द्विपद प्रमेय: Difference between revisions

Revision as of 00:49, 9 December 2022

{\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}

The binomial coefficient

{\tbinom {n}{k}}

appears as the

k

th entry in the

n

th row of Pascal's triangle (counting starts at

0

). Each entry is the sum of the two above it.

प्रारंभिक बीजगणित में, द्विपद प्रमेय या द्विपद विस्तार एक द्विपद बहुपद के घातांक के बीजगणितीय प्रसार का वर्णन करता है। प्रमेय के अनुसार, बहुपद का विस्तार करना संभव है $(x + y) n$ फॉर्म के योग में शर्तों को शामिल करने वाले $ax b y c$ है, जहां घातांक $b$ तथा $c$ के साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं $b + c = n$ , और गुणांक $a$ प्रत्येक पद का एक विशिष्ट सकारात्मक पूर्णांक है जो $n$ और $b$ पर निर्भर करता है। तथा उदाहरण के लिए, के लिए $n = 4$ ,

(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.

$ax b y c$ के पद में गुणांक a को द्विपद गुणांक ${\tbinom {n}{b}}$ या ${\tbinom {n}{c}}$ के रूप में जाना जाता है, दोनों का मूल्य समान होता है। अलग-अलग के लिए ये गुणांक $n$ तथा $b$ पास्कल का त्रिभुज बनाने के लिए व्यवस्थित किया जा सकता है। ये नंबर साहचर्य में भी होते हैं, जहां ${\tbinom {n}{b}}$ उन तत्वों के विभिन्न संयोजनों की संख्या देता है जिन्हें n-तत्व के समुच्चय से चुना जाता है। इसलिए ${\tbinom {n}{b}}$ को अक्सर $n$ और $b$ के रूप में उच्चारित किया जाता है।

इतिहास

द्विपद प्रमेय के विशेष मामले कम से कम चौथी शताब्दी ईसा पूर्व से ज्ञात थे जब यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने घातांक $2$ के लिए द्विपद प्रमेय के विशेष मामले का उल्लेख किया था।.^[1]^[2] इस बात के सबूत हैं कि घनफल के लिए द्विपद प्रमेय भारत में छठी शताब्दी ईस्वी तक जाना जाता था।^[1]^[2]

बिना प्रतिस्थापन के $n$ में $k$ वस्तुओं के चयन तरीकों की संख्या को व्यक्त करने वाले संयोजी मात्राओं के रूप में द्विपद गुणांक, प्राचीन भारतीय गणितज्ञों के लिए रुचिकर थे। इस मिश्रित समस्या का सबसे पहला ज्ञात संदर्भ भारतीय गीतकार पिंगला द्वारा रचित चंदशास्त्र (सी. 200 ई.पू.) है, जिसमें इसके समाधान के लिए एक विधि सम्मिलित है।^[3]^: 230 10वीं शताब्दी ईस्वी के टिप्पणीकार हलायुध ने इस विधि की व्याख्या की है जिसे अब पास्कल के त्रिकोण के रूप में जाना जाता है।^[3] छठी शताब्दी ईस्वी तक, भारतीय गणितज्ञ शायद यह जानते थे कि इसे भागफल के रूप में कैसे व्यक्त किया जाए ${\textstyle {\frac {n!}{(n-k)!k!}}}$ ,^[4] और इस नियम का स्पष्ट विवरण भास्कर द्वितीय द्वारा लिखित 12वीं शताब्दी के ग्रंथ लीलावती में पाया जा सकता है।^[4]

हमारे ज्ञान के लिए द्विपद प्रमेय और द्विपद गुणांक की तालिका का पहला सूत्रीकरण, अल-काराजी के एक काम में पाया जा सकता है, जिसे अल-समावली ने अपने अल-बहिर में उद्धृत किया है।^[5]Cite error: Closing </ref> missing for <ref> tag अल-काराजी ने द्विपद गुणांकों के त्रिकोणीय पैटर्न का वर्णन किया^[6] और गणितीय प्रेरण के प्रारंभिक रूप का उपयोग करते हुए द्विपद प्रमेय और पास्कल त्रिकोण दोनों का गणितीय प्रमाण भी प्रदान किया।^[6] फारसी कवि और गणितज्ञ उमर खय्याम शायद उच्च क्रम के सूत्र से परिचित थे, चूँकि, उनके कई गणितीय कार्य बर्बाद हो गए थे।^[2] 13वीं शताब्दी के यांग हुई के गणितीय कार्यों में छोटी घात के द्विपद विस्तार ज्ञात थे^[7] और चू शिह-चीह भी।^[2] यांग हुई ने इस पद्धति का श्रेय जिया जियान के 11वीं शताब्दी के बहुत पहले के पाठ को दिया है, हालांकि अब वे लेख भी खो गए हैं।^[3]^: 142

1544 में, माइकल स्टिफ़ेल ने द्विपद गुणांक शब्द पेश किया और दिखाया कि उन्हें कैसे व्यक्त किया जाए $(1+a)^{n}$ के अनुसार $(1+a)^{n-1}$ पास्कल के त्रिकोण के माध्यम से।^[8] ब्लेज़ पास्कल ने अपने ट्रैटे डू त्रिकोण अंकगणित में व्यापक रूप से नामांकित त्रिभुज का अध्ययन किया।^[9] हालांकि, संख्याओं का पैटर्न पहले से ही देर से पुनर्जागरण के यूरोपीय गणितज्ञों के लिए जाना जाता था, जिसमें स्टिफ़ेल, निकोलो फोंटाना टारटाग्लिया और साइमन स्टीविन सम्मिलित थे।^[8]

आइजैक न्यूटन को आम तौर पर सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय का श्रेय दिया जाता है, जो किसी भी तर्कसंगत घातांक के लिए मान्य होता है।^[8]^[10]

कथन

प्रमेय के अनुसार, $x + y$ फॉर्म के योग में किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घात का विस्तार करना संभव है

(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},

जहाँ पे

n\geq 0

एक पूर्णांक है और प्रत्येक

{\tbinom {n}{k}}

एक सकारात्मक पूर्णांक है जिसे द्विपद गुणांक के रूप में जाना जाता है। जब एक घातांक शून्य होता है, तो संबंधित घात अभिव्यक्ति को 1 माना जाता है और इस गुणन कारक को अक्सर शब्द से हटा दिया जाता है। इसलिए अक्सर दाहिने हाथ की ओर लिखा हुआ दिखाई देता है

{\textstyle {\binom {n}{0}}x^{n}+\cdots }

.) इस सूत्र को द्विपद सूत्र या द्विपद सर्वसमिका भी कहा जाता है। संकलन अंकन पद्धति का उपयोग कर के इसे इस रूप में लिखा जाता है।

(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.

अंतिम अभिव्यक्ति प्रथम अभिव्यक्ति में जब

x

तथा

y

की समरूपता होती है और तुलना करके यह इस प्रकार है कि सूत्र में द्विपद गुणकों का क्रम सममित होता है। प्रतिस्थापन (बीजगणित) द्वारा द्विपद सूत्र का एक सरल संस्करण प्राप्त किया जाता है

1

के लिये

y

, ताकि इसमें केवल एक चर (गणित) शामिल हो। इस रूप में, सूत्र पढ़ता है

द्विपद सूत्र का एक सरल संस्करण y के लिए 1 को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है, ताकि इसमें केवल एक चर सम्मिलित कर के, इसे सूत्र के रूप में सूत्र पढ़ा जा सके

(1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n},

या समकक्ष

(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k},

या अधिक स्पष्ट रूप से^[11]

(1+x)^{n}=1+nx+{\frac {n(n-1)}{2!}}x^{2}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{3!}}x^{3}+\cdots +nx^{n-1}+x^{n}.

उदाहरण

यहाँ द्विपद प्रमेय के पहले कुछ मामले हैं

{\begin{aligned}(x+y)^{3}&=xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy&(2^{3}{\text{ terms}})\\&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}&(3+1{\text{ terms}})\end{aligned}}

[convergence-14] 1.0 ^1.1 This is to guarantee convergence. Depending on $r$ , the series may also converge sometimes when $| x | = | y |$ .

[wolfram-1] 1.0 ^1.1 Weisstein, Eric W. "द्विपद प्रमेय". Wolfram MathWorld.

[Coolidge-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 Coolidge, J. L. (1949). "द्विपद प्रमेय की कहानी". The American Mathematical Monthly. 56 (3): 147–157. doi:10.2307/2305028. JSTOR 2305028.

[Chinese-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 Jean-Claude Martzloff; S.S. Wilson; J. Gernet; J. Dhombres (1987). चीनी गणित का इतिहास. Springer.

[Biggs-4] 4.0 ^4.1 Biggs, N. L. (1979). "कॉम्बिनेटरिक्स की जड़ें". Historia Math. 6 (2): 109–136. doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0.

[5] "द्विपद प्रमेय: मध्यकालीन इस्लामी गणित में एक व्यापक अवधारणा" (PDF). core.ac.uk. p. 401. Archived (PDF) from the original on 2022-10-09. Retrieved 2019-01-08.

[Karaji-6] 6.0 ^6.1 O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews

[7] Landau, James A. (1999-05-08). "हिस्टोरिया मैटमैटिका मेलिंग लिस्ट आर्काइव: पुन: [एचएम] पास्कल का त्रिभुज" (mailing list email). Archives of Historia Matematica. Retrieved 2007-04-13.

[Kline-8] 8.0 ^8.1 ^8.2 Kline, Morris (1972). गणितीय सोच का इतिहास. Oxford University Press. p. 273.

[9] Katz, Victor (2009). "14.3: Elementary Probability". गणित का इतिहास: एक परिचय. Addison-Wesley. p. 491. ISBN 978-0-321-38700-4.

[10] Bourbaki, N. (18 November 1998). गणित पेपरबैक के इतिहास के तत्व. J. Meldrum (Translator). ISBN 978-3-540-64767-6.

[11] भौतिकविदों के लिए गणितीय तरीके. 2013. p. 34. doi:10.1016/c2009-0-30629-7. ISBN 9780123846549.

[barth2004-12] 12.0 ^12.1 Barth, Nils R. (2004). "एन-क्यूब की समरूपता द्वारा कैवलियरी के चतुर्भुज सूत्र की गणना". The American Mathematical Monthly. 111 (9): 811–813. doi:10.2307/4145193. ISSN 0002-9890. JSTOR 4145193.

[13] Binomial theorem – inductive proofs Archived February 24, 2015, at the Wayback Machine

[Sokolowsky-15] Sokolowsky, Dan; Rennie, Basil C. (February 1979). "समस्या 352". Crux Mathematicorum. 5 (2): 55–56.

[16] Aigner, Martin (1997) [Reprint of the 1979 Edition]. संयोजन सिद्धांत. Springer. p. 105. ISBN 3-540-61787-6.

[17] Olver, Peter J. (2000). झूठ समूहों के विभेदक समीकरणों के अनुप्रयोग. Springer. pp. 318–319. ISBN 9780387950006.

[18] Spivey, Michael Z. (2019). द्विपद पहचान सिद्ध करने की कला. CRC Press. p. 71. ISBN 978-1351215800.

[19] Cover, Thomas M.; Thomas, Joy A. (2001-01-01). आधार - सामग्री संकोचन (in English). John Wiley & Sons, Inc. p. 320. doi:10.1002/0471200611.ch5. ISBN 9780471200611.

[20] Artin, Algebra, 2nd edition, Pearson, 2018, equation (4.7.11).

[21] "पेसोआ पुरालेख: संपादित कार्य - न्यूटन का द्विपद वीनस डी मिलो जितना सुंदर है।". arquivopessoa.net.

[1]

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[Note 1]

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 </math>
 |caption=The [[binomial coefficient]] <math>\tbinom{n}{k}</math> appears as the {{mvar|k}}th entry in the {{mvar|n}}th row of [[Pascal's triangle]] (counting starts at {{math|0}}). Each entry is the sum of the two above it.}}
-प्रारंभिक बीजगणित में, द्विपद प्रमेय या द्विपद विस्तार एक द्विपद बहुपद के घातांक के बीजगणितीय प्रसार का वर्णन करता है। प्रमेय के अनुसार, बहुपद का विस्तार करना संभव है {{math|(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} फॉर्म की शर्तों को शामिल करने वाले योग में {{math|''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup>}}, जहां घातांक {{mvar|b}} तथा {{mvar|c}} के साथ अऋणात्मक पूर्णांक हैं {{math|1=''b'' + ''c'' = ''n''}}, और गुणांक {{mvar|a}} प्रत्येक शब्द का एक विशिष्ट सकारात्मक पूर्णांक निर्भर करता है {{mvar|n}} तथा {{mvar|b}}. उदाहरण के लिए, के लिए {{math|1=''n'' = 4}},
+प्रारंभिक बीजगणित में, द्विपद प्रमेय या द्विपद विस्तार एक द्विपद बहुपद के घातांक के बीजगणितीय प्रसार का वर्णन करता है। प्रमेय के अनुसार, बहुपद का विस्तार करना संभव है {{math|(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} '''फॉर्म के योग में शर्तों को शामिल करने वाले''' {{math|''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup>}} है, जहां घातांक {{mvar|b}} तथा {{mvar|c}} के साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं {{math|1=''b'' + ''c'' = ''n''}}, और गुणांक {{mvar|a}} प्रत्येक पद का एक विशिष्ट सकारात्मक पूर्णांक है जो {{mvar|n}} और {{mvar|b}} पर निर्भर करता है।  तथा  उदाहरण के लिए, के लिए {{math|1=''n'' = 4}},<math display="block">(x+y)^4 = x^4 + 4 x^3y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4. </math>
-<math display="block">(x+y)^4 = x^4 + 4 x^3y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4. </math>
 {{math|''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup>}} के पद में गुणांक a को द्विपद गुणांक <math>\tbinom{n}{b}</math> या <math>\tbinom{n}{c}</math> के रूप में जाना जाता है, दोनों का मूल्य समान होता है। अलग-अलग के लिए ये गुणांक {{mvar|n}} तथा {{mvar|b}} पास्कल का त्रिभुज बनाने के लिए व्यवस्थित किया जा सकता है। ये नंबर साहचर्य में भी होते हैं, जहां <math>\tbinom{n}{b}</math>उन  तत्वों के विभिन्न संयोजनों की संख्या देता है जिन्हें n-तत्व के समुच्चय से चुना जाता है। इसलिए <math>\tbinom{n}{b}</math> को अक्सर {{mvar|n}} और {{mvar|b}} के रूप में उच्चारित किया जाता है।
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 आइजैक न्यूटन को आम तौर पर सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय का श्रेय दिया जाता है, जो किसी भी तर्कसंगत घातांक के लिए मान्य होता है।<ref name="Kline" /><ref>{{cite book| title=गणित पेपरबैक के इतिहास के तत्व|date=18 November 1998|first=N.|last=Bourbaki|others=J. Meldrum (Translator)|isbn=978-3-540-64767-6|url-access=registration|url=https://archive.org/details/elementsofhistor0000bour}}</ref>
 == कथन ==
-प्रमेय के अनुसार, की किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक शक्ति का विस्तार करना संभव है {{math|''x'' + ''y''}} फॉर्म के योग में
+प्रमेय के अनुसार, {{math|''x'' + ''y''}} फॉर्म के योग में किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घात का विस्तार करना संभव है
 <math display="block">(x+y)^n = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1} y^1 + {n \choose 2}x^{n-2} y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n,</math>
-कहाँ पे <math>n \geq 0</math> एक पूर्णांक है और प्रत्येक <math> \tbinom nk </math> एक सकारात्मक पूर्णांक है जिसे द्विपद गुणांक के रूप में जाना जाता है। (जब एक घातांक शून्य होता है, तो संबंधित शक्ति अभिव्यक्ति को 1 माना जाता है और इस गुणन कारक को अक्सर शब्द से हटा दिया जाता है। इसलिए अक्सर दाहिने हाथ की ओर लिखा हुआ दिखाई देता है <math display="inline">\binom{n}{0} x^n + \cdots</math>.) इस सूत्र को द्विपद सूत्र या द्विपद सर्वसमिका भी कहा जाता है। कैपिटल-सिग्मा नोटेशन का उपयोग करके इसे इस रूप में लिखा जा सकता है
+जहाँ पे <math>n \geq 0</math> एक पूर्णांक है और प्रत्येक <math> \tbinom nk </math> एक सकारात्मक पूर्णांक है जिसे द्विपद गुणांक के रूप में जाना जाता है। जब एक घातांक शून्य होता है, तो संबंधित घात अभिव्यक्ति को 1 माना जाता है और इस गुणन कारक को अक्सर शब्द से हटा दिया जाता है। इसलिए अक्सर दाहिने हाथ की ओर लिखा हुआ दिखाई देता है <math display="inline">\binom{n}{0} x^n + \cdots</math>.) इस सूत्र को द्विपद सूत्र या द्विपद सर्वसमिका भी कहा जाता है। संकलन अंकन पद्धति का उपयोग कर के इसे इस रूप में लिखा जाता है।
 <math display="block">(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}y^{n-k}.</math>
-अंतिम अभिव्यक्ति पिछले एक की समरूपता से होती है {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} पहली अभिव्यक्ति में, और तुलना करके यह इस प्रकार है कि सूत्र में द्विपद गुणांक का क्रम सममित है। प्रतिस्थापन (बीजगणित) द्वारा द्विपद सूत्र का एक सरल संस्करण प्राप्त किया जाता है {{math|1}} के लिये {{mvar|y}}, ताकि इसमें केवल एक चर (गणित) शामिल हो। इस रूप में, सूत्र पढ़ता है
+अंतिम अभिव्यक्ति प्रथम अभिव्यक्ति में जब {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} की समरूपता होती है और तुलना करके यह इस प्रकार है कि सूत्र में द्विपद गुणकों का क्रम सममित होता है। प्रतिस्थापन (बीजगणित) द्वारा द्विपद सूत्र का एक सरल संस्करण प्राप्त किया जाता है {{math|1}} के लिये {{mvar|y}}, ताकि इसमें केवल एक चर (गणित) शामिल हो। इस रूप में, सूत्र पढ़ता है
+द्विपद सूत्र का एक सरल संस्करण y के लिए 1 को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है, ताकि इसमें केवल एक चर सम्मिलित कर के, इसे सूत्र के रूप में सूत्र पढ़ा जा सके
 <math display="block">(1+x)^n = {n \choose 0}x^0 + {n \choose 1}x^1 + {n \choose 2}x^2 + \cdots + {n \choose {n-1}}x^{n-1} + {n \choose n}x^n,</math>
 या समकक्ष
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 == उदाहरण ==
-यहाँ द्विपद प्रमेय के पहले कुछ मामले हैं:
+यहाँ द्विपद प्रमेय के पहले कुछ मामले हैं
 <math display="block">\begin{align}
 (x+y)^0 & = 1, \\[8pt]
@@ Line 56: / Line 59: @@
 (x+y)^8 & = x^8 + 8x^7y + 28x^6y^2 + 56x^5y^3 + 70x^4y^4 + 56x^3y^5 + 28x^2y^6 + 8xy^7 + y^8.
 \end{align}</math>
-सामान्य तौर पर, के विस्तार के लिए {{math|(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} दाहिनी ओर में {{mvar|n}}वीं पंक्ति (क्रमांकित ताकि शीर्ष पंक्ति 0 वीं पंक्ति हो):
+सामान्य तौर पर,  {{math|(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} के विस्तार के लिए {{mvar|n}}वीं पंक्ति में दाहिनी ओर क्रमांकित ताकि शीर्ष पंक्ति 0 वीं पंक्ति हो,
-* के प्रतिपादक {{mvar|x}} शर्तों में हैं {{math|''n'', ''n'' − 1, ..., 2, 1, 0}} (अंतिम शब्द में निहित रूप से शामिल है {{math|1=''x''<sup>0</sup> = 1}});
+* पदों में {{mvar|x}} के घातांक {{math|''n'', ''n'' − 1, ..., 2, 1, 0}} हैं, अंतिम पद में अंतर्निहित रूप से {{math|1=''x''<sup>0</sup> = 1}},
-* के प्रतिपादक {{mvar|y}} शर्तों में हैं {{math|0, 1, 2, ..., ''n'' − 1, ''n''}} (पहले शब्द में निहित रूप से शामिल है {{math|1=''y''<sup>0</sup> = 1}});
+* शब्दों में {{mvar|y}} के घातांक {{math|0, 1, 2, ..., ''n'' − 1, ''n''}} हैं, पहले पद में स्पष्ट रूप से  {{math|1=''y''<sup>0</sup> = 1}}) सम्मिलित है,
-* गुणांक बनाते हैं {{mvar|n}}पास्कल के त्रिकोण की वीं पंक्ति;
+* गुणांक पास्कल के त्रिभुज की {{mvar|n}}वीं पंक्ति बनाते हैं
-* समान पदों के संयोजन से पहले, हैं {{math|2<sup>''n''</sup>}} शर्तें {{math|''x''<sup>''i''</sup>''y''<sup>''j''</sup>}} विस्तार में (नहीं दिखाया गया);
+* समान पदों के संयोजन से पहले, विस्तार में {{math|2<sup>''n''</sup>}} वाँ पद {{math|''x''<sup>''i''</sup>''y''<sup>''j''</sup>}} नहीं दिखाया गया
-*समान पदों के संयोजन के बाद, होते हैं {{math|''n'' + 1}} शर्तें, और उनके गुणांकों का योग {{math|2<sup>''n''</sup>}}.
+*समान पदों के संयोजन के बाद, {{math|''n'' + 1}} पद होते हैं, और उनके गुणांकों का योग {{math|2<sup>''n''</sup>}}.होता है।
-अंतिम दो बिंदुओं को दर्शाने वाला एक उदाहरण: <math display="block">\begin{align}
+अंतिम दो बिंदुओं को दर्शाने वाला एक उदाहरण
+<math display="block">\begin{align}
 (x+y)^3 & = xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy & (2^3 \text{ terms}) \\
          & = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 & (3 + 1 \text{ terms})
-\end{align}</math> साथ <math>1 + 3 + 3 + 1 = 2^3</math>.
+\end{align}</math>
-एक विशिष्ट सकारात्मक मूल्य के साथ एक सरल उदाहरण {{math|''y''}}:
+साथ <math>1 + 3 + 3 + 1 = 2^3</math>.
+{{math|''y''}} के विशिष्ट धनात्मक मान के साथ एक सरल उदाहरण
 <math display="block">\begin{align}
 (x+2)^3 &= x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + 2^3 \\
 &= x^3 + 6x^2 + 12x + 8.
-\end{align}</math>
+\end{align}</math>{{math|''y''}} के विशिष्ट ऋणात्मक मान के साथ एक सरल उदाहरण
-एक विशिष्ट ऋणात्मक मान के साथ एक सरल उदाहरण {{math|''y''}}:
 <math display="block">\begin{align}
 (x-2)^3 &= x^3 - 3x^2(2) + 3x(2)^2 - 2^3 \\
 &= x^3 - 6x^2 + 12x - 8.
 \end{align}</math>
+=== ज्यामितीय व्याख्या ===
+[[File:binomial_theorem_visualisation.svg|thumb|300px|चौथी शक्ति तक द्विपद विस्तार का दृश्य]]{{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} के सकारात्मक मूल्यों के लिए द्विपद प्रमेय के साथ {{math|1=''n'' = 2}} ज्यामितीय रूप से स्पष्ट तथ्य यह है कि भुजा {{math|''a'' + ''b''}} वाले वर्ग को भुजा {{mvar|a}} वाले वर्ग, भुजा {{mvar|b}},वाले वर्ग और भुजाओं {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}}.वाले दो आयतों में काटा जा सकता है। {{math|1=''n'' = 3}} के साथ, प्रमेय कहता है कि भुजा {{math|''a'' + ''b''}} के घन को भुजा {{mvar|a}} के घन, भुजा {{mvar|b}} के घन, तीन  {{math|''a'' × ''a'' × ''b''}}  आयताकार बक्से, और तीन {{math|''a'' × ''b'' × ''b''}} आयताकार बक्से में काटा जा सकता है।
+कलन में, यह चित्र अवकलज का ज्यामितीय प्रमाण भी देता है <math>(x^n)'=nx^{n-1}:</math><ref name="barth2004">{{cite journal | last = Barth | first = Nils R.| title = ''एन''-क्यूब की समरूपता द्वारा कैवलियरी के चतुर्भुज सूत्र की गणना| doi = 10.2307/4145193 | jstor = 4145193 | journal = The American Mathematical Monthly| issn = 0002-9890| volume = 111| issue = 9| pages = 811–813 | date=2004}}</ref> अगर कोई सम्मुचय करता है <math>a=x</math> तथा <math>b=\Delta x,</math> {{mvar|b}} को {{mvar|a}} में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन के रूप में व्याख्या करना,  यह चित्र एक {{mvar|n}}-आयामी अतिविम के आयतन में अतिसूक्ष्म परिवर्तन को दर्शाता है,<math>(x+\Delta x)^n,</math> जहां रैखिक शब्द का गुणांक (में <math>\Delta x</math>) है <math>nx^{n-1},</math>  {{mvar|n}} फेसेस का क्षेत्र, प्रत्येक का आयाम {{math|''n'' &minus; 1}} है<math display="block">(x+\Delta x)^n = x^n + nx^{n-1}\Delta x + \binom{n}{2}x^{n-2}(\Delta x)^2 + \cdots.</math>
-=== ज्यामितीय व्याख्या ===
+एक अंतर भागफल और सीमा लेने के माध्यम से व्युत्पन्न की परिभाषा में इसे प्रतिस्थापित करने का अर्थ है कि उच्च क्रम की शर्तें, <math>(\Delta x)^2</math> और उच्चतर, नगण्य हो जाते हैं, और सूत्र प्राप्त करते हैं <math>(x^n)'=nx^{n-1},</math> के रूप में व्याख्या की है
-[[File:binomial_theorem_visualisation.svg|thumb|300px|चौथी शक्ति तक द्विपद विस्तार का दृश्य]]के सकारात्मक मूल्यों के लिए {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}}, द्विपद प्रमेय के साथ {{math|1=''n'' = 2}} ज्यामितीय रूप से स्पष्ट तथ्य यह है कि भुजा का एक वर्ग {{math|''a'' + ''b''}} पक्ष के एक वर्ग में काटा जा सकता है {{mvar|a}}, पक्ष का एक वर्ग {{mvar|b}}, और भुजाओं के साथ दो आयतें {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}}. साथ {{math|1=''n'' = 3}}, प्रमेय कहता है कि पक्ष का एक घन {{math|''a'' + ''b''}} पक्ष के घन में काटा जा सकता है {{mvar|a}}, पक्ष का एक घन {{mvar|b}}, तीन {{math|''a'' × ''a'' × ''b''}} आयताकार बक्से, और तीन {{math|''a'' × ''b'' × ''b''}} आयताकार बक्से।
+किसी {{mvar|n}}-घन के आयतन में परिवर्तन की अतिसूक्ष्म दर, भुजा की लंबाई के रूप में भिन्न होती है, इसके {{math|(''n'' &minus; 1)}} विमीय फलकों के n का क्षेत्रफ है।
-कलन में, यह चित्र अवकलज का ज्यामितीय प्रमाण भी देता है <math>(x^n)'=nx^{n-1}:</math><ref name="barth2004">{{cite journal | last = Barth | first = Nils R.| title = ''एन''-क्यूब की समरूपता द्वारा कैवलियरी के चतुर्भुज सूत्र की गणना| doi = 10.2307/4145193 | jstor = 4145193 | journal = The American Mathematical Monthly| issn = 0002-9890| volume = 111| issue = 9| pages = 811–813 | date=2004}}</ref> अगर कोई सेट करता है <math>a=x</math> तथा <math>b=\Delta x,</math> व्याख्या {{mvar|b}} में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन के रूप में {{mvar|a}}, तब यह चित्र a के आयतन में अतिसूक्ष्म परिवर्तन दिखाता है {{mvar|n}}-आयामी हाइपरक्यूब, <math>(x+\Delta x)^n,</math> जहां रैखिक शब्द का गुणांक (में <math>\Delta x</math>) है <math>nx^{n-1},</math> का क्षेत्र {{mvar|n}} चेहरे, प्रत्येक आयाम के {{math|''n'' &minus; 1}}:
+यदि कोई इस चित्र को एकीकृत करता है, जो कलन के मौलिक प्रमेय को लागू करने के अनुरूप है, तो उससे कैवलियरी का चतुर्भुज सूत्र, समाकलन प्राप्त होता है <math>\textstyle{\int x^{n-1}\,dx = \tfrac{1}{n} x^n}</math> - विवरण के लिए कैवलियरी के चतुर्भुज सूत्र का प्रमाण देखें।<ref name="barth2004" />
-<math display="block">(x+\Delta x)^n = x^n + nx^{n-1}\Delta x + \binom{n}{2}x^{n-2}(\Delta x)^2 + \cdots.</math>
-एक अंतर भागफल और सीमा लेने के माध्यम से व्युत्पन्न की परिभाषा में इसे प्रतिस्थापित करने का अर्थ है कि उच्च क्रम की शर्तें, <math>(\Delta x)^2</math> और उच्चतर, नगण्य हो जाते हैं, और सूत्र प्राप्त करते हैं <math>(x^n)'=nx^{n-1},</math> के रूप में व्याख्या की
-: a के आयतन में परिवर्तन की अतिसूक्ष्म दर {{mvar|n}}-घन के रूप में भुजा की लंबाई भिन्न-भिन्न होती है {{mvar|n}} उसके जैसा {{math|(''n'' &minus; 1)}}-आयामी चेहरे।
-यदि कोई इस चित्र को एकीकृत करता है, जो कैलकुलस के मौलिक प्रमेय को लागू करने के अनुरूप है, तो उसे कैवलियरी का चतुर्भुज सूत्र, समाकलन प्राप्त होता है <math>\textstyle{\int x^{n-1}\,dx = \tfrac{1}{n} x^n}</math> - विवरण के लिए कैवलियरी का चतुर्भुज सूत्र#प्रमाण देखें। कैवलियरी के चतुर्भुज सूत्र का प्रमाण।<ref name="barth2004" />
 {{clear}}
 == द्विपद गुणांक ==

v t e पथरी
Prealculus	द्विपद प्रमेय अवतल कार्य निरंतर कार्य फैक्टरियल परिमित अंतर मुक्त चर और बाध्य चर एक फ़ंक्शन का ग्राफ रैखिक प्रकार्य रेडियन रोले का प्रमेय सेकंट ढलान स्पर्शरेखा
सीमा	अनिश्चित रूप एक फ़ंक्शन की सीमा एकतरफा सीमा एक अनुक्रम की सीमा सन्निकटन का आदेश ((, Δ)-सीमा की सीमा
अंतर कलन	व्युत्पन्न दूसरा व्युत्पन्न आंशिक व्युत्पन्न अंतर विभेदक ऑपरेटर मतलब मान प्रमेय संकेतन Leibniz का अंकन न्यूटन की संकेतन भेदभाव के नियम रैखिकता शक्ति योग चेन l'hôpital's उत्पाद जनरल लीबनिज़ का नियम भागफल अन्य तकनीकें निहित भेदभाव उलटा कार्य और भेदभाव लॉगरिदमिक व्युत्पन्न संबंधित दरें स्थिर बिंदु पहला व्युत्पन्न परीक्षण दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण चरम मूल्य प्रमेय मैक्सिमा और मिनिमा आगे के आवेदन न्यूटन की विधि टेलर का प्रमेय अंतर समीकरण साधारण अंतर समीकरण आंशिक विभेदक समीकरण स्टोचस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन
समाकलन गणित	Antiderivative Arc length Riemann integral Basic properties Constant of integration Fundamental theorem of calculus Differentiating under the integral sign Integration by parts Integration by substitution trigonometric Euler Tangent half-angle substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Washer method Shell method Integral equation Integro-differential equation
वेक्टर कैलकुलस	डेरिवेटिव कर्ल दिशात्मक व्युत्पन्न विचलन ढाल लाप्लासियन बुनियादी प्रमेय लाइन इंटीग्रल ग्रीन स्टोक्स' गॉस '
बहुक्रियाशील पथरी	विचलन प्रमेय ज्यामितीय हेसियन मैट्रिक्स जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक Lagrange गुणक लाइन इंटीग्रल मैट्रिक्स एकाधिक अभिन्न आंशिक व्युत्पन्न सतह अभिन्न वॉल्यूम इंटीग्रल उन्नत विषय विभेदक रूप बाहरी व्युत्पन्न सामान्यीकृत स्टोक्स 'प्रमेय टेंसर कैलकुलस
अनुक्रम और श्रृंखला	अंकगणित-ज्यामितीय अनुक्रम श्रृंखला के प्रकार वैकल्पिक द्विपद फूरियर ज्यामितीय हार्मोनिक अनंत पावर Maclaurin टेलर दूरबीन अभिसरण के परीक्षण हाबिल अल्टरनेटिंग सीरीज़ Cauchy संघनन प्रत्यक्ष तुलना Dirichlet's अभिन्न सीमा तुलना अनुपात रूट शब्द
विशेष कार्य और संख्या	बर्नौली नंबर ई (गणितीय स्थिरांक) घातांक प्रकार्य प्राकृतिक स्टर्लिंग का अनुमान
कैलकुलस का इतिहास	पर्याप्तता ब्रुक टेलर कॉलिन मैक्लोरिन बीजगणित की सामान्यता गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ Infinitesimal Infinitesimal galulus आइजैक न्यूटन फ्लक्सियन निरंतरता का नियम लियोनहार्ड यूलर प्रवाह की विधि यांत्रिक प्रमेय की विधि
सूचियों	भेदभाव नियम घातीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कहीन कार्यों के अभिन्न अंग की सूची लघुगणक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कसंगत कार्यों के अभिन्न अंग की सूची त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची सेकंट सेकेंट क्यूबेड सीमाओं की सूची अभिन्न की सूची
विविध विषय	जटिल पथरी समोच्च अभिन्न अंतर ज्यामिति कई गुना वक्रता घटता सतहों का टेंसर यूलर -मेक्लॉरिन फॉर्मूला गेब्रियल का सींग एकीकरण मधुमक्खी प्रमाण है कि 22/7 से अधिक Regiomontanus 'कोण अधिकतमकरण समस्या स्टाइनमेट्ज़ सॉलिड

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द्विपद प्रमेय: Difference between revisions

Revision as of 00:49, 9 December 2022

इतिहास

कथन

उदाहरण

ज्यामितीय व्याख्या

द्विपद गुणांक

सूत्र

मिश्रित व्याख्या

प्रमाण

संयोजन प्रमाण

उदाहरण

सामान्य मामला

आगमनात्मक प्रमाण

सामान्यीकरण

न्यूटन का सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय

आगे सामान्यीकरण

बहुपद प्रमेय

बहु-द्विपद प्रमेय

जनरल लीबनिज नियम

अनुप्रयोग

बहु-कोण पहचान

संभावना

अमूर्त बीजगणित में

लोकप्रिय संस्कृति में

यह भी देखें

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संदर्भ

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