_{j-1,k} + [(x+y)^n]_{j,k-1},</math>
-चूंकि अगर {{math|1=''j'' + ''k'' = ''n'' + 1}}, फिर {{math|1=(''j'' − 1) + ''k'' = ''n''}} तथा {{math|1=''j'' + (''k'' − 1) = ''n''}}. अब, दाहिने हाथ की ओर है
+चूंकि यदि {{math|1=''j'' + ''k'' = ''n'' + 1}}, फिर {{math|1=(''j'' − 1) + ''k'' = ''n''}} तथा {{math|1=''j'' + (''k'' − 1) = ''n''}}. अब, दाहिने हाथ की ओर है
 <math display="block"> \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k},</math>
-पास्कल की इकाई में।<ref>[http://proofs.wiki/Binomial_theorem Binomial theorem] – inductive proofs {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20150224130932/http://proofs.wiki/Binomial_theorem |date=February 24, 2015 }}</ref> वहीं दूसरी ओर अगर {{math|1=''j'' + ''k'' ≠ ''n'' + 1}}, फिर {{math|1=(''j'' – 1) + ''k'' ≠ ''n''}} तथा {{math|1=''j'' + (''k'' – 1) ≠ ''n''}}, तो हम प्राप्त करते हैं {{math|1=0 + 0 = 0}}. इस प्रकार
+पास्कल की इकाई में।<ref>[http://proofs.wiki/Binomial_theorem Binomial theorem] – inductive proofs {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20150224130932/http://proofs.wiki/Binomial_theorem |date=February 24, 2015 }}</ref> वहीं दूसरी ओर यदि {{math|1=''j'' + ''k'' ≠ ''n'' + 1}}, फिर {{math|1=(''j'' – 1) + ''k'' ≠ ''n''}} तथा {{math|1=''j'' + (''k'' – 1) ≠ ''n''}}, तो हम प्राप्त करते हैं {{math|1=0 + 0 = 0}}. इस प्रकार
 <math display="block">(x+y)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} x^{n+1-k} y^k,</math>
 जो आगमनात्मक परिकल्पना है {{math|1=''n'' + 1}} इसके लिए प्रतिस्थापित {{mvar|n}} और इस तरह आगमनात्मक चरण को पूरा करता है।
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 {{Main|द्विपद श्रृंखला}}
-के आसपास, आइजैक न्यूटन ने गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के अलावा अन्य वास्तविक घातांकों की अनुमति देने के लिए द्विपद प्रमेय को सामान्यीकृत किया। वही सामान्यीकरण सम्मिश्र संख्या के घातांकों पर भी लागू होता है। इस सामान्यीकरण में, परिमित योग को एक अनंत श्रृंखला से बदल दिया जाता है। ऐसा करने के लिए, किसी यादृच्छिक ऊपरी सूचकांक के साथ द्विपद गुणांकों को अर्थ देने की आवश्यकता होती है, जो भाज्य के साथ सामान्य सूत्र का उपयोग करके नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, एक  यादृच्छिक संख्या {{mvar|r}}, के लिए परिभाषित कर सकते हैं।
+के आसपास, आइजैक न्यूटन ने गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के अलावा अन्य वास्तविक घातांकों की अनुमति देने के लिए द्विपद प्रमेय को सामान्यीकृत करते है। वही सामान्यीकरण सम्मिश्र संख्या के घातांकों पर भी लागू होता है। इस सामान्यीकरण में, परिमित योग को एक अनंत श्रृंखला से बदल दिया जाता है। ऐसा करने के लिए, किसी यादृच्छिक ऊपरी सूचकांक के साथ द्विपद गुणांकों को अर्थ देने की आवश्यकता होती है, जो भाज्य के साथ सामान्य सूत्र का उपयोग करके नहीं किया जा सकता है। चूँकि, यादृच्छिक संख्या {{mvar|r}}, के लिए परिभाषित कर सकते हैं।
 <math display="block">{r \choose k}=\frac{r(r-1) \cdots (r-k+1)}{k!} =\frac{(r)_k}{k!},</math><!--This is not the same as \frac{r!}{k!(r−k)!}. Please do not change it.-->
-जहाँ पे <math>(\cdot)_k</math> पोचहैमर प्रतीक है, यह गिरते हुए क्रमगुणित के लिए खड़ा है। यह सामान्य परिभाषाओं से सहमत है जब {{mvar|r}} एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। तो यदि {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} के साथ वास्तविक संख्याएँ {{math|{{abs|''x''}} > {{abs|''y''}}}} हैं<ref name=convergence group=Note>This is to guarantee convergence. Depending on {{mvar|r}}, the series may also converge sometimes when {{math|1={{abs|''x''}} = {{abs|''y''}}}}.</ref> और r कोई सम्मिश्र संख्या है, जिसे किसी ने परिभाषित किया है,
+जहाँ पे <math>(\cdot)_k</math> पोचहैमर प्रतीक है, यह गिरते हुए क्रमगुणित के लिए लंबवत है। यह सामान्य परिभाषाओं से सहमत है जब {{mvar|r}} एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। तो यदि {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} के साथ वास्तविक संख्याएँ {{math|{{abs|''x''}} > {{abs|''y''}}}} हैं<ref name=convergence group=Note>This is to guarantee convergence. Depending on {{mvar|r}}, the series may also converge sometimes when {{math|1={{abs|''x''}} = {{abs|''y''}}}}.</ref> और r कोई सम्मिश्र संख्या है, जिसे किसी ने परिभाषित किया है,
 <math display="block">\begin{align}
     (x+y)^r & =\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^{r-k} y^k \\
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-जब {{mvar|r}} एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, के लिए द्विपद गुणांक {{math|1=''k'' > ''r''}} शून्य हैं, इसलिए यह समीकरण सामान्य द्विपद प्रमेय तक कम हो जाता है, और अधिक से अधिक  {{math|1=''r'' + 1}} शून्येतर पद होते हैं। {{mvar|r}}, के अन्य मूल्यों के लिए, श्रृंखला में आम तौर पर असीम रूप से कई गैर शून्य शब्द होते हैं।
+जब {{mvar|r}} एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, के लिए द्विपद गुणांक {{math|1=''k'' > ''r''}} शून्य हैं, इसलिए यह समीकरण सामान्य द्विपद प्रमेय तक कम हो जाता है, और अधिक से अधिक {{math|1=''r'' + 1}} शून्येतर पद देते हैं। {{mvar|r}}, के अन्य मूल्यों के लिए, श्रृंखला में सामान्यता असीम रूप से कई गैर शून्य शब्द होते हैं।
 उदाहरण के लिए, {{math|1=''r'' = 1/2}} वर्गमूल के लिए निम्नलिखित श्रृंखला देता है<math display="block">\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + \frac{7}{256}x^5 - \cdots</math>
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 तो, उदाहरण के लिए, जब {{math|1=''s'' = 1/2}} है,
 <math display="block">\frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 -\frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + \frac{35}{128}x^4 - \frac{63}{256}x^5 + \cdots</math>
+=== सामान्यीकरण ===
+सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय को इस स्थिति तक बढ़ाया जा सकता है जहां {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} जटिल संख्याएँ हैं। इस संस्करण में, एक को फिर से {{math|{{abs|''x''}} > {{abs|''y''}}}}<ref name="convergence" group="Note" />मान लेना चाहिए और {{mvar|x}} पर केंद्रित त्रिज्या {{math|{{abs|''x''}}}} की एक खुली डिस्क पर परिभाषित लॉग की पूर्ण सममितिक शाखा का उपयोग करके {{math|1=''x'' + ''y''}} और {{mvar|x}} की घातो को परिभाषित करता है। सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय बानाख बीजगणित के तत्वों {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} के लिए मान्य है जब तक कि {{math|1=''xy'' = ''yx''}}, और {{mvar|x}} व्युत्क्रमणीय है, और {{math|{{!}}{{!}}y/x{{!}}{{!}} < 1}}.है
+द्विपद प्रमेय का संस्करण निम्नलिखित पोचहैमर प्रतीक के लिए मान्य है, जैसे किसी दिए गए वास्तविक स्थिरांक {{mvar|c}}, के लिए बहुपदों का समूह, <math> x^{(0)} = 1 </math> परिभाषित करता है तथा,<math display="block"> x^{(n)} = \prod_{k=1}^{n}[x+(k-1)c]</math>
-=== आगे सामान्यीकरण ===
-'''सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय को उस मामले तक बढ़ाया जा सकता है जहां {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} जटिल संख्याएँ हैं। इस संस्करण के लिए, फिर से मान लेना चाहिए {{math|{{abs|''x''}} > {{abs|''y''}}}}<ref name="convergence" group="Note" />और की शक्तियों को परिभाषित करें {{math|1=''x'' + ''y''}} तथा {{mvar|x}} रेडियस की ओपन''' डिस्क पर परिभाषित एक होलोमॉर्फिक फंक्शन कॉम्प्लेक्स लॉगरिदम का उपयोग करना {{math|{{abs|''x''}}}} पर केंद्रित है {{mvar|x}}. सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय तत्वों के लिए भी मान्य है {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} एक Banach बीजगणित के रूप में लंबे समय तक {{math|1=''xy'' = ''yx''}}, तथा {{mvar|x}} उलटा है, और {{math|{{norm|''y''/''x''}} < 1}}.
-द्विपद प्रमेय का एक संस्करण बहुपदों के निम्नलिखित पोचहैमर प्रतीक-जैसे परिवार के लिए मान्य है: किसी दिए गए वास्तविक स्थिरांक के लिए {{mvar|c}}, परिभाषित करना <math> x^{(0)} = 1 </math> तथा
-<math display="block"> x^{(n)} = \prod_{k=1}^{n}[x+(k-1)c]</math>
 के लिये <math> n > 0.</math> फिर<ref name="Sokolowsky">{{cite journal| url=https://cms.math.ca/publications/crux/issue/?volume=5&issue=2| title=समस्या 352|first1=Dan|last1=Sokolowsky|first2=Basil C.|last2=Rennie|journal=Crux Mathematicorum|volume=5|issue=2|date=February 1979 | pages=55–56}}</ref>
 <math display="block"> (a + b)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{(n-k)}b^{(k)}.</math>
-मुकदमा {{math|1=''c'' = 0}} सामान्य द्विपद प्रमेय को पुनर्प्राप्त करता है।
+स्थिति {{math|1=''c'' = 0}} सामान्य द्विपदीय प्रमेय को पुनर्प्राप्त करता है।
-अधिक सामान्यतः, एक अनुक्रम <math>\{p_n\}_{n=0}^\infty</math> बहुपद को द्विपद प्रकार का कहा जाता है यदि
+सामान्यतः, बहुपदों के अनुक्रम <math>\{p_n\}_{n=0}^\infty</math> को द्विपद का प्रकार कहा जाता है यदि
 * <math> \deg p_n = n </math> सभी के लिए <math>n</math>,
 * <math> p_0(0) = 1 </math>, तथा
 * <math> p_n(x+y) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p_k(x) p_{n-k}(y) </math> सभी के लिए <math>x</math>, <math>y</math>, तथा <math>n</math>.
-एक संचालिका <math>Q</math> बहुपदों के स्थान पर अनुक्रम का आधार संचालक कहा जाता है <math>\{p_n\}_{n=0}^\infty</math> यदि <math>Qp_0 = 0</math> तथा <math> Q p_n = n p_{n-1} </math> सभी के लिए <math> n \geqslant 1 </math>. एक क्रम <math>\{p_n\}_{n=0}^\infty</math> द्विपद है अगर और केवल अगर इसका आधार ऑपरेटर डेल्टा ऑपरेटर है।<ref>{{cite book |last1=Aigner |first1=Martin |title=संयोजन सिद्धांत|url=https://archive.org/details/combinatorialthe00aign_975 |url-access=limited |orig-date=Reprint of the 1979 Edition |date=1997 |publisher=Springer |isbn=3-540-61787-6 |page=[https://archive.org/details/combinatorialthe00aign_975/page/n112 105]}}</ref> लिख रहे हैं <math> E^a </math> शिफ्ट के लिए <math> a </math> ऑपरेटर, बहुपदों के उपरोक्त पोचममेर परिवारों के अनुरूप डेल्टा ऑपरेटर पिछड़े अंतर हैं <math> I - E^{-c} </math> के लिये <math> c>0 </math>, के लिए सामान्य व्युत्पन्न <math> c=0 </math>, और आगे का अंतर <math> E^{-c} - I </math> के लिये <math> c<0 </math>.
+बहुपदों के अंतराल पर ऑपरेटर <math>Q</math> को अनुक्रम का आधार कहा जाता है।<math>\{p_n\}_{n=0}^\infty</math> यदि <math>Qp_0 = 0</math> तथा <math> Q p_n = n p_{n-1} </math> सभी के लिए <math> n \geqslant 1 </math>. एक क्रम <math>\{p_n\}_{n=0}^\infty</math> द्विपद है, और यदि इसका आधार ऑपरेटर डेल्टा ऑपरेटर है।<ref>{{cite book |last1=Aigner |first1=Martin |title=संयोजन सिद्धांत|url=https://archive.org/details/combinatorialthe00aign_975 |url-access=limited |orig-date=Reprint of the 1979 Edition |date=1997 |publisher=Springer |isbn=3-540-61787-6 |page=[https://archive.org/details/combinatorialthe00aign_975/page/n112 105]}}</ref> तो <math> a </math> ऑपरेटर द्वारा शिफ्ट के लिए <math> E^a </math> लिखना, उपरोक्त, पौचहैमर समूहों के अनुरूप डेल्टा ऑपरेटर पिछड़े अंतर हैं <math> I - E^{-c} </math> के लिये <math> c>0 </math>, के लिए सामान्य व्युत्पन्न <math> c=0 </math>, और आगे का अंतर <math> E^{-c} - I </math> के लिये <math> c<0 </math>.है
 === बहुपद प्रमेय ===
-{{Main|Multinomial theorem}}
+{{Main|बहुपद प्रमेय}}
-द्विपद प्रमेय को दो से अधिक शब्दों वाली राशियों की शक्तियों को शामिल करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। सामान्य संस्करण है
+द्विपद प्रमेय को दो से अधिक शब्दों वाली राशियों की घातो को सम्मिलित करने के लिए सामान्यीकृत किया जाता है। सामान्य संस्करण है
 <math display="block">(x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n = \sum_{k_1+k_2+\cdots +k_m = n} \binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_m} x_1^{k_1} x_2^{k_2} \cdots x_m^{k_m}, </math>
-जहां गैर-नकारात्मक पूर्णांक सूचकांकों के सभी अनुक्रमों का योग लिया जाता है {{math|''k''<sub>1</sub>}} के माध्यम से {{math|''k''<sub>''m''</sub>}} ऐसा कि सभी का योग {{math|''k''<sub>''i''</sub>}} है{{mvar|n}}. (विस्तार में प्रत्येक पद के लिए, घातांकों को जोड़ना चाहिए{{mvar|n}}). गुणांक <math> \tbinom{n}{k_1,\cdots,k_m} </math> बहुपद गुणांक के रूप में जाना जाता है, और सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है
+जहां गैर-ऋणात्मक पूर्णांक सूचकांक {{math|''k''<sub>1</sub>}} से {{math|''k''<sub>''m''</sub>}} के सभी अनुक्रमों का योग लिया जाता है, जैसे कि सभी ''{{math|''k''<sub>''i''</sub>}}'' का योग {{mvar|n}} है। विस्तार में प्रत्येक पद के लिए, घातांकों को जोड़ना चाहिए {{mvar|n}} गुणांक <math> \tbinom{n}{k_1,\cdots,k_m} </math> बहुपद गुणांक के रूप में जाना जाता है, और सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है
 <math display="block"> \binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdots k_m!}.</math>
-संयुक्त रूप से, बहुपद गुणांक <math>\tbinom{n}{k_1,\cdots,k_m}</math> एक सम्मुचय के विभाजन के विभिन्न तरीकों की संख्या की गणना करता है {{mvar|n}}-तत्व आकार के सबसम्मुचय को डिसजॉइंट सम्मुचय में सम्मुचय करता है {{math|1=''k''<sub>1</sub>, ..., ''k''<sub>''m''</sub>}}.
+संयुक्त रूप से, बहुपद गुणांक <math>\tbinom{n}{k_1,\cdots,k_m}</math> आकार {{math|1=''k''<sub>1</sub>, ..., ''k''<sub>''m''</sub>}}. के असंयुक्त उपसम्मुचय में सम्मुचय {{mvar|n}}-तत्व को विभाजित करने के तरीकों की संख्या को दिखाता है।
-=== {{anchor|multi-binomial}} बहु-द्विपद प्रमेय ===
+=== बहु-द्विपद प्रमेय ===
-अधिक आयामों में कार्य करते समय, द्विपद व्यंजकों के गुणनफलों से निपटना अक्सर उपयोगी होता है। द्विपद प्रमेय द्वारा यह बराबर है
+अधिक आयामों में कार्य करते समय, द्विपद अभिव्यक्तियों के उत्पादों का प्रयोग करना प्रायः उपयोगी होता है। द्विपदीय प्रमेय में यह बराबर होता है।
 <math display="block"> (x_1+y_1)^{n_1}\dotsm(x_d+y_d)^{n_d} = \sum_{k_1=0}^{n_1}\dotsm\sum_{k_d=0}^{n_d} \binom{n_1}{k_1} x_1^{k_1}y_1^{n_1-k_1} \dotsc \binom{n_d}{k_d} x_d^{k_d}y_d^{n_d-k_d}. </math>
 यह अधिक संक्षेप में बहु-सूचकांक संकेतन द्वारा लिखा जा सकता है, जैसे
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 === जनरल लीबनिज नियम ===
-{{Main|General Leibniz rule}}
+{{Main|जनरल लीबनिज नियम}}
-सामान्य लीबनिज नियम देता है {{mvar|n}}द्विपद प्रमेय के समान रूप में दो कार्यों के उत्पाद का वें व्युत्पन्न:<ref>{{cite book |last=Olver |first=Peter J. |year=2000 |title=झूठ समूहों के विभेदक समीकरणों के अनुप्रयोग|publisher=Springer |pages=318–319 |isbn=9780387950006 |url=https://books.google.com/books?id=sI2bAxgLMXYC&pg=PA318 }}</ref>
+सामान्य लीबनिज़ नियम द्विपद प्रमेय के समान रूप में दो कार्यों के उत्पाद का nवां व्युत्पन्न होता है।<ref>{{cite book |last=Olver |first=Peter J. |year=2000 |title=झूठ समूहों के विभेदक समीकरणों के अनुप्रयोग|publisher=Springer |pages=318–319 |isbn=9780387950006 |url=https://books.google.com/books?id=sI2bAxgLMXYC&pg=PA318 }}</ref>
 <math display="block">(fg)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n-k)}(x) g^{(k)}(x).</math>
-यहाँ, सुपरस्क्रिप्ट {{math|(''n'')}} इंगित करता है {{mvar|n}}एक समारोह का व्युत्पन्न। अगर एक सम्मुचय {{math|1=''f''(''x'') = ''e''{{sup|''ax''}}}} तथा {{math|1=''g''(''x'') = ''e''{{sup|''bx''}}}}, और उसके बाद के सामान्य कारक को रद्द कर देता है {{math|''e''{{sup|(''a'' + ''b'')''x''}}}} परिणाम के दोनों पक्षों से, साधारण द्विपद प्रमेय पुनर्प्राप्त किया जाता है।<ref>{{cite book |last1=Spivey |first1=Michael Z. |title=द्विपद पहचान सिद्ध करने की कला|date=2019 |publisher=CRC Press |isbn=978-1351215800 |page=71}}</ref>
+यहाँ, सुपरस्क्रिप्ट {{math|(''n'')}} किसी फलन के {{mvar|n}}वें व्युत्पन्न को इंगित करता है। यदि एक सेट {{math|1=''f''(''x'') = ''e''{{sup|''ax''}}}} तथा {{math|1=''g''(''x'') = ''e''{{sup|''bx''}}}} और फिर {{math|''e''{{sup|(''a'' + ''b'')''x''}}}} के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द कर देता है, तो परिणाम के दोनों पक्षों से, सामान्य द्विपद प्रमेय प्राप्त होता है।<ref>{{cite book |last1=Spivey |first1=Michael Z. |title=द्विपद पहचान सिद्ध करने की कला|date=2019 |publisher=CRC Press |isbn=978-1351215800 |page=71}}</ref>
 == अनुप्रयोग ==
 === बहु-कोण पहचान ===
-जटिल संख्याओं के लिए द्विपद प्रमेय को डी मोइवर के सूत्र के साथ जोड़ा जा सकता है ताकि त्रिकोणमितीय पहचानों की सूची#बहु-कोण सूत्र|ज्या और कोसाइन के लिए बहु-कोण सूत्र प्राप्त हो सकें। डी मोइवर के सूत्र के अनुसार,
+जटिल संख्याओं के लिए द्विपद प्रमेय को ज्या और कोसाइन के लिए बहु-कोण सूत्र प्राप्त करने के लिए डी मोइवर के सूत्र के साथ जोड़ा जा सकता है। डी मोइवर के सूत्र के अनुसार,<math display="block">\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right) = \left(\cos x+i\sin x\right)^n.</math>
-<math display="block">\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right) = \left(\cos x+i\sin x\right)^n.</math>
-द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए, दाईं ओर की अभिव्यक्ति का विस्तार किया जा सकता है, और फिर वास्तविक और काल्पनिक भागों को सूत्र प्राप्त करने के लिए लिया जा सकता है {{math|cos(''nx'')}} तथा {{math|sin(''nx'')}}. उदाहरण के लिए, चूंकि
+द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए, दाहिनी ओर के व्यंजक(गणित) का विस्तार किया जा सकता है, और फिर वास्तविक और काल्पनिक भाग, कोज्या(एनएक्स) और ज्या( एनएक्स) के सूत्र प्रस्तुत करने के लिए लिया जा सकता है।.उदाहरण के लिए, क्योंकि
 <math display="block">\left(\cos x + i\sin x\right)^2 = \cos^2 x + 2i \cos x \sin x - \sin^2 x,</math>
 डी मोइवर का सूत्र हमें यह बताता है
 <math display="block">\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x \quad\text{and}\quad\sin(2x) = 2 \cos x \sin x,</math>
-जो सामान्य द्वि-कोण सर्वसमिकाएँ हैं। इसी तरह, चूंकि
+जो सामान्य द्विकोणीय सर्वसमिकाएँ हैं। इसी तरह, चूंकि
 <math display="block">\left(\cos x + i\sin x\right)^3 = \cos^3 x + 3i \cos^2 x \sin x - 3 \cos x \sin^2 x - i \sin^3 x,</math>
-डी मोइवर का सूत्र उपजता है
+डी मोइवर का सूत्र हमे देता है,
 <math display="block">\cos(3x) = \cos^3 x - 3 \cos x \sin^2 x \quad\text{and}\quad \sin(3x) = 3\cos^2 x \sin x - \sin^3 x.</math>
 सामान्य रूप में,
@@ Line 233: / Line 237: @@
 <math display="block">\sin(nx) = \sum_{k\text{ odd}} (-1)^{(k-1)/2} {n \choose k}\cos^{n-k} x \sin^k x.</math>
+=== ई के लिए श्रृंखला ===
-=== ई === के लिए श्रृंखला
+संख्या {{mvar|e}}(गणितीय स्थिरांक) को अधिकांशता सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है।
-ई (गणितीय स्थिरांक) | संख्या {{mvar|e}}अक्सर सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है
 <math display="block">e = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.</math>
-द्विपद प्रमेय को इस अभिव्यक्ति पर लागू करने से सामान्य अनंत श्रृंखला प्राप्त होती है {{mvar|e}}. विशेष रूप से:
+द्विपद प्रमेय को इस अभिव्यक्ति पर लागू करने से {{mvar|e}} के लिए सामान्य अनंत श्रृंखला प्राप्त होती है। विशेष रूप से,
 <math display="block">\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 1 + {n \choose 1}\frac{1}{n} + {n \choose 2}\frac{1}{n^2} + {n \choose 3}\frac{1}{n^3} + \cdots + {n \choose n}\frac{1}{n^n}.</math>
+  इस योग का kवाँ पद है।
-  {{mvar|k}}k}}इस राशि का वाँ पद है
 <math display="block">{n \choose k}\frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!}\cdot\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^k}</math>
-जैसा {{math|''n'' → ∞}}, सही दृष्टिकोण पर तर्कसंगत अभिव्यक्ति {{math|1}}, और इसीलिए
+जैसा {{math|''n'' → ∞}}, के रूप में, दाईं ओर तर्कसंगत अभिव्यक्ति {{math|1}} तक पहुंचती है, और इसलिए,
 <math display="block">\lim_{n\to\infty} {n \choose k}\frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!}.</math>
-यह इंगित करता है {{mvar|e}} एक श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है:
-<math display="block">e=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}=\frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots.</math>
-दरअसल, चूंकि द्विपद विस्तार का प्रत्येक पद एक मोनोटोनिक कार्य है {{mvar|n}}, यह श्रृंखला के लिए मोनोटोन अभिसरण प्रमेय से अनुसरण करता है कि इस अनंत श्रृंखला का योग बराबर है{{mvar|e}}.
+यह इंगित करता है कि {{mvar|e}} को एक श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है।
+<math display="block">e=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}=\frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots.</math>वास्तव में, चूंकि द्विपद विस्तार का प्रत्येक पद {{mvar|n}} का वर्धमान फलन है, यह श्रृंखला के लिए एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय से अनुसरण करता है कि इस अनंत श्रृंखला का योग {{mvar|e}} के बराबर होता है।
 === संभावना ===
-द्विपद प्रमेय ऋणात्मक द्विपद बंटन के संभाव्यता द्रव्यमान फलन से निकटता से संबंधित है। स्वतंत्र बर्नौली परीक्षणों के एक (गणनीय) संग्रह की संभावना <math>\{X_t\}_{t\in S}</math> सफलता की संभावना के साथ <math>p\in [0,1]</math> सब नहीं हो रहा है
+द्विपद प्रमेय का निकटता से संबंधित द्विपद बंटन की प्रायिकता द्रव्यमान फलन से है। स्वतंत्र बर्नोली परीक्षणों के एक(गणनीय) संग्रह की प्रायिकता <math>\{X_t\}_{t\in S}</math> सफलता की संभावना के साथ <math>p\in [0,1]</math> सब कुछ ठीक नहीं है
 :<math> P\left(\bigcap_{t\in S} X_t^C\right) = (1-p)^{|S|} = \sum_{n=0}^{|S|} {|S| \choose n} (-p)^n.</math>
-इस मात्रा के लिए एक ऊपरी सीमा है <math> e^{-p|S|}.</math><ref>{{Cite book|title=आधार - सामग्री संकोचन|last1=Cover|first1=Thomas M.|last2=Thomas|first2=Joy A.|date=2001-01-01|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|isbn=9780471200611|pages=320|language=en|doi=10.1002/0471200611.ch5}}</ref>
+इस मात्रा के लिए एक ऊपरी सीमा <math> e^{-p|S|}.</math><ref>{{Cite book|title=आधार - सामग्री संकोचन|last1=Cover|first1=Thomas M.|last2=Thomas|first2=Joy A.|date=2001-01-01|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|isbn=9780471200611|pages=320|language=en|doi=10.1002/0471200611.ch5}}</ref> है
 == अमूर्त बीजगणित में ==
-द्विपद प्रमेय आम तौर पर दो तत्वों के लिए अधिक मान्य है {{math|''x''}} तथा {{math|''y''}} एक रिंग_ (गणित), या यहां तक कि एक सेमिरिंग में, बशर्ते कि {{math|1=''xy'' = ''yx''}}. उदाहरण के लिए, यह दो के लिए है {{math|''n'' × ''n''}} मेट्रिसेस, बशर्ते कि वे मेट्रिसेस कम्यूट करें; यह एक मैट्रिक्स की कंप्यूटिंग शक्तियों में उपयोगी है।<ref>Artin, ''Algebra'', 2nd edition, Pearson, 2018, equation (4.7.11).</ref>
+द्विपद प्रमेय अधिकांशतया वलय में {{math|''x''}} तथा {{math|''y''}} दो तत्वों के लिए, या समीकारक के लिए, उपयुक्त माना जाता है, बशर्ते कि यह {{math|1=''xy'' = ''yx''}}.के, उदाहरण के लिए, यह दो {{math|''n'' × ''n''}} आव्यूह धारण करता है, बशर्ते कि इस आव्यूह का परिचालन उस आव्यूह के कंप्यूटिंग घातको में उपयोगी होता है।<ref>Artin, ''Algebra'', 2nd edition, Pearson, 2018, equation (4.7.11).</ref>
-द्विपद प्रमेय को बहुपद अनुक्रम कहकर कहा जा सकता है  {{math|1={{mset|1, ''x'', ''x''<sup>2</sup>, ''x''<sup>3</sup>, ...}}}} द्विपद प्रकार का है।
+द्विपद प्रमेय को बहुपद अनुक्रम कर कहा जा सकता है {{math|1={{mset|1, ''x'', ''x''<sup>2</sup>, ''x''<sup>3</sup>, ...}}}}ये द्विपद प्रकार का है।
 == लोकप्रिय संस्कृति में ==
 * कॉमिक ओपेरा द पाइरेट्स ऑफ पेन्जेंस में मेजर-जनरल के गाने में द्विपद प्रमेय का उल्लेख किया गया है।
-* शर्लक होम्स द्वारा प्रोफेसर मोरियार्टी का वर्णन द्विपद प्रमेय पर एक ग्रंथ लिखे जाने के रूप में किया गया है।
+* शर्लक होम्स द्वारा प्रोफेसर मोरियार्टी का वर्णन द्विपद प्रमेय पर एक आलेख लिखने के रूप में वर्णित किया गया है।
-* पुर्तगाली कवि फर्नांडो पेसोआ ने अल्वारो डी कैम्पोस के विषम नाम का उपयोग करते हुए लिखा है कि न्यूटन का द्विपद वीनस डी मिलो जितना ही सुंदर है। सच तो यह है कि कम ही लोग इसे नोटिस करते हैं।<ref>{{cite web|url=http://arquivopessoa.net/textos/224|title=पेसोआ पुरालेख: संपादित कार्य - न्यूटन का द्विपद वीनस डी मिलो जितना सुंदर है।|publisher=arquivopessoa.net}}</ref>
+* पुर्तगाली कवि फर्नांडो पेसोआ ने अल्वारो डी कैम्पोस के विषम नाम का उपयोग करते हुए लिखा है कि न्यूटन का द्विपद वीनस डी मिलो जितना सुंदर है। सच तो यह है कि कम ही लोग इस पर प्रतिक्रिया करते हैं। <ref>{{cite web|url=http://arquivopessoa.net/textos/224|title=पेसोआ पुरालेख: संपादित कार्य - न्यूटन का द्विपद वीनस डी मिलो जितना सुंदर है।|publisher=arquivopessoa.net}}</ref>
 * 2014 की फिल्म द इमिटेशन गेम में, एलन ट्यूरिंग ने बैलेचले पार्क में कमांडर डेनिस्टन के साथ अपनी पहली मुलाकात के दौरान द्विपद प्रमेय पर आइजैक न्यूटन के काम का संदर्भ दिया।
@@ Line 284: / Line 289: @@
 * {{cite journal|last=Bag|first=Amulya Kumar|year=1966|title=Binomial theorem in ancient India|journal=Indian J. History Sci|volume=1|issue=1|pages=68–74}}
 * {{cite book|last1=Graham|first1=Ronald|first2=Donald |last2=Knuth|first3= Oren|last3= Patashnik|title=Concrete Mathematics|url=https://archive.org/details/concretemathemat00grah_444|url-access=limited|publisher=Addison Wesley|year=1994|edition=2nd|pages=[https://archive.org/details/concretemathemat00grah_444/page/n165 153]–256|chapter=(5) Binomial Coefficients|isbn=978-0-201-55802-9|oclc=17649857}}
-==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची==
 == बाहरी संबंध ==
 {{Wikibooks|Combinatorics|Binomial Theorem|The Binomial Theorem}}
 * {{SpringerEOM|id=Newton_binomial|first=E.D.|last= Solomentsev|title=Newton binomial}}
-* [http://demonstrations.wolfram.com/BinomialTheorem/ Binomial Theorem] by [[Stephen Wolfram]], and [http://demonstrations.wolfram.com/BinomialTheoremStepByStep/ "Binomial Theorem (Step-by-Step)"] by Bruce Colletti and Jeff Bryant, [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007.
+* [http://demonstrations.wolfram.com/BinomialTheorem/ Binomial Theorem] by [[Stephen Wolfram]], and [http://demonstrations.wolfram.com/BinomialTheoremStepByStep/ "Binomial Theorem(Step-by-Step)"] by Bruce Colletti and Jeff Bryant, [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007.
 *{{PlanetMath attribution
   |urlname=InductiveProofOfBinomialTheorem |title=inductive proof of binomial theorem
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 {{Calculus topics}}
 {{Authority control}}
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द्विपद प्रमेय: Difference between revisions

Latest revision as of 10:03, 14 December 2022

इतिहास

कथन

उदाहरण

ज्यामितीय व्याख्या

द्विपद गुणांक

सूत्र

मिश्रित व्याख्या

प्रमाण

संयोजन प्रमाण

उदाहरण

सामान्य स्थिति

आगमनात्मक प्रमाण

सामान्यीकरण

न्यूटन का सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय

सामान्यीकरण

बहुपद प्रमेय

बहु-द्विपद प्रमेय

जनरल लीबनिज नियम

अनुप्रयोग

बहु-कोण पहचान

ई के लिए श्रृंखला

संभावना

अमूर्त बीजगणित में

लोकप्रिय संस्कृति में

यह भी देखें

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संदर्भ

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