द्विपद प्रमेय: Difference between revisions

Revision as of 01:15, 12 December 2022

{\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}

The binomial coefficient

{\tbinom {n}{k}}

appears as the

k

th entry in the

n

th row of Pascal's triangle (counting starts at

0

). Each entry is the sum of the two above it.

प्रारंभिक बीजगणित में, द्विपद प्रमेय (या द्विपद विस्तार) द्विपद बहुपद के घातांक के बीजगणितीय प्रसार का वर्णन करता है। प्रमेय के अनुसार, बहुपद $(x + y) n$ को $ax b y c$ के रूप में पद वाले योग से विस्तारित करना संभव होता है, जहां घातांक $b$ तथा $c$ के साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक $b + c = n$ हैं और गुणांक $a$ के प्रत्येक पद का एक विशिष्ट सकारात्मक पूर्णांक है जो $n$ और $b$ पर निर्भर करता है। तथा उदाहरण के लिए, के लिए $n = 4$ ,

(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.

$ax b y c$ के पद में गुणांक a को द्विपद गुणांक ${\tbinom {n}{b}}$ या ${\tbinom {n}{c}}$ के रूप में जाना जाता है, दोनों का मूल्य समान होता है। अलग-अलग के लिए ये गुणांक $n$ तथा $b$ पास्कल का त्रिभुज बनाने के लिए व्यवस्थित किया जाता है। ये नंबर साहचर्य में भी होते हैं, जहां ${\tbinom {n}{b}}$ उन तत्वों के विभिन्न संयोजनों की संख्या देता है जिन्हें n-तत्व के समुच्चय से चुना जाता है। इसलिए ${\tbinom {n}{b}}$ को अक्सर $n$ और $b$ के रूप में उच्चारित किया जाता है।

इतिहास

द्विपद प्रमेय के विशेष मामले कम से कम चौथी शताब्दी ईसा पूर्व से ज्ञात थे जब यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने घातांक $2$ के लिए द्विपद प्रमेय के विशेष मामले का उल्लेख किया था।.^[1]^[2] इस बात के सबूत हैं कि घनफल के लिए द्विपद प्रमेय भारत में छठी शताब्दी ईस्वी तक जाना जाता था।^[1]^[2]

बिना प्रतिस्थापन के $n$ में $k$ वस्तुओं के चयन तरीकों की संख्या को व्यक्त करने वाले संयोजी मात्राओं के रूप में द्विपद गुणांक, प्राचीन भारतीय गणितज्ञों के लिए रुचिकर थे। इस मिश्रित समस्या का सबसे पहला ज्ञात संदर्भ भारतीय गीतकार पिंगला द्वारा रचित चंदशास्त्र (सी. 200 ई.पू.) है, जिसमें इसके समाधान के लिए एक विधि सम्मिलित है।^[3]^: 230 10वीं शताब्दी ईस्वी के टिप्पणीकार हलायुध ने इस विधि की व्याख्या की है जिसे अब पास्कल के त्रिकोण के रूप में जाना जाता है।^[3] छठी शताब्दी ईस्वी तक, भारतीय गणितज्ञ शायद यह जानते थे कि इसे भागफल के रूप में कैसे व्यक्त किया जाए ${\textstyle {\frac {n!}{(n-k)!k!}}}$ ,^[4] और इस नियम का स्पष्ट विवरण भास्कर द्वितीय द्वारा लिखित 12वीं शताब्दी के ग्रंथ लीलावती में पाया जा सकता है।^[4]

हमारे ज्ञान के लिए द्विपद प्रमेय और द्विपद गुणांक की तालिका का पहला सूत्रीकरण, अल-काराजी के एक काम में पाया जा सकता है, जिसे अल-समावली ने अपने अल-बहिर में उद्धृत किया है।^[5]Cite error: Closing </ref> missing for <ref> tag अल-काराजी ने द्विपद गुणांकों के त्रिकोणीय पैटर्न का वर्णन किया^[6] और गणितीय प्रेरण के प्रारंभिक रूप का उपयोग करते हुए द्विपद प्रमेय और पास्कल त्रिकोण दोनों का गणितीय प्रमाण भी प्रदान किया।^[6] फारसी कवि और गणितज्ञ उमर खय्याम शायद उच्च क्रम के सूत्र से परिचित थे, चूँकि, उनके कई गणितीय कार्य बर्बाद हो गए थे।^[2] 13वीं शताब्दी के यांग हुई के गणितीय कार्यों में छोटी घात के द्विपद विस्तार ज्ञात थे^[7] और चू शिह-चीह भी।^[2] यांग हुई ने इस पद्धति का श्रेय जिया जियान के 11वीं शताब्दी के बहुत पहले के पाठ को दिया है, हालांकि अब वे लेख भी खो गए हैं।^[3]^: 142

1544 में, माइकल स्टिफ़ेल ने द्विपद गुणांक शब्द पेश किया और दिखाया कि उन्हें कैसे व्यक्त किया जाए $(1+a)^{n}$ के अनुसार $(1+a)^{n-1}$ पास्कल के त्रिकोण के माध्यम से।^[8] ब्लेज़ पास्कल ने अपने ट्रैटे डू त्रिकोण अंकगणित में व्यापक रूप से नामांकित त्रिभुज का अध्ययन किया।^[9] हालांकि, संख्याओं का पैटर्न पहले से ही देर से पुनर्जागरण के यूरोपीय गणितज्ञों के लिए जाना जाता था, जिसमें स्टिफ़ेल, निकोलो फोंटाना टारटाग्लिया और साइमन स्टीविन सम्मिलित थे।^[8]

आइजैक न्यूटन को आम तौर पर सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय का श्रेय दिया जाता है, जो किसी भी तर्कसंगत घातांक के लिए मान्य होता है।^[8]^[10]

कथन

प्रमेय के अनुसार, $x + y$ फॉर्म के योग में किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घात का विस्तार करना संभव है

(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},

जहाँ पे

n\geq 0

एक पूर्णांक है और प्रत्येक

{\tbinom {n}{k}}

एक सकारात्मक पूर्णांक है जिसे द्विपद गुणांक के रूप में जाना जाता है। जब एक घातांक शून्य होता है, तो संबंधित घात अभिव्यक्ति को 1 माना जाता है और इस गुणन कारक को अक्सर शब्द से हटा दिया जाता है। इसलिए अक्सर दाहिने हाथ की ओर लिखा हुआ दिखाई देता है

{\textstyle {\binom {n}{0}}x^{n}+\cdots }

.) इस सूत्र को द्विपद सूत्र या द्विपद सर्वसमिका भी कहा जाता है। संकलन अंकन पद्धति का उपयोग कर के इसे इस रूप में लिखा जाता है।

(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.

अंतिम अभिव्यक्ति प्रथम अभिव्यक्ति में जब

x

तथा

y

की समरूपता होती है और तुलना करके यह इस प्रकार है कि सूत्र में द्विपद गुणकों का क्रम सममित होता है। प्रतिस्थापन (बीजगणित) द्वारा द्विपद सूत्र का एक सरल संस्करण प्राप्त किया जाता है

1

के लिये

y

, ताकि इसमें केवल एक चर (गणित) शामिल हो। इस रूप में, सूत्र पढ़ता है

द्विपद सूत्र का एक सरल संस्करण y के लिए 1 को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है, ताकि इसमें केवल एक चर सम्मिलित कर के, इसे सूत्र के रूप में सूत्र पढ़ा जा सके

(1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n},

या समकक्ष

(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k},

या अधिक स्पष्ट रूप से^[11]

(1+x)^{n}=1+nx+{\frac {n(n-1)}{2!}}x^{2}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{3!}}x^{3}+\cdots +nx^{n-1}+x^{n}.

उदाहरण

यहाँ द्विपद प्रमेय के पहले कुछ मामले हैं

{\begin{aligned}(x+y)^{3}&=xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy&(2^{3}{\text{ terms}})\\&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}&(3+1{\text{ terms}})\end{aligned}}

[convergence-14] 1.0 ^1.1 This is to guarantee convergence. Depending on $r$ , the series may also converge sometimes when $| x | = | y |$ .

[wolfram-1] 1.0 ^1.1 Weisstein, Eric W. "द्विपद प्रमेय". Wolfram MathWorld.

[Coolidge-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 Coolidge, J. L. (1949). "द्विपद प्रमेय की कहानी". The American Mathematical Monthly. 56 (3): 147–157. doi:10.2307/2305028. JSTOR 2305028.

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[5] "द्विपद प्रमेय: मध्यकालीन इस्लामी गणित में एक व्यापक अवधारणा" (PDF). core.ac.uk. p. 401. Archived (PDF) from the original on 2022-10-09. Retrieved 2019-01-08.

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[13] Binomial theorem – inductive proofs Archived February 24, 2015, at the Wayback Machine

[Sokolowsky-15] Sokolowsky, Dan; Rennie, Basil C. (February 1979). "समस्या 352". Crux Mathematicorum. 5 (2): 55–56.

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[18] Spivey, Michael Z. (2019). द्विपद पहचान सिद्ध करने की कला. CRC Press. p. 71. ISBN 978-1351215800.

[19] Cover, Thomas M.; Thomas, Joy A. (2001-01-01). आधार - सामग्री संकोचन (in English). John Wiley & Sons, Inc. p. 320. doi:10.1002/0471200611.ch5. ISBN 9780471200611.

[20] Artin, Algebra, 2nd edition, Pearson, 2018, equation (4.7.11).

[21] "पेसोआ पुरालेख: संपादित कार्य - न्यूटन का द्विपद वीनस डी मिलो जितना सुंदर है।". arquivopessoa.net.

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[Note 1]

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 </math>
 |caption=The [[binomial coefficient]] <math>\tbinom{n}{k}</math> appears as the {{mvar|k}}th entry in the {{mvar|n}}th row of [[Pascal's triangle]] (counting starts at {{math|0}}). Each entry is the sum of the two above it.}}
-प्रारंभिक बीजगणित में, द्विपद प्रमेय (या द्विपद विस्तार) द्विपद बहुपद के घातांक के बीजगणितीय प्रसार का वर्णन करता है। प्रमेय के अनुसार, बहुपद {{math|(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} को {{math|''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup>}} के रूप में पद वाले योग से विस्तारित करना संभव होता है, जहां घातांक {{mvar|b}} तथा {{mvar|c}} के साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक  {{math|1=''b'' + ''c'' = ''n''}} हैं और गुणांक {{mvar|a}} के प्रत्येक पद का एक विशिष्ट सकारात्मक पूर्णांक है जो {{mvar|n}} और {{mvar|b}} पर निर्भर करता है। तथा उदाहरण के लिए, के लिए {{math|1=''n'' = 4}},<math display="block">(x+y)^4 = x^4 + 4 x^3y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4. </math>
+प्रारंभिक बीजगणित में, द्विपद प्रमेय (या द्विपद विस्तार) द्विपद बहुपद के घातांक के बीजगणितीय प्रसार का वर्णन करता है। प्रमेय के अनुसार, बहुपद {{math|(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} को {{math|''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup>}} के रूप में पद वाले योग से विस्तारित करना संभव होता है, जहां घातांक {{mvar|b}} तथा {{mvar|c}} के साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक {{math|1=''b'' + ''c'' = ''n''}} हैं और गुणांक {{mvar|a}} के प्रत्येक पद का एक विशिष्ट सकारात्मक पूर्णांक है जो {{mvar|n}} और {{mvar|b}} पर निर्भर करता है। तथा उदाहरण के लिए, के लिए {{math|1=''n'' = 4}},<math display="block">(x+y)^4 = x^4 + 4 x^3y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4. </math>
-{{math|''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup>}} के पद में गुणांक a को द्विपद गुणांक <math>\tbinom{n}{b}</math> या <math>\tbinom{n}{c}</math> के रूप में जाना जाता है, दोनों का मूल्य समान होता है। अलग-अलग के लिए ये गुणांक {{mvar|n}} तथा {{mvar|b}} पास्कल का त्रिभुज बनाने के लिए व्यवस्थित किया जाता है। ये नंबर साहचर्य में भी होते हैं, जहां <math>\tbinom{n}{b}</math>उन  तत्वों के विभिन्न संयोजनों की संख्या देता है जिन्हें n-तत्व के समुच्चय से चुना जाता है। इसलिए <math>\tbinom{n}{b}</math> को अक्सर {{mvar|n}} और {{mvar|b}} के रूप में उच्चारित किया जाता है।
+{{math|''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup>}} के पद में गुणांक a को द्विपद गुणांक <math>\tbinom{n}{b}</math> या <math>\tbinom{n}{c}</math> के रूप में जाना जाता है, दोनों का मूल्य समान होता है। अलग-अलग के लिए ये गुणांक {{mvar|n}} तथा {{mvar|b}} पास्कल का त्रिभुज बनाने के लिए व्यवस्थित किया जाता है। ये नंबर साहचर्य में भी होते हैं, जहां <math>\tbinom{n}{b}</math>उन तत्वों के विभिन्न संयोजनों की संख्या देता है जिन्हें n-तत्व के समुच्चय से चुना जाता है। इसलिए <math>\tbinom{n}{b}</math> को अक्सर {{mvar|n}} और {{mvar|b}} के रूप में उच्चारित किया जाता है।
 == इतिहास ==
-द्विपद प्रमेय के विशेष मामले कम से कम चौथी शताब्दी ईसा पूर्व से ज्ञात थे जब यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने  घातांक {{math|2}}  के लिए द्विपद प्रमेय के विशेष मामले का उल्लेख किया था।.<ref name=wolfram>{{cite web| url=http://mathworld.wolfram.com/BinomialTheorem.html|title=द्विपद प्रमेय|website=Wolfram MathWorld|last=Weisstein|first=Eric W.}}</ref><ref name="Coolidge">{{cite journal|title=द्विपद प्रमेय की कहानी|first=J. L.|last=Coolidge|journal=The American Mathematical Monthly| volume=56| issue=3|date=1949|pages=147–157|doi=10.2307/2305028|jstor = 2305028}}</ref> इस बात के सबूत हैं कि घनफल के लिए द्विपद प्रमेय भारत में छठी शताब्दी ईस्वी तक जाना जाता था।<ref name=wolfram /><ref name="Coolidge" />
+द्विपद प्रमेय के विशेष मामले कम से कम चौथी शताब्दी ईसा पूर्व से ज्ञात थे जब यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने घातांक {{math|2}} के लिए द्विपद प्रमेय के विशेष मामले का उल्लेख किया था।.<ref name=wolfram>{{cite web| url=http://mathworld.wolfram.com/BinomialTheorem.html|title=द्विपद प्रमेय|website=Wolfram MathWorld|last=Weisstein|first=Eric W.}}</ref><ref name="Coolidge">{{cite journal|title=द्विपद प्रमेय की कहानी|first=J. L.|last=Coolidge|journal=The American Mathematical Monthly| volume=56| issue=3|date=1949|pages=147–157|doi=10.2307/2305028|jstor = 2305028}}</ref> इस बात के सबूत हैं कि घनफल के लिए द्विपद प्रमेय भारत में छठी शताब्दी ईस्वी तक जाना जाता था।<ref name=wolfram /><ref name="Coolidge" />
-बिना प्रतिस्थापन के {{mvar|n}} में {{mvar|k}}  वस्तुओं के चयन तरीकों की संख्या को व्यक्त करने वाले संयोजी मात्राओं के रूप में द्विपद गुणांक, प्राचीन भारतीय गणितज्ञों के लिए रुचिकर थे। इस मिश्रित समस्या का सबसे पहला ज्ञात संदर्भ भारतीय गीतकार पिंगला द्वारा रचित चंदशास्त्र (सी. 200 ई.पू.) है, जिसमें इसके समाधान के लिए एक विधि सम्मिलित है।<ref name=Chinese>{{cite book|title=चीनी गणित का इतिहास|author1=Jean-Claude Martzloff|author2=S.S. Wilson|author3=J. Gernet|author4=J. Dhombres|publisher=Springer| year=1987}}</ref>{{rp|230}} 10वीं शताब्दी ईस्वी के टिप्पणीकार हलायुध ने इस विधि की व्याख्या की है जिसे अब पास्कल के त्रिकोण के रूप में जाना जाता है।<ref name=Chinese />  छठी शताब्दी ईस्वी तक, भारतीय गणितज्ञ शायद यह जानते थे कि इसे भागफल के रूप में कैसे व्यक्त किया जाए <math display="inline">\frac{n!}{(n-k)!k!}</math>,<ref name="Biggs">{{cite journal|last=Biggs|first=N. L.|title=कॉम्बिनेटरिक्स की जड़ें| journal=Historia Math.|volume=6|date=1979|issue=2|pages=109–136|doi=10.1016/0315-0860(79)90074-0|doi-access=free}}</ref> और इस नियम का स्पष्ट विवरण भास्कर द्वितीय द्वारा लिखित 12वीं शताब्दी के ग्रंथ लीलावती में पाया जा सकता है।<ref name="Biggs" />
+बिना प्रतिस्थापन के {{mvar|n}} में {{mvar|k}} वस्तुओं के चयन तरीकों की संख्या को व्यक्त करने वाले संयोजी मात्राओं के रूप में द्विपद गुणांक, प्राचीन भारतीय गणितज्ञों के लिए रुचिकर थे। इस मिश्रित समस्या का सबसे पहला ज्ञात संदर्भ भारतीय गीतकार पिंगला द्वारा रचित चंदशास्त्र (सी. 200 ई.पू.) है, जिसमें इसके समाधान के लिए एक विधि सम्मिलित है।<ref name=Chinese>{{cite book|title=चीनी गणित का इतिहास|author1=Jean-Claude Martzloff|author2=S.S. Wilson|author3=J. Gernet|author4=J. Dhombres|publisher=Springer| year=1987}}</ref>{{rp|230}} 10वीं शताब्दी ईस्वी के टिप्पणीकार हलायुध ने इस विधि की व्याख्या की है जिसे अब पास्कल के त्रिकोण के रूप में जाना जाता है।<ref name=Chinese /> छठी शताब्दी ईस्वी तक, भारतीय गणितज्ञ शायद यह जानते थे कि इसे भागफल के रूप में कैसे व्यक्त किया जाए <math display="inline">\frac{n!}{(n-k)!k!}</math>,<ref name="Biggs">{{cite journal|last=Biggs|first=N. L.|title=कॉम्बिनेटरिक्स की जड़ें| journal=Historia Math.|volume=6|date=1979|issue=2|pages=109–136|doi=10.1016/0315-0860(79)90074-0|doi-access=free}}</ref> और इस नियम का स्पष्ट विवरण भास्कर द्वितीय द्वारा लिखित 12वीं शताब्दी के ग्रंथ लीलावती में पाया जा सकता है।<ref name="Biggs" />
-हमारे ज्ञान के लिए द्विपद प्रमेय और द्विपद गुणांक की तालिका का पहला सूत्रीकरण, अल-काराजी के एक काम में पाया जा सकता है, जिसे अल-समावली ने अपने अल-बहिर में उद्धृत किया है।<ref>{{Cite web|url=https://core.ac.uk/download/pdf/82000184.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://core.ac.uk/download/pdf/82000184.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|website=core.ac.uk|access-date=2019-01-08|title=द्विपद प्रमेय: मध्यकालीन इस्लामी गणित में एक व्यापक अवधारणा|page=401}}</ref><ref>{{Cite journal|title=अज्ञात को वश में करना। पुरातनता से बीसवीं सदी की शुरुआत तक बीजगणित का इतिहास|url=https://www.ams.org/journals/bull/2015-52-04/S0273-0979-2015-01491-6/S0273-0979-2015-01491-6.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://www.ams.org/journals/bull/2015-52-04/S0273-0979-2015-01491-6/S0273-0979-2015-01491-6.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|page=727|quote=हालांकि, बीजगणित अन्य मामलों में उन्नत हुआ। लगभग 1000, अल-काराजी ने द्विपद प्रमेय}}</ref को बताया><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=vSkClSvU_9AC&pg=PA62|title=अरबी गणित का विकास: अंकगणित और बीजगणित के बीच|last=Rashed|first=R.|date=1994-06-30|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9780792325659|language=en|page=63}}</ref> अल-काराजी ने द्विपद गुणांकों के त्रिकोणीय पैटर्न का वर्णन किया<ref name=Karaji>{{MacTutor|id=Al-Karaji|title=Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji}}</ref> और गणितीय प्रेरण के प्रारंभिक रूप का उपयोग करते हुए द्विपद प्रमेय और पास्कल त्रिकोण दोनों का गणितीय प्रमाण भी प्रदान किया।<ref name=Karaji />  फारसी कवि और गणितज्ञ उमर खय्याम शायद उच्च क्रम के सूत्र से परिचित थे, चूँकि, उनके कई गणितीय कार्य बर्बाद हो गए थे।<ref name="Coolidge" /> 13वीं शताब्दी के यांग हुई के गणितीय कार्यों में छोटी घात के द्विपद विस्तार ज्ञात थे<ref>{{cite web | last = Landau | first = James A. | title =हिस्टोरिया मैटमैटिका मेलिंग लिस्ट आर्काइव: पुन: [एचएम] पास्कल का त्रिभुज| work = Archives of Historia Matematica | format = mailing list email | access-date = 2007-04-13 | date = 1999-05-08 | url = http://archives.math.utk.edu/hypermail/historia/may99/0073.html }}</ref> और चू शिह-चीह भी।<ref name="Coolidge" /> यांग हुई ने इस पद्धति का श्रेय जिया जियान के 11वीं शताब्दी के बहुत पहले के पाठ को दिया है, हालांकि अब वे लेख भी खो गए हैं।<ref name=Chinese />{{rp|142}}
+हमारे ज्ञान के लिए द्विपद प्रमेय और द्विपद गुणांक की तालिका का पहला सूत्रीकरण, अल-काराजी के एक काम में पाया जा सकता है, जिसे अल-समावली ने अपने अल-बहिर में उद्धृत किया है।<ref>{{Cite web|url=https://core.ac.uk/download/pdf/82000184.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://core.ac.uk/download/pdf/82000184.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|website=core.ac.uk|access-date=2019-01-08|title=द्विपद प्रमेय: मध्यकालीन इस्लामी गणित में एक व्यापक अवधारणा|page=401}}</ref><ref>{{Cite journal|title=अज्ञात को वश में करना। पुरातनता से बीसवीं सदी की शुरुआत तक बीजगणित का इतिहास|url=https://www.ams.org/journals/bull/2015-52-04/S0273-0979-2015-01491-6/S0273-0979-2015-01491-6.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://www.ams.org/journals/bull/2015-52-04/S0273-0979-2015-01491-6/S0273-0979-2015-01491-6.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|page=727|quote=हालांकि, बीजगणित अन्य मामलों में उन्नत हुआ। लगभग 1000, अल-काराजी ने द्विपद प्रमेय}}</ref को बताया><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=vSkClSvU_9AC&pg=PA62|title=अरबी गणित का विकास: अंकगणित और बीजगणित के बीच|last=Rashed|first=R.|date=1994-06-30|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9780792325659|language=en|page=63}}</ref> अल-काराजी ने द्विपद गुणांकों के त्रिकोणीय पैटर्न का वर्णन किया<ref name=Karaji>{{MacTutor|id=Al-Karaji|title=Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji}}</ref> और गणितीय प्रेरण के प्रारंभिक रूप का उपयोग करते हुए द्विपद प्रमेय और पास्कल त्रिकोण दोनों का गणितीय प्रमाण भी प्रदान किया।<ref name=Karaji /> फारसी कवि और गणितज्ञ उमर खय्याम शायद उच्च क्रम के सूत्र से परिचित थे, चूँकि, उनके कई गणितीय कार्य बर्बाद हो गए थे।<ref name="Coolidge" /> 13वीं शताब्दी के यांग हुई के गणितीय कार्यों में छोटी घात के द्विपद विस्तार ज्ञात थे<ref>{{cite web | last = Landau | first = James A. | title =हिस्टोरिया मैटमैटिका मेलिंग लिस्ट आर्काइव: पुन: [एचएम] पास्कल का त्रिभुज| work = Archives of Historia Matematica | format = mailing list email | access-date = 2007-04-13 | date = 1999-05-08 | url = http://archives.math.utk.edu/hypermail/historia/may99/0073.html }}</ref> और चू शिह-चीह भी।<ref name="Coolidge" /> यांग हुई ने इस पद्धति का श्रेय जिया जियान के 11वीं शताब्दी के बहुत पहले के पाठ को दिया है, हालांकि अब वे लेख भी खो गए हैं।<ref name=Chinese />{{rp|142}}
 में, माइकल स्टिफ़ेल ने द्विपद गुणांक शब्द पेश किया और दिखाया कि उन्हें कैसे व्यक्त किया जाए <math>(1+a)^n</math> के अनुसार <math>(1+a)^{n-1}</math>पास्कल के त्रिकोण के माध्यम से।<ref name="Kline">{{cite book|title=गणितीय सोच का इतिहास|first=Morris| last=Kline| author-link=Morris Kline|page=273|publisher=Oxford University Press|year=1972}}</ref> ब्लेज़ पास्कल ने अपने ट्रैटे डू त्रिकोण अंकगणित में व्यापक रूप से नामांकित त्रिभुज का अध्ययन किया।<ref>{{Cite book|last=Katz|first=Victor|title=गणित का इतिहास: एक परिचय|publisher=Addison-Wesley|year=2009|isbn=978-0-321-38700-4|pages=491|chapter=14.3: Elementary Probability}}</ref> हालांकि, संख्याओं का पैटर्न पहले से ही देर से पुनर्जागरण के यूरोपीय गणितज्ञों के लिए जाना जाता था, जिसमें स्टिफ़ेल, निकोलो फोंटाना टारटाग्लिया और साइमन स्टीविन सम्मिलित थे।<ref name="Kline" />
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 (x+y)^8 & = x^8 + 8x^7y + 28x^6y^2 + 56x^5y^3 + 70x^4y^4 + 56x^3y^5 + 28x^2y^6 + 8xy^7 + y^8.
 \end{align}</math>
-सामान्य तौर पर,  {{math|(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} के विस्तार के लिए {{mvar|n}}वीं पंक्ति में दाहिनी ओर क्रमांकित ताकि शीर्ष पंक्ति 0 वीं पंक्ति हो,
+सामान्य तौर पर, {{math|(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} के विस्तार के लिए {{mvar|n}}वीं पंक्ति में दाहिनी ओर क्रमांकित ताकि शीर्ष पंक्ति 0 वीं पंक्ति हो,
 * पदों में {{mvar|x}} के घातांक {{math|''n'', ''n'' − 1, ..., 2, 1, 0}} हैं, अंतिम पद में अंतर्निहित रूप से {{math|1=''x''<sup>0</sup> = 1}},
-* शब्दों में {{mvar|y}} के घातांक {{math|0, 1, 2, ..., ''n'' − 1, ''n''}} हैं, पहले पद में स्पष्ट रूप से  {{math|1=''y''<sup>0</sup> = 1}}) सम्मिलित है,
+* शब्दों में {{mvar|y}} के घातांक {{math|0, 1, 2, ..., ''n'' − 1, ''n''}} हैं, पहले पद में स्पष्ट रूप से {{math|1=''y''<sup>0</sup> = 1}}) सम्मिलित है,
 * गुणांक पास्कल के त्रिभुज की {{mvar|n}}वीं पंक्ति बनाते हैं
 * समान पदों के संयोजन से पहले, विस्तार में {{math|2<sup>''n''</sup>}} वाँ पद {{math|''x''<sup>''i''</sup>''y''<sup>''j''</sup>}} नहीं दिखाया गया
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-फिर, वितरण नियम के अनुसार, गुणनफल के प्रत्येक द्विपद से {{mvar|x}} या {{mvar|y}} के प्रत्येक विकल्प के विस्तार में एक शब्द होगा। उदाहरण के लिए, प्रत्येक द्विपद से x को चुनने के संगत केवल एक पद {{math|''x''<sup>''n''</sup>}} होगा। हालांकि, {{math|''x''<sup>''n''−2</sup>''y''<sup>2</sup>}}, के रूप में {{mvar|y}}.योगदान करने के लिए बिल्कुल दो द्विपक्षीय चुनने के प्रत्येक तरीके के लिए एक हैं। इसलिए, समान पदों के संयोजन के बाद, का गुणांक {{math|''x''<sup>''n''−2</sup>''y''<sup>2</sup>}}  {{mvar|n}}-तत्व सम्मुचय से बिल्कुल {{math|2}} तत्वों को चुनने के तरीकों की संख्या के बराबर होगा।
+फिर, वितरण नियम के अनुसार, गुणनफल के प्रत्येक द्विपद से {{mvar|x}} या {{mvar|y}} के प्रत्येक विकल्प के विस्तार में एक शब्द होगा। उदाहरण के लिए, प्रत्येक द्विपद से x को चुनने के संगत केवल एक पद {{math|''x''<sup>''n''</sup>}} होगा। हालांकि, {{math|''x''<sup>''n''−2</sup>''y''<sup>2</sup>}}, के रूप में {{mvar|y}}.योगदान करने के लिए बिल्कुल दो द्विपक्षीय चुनने के प्रत्येक तरीके के लिए एक हैं। इसलिए, समान पदों के संयोजन के बाद, का गुणांक {{math|''x''<sup>''n''−2</sup>''y''<sup>2</sup>}} {{mvar|n}}-तत्व सम्मुचय से बिल्कुल {{math|2}} तत्वों को चुनने के तरीकों की संख्या के बराबर होगा।
 == प्रमाण ==
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 ==== सामान्य स्थिति ====
-{{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} का विस्तार करने पर {{math|1=''e''<sub>1</sub>''e''<sub>2</sub> ... ''e''<sub>''n''</sub>}} के रूप में {{math|2<sup>''n''</sup>}} उत्पादों का योग प्राप्त होता है, जहां प्रत्येक {{math|''e''<sub>''i''</sub>}}, {{mvar|''x''}} या{{mvar|y}} है पुनर्व्यवस्थित करने वाले कारकों से पता चलता है कि प्रत्येक उत्पाद  {{math|0}} तथा {{mvar|n}} के बीच कुछ {{mvar|k}}  के लिए {{math|''x''<sup>''n''&minus;''k''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} के बराबर होते है।
+{{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} का विस्तार करने पर {{math|1=''e''<sub>1</sub>''e''<sub>2</sub> ... ''e''<sub>''n''</sub>}} के रूप में {{math|2<sup>''n''</sup>}} उत्पादों का योग प्राप्त होता है, जहां प्रत्येक {{math|''e''<sub>''i''</sub>}}, {{mvar|''x''}} या{{mvar|y}} है पुनर्व्यवस्थित करने वाले कारकों से पता चलता है कि प्रत्येक उत्पाद {{math|0}} तथा {{mvar|n}} के बीच कुछ {{mvar|k}} के लिए {{math|''x''<sup>''n''&minus;''k''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} के बराबर होते है।
 * प्रतियों की संख्या {{math|1=''x''<sup>''n''−''k''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} के विस्तार में,
-*बिल्कुल {{mvar|k}}  स्थितियों में {{mvar|y}} वाले {{mvar|n}}-वर्ण {{math|''x'',''y''}} तार की संख्या में,
+*बिल्कुल {{mvar|k}} स्थितियों में {{mvar|y}} वाले {{mvar|n}}-वर्ण {{math|''x'',''y''}} तार की संख्या में,
 * {{math|1={{mset|1, 2, ..., ''n''}}}} के {{mvar|k}}-तत्व सबसम्मुचय की संख्या है।
 * <math>\tbinom{n}{k},</math> या तो परिभाषा के अनुसार, या यदि कोई परिभाषित कर रहा है तो एक संक्षिप्त संयोजी तर्क द्वारा <math>\tbinom{n}{k}</math> जैसा <math>\tfrac{n!}{k! (n-k)!}.</math> यह द्विपद प्रमेय को सिद्ध करता है।
 === आगमनात्मक प्रमाण ===
-गणितीय आगमन द्विपद प्रमेय का एक और प्रमाण देता है। जब {{math|1=''n'' = 0}}, दोनों पक्ष 1 के बराबर होते हैं, क्योंकि {{math|1=''x''<sup>0</sup> = 1}} तथा <math>\tbinom{0}{0}=1.</math> है। अब मान लीजिए कि दिए गए {{mvar|n}}, के लिए समानता लागू होती है, हम इसे {{math|1=''n'' + 1}}. के लिये सिद्ध करते है। और {{math|1=''j'', ''k'' ≥ 0}}, के लिए {{math|1=[''f''(''x'', ''y'')]<sub>''j'',''k''</sub>}} के गुणांक को निरूपित करते है {{math|1=''x''<sup>''j''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} बहुपद  {{math|1=''f''(''x'', ''y'')}}.में। आगमनात्मक परिकल्पना के अनुसार, {{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}},  {{mvar|x}} और {{mvar|y}} में एक बहुपद है जैसे कि {{math|1=[(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>]<sub>''j'',''k''</sub>}} है <math>\tbinom{n}{k}</math> यदि  {{math|1=''j'' + ''k'' = ''n''}}, तथा {{mvar|0}} अन्यथा इकाई में,
+गणितीय आगमन द्विपद प्रमेय का एक और प्रमाण देता है। जब {{math|1=''n'' = 0}}, दोनों पक्ष 1 के बराबर होते हैं, क्योंकि {{math|1=''x''<sup>0</sup> = 1}} तथा <math>\tbinom{0}{0}=1.</math> है। अब मान लीजिए कि दिए गए {{mvar|n}}, के लिए समानता लागू होती है, हम इसे {{math|1=''n'' + 1}}. के लिये सिद्ध करते है। और {{math|1=''j'', ''k'' ≥ 0}}, के लिए {{math|1=[''f''(''x'', ''y'')]<sub>''j'',''k''</sub>}} के गुणांक को निरूपित करते है {{math|1=''x''<sup>''j''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} बहुपद {{math|1=''f''(''x'', ''y'')}}.में। आगमनात्मक परिकल्पना के अनुसार, {{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}}, {{mvar|x}} और {{mvar|y}} में एक बहुपद है जैसे कि {{math|1=[(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>]<sub>''j'',''k''</sub>}} है <math>\tbinom{n}{k}</math> यदि {{math|1=''j'' + ''k'' = ''n''}}, तथा {{mvar|0}} अन्यथा इकाई में,
 <math display="block"> (x+y)^{n+1} = x(x+y)^n + y(x+y)^n</math>
 दिखाता है {{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''+1</sup>}} {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}}, में एक बहुपद है, तथा
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 {{Main|द्विपद श्रृंखला}}
-के आसपास, आइजैक न्यूटन ने गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के अलावा अन्य वास्तविक घातांकों की अनुमति देने के लिए द्विपद प्रमेय को सामान्यीकृत किया। वही सामान्यीकरण सम्मिश्र संख्या के घातांकों पर भी लागू होता है। इस सामान्यीकरण में, परिमित योग को एक अनंत श्रृंखला से बदल दिया जाता है। ऐसा करने के लिए, किसी यादृच्छिक ऊपरी सूचकांक के साथ द्विपद गुणांकों को अर्थ देने की आवश्यकता होती है, जो भाज्य के साथ सामान्य सूत्र का उपयोग करके नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, एक  यादृच्छिक संख्या {{mvar|r}}, के लिए परिभाषित कर सकते हैं।
+के आसपास, आइजैक न्यूटन ने गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के अलावा अन्य वास्तविक घातांकों की अनुमति देने के लिए द्विपद प्रमेय को सामान्यीकृत किया। वही सामान्यीकरण सम्मिश्र संख्या के घातांकों पर भी लागू होता है। इस सामान्यीकरण में, परिमित योग को एक अनंत श्रृंखला से बदल दिया जाता है। ऐसा करने के लिए, किसी यादृच्छिक ऊपरी सूचकांक के साथ द्विपद गुणांकों को अर्थ देने की आवश्यकता होती है, जो भाज्य के साथ सामान्य सूत्र का उपयोग करके नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, एक यादृच्छिक संख्या {{mvar|r}}, के लिए परिभाषित कर सकते हैं।
 <math display="block">{r \choose k}=\frac{r(r-1) \cdots (r-k+1)}{k!} =\frac{(r)_k}{k!},</math><!--This is not the same as \frac{r!}{k!(r−k)!}. Please do not change it.-->
 जहाँ पे <math>(\cdot)_k</math> पोचहैमर प्रतीक है, यह गिरते हुए क्रमगुणित के लिए खड़ा है। यह सामान्य परिभाषाओं से सहमत है जब {{mvar|r}} एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। तो यदि {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} के साथ वास्तविक संख्याएँ {{math|{{abs|''x''}} > {{abs|''y''}}}} हैं<ref name=convergence group=Note>This is to guarantee convergence. Depending on {{mvar|r}}, the series may also converge sometimes when {{math|1={{abs|''x''}} = {{abs|''y''}}}}.</ref> और r कोई सम्मिश्र संख्या है, जिसे किसी ने परिभाषित किया है,
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-जब {{mvar|r}} एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, के लिए द्विपद गुणांक {{math|1=''k'' > ''r''}} शून्य हैं, इसलिए यह समीकरण सामान्य द्विपद प्रमेय तक कम हो जाता है, और अधिक से अधिक  {{math|1=''r'' + 1}} शून्येतर पद होते हैं। {{mvar|r}}, के अन्य मूल्यों के लिए, श्रृंखला में आम तौर पर असीम रूप से कई गैर शून्य शब्द होते हैं।
+जब {{mvar|r}} एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, के लिए द्विपद गुणांक {{math|1=''k'' > ''r''}} शून्य हैं, इसलिए यह समीकरण सामान्य द्विपद प्रमेय तक कम हो जाता है, और अधिक से अधिक {{math|1=''r'' + 1}} शून्येतर पद होते हैं। {{mvar|r}}, के अन्य मूल्यों के लिए, श्रृंखला में आम तौर पर असीम रूप से कई गैर शून्य शब्द होते हैं।
 उदाहरण के लिए, {{math|1=''r'' = 1/2}} वर्गमूल के लिए निम्नलिखित श्रृंखला देता है<math display="block">\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + \frac{7}{256}x^5 - \cdots</math>
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 <math display="block">\frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 -\frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + \frac{35}{128}x^4 - \frac{63}{256}x^5 + \cdots</math>
 === आगे सामान्यीकरण ===
-सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय को इस स्थिति तक बढ़ाया जा सकता है जहां {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} जटिल संख्याएँ हैं। इस संस्करण में, एक को फिर से {{math|{{abs|''x''}} > {{abs|''y''}}}}<ref name="convergence" group="Note" />मान लेना चाहिए और {{mvar|x}} पर केंद्रित त्रिज्या {{math|{{abs|''x''}}}} की एक खुली डिस्क पर परिभाषित लॉग की पूर्णसममितिक शाखा का उपयोग करके  {{math|1=''x'' + ''y''}}  और {{mvar|x}} की घातो को परिभाषित करता है। सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय बानाख बीजगणित के तत्वों  {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} के लिए मान्य है जब तक कि {{math|1=''xy'' = ''yx''}}, और {{mvar|x}} व्युत्क्रमणीय है, और {{math|{{!}}{{!}}y/x{{!}}{{!}} < 1}}.है
+सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय को इस स्थिति तक बढ़ाया जा सकता है जहां {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} जटिल संख्याएँ हैं। इस संस्करण में, एक को फिर से {{math|{{abs|''x''}} > {{abs|''y''}}}}<ref name="convergence" group="Note" />मान लेना चाहिए और {{mvar|x}} पर केंद्रित त्रिज्या {{math|{{abs|''x''}}}} की एक खुली डिस्क पर परिभाषित लॉग की पूर्णसममितिक शाखा का उपयोग करके {{math|1=''x'' + ''y''}} और {{mvar|x}} की घातो को परिभाषित करता है। सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय बानाख बीजगणित के तत्वों {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} के लिए मान्य है जब तक कि {{math|1=''xy'' = ''yx''}}, और {{mvar|x}} व्युत्क्रमणीय है, और {{math|{{!}}{{!}}y/x{{!}}{{!}} < 1}}.है
 द्विपद प्रमेय का एक संस्करण निम्नलिखित पोचहैमर प्रतीक के लिए मान्य है, जैसे किसी दिए गए वास्तविक स्थिरांक {{mvar|c}}, के लिए बहुपदों का परिवार, परिभाषित करें <math> x^{(0)} = 1 </math> तथा<math display="block"> x^{(n)} = \prod_{k=1}^{n}[x+(k-1)c]</math>
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 <math display="block">(x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n = \sum_{k_1+k_2+\cdots +k_m = n} \binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_m} x_1^{k_1} x_2^{k_2} \cdots x_m^{k_m}, </math>
-जहां गैर-ऋणात्मक पूर्णांक सूचकांक {{math|''k''<sub>1</sub>}} से {{math|''k''<sub>''m''</sub>}} के सभी अनुक्रमों पर योग लिया जाता है, जैसे कि सभी  ''{{math|''k''<sub>''i''</sub>}}'' का योग {{mvar|n}} है। विस्तार में प्रत्येक पद के लिए, घातांकों को जोड़ना चाहिए {{mvar|n}}  गुणांक <math> \tbinom{n}{k_1,\cdots,k_m} </math> बहुपद गुणांक के रूप में जाना जाता है, और सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है
+जहां गैर-ऋणात्मक पूर्णांक सूचकांक {{math|''k''<sub>1</sub>}} से {{math|''k''<sub>''m''</sub>}} के सभी अनुक्रमों पर योग लिया जाता है, जैसे कि सभी ''{{math|''k''<sub>''i''</sub>}}'' का योग {{mvar|n}} है। विस्तार में प्रत्येक पद के लिए, घातांकों को जोड़ना चाहिए {{mvar|n}} गुणांक <math> \tbinom{n}{k_1,\cdots,k_m} </math> बहुपद गुणांक के रूप में जाना जाता है, और सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है
 <math display="block"> \binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdots k_m!}.</math>
 संयुक्त रूप से, बहुपद गुणांक <math>\tbinom{n}{k_1,\cdots,k_m}</math> आकार {{math|1=''k''<sub>1</sub>, ..., ''k''<sub>''m''</sub>}}. के असंयुक्त उपसम्मुचय में सम्मुचय {{mvar|n}}-तत्व को विभाजित करने के विभिन्न तरीकों की संख्या को सम्मिलित करता है।
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-यहाँ, सुपरस्क्रिप्ट {{math|(''n'')}} किसी फलन के {{mvar|n}}वें व्युत्पन्न को इंगित करता है। यदि कोई  {{math|1=''f''(''x'') = ''e''{{sup|''ax''}}}} तथा {{math|1=''g''(''x'') = ''e''{{sup|''bx''}}}}, सेट करता है, और फिर {{math|''e''{{sup|(''a'' + ''b'')''x''}}}}  के सामान्य कारक को रद्द कर देता है , तो सामान्य द्विपद प्रमेय को पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।<ref>{{cite book |last1=Spivey |first1=Michael Z. |title=द्विपद पहचान सिद्ध करने की कला|date=2019 |publisher=CRC Press |isbn=978-1351215800 |page=71}}</ref>
+यहाँ, सुपरस्क्रिप्ट {{math|(''n'')}} किसी फलन के {{mvar|n}}वें व्युत्पन्न को इंगित करता है। यदि कोई {{math|1=''f''(''x'') = ''e''{{sup|''ax''}}}} तथा {{math|1=''g''(''x'') = ''e''{{sup|''bx''}}}}, सेट करता है, और फिर {{math|''e''{{sup|(''a'' + ''b'')''x''}}}} के सामान्य कारक को रद्द कर देता है , तो सामान्य द्विपद प्रमेय को पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।<ref>{{cite book |last1=Spivey |first1=Michael Z. |title=द्विपद पहचान सिद्ध करने की कला|date=2019 |publisher=CRC Press |isbn=978-1351215800 |page=71}}</ref>
 == अनुप्रयोग ==
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 == अमूर्त बीजगणित में ==
-द्विपद प्रमेय अधिकांशतया वलय में {{math|''x''}} तथा {{math|''y''}} दो तत्वों के लिए, या समीकारक के लिए, उपयुक्त माना जाता है, बशर्ते कि यह  {{math|1=''xy'' = ''yx''}}.के, उदाहरण के लिए, यह दो  {{math|''n'' × ''n''}} आव्यूह धारण करता है, बशर्ते कि इस आव्यूह का परिचालन उस आव्यूह के कंप्यूटिंग घातको में उपयोगी होता है।<ref>Artin, ''Algebra'', 2nd edition, Pearson, 2018, equation (4.7.11).</ref>
+द्विपद प्रमेय अधिकांशतया वलय में {{math|''x''}} तथा {{math|''y''}} दो तत्वों के लिए, या समीकारक के लिए, उपयुक्त माना जाता है, बशर्ते कि यह {{math|1=''xy'' = ''yx''}}.के, उदाहरण के लिए, यह दो {{math|''n'' × ''n''}} आव्यूह धारण करता है, बशर्ते कि इस आव्यूह का परिचालन उस आव्यूह के कंप्यूटिंग घातको में उपयोगी होता है।<ref>Artin, ''Algebra'', 2nd edition, Pearson, 2018, equation (4.7.11).</ref>
-द्विपद प्रमेय को बहुपद अनुक्रम कहकर कहा जा सकता है  {{math|1={{mset|1, ''x'', ''x''<sup>2</sup>, ''x''<sup>3</sup>, ...}}}} द्विपद प्रकार का है।
+द्विपद प्रमेय को बहुपद अनुक्रम कहकर कहा जा सकता है {{math|1={{mset|1, ''x'', ''x''<sup>2</sup>, ''x''<sup>3</sup>, ...}}}} द्विपद प्रकार का है।
 == लोकप्रिय संस्कृति में ==

v t e पथरी
Prealculus	द्विपद प्रमेय अवतल कार्य निरंतर कार्य फैक्टरियल परिमित अंतर मुक्त चर और बाध्य चर एक फ़ंक्शन का ग्राफ रैखिक प्रकार्य रेडियन रोले का प्रमेय सेकंट ढलान स्पर्शरेखा
सीमा	अनिश्चित रूप एक फ़ंक्शन की सीमा एकतरफा सीमा एक अनुक्रम की सीमा सन्निकटन का आदेश ((, Δ)-सीमा की सीमा
अंतर कलन	व्युत्पन्न दूसरा व्युत्पन्न आंशिक व्युत्पन्न अंतर विभेदक ऑपरेटर मतलब मान प्रमेय संकेतन Leibniz का अंकन न्यूटन की संकेतन भेदभाव के नियम रैखिकता शक्ति योग चेन l'hôpital's उत्पाद जनरल लीबनिज़ का नियम भागफल अन्य तकनीकें निहित भेदभाव उलटा कार्य और भेदभाव लॉगरिदमिक व्युत्पन्न संबंधित दरें स्थिर बिंदु पहला व्युत्पन्न परीक्षण दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण चरम मूल्य प्रमेय मैक्सिमा और मिनिमा आगे के आवेदन न्यूटन की विधि टेलर का प्रमेय अंतर समीकरण साधारण अंतर समीकरण आंशिक विभेदक समीकरण स्टोचस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन
समाकलन गणित	Antiderivative Arc length Riemann integral Basic properties Constant of integration Fundamental theorem of calculus Differentiating under the integral sign Integration by parts Integration by substitution trigonometric Euler Tangent half-angle substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Washer method Shell method Integral equation Integro-differential equation
वेक्टर कैलकुलस	डेरिवेटिव कर्ल दिशात्मक व्युत्पन्न विचलन ढाल लाप्लासियन बुनियादी प्रमेय लाइन इंटीग्रल ग्रीन स्टोक्स' गॉस '
बहुक्रियाशील पथरी	विचलन प्रमेय ज्यामितीय हेसियन मैट्रिक्स जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक Lagrange गुणक लाइन इंटीग्रल मैट्रिक्स एकाधिक अभिन्न आंशिक व्युत्पन्न सतह अभिन्न वॉल्यूम इंटीग्रल उन्नत विषय विभेदक रूप बाहरी व्युत्पन्न सामान्यीकृत स्टोक्स 'प्रमेय टेंसर कैलकुलस
अनुक्रम और श्रृंखला	अंकगणित-ज्यामितीय अनुक्रम श्रृंखला के प्रकार वैकल्पिक द्विपद फूरियर ज्यामितीय हार्मोनिक अनंत पावर Maclaurin टेलर दूरबीन अभिसरण के परीक्षण हाबिल अल्टरनेटिंग सीरीज़ Cauchy संघनन प्रत्यक्ष तुलना Dirichlet's अभिन्न सीमा तुलना अनुपात रूट शब्द
विशेष कार्य और संख्या	बर्नौली नंबर ई (गणितीय स्थिरांक) घातांक प्रकार्य प्राकृतिक स्टर्लिंग का अनुमान
कैलकुलस का इतिहास	पर्याप्तता ब्रुक टेलर कॉलिन मैक्लोरिन बीजगणित की सामान्यता गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ Infinitesimal Infinitesimal galulus आइजैक न्यूटन फ्लक्सियन निरंतरता का नियम लियोनहार्ड यूलर प्रवाह की विधि यांत्रिक प्रमेय की विधि
सूचियों	भेदभाव नियम घातीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कहीन कार्यों के अभिन्न अंग की सूची लघुगणक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कसंगत कार्यों के अभिन्न अंग की सूची त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची सेकंट सेकेंट क्यूबेड सीमाओं की सूची अभिन्न की सूची
विविध विषय	जटिल पथरी समोच्च अभिन्न अंतर ज्यामिति कई गुना वक्रता घटता सतहों का टेंसर यूलर -मेक्लॉरिन फॉर्मूला गेब्रियल का सींग एकीकरण मधुमक्खी प्रमाण है कि 22/7 से अधिक Regiomontanus 'कोण अधिकतमकरण समस्या स्टाइनमेट्ज़ सॉलिड

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द्विपद प्रमेय: Difference between revisions

Revision as of 01:15, 12 December 2022

इतिहास

कथन

उदाहरण

ज्यामितीय व्याख्या

द्विपद गुणांक

सूत्र

मिश्रित व्याख्या

प्रमाण

संयोजन प्रमाण

उदाहरण

सामान्य स्थिति

आगमनात्मक प्रमाण

सामान्यीकरण

न्यूटन का सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय

आगे सामान्यीकरण

बहुपद प्रमेय

बहु-द्विपद प्रमेय

जनरल लीबनिज नियम

अनुप्रयोग

बहु-कोण पहचान

ई के लिए श्रृंखला

संभावना

अमूर्त बीजगणित में

लोकप्रिय संस्कृति में

यह भी देखें

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संदर्भ

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