फाइबर बंडल: Difference between revisions

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एक बेलनाकार कंघी शब्द फाइबर बंडल के पीछे के अंतर्ज्ञान को दर्शाता है। यह हेयरब्रश फाइबर बंडल की तरह होता है जिसमें आधार स्पेस एक सिलेंडर होता है और फाइबर(बाल खड़े) लाइन सेगमेंट होते हैं। मानचित्रण

\pi :E\to B

किसी भी ब्रिस्टल पर एक बिंदु लेगा और इसे सिलेंडर पर अपनी जड़ में मैप करेगा।

गणित और विशेष रूप से टोपोलॉजी में, एक फाइबर बंडल(या राष्ट्रमंडल राष्ट्रों में अंग्रेजी में: फाइबर बंडल) एक अंतराल(गणित) है जो है स्थानीय तौर पर एक उत्पाद स्थान, लेकिन व्यापक रूप से एक अलग सामयिक संरचना हो सकती है। विशेष रूप से, एक स्थान के बीच समानता $E$ और एक उत्पाद स्थान $B\times F$ एक सतत कार्य(टोपोलॉजी) विशेषण कार्य मानचित्र(गणित) का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, $\pi :E\to B,$ कि के छोटे क्षेत्रों में $E$ के संबंधित क्षेत्रों से प्रक्षेपण की तरह ही व्यवहार करता है $B\times F$ प्रति $B.$ मानचित्र $\pi ,$ बंडल का प्रक्षेपण या आप्लावन(गणित) कहलाता है, इसे बंडल की संरचना का भाग माना जाता है। अंतराल $E$ फाइबर बंडल के कुल स्थान के रूप में जाना जाता है, $B$ आधार स्थान के रूप में, और $F$ फाइबर के रूप में।

'साधारण' परिस्थिति में, $E$ सिर्फ $B\times F,$ और मानचित्र $\pi$ उत्पाद स्थान से पहले कारक तक केवल प्रक्षेपण है। इसे साधारण बंडल कहा जाता है। गैर-साधारण फाइबर बंडलों के उदाहरणों में मोबियस स्ट्रिप और क्लेन की बोतल, साथ ही असतहीय अंतराल को संरक्षित करना सम्मिलित हैं। फाइबर बंडल, जैसे विविध के स्पर्शरेखा बंडल और अन्य अधिक सामान्य सदिश बंडल , मुख्य बंडल के रूप में अंतर ज्यामिति और अंतर टोपोलॉजी में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

प्रक्षेप मानचित्र के साथ यात्रा करने वाले फाइबर बंडलों के कुल स्थानों के बीच मैपिंग को बंडल मानचित्र्स के रूप में जाना जाता है, और फाइबर बंडलों की श्रेणी ऐसे मैपिंग के संबंध में एक श्रेणी सिद्धांत बनाती है। आधार स्पेस से ही एक बंडल मैप(प्रक्षेपण के रूप में आइडेंटिटी मैपिंग के साथ)। $E$ का एक भाग(फाइबर बंडल) कहलाता है $E.$ फाइबर बंडलों को कई तरीकों से विशिष्ट किया जा सकता है, जिनमें से सबसे साधारण है कि स्थानीय साधारण पैच के बीच संक्रमण मानचित्र एक निश्चित टोपोलॉजिकल समूह में होते हैं, जिसे संरचना समूह के रूप में जाना जाता है, जो फाइबर पर कार्य करता है। $F$ .

इतिहास

टोपोलॉजी में, फाइबर(जर्मन: फेजर) और फाइबर स्पेस(गेफसेर राउम) शब्द पहली बार 1933 में हर्बर्ट सीफर्ट के एक पृष्ठ में दिखाई दिए,^[1]^[2] लेकिन उनकी परिभाषाएँ एक विशेष परिस्थिति तक ही सीमित हैं। हालांकि, फाइबर स्पेस की वर्तमान अवधारणा से मुख्य अंतर यह था कि सीफर्ट के लिए जिसे अब फाइबर(टोपोलॉजिकल) स्पेस E का आधार स्पेस(टोपोलॉजिकल स्पेस) कहा जाता है, वह संरचना का हिस्सा नहीं था, लेकिन इसे 'E' के भागफल स्थान के रूप में प्राप्त किया गया है। फाइबर स्पेस की पहली परिभाषा हस्लर व्हिटनी ने 1935 में दी थी ^[3] स्फीयर स्पेस नाम के तहत, लेकिन 1940 में व्हिटनी ने नाम परिवर्तित कर स्फीयर बंडल कर दिया।^[4] फाइबर वाले रिक्त स्थान का सिद्धांत, जिनमें से सदिश बंडल, सिद्धांत बंडल, टोपोलॉजिकल कंपन और फाइबर कई गुना एक विशेष परिस्थिति है, जिसको सीफर्ट, हेंज हॉफ, जैक्स फेल्डबाउ, के लिए उत्त्तरदायी ठहराया गया है।^[5] व्हिटनी, नॉर्मन स्टीनरोड, चार्ल्स एह्रेसमैन,^[6]^[7]^[8] जीन पियरे सेरे,^[9] और दूसरे वैज्ञानिकों ने इसका समर्थन किया।

1935-1940 की अवधि में फाइबर बंडल अध्ययन का अपना उद्देश्य बन गया। व्हिटनी की रचनाओं में पहली सामान्य परिभाषा सामने आई।^[10] व्हिटनी एक गोले के बंडल की अधिक विशेष धारणा के अपने अध्ययन से फाइबर बंडल की सामान्य परिभाषा पर आया,^[11] वह एक फाइबर बंडल है जिसका फाइबर स्वइच्छित आयाम का एक गोला है।^[12]

औपचारिक परिभाषा

एक फाइबर बंडल एक संरचना है $(E,\,B,\,\pi ,\,F),$ जहाँ पर $E,B,$ तथा $F$ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान हैं और $\pi :E\to B$ एक सतत(टोपोलॉजी) प्रक्षेपण है जो नीचे उल्लिखित स्थानीय साधारणता की स्थिति को संतुष्ट करता है, अंतराल $B$ कहा जाता है आधार स्पेस बंडल का, $E$ संपूर्ण स्पेस, तथा $F$ फाइबर. मानचित्र $\pi$ कहा जाता है। प्रक्षेपण मानचित्र(या बण्डल प्रक्षेपण) को आधार स्थान के बाद यह मानते हैं कि $B$ जुड़ा हुआ स्थान है।

इसकी आवश्यकता प्रत्येक $x\in B$ के लिए है, एक संवृत्त सन्निकट(टोपोलॉजी) $U\subseteq B$ है जिसका $x$ (जिसे एक साधारण सन्निकट कहा जाएगा) ऐसा है कि वह एक होमियोआकारिता है, $\varphi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F$ (जहाँ पर $\pi ^{-1}(U)$ उप-स्थान टोपोलॉजी दी गई है, और $U\times F$ उत्पाद स्थान है) इस तरह से $\pi$ पहले कारक पर प्रक्षेपण से सहमत हैं। अर्थात्, निम्नलिखित आरेख को क्रमविनिमेय आरेख होना चाहिए।

जहाँ पर $\operatorname {proj} _{1}:U\times F\to U$ प्राकृतिक प्रक्षेपण है और $\varphi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F$ एक होमियोआकारिता है। सभी सार्वजनिक तुच्छीकरण बंडल का सम्मुचय $\left\{\left(U_{i},\,\varphi _{i}\right)\right\}$ A कहा जाता है।

इस प्रकार किसी के लिए $p\in B$ , पूर्व चित्र $\pi ^{-1}(\{p\})$ के लिए होमियोमॉर्फिक है, $F$ (चूंकि यह सच है $\operatorname {proj} _{1}^{-1}(\{p\})$ ) और इसे फाइबर ओवर $p.$ कहा जाता है, हर फाइबर बंडल $\pi :E\to B$ एक संवृत्त मानचित्र है, क्योंकि उत्पादों के अनुमान संवृत्त मानचित्र हैं। इसलिए $B$ मानचित्र द्वारा निर्धारित भागफल टोपोलॉजी $\pi .$ वहन करती है, जो कि एक फाइबर बंडल $(E,\,B,\,\pi ,\,F)$ निरूपित किया जाता है

{\begin{matrix}{}\\F\longrightarrow E\ \xrightarrow {\,\ \pi \ } \ B\\{}\end{matrix}}

(1)

एक संक्षिप्त सटीक अनुक्रम के अनुरूप, यह इंगित करता है कि कौन सा स्थान फाइबर, कुल स्थान और आधार स्थान है, साथ ही कुल से आधार स्थान तक का मानचित्र।

स्मूथ फाइबर बंडल कई गुना श्रेणी(गणित) में एक फाइबर बंडल है। वह है, $E,B,$ तथा $F$ समतलीय मैनिफोल्ड होने की आवश्यकता है और ऊपर दिए गए सभी कार्यों को सुचारू मानचित्र बनाने की आवश्यकता है।

उदाहरण

साधारण बंडल

इस सन्दर्भ में $E=B\times F$ और $\pi :E\to B$ पहले कारक पर प्रक्षेपण होने चाहिए। $\pi$ एक फाइबर बंडल है( $F$ ) ऊपर $B.$ यहां $E$ न केवल स्थानीय रूप से एक उत्पाद है बल्कि विश्व स्तर पर एक है। ऐसे किसी फाइबर बंडल को 'कहा जाता है।त्रिविम बंडल अनुबंधित स्थान जटिल पर कोई भी फाइबर बंडल साधारण है।

गैर-साधारण बंडल

मोबियस स्ट्रिप

File:Moebius Surface 1 Display Small.png

मोबियस स्प्लीन वृत्त के ऊपर एक गैर-साधारण बंडल है।

अनुमानतः एक गैर-साधारण बंडल का सबसे सरल उदाहरण $E$ मोबियस स्प्लीन(पट्टी) है। इसमें एक वृत्त होता है जो आधार के रूप में स्प्लीन के केंद्र के साथ लंबाई में चलता है $B$ और फाइबर के लिए एक लाइन अनुभाग $F$ , इसलिए मोबियस स्प्लीन वृत्त के ऊपर रेखा अनुभाग का एक बंडल है। एक सन्निकट(गणित) $U$ का $\pi (x)\in B$ (जहाँ पर $x\in E$ ) एक गोलाकार चाप है; तस्वीर में, यह वर्गों में से एक की लंबाई है। छवि(गणित) $\pi ^{-1}(U)$ तस्वीर में स्प्लीन का एक(कुछ वक्राकार) टुकड़ा है जो चार वर्ग चौड़ा और लंबा है(अर्थात वे सभी बिंदु जो प्रोजेक्ट करते हैं $U$ ).

होमियोआकारिता( $\varphi$ में § साधारण परिभाषा) उपस्थित है जो कि प्री इमेज को मैप करता है $U$ (साधारण सन्निकट) एक सिलेंडर के टुकड़े के लिए: घुमावदार, लेकिन वक्र नहीं। यह जोड़ी स्थानीय रूप से स्प्लीन को साधारण बनाती है। यह साधारण बंडल $B\times F$ एक सिलेंडर(ज्यामिति) होगा, लेकिन मोबियस स्प्लीन में एक समग्र वक्र है। यह वक्र विश्व स्तर पर ही दिखाई देता है; स्थानीय रूप से मोबियस स्ट्रिप और सिलेंडर समान हैं(दोनों में से एक ही ऊर्ध्वाधर कट बनाने से समान स्थान मिलता है)।

क्लेन बोतल

क्लेन बोतल एक समान गैर-साधारण बंडल है, जिसे दूसरे वृत्त पर एक वक्र वृत्त बंडल के रूप में देखा जा सकता है। संबंधित गैर-वक्र(साधारण) बंडल 2-टोरस्र्स है।

The Klein bottle immersed in three-dimensional space.

File:Torus.png

A torus.

संरक्षितिंग मानचित्र

एक संरक्षितिंग मैप एक फाइबर बंडल है जैसे कि बंडल प्रक्षेपण एक स्थानीय होमोआकारिता है। इस प्रकार फाइबर एक असतत स्थान है।

सदिश और प्रमुख बंडल

फाइबर बंडलों का एक विशेष वर्ग, जिसे सदिश बंडल कहा जाता है, वे हैं जिनके फाइबर सदिश रिक्त स्थान हैं(सदिश बंडल के रूप में अर्हता प्राप्त करने के लिए बंडल का संरचना समूह एक सामान्य रैखिक समूह होना चाहिए) सदिश बंडलों के महत्वपूर्ण उदाहरणों में स्पर्शरेखा बंडल और समतलीय मैनिफोल्ड के कोटेंगेंट बंडल सम्मिलित हैं। किसी भी सदिश बंडल से, आधार(गणित) के फ्रेम बंडल का निर्माण किया जा सकता है, जो एक प्रमुख बंडल है(नीचे देखें)।

फाइबर बंडलों का एक अन्य विशेष वर्ग, जिसे प्रमुख बंडल कहा जाता है, वे बंडल होते हैं जिनके तंतुओं पर एक समूह द्वारा एक स्वतंत्र और संक्रमणीय समूह क्रिया(गणित) होती है। $G$ दिया जाता है, ताकि प्रत्येक फाइबर एक प्रमुख सजातीय स्थान हो। बंडल को प्रायः $G$ -बंडल समूह के साथ सिद्धांत के रूप में संदर्भित करके निर्दिष्ट किया जाता है । समूह $G$ बंडल का संरचना समूह भी है। एक समूह प्रतिनिधित्व दिया $\rho$ का $G$ एक सदिश स्थान पर $V$ , एक सदिश बंडल के साथ $\rho (G)\subseteq {\text{Aut}}(V)$ एक संरचना समूह के रूप में निर्मित किया जा सकता है, जिसे संबंधित बंडल के रूप में जाना जाता है।

क्षेत्र बंडल

गोलाकार बंडल एक फाइबर बंडल है जिसका फाइबर एक हाइपरगोलाकार n-स्फीयर है। एक सदिश बंडल दिया गया $E$ एक मीट्रिक टेंसर के साथ(जैसे कि रीमैनियन कई गुना के लिए स्पर्शरेखा बंडल) कोई संबंधित इकाई क्षेत्र बंडल का निर्माण कर सकता है, जिसके लिए एक बिंदु पर फाइबर $x$ में सभी यूनिट वैक्टर $E_{x}$ का समुच्चय है, जब प्रश्न में सदिश बंडल स्पर्शरेखा बंडल $TM$ है, इकाई गोले के बंडल को इकाई स्पर्शरेखा बंडल के रूप में जाना जाता है।

एक गोले के बंडल को आंशिक रूप से उसके यूलर वर्ग द्वारा चित्रित किया जाता है, जो कि एक डिग्री है $n+1$ बंडल के कुल स्थान में सह-समरूपता वर्ग $n=1$ गोलाकार बंडल को एक वृत्त बंडल कहा जाता है और यूलर वर्ग पहले चेर्न वर्ग के बराबर होता है, जो बंडल की टोपोलॉजी को पूरी तरह से चित्रित करता है। किसी $n$ ,के लिए एक बंडल के यूलर वर्ग को देखते हुए, गाइसिन अनुक्रम नामक एक लंबे सटीक अनुक्रम का उपयोग करके इसके कोहोलॉजी की गणना कर सकता है।

मैपिंग टोरी

यदि $X$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस है और $f:X\to X$ एक होमोआकारिता है तो मानचित्रण टोरस $M_{f}$ फाइबर के साथ वृत्त के ऊपर एक फाइबर बंडल की एक प्राकृतिक संरचना है $X.$ सतहों के होमोआकारिता के मानचित्रण टोरी का 3-कई गुना|3-मैनिफोल्ड टोपोलॉजी में विशेष महत्व है।

भागफल स्थान

यदि $G$ एक सामयिक समूह है और $H$ एक बंद उपसमूह है, तो कुछ परिस्थितियों में भागफल स्थान(टोपोलॉजी) $G/H$ भागफल मानचित्र के साथ $\pi :G\to G/H$ एक फाइबर बंडल है, जिसका फाइबर टोपोलॉजिकल स्पेस है $H$ . के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त( $G,\,G/H,\,\pi ,\,H$ ) एक फाइबर बंडल बनाने के लिए मैपिंग है $\pi$ सेक्शंस स्थानीय क्रॉस-अनुभाग स्वीकार करता है (Steenrod 1951, §7).

सबसे सामान्य स्थितियाँ जिसके तहत भागफल मानचित्र स्थानीय क्रॉस-अनुभाग को स्वीकार करेगा, ज्ञात नहीं है, हालाँकि यदि $G$ एक अमान्य समूह है और $H$ एक बंद उपसमूह(और इस प्रकार बंद उपसमूह प्रमेय तो कार्टन की प्रमेय द्वारा एक लाइ उपसमूह), तो भागफल मानचित्र एक फाइबर बंडल है। इसका एक उदाहरण हॉफ फिब्रेशन है, $S^{3}\to S^{2}$ , जो गोले के ऊपर एक फाइबर बंडल है $S^{2}$ जिसका कुल स्थान है $S^{3}$ . अमान्य समूहों के दृष्टिकोण से, $S^{3}$ विशेष एकात्मक समूह के साथ पहचाना जा सकता है $SU(2)$ . विकर्ण मेट्रिसेस का एबेलियन उपसमूह वृत्त समूह के लिए आइसोमोर्फिक है $U(1)$ , और भागफल $SU(2)/U(1)$ गोले के लिए डिफियोमॉर्फिक है।

अधिक सामान्यतः, यदि $G$ कोई सामयिक समूह है और $H$ एक बंद उपसमूह जो तब एक अमान्य समूह भी होता है $G\to G/H$ एक फाइबर बंडल है।

अनुभाग

अनुभाग(या क्रॉस अनुभाग) एक फाइबर बंडल का $\pi$ एक सतत मानचित्र है $f:B\to E$ ऐसा है कि $\pi (f(x))=x$ बी में सभी x के लिए। चूंकि बंडलों में सामान्य रूप से विश्व स्तर पर परिभाषित अनुभाग नहीं होते हैं, सिद्धांत के उद्देश्यों में से एक उनके अस्तित्व के लिए है। एक अनुभाग के अस्तित्व के लिए बाधा सिद्धांत को प्रायः सह-विज्ञान वर्ग द्वारा मापा जा सकता है, जो बीजगणितीय टोपोलॉजी में विशेषता वर्ग के सिद्धांत की ओर जाता है।

सबसे प्रसिद्ध उदाहरण बालों वाली गेंद प्रमेय है, जहां यूलर वर्ग 2-गोले के स्पर्शरेखा बंडल के लिए बाधा है, जो कहीं भी अदृश्य नहीं हो रहा है।

प्रायः कोई केवल स्थानीय रूप से अनुभागों को परिभाषित करना चाहता है(विशेषकर जब वैश्विक अनुभाग उपस्थित नहीं होते हैं)। फाइबर बंडल का 'स्थानीय अनुभाग' एक निरंतर मानचित्र है $f:U\to E$ जहाँ U, B में एक विवृत्त समुच्चय है $\pi (f(x))=x$ U में सभी x के लिए। यदि $(U,\,\varphi )$ एक स्थानीय साधारणीकरण चार्ट है तो यू पर स्थानीय अनुभाग सदैव उपस्थित होते हैं। ऐसे अनुभाग निरंतर मानचित्रों के साथ 1-1 पत्राचार में हैं $U\to F$ . अनुभाग एक शीफ(गणित) बनाते हैं।

संरचना समूह और संक्रमण कार्य

फाइबर बंडल प्रायः समरूपता के एक समूह(गणित) के साथ आते हैं जो अतिव्यापी स्थानीय साधारणीकरण चार्ट के बीच मिलान की स्थिति का वर्णन करते हैं। विशेष रूप से, G को एक सामयिक समूह होने दें जो बाईं ओर फाइबर स्पेस F पर लगातार समूह क्रिया(गणित) करता है। हम कुछ भी नहीं खोते हैं यदि हम चाहते हैं कि G, F पर कार्यान्वन करें ताकि इसे F के होमोआकारिता के समूह के रूप में माना जा सके। बंडल के लिए A 'G-एटलस(टोपोलॉजी)' $(E,B,\pi ,F)$ स्थानीय साधारणीकरण चार्ट का एक समुच्चय है $\{(U_{k},\,\varphi _{k})\}$ ऐसा कि किसी के लिए $\varphi _{i},\varphi _{j}$ अतिव्यापी चार्ट के लिए $(U_{i},\,\varphi _{i})$ तथा $(U_{j},\,\varphi _{j})$ कार्यक्रम

\varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}:\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\times F\to \left(U_{i}\cap U_{j}\right)\times F

द्वारा दिया गया है

\varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}(x,\,\xi )=\left(x,\,t_{ij}(x)\xi \right)

जहाँ पर

t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G

एक सतत मानचित्र है जिसे A कहा जाता है, परिवर्ती फलन जो दो 'G'-एटलस समकक्ष हैं यदि उनका मिलन भी एक 'G'-एटलस है। एक जी-बंडल जी-एटलस के समतुल्य वर्ग के साथ एक फाइबर बंडल है। समूह 'जी' को कहा जाता है संरचनात्मक समूह बंडल का भौतिकी में समान शब्द गेज समूह है।

समतलीय श्रेणी में, एक जी-बंडल एक समतलीय फाइबर बंडल है जहां जी एक अमान्य समूह है और एफ पर संबंधित कार्यान्वित है और संक्रमण कार्य सभी समतलीय मानचित्र हैं।

संक्रमण कार्य करता है $t_{ij}$ निम्नलिखित शर्तों को पूरा करें

$t_{ii}(x)=1\,$
$t_{ij}(x)=t_{ji}(x)^{-1}\,$
$t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x).\,$

तीसरी शर्त ट्रिपल ओवरलैप्स U पर लागू होती है और इसे 'चेक कोहोमोलॉजी कोसाइकल कंडीशन' कहा जाता है(चेक कोहोमोलॉजी देखें)। इसका महत्व यह है कि संक्रमण कार्य फाइबर बंडल को निर्धारित करता है(यदि कोई सीच चक्रीय स्थिति मानता है)।

एक प्रमुख बंडल, सिद्धांत जी-बंडल एक जी-बंडल है जहां फाइबर एफ स्वयं जी की बाईं क्रिया के लिए एक प्रमुख सजातीय स्थान है(समरूप रूप से, कोई यह निर्दिष्ट कर सकता है कि फाइबर एफ पर जी की क्रिया मुक्त और संक्रामक है, अर्थात ग्रुप एक्शन(गणित) नियमित)। इस परिस्थिति में, प्रायः G के साथ F की पहचान करना सुविधा की बात है और इसलिए मुख्य बंडल पर G की(दाएं) क्रिया प्राप्त करें।

बंडल मैप्स

दो फाइबर बंडलों के बीच मानचित्रण की धारणा होना उपयोगी है। मान लीजिए कि M और N आधार स्थान हैं, और $\pi _{E}:E\to M$ तथा $\pi _{F}:F\to N$ क्रमशः M और N पर फाइबर बंडल हैं। A 'बंडल मैप्स या बण्डल आकारिता निरंतर कार्यों की एक जोड़ी होते हैं^[13]

\varphi :E\to F,\quad f:M\to N

ऐसा है कि

\pi _{F}\circ \varphi =f\circ \pi _{E}.

अर्थात्, निम्न क्रमविनिमेय आरेख:

File:BundleMorphism-04.svg

संरचना समूह जी के साथ फाइबर बंडलों के लिए और जिनके कुल रिक्त स्थान(दाएं) जी-स्पेस(जैसे कि एक प्रमुख बंडल) हैं, फाइबर पर जी-समरूप होने के लिए बंडल आकारिता की भी आवश्यकता होती है। इस का मतलब है कि $\varphi :E\to F$ एक जी-स्पेस से दूसरे जी-स्पेस में जी-आकारिता भी है, अर्थात, $\varphi (xs)=\varphi (x)s$ सभी के लिए $x\in E$ तथा $s\in G.$

यदि आधार स्थान M और N समानता रखतें हैं, तो फाइबर बंडल से M के ऊपर एक बंडल आकारिता होता है $\pi _{E}:E\to M$ प्रति $\pi _{F}:F\to M$ एक मानचित्र है $\varphi :E\to F$ ऐसा है कि $\pi _{E}=\pi _{F}\circ \varphi .$ इसका मतलब है कि बंडल मैप $\varphi :E\to F$ M की पहचान को संरक्षित करता है। अर्थात, $f\equiv \mathrm {id} _{M}$ और आरेख यात्रा करता है

File:BundleMorphism-03.svg

मान लीजिए कि दोनों $\pi _{E}:E\to M$ तथा $\pi _{F}:F\to M$ एक ही आधार स्पेस M पर परिभाषित हैं। एक बंडल आइसोआकारिता एक बंडल मैप है $(\varphi ,\,f)$ के बीच $\pi _{E}:E\to M$ तथा $\pi _{F}:F\to M$ ऐसा है कि $f\equiv \mathrm {id} _{M}$ और ऐसा है $\varphi$ एक होमियोआकारिता भी है।^[14]

विभेदक फाइबर बंडल

अलग-अलग मैनिफोल्ड्स की श्रेणी में, फाइबर बंडल स्वाभाविक रूप से एक से दूसरे मैनिफोल्ड के जलमग्न(गणित) के रूप में उत्पन्न होते हैं। हर(अलग-अलग) नहीं $f:M\to N$ एक अलग करने योग्य मैनिफोल्ड M से दूसरे अलग करने योग्य कई गुना N एक अलग फाइबर बंडल को जन्म देता है। एक बात के लिए, मानचित्र विशेषण होना चाहिए, और $(M,N,f)$ फाइबरयुक्त मैनिफोल्ड कहा जाता है। हालाँकि, यह आवश्यक शर्त काफी पर्याप्त नहीं है, और साधारण उपयोग में कई तरह की पर्याप्त शर्तें हैं।

यदि M और N सघन और जुड़े हुए हैं, तो कोई सबमर्सिबल $f:M\to N$ एक फाइबर बंडल को इस अर्थ में जन्म देता है कि प्रत्येक फाइबर के लिए एक फाइबर स्पेस F डिफियोमॉर्फिक है जैसे कि $(E,B,\pi ,F)=(M,N,f,F)$ एक फाइबर बंडल है।( $f$ इस परिस्थिति में पहले से दी गई मान्यताओं का अनुसरण करता है।) अधिक सामान्यतः, सघन की धारणा को शिथिल किया जा सकता है यदि $f:M\to N$ एक विशेषण उचित मानचित्र माना जाता है, जिसका अर्थ है $f^{-1}(K)$ N के प्रत्येक सघन सबसमुच्चय के के लिए सघन है। एक और पर्याप्त स्थिति, के कारण हरेस्मान्न (1951), क्या वह है $f:M\to N$ M और N डिफरेंशियल मैनिफोल्ड्स के साथ एक विशेषण सबमर्सियन(गणित) है जैसे कि प्री इमेज $f^{-1}\{x\}$ सभी के लिए सघन समुच्चय और कनेक्शन(गणित) है $x\in N,$ फिर $f$ एक संगत फाइबर बंडल संरचना को स्वीकार करता है।

सामान्यीकरण

एक बंडल(गणित) की धारणा गणित में कई और श्रेणियों पर लागू होती है, स्थानीय साधारणता की स्थिति को उचित रूप से संशोधित करने की कीमत पर CF सिद्धांत सजातीय स्थान और टॉर्सर(बीजगणितीय ज्यामिति)।
टोपोलॉजी में, एक फ़िब्रेशन एक मैपिंग है $\pi :E\to B$ जिसमें कुछ समस्थेयता सिद्धांत है | फाइबर बंडलों के साथ समरूपता-सैद्धांतिक गुण समान हैं। विशेष रूप से, हल्की तकनीकी धारणाओं के तहत एक फाइबर बंडल में सदैव समस्थेयता गुणधर्म या समस्थेयता को संरक्षित करने वाली गुणधर्म होती है(देखें स्टीनरायड (1951, 11.7) ब्योरा हेतु)। यह एक फाइब्रेशन की परिभाषित गुणधर्म है।
फाइबर बंडल का एक अनुभाग एक ऐसा कार्य है जिसका आउटपुट रेंज लगातार इनपुट पर निर्भर होता है। यह गुणधर्म औपचारिक रूप से आश्रित प्रकार की धारणा में संगृहीत किये जाते हैं।

यह भी देखें

↑ Seifert, Herbert (1933). "त्रि-आयामी फाइबरयुक्त रिक्त स्थान की टोपोलॉजी". Acta Mathematica. 60: 147–238. doi:10.1007/bf02398271.
↑ "Topologie Dreidimensionaler Gefaserter Räume" on Project Euclid.
↑ Whitney, Hassler (1935). "गोलाकार स्थान". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 21 (7): 464–468. Bibcode:1935PNAS...21..464W. doi:10.1073/pnas.21.7.464. PMC 1076627. PMID 16588001.
↑ Whitney, Hassler (1940). "गोलाकार बंडलों के सिद्धांत पर". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 26 (2): 148–153. Bibcode:1940PNAS...26..148W. doi:10.1073/pnas.26.2.148. PMC 1078023. PMID 16588328.
↑ Feldbau, Jacques (1939). "फाइबर रिक्त स्थान के वर्गीकरण पर". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 208: 1621–1623.
↑ Ehresmann, Charles (1947). "बंडल रिक्त स्थान के सिद्धांत पर". Coll. Top. Alg. Paris. C.N.R.S.: 3–15.
↑ Ehresmann, Charles (1947). "अलग-अलग बंडल किए गए स्थानों पर". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 224: 1611–1612.
↑ Ehresmann, Charles (1955). "अलग-अलग बंडल किए गए स्थान का विस्तार". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 240: 1755–1757.
↑ Serre, Jean-Pierre (1951). "बंडल्ड स्पेस का सिंगुलर होमोलॉजी। ऐप्स". Annals of Mathematics. 54 (3): 425–505. doi:10.2307/1969485. JSTOR 1969485.
↑ See Steenrod (1951, Preface)
↑
In his early works, Whitney referred to the sphere bundles as the "sphere-spaces". See, for example:
- Whitney, Hassler (1935). "Sphere spaces". Proc. Natl. Acad. Sci. 21 (7): 462–468. Bibcode:1935PNAS...21..464W. doi:10.1073/pnas.21.7.464. PMC 1076627. PMID 16588001.
- Whitney, Hassler (1937). "Topological properties of differentiable manifolds". Bull. Amer. Math. Soc. 43 (12): 785–805. doi:10.1090/s0002-9904-1937-06642-0.
↑ Whitney, Hassler (1940). "On the theory of sphere bundles" (PDF). Proc. Natl. Acad. Sci. 26 (2): 148–153. Bibcode:1940PNAS...26..148W. doi:10.1073/pnas.26.2.148. PMC 1078023. PMID 16588328.
↑ Depending on the category of spaces involved, the functions may be assumed to have properties other than continuity. For instance, in the category of differentiable manifolds, the functions are assumed to be smooth. In the category of algebraic varieties, they are regular morphisms.
↑ Or is, at least, invertible in the appropriate category; e.g., a diffeomorphism.

संदर्भ

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Steenrod, Norman (April 5, 1999). The Topology of Fibre Bundles. Princeton Mathematical Series. Vol. 14. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00548-5. OCLC 40734875.
Bleecker, David (1981), Gauge Theory and Variational Principles, Reading, Mass: Addison-Wesley publishing, ISBN 978-0-201-10096-9
Ehresmann, Charles. "Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable". Colloque de Topologie (Espaces fibrés), Bruxelles, 1950. Georges Thone, Liège; Masson et Cie., Paris, 1951. pp. 29–55.
Husemoller, Dale (1994), Fibre Bundles, Springer Verlag, ISBN 978-0-387-94087-8
Michor, Peter W. (2008), Topics in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, vol. 93, Providence: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2003-2
Voitsekhovskii, M.I. (2001) [1994], "Fibre space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

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विशेषण समारोह
प्रमुख बंडल
अनुभाग(फाइबर बंडल)
गोलाकार बंडल
अनुमान
निरंतर(टोपोलॉजी)
सबस्पेस टोपोलॉजी
preimage
लघु सटीक अनुक्रम
समतलीय कई गुना
समतलीय मानचित्र
सिकुड़ा हुआ स्थान
घेरा
रेखा अनुभाग
सदिश स्थल
संबद्ध बंडल
लंबा सटीक क्रम
मंडल समूह
संवृत्त समुच्चय
श्रद्धेय क्रिया
समतुल्य
अलग करने योग्य कई गुना
निमज्जन(गणित)
उचित मानचित्र
टोरसर(बीजीय ज्यामिति)

बाहरी संबंध

Fiber Bundle, PlanetMath
Rowland, Todd. "Fiber Bundle". MathWorld.
Making John Robinson's Symbolic Sculpture `Eternity'
Sardanashvily, Gennadi, Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lectures for theoreticians, arXiv:0908.1886

[1] Seifert, Herbert (1933). "त्रि-आयामी फाइबरयुक्त रिक्त स्थान की टोपोलॉजी". Acta Mathematica. 60: 147–238. doi:10.1007/bf02398271.

[2] "Topologie Dreidimensionaler Gefaserter Räume" on Project Euclid.

[3] Whitney, Hassler (1935). "गोलाकार स्थान". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 21 (7): 464–468. Bibcode:1935PNAS...21..464W. doi:10.1073/pnas.21.7.464. PMC 1076627. PMID 16588001.

[4] Whitney, Hassler (1940). "गोलाकार बंडलों के सिद्धांत पर". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 26 (2): 148–153. Bibcode:1940PNAS...26..148W. doi:10.1073/pnas.26.2.148. PMC 1078023. PMID 16588328.

[5] Feldbau, Jacques (1939). "फाइबर रिक्त स्थान के वर्गीकरण पर". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 208: 1621–1623.

[6] Ehresmann, Charles (1947). "बंडल रिक्त स्थान के सिद्धांत पर". Coll. Top. Alg. Paris. C.N.R.S.: 3–15.

[7] Ehresmann, Charles (1947). "अलग-अलग बंडल किए गए स्थानों पर". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 224: 1611–1612.

[8] Ehresmann, Charles (1955). "अलग-अलग बंडल किए गए स्थान का विस्तार". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 240: 1755–1757.

[9] Serre, Jean-Pierre (1951). "बंडल्ड स्पेस का सिंगुलर होमोलॉजी। ऐप्स". Annals of Mathematics. 54 (3): 425–505. doi:10.2307/1969485. JSTOR 1969485.

[10] See Steenrod (1951, Preface)

[11] In his early works, Whitney referred to the sphere bundles as the "sphere-spaces". See, for example:
Whitney, Hassler (1935). "Sphere spaces". Proc. Natl. Acad. Sci. 21 (7): 462–468. Bibcode:1935PNAS...21..464W. doi:10.1073/pnas.21.7.464. PMC 1076627. PMID 16588001.

Whitney, Hassler (1937). "Topological properties of differentiable manifolds". Bull. Amer. Math. Soc. 43 (12): 785–805. doi:10.1090/s0002-9904-1937-06642-0.

[12] Whitney, Hassler (1935). "Sphere spaces". Proc. Natl. Acad. Sci. 21 (7): 462–468. Bibcode:1935PNAS...21..464W. doi:10.1073/pnas.21.7.464. PMC 1076627. PMID 16588001.

[13] Whitney, Hassler (1937). "Topological properties of differentiable manifolds". Bull. Amer. Math. Soc. 43 (12): 785–805. doi:10.1090/s0002-9904-1937-06642-0.

[12] Whitney, Hassler (1940). "On the theory of sphere bundles" (PDF). Proc. Natl. Acad. Sci. 26 (2): 148–153. Bibcode:1940PNAS...26..148W. doi:10.1073/pnas.26.2.148. PMC 1078023. PMID 16588328.

[13] Depending on the category of spaces involved, the functions may be assumed to have properties other than continuity. For instance, in the category of differentiable manifolds, the functions are assumed to be smooth. In the category of algebraic varieties, they are regular morphisms.

[14] Or is, at least, invertible in the appropriate category; e.g., a diffeomorphism.

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 {{Use mdy dates|date=March 2021}}
-[[File:Roundhairbrush.JPG|thumb|एक बेलनाकार [[कंघी]] शब्द फाइबर बंडल के पीछे के अंतर्ज्ञान को दर्शाता है। यह हेयरब्रश फाइबर बंडल की तरह होता है जिसमें बेस स्पेस एक सिलेंडर होता है और फाइबर([[बाल खड़े]]) लाइन सेगमेंट होते हैं। मानचित्रण <math>\pi : E \to B</math> किसी भी ब्रिस्टल पर एक बिंदु लेगा और इसे सिलेंडर पर अपनी जड़ में मैप करेगा।]]गणित और विशेष रूप से [[टोपोलॉजी]] में, एक फाइबर बंडल(या राष्ट्रमंडल राष्ट्रों में अंग्रेजी में: फाइबर बंडल) एक [[अंतरिक्ष (गणित)|अंतराल(गणित)]] है जो है स्थानीय तौर पर एक [[उत्पाद स्थान]], लेकिन व्यापक रूप से एक अलग सामयिक संरचना हो सकती है। विशेष रूप से, एक स्थान के बीच समानता <math>E</math> और एक उत्पाद स्थान <math>B \times F</math> एक सतत कार्य(टोपोलॉजी) विशेषण कार्य मानचित्र(गणित) का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, <math>\pi : E \to B,</math> कि के छोटे क्षेत्रों में <math>E</math> के संबंधित क्षेत्रों से प्रक्षेपण की तरह ही व्यवहार करता है <math>B \times F</math> प्रति <math>B.</math> मानचित्र <math>\pi,</math> बंडल का प्रक्षेपण या आप्लावन(गणित) कहलाता है, इसे बंडल की संरचना का भाग माना जाता है। अंतराल <math>E</math> फाइबर बंडल के कुल स्थान के रूप में जाना जाता है, <math>B</math> आधार स्थान के रूप में, और <math>F</math> फाइबर के रूप में।
+[[File:Roundhairbrush.JPG|thumb|एक बेलनाकार [[कंघी]] शब्द फाइबर बंडल के पीछे के अंतर्ज्ञान को दर्शाता है। यह हेयरब्रश फाइबर बंडल की तरह होता है जिसमें आधार स्पेस एक सिलेंडर होता है और फाइबर([[बाल खड़े]]) लाइन सेगमेंट होते हैं। मानचित्रण <math>\pi : E \to B</math> किसी भी ब्रिस्टल पर एक बिंदु लेगा और इसे सिलेंडर पर अपनी जड़ में मैप करेगा।]]गणित और विशेष रूप से [[टोपोलॉजी]] में, एक फाइबर बंडल(या राष्ट्रमंडल राष्ट्रों में अंग्रेजी में: फाइबर बंडल) एक [[अंतरिक्ष (गणित)|अंतराल(गणित)]] है जो है स्थानीय तौर पर एक [[उत्पाद स्थान]], लेकिन व्यापक रूप से एक अलग सामयिक संरचना हो सकती है। विशेष रूप से, एक स्थान के बीच समानता <math>E</math> और एक उत्पाद स्थान <math>B \times F</math> एक सतत कार्य(टोपोलॉजी) विशेषण कार्य मानचित्र(गणित) का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, <math>\pi : E \to B,</math> कि के छोटे क्षेत्रों में <math>E</math> के संबंधित क्षेत्रों से प्रक्षेपण की तरह ही व्यवहार करता है <math>B \times F</math> प्रति <math>B.</math> मानचित्र <math>\pi,</math> बंडल का प्रक्षेपण या आप्लावन(गणित) कहलाता है, इसे बंडल की संरचना का भाग माना जाता है। अंतराल <math>E</math> फाइबर बंडल के कुल स्थान के रूप में जाना जाता है, <math>B</math> आधार स्थान के रूप में, और <math>F</math> फाइबर के रूप में।
-'साधारण' परिस्थिति में, <math>E</math> सिर्फ <math>B \times F,</math> और मानचित्र <math>\pi</math> उत्पाद स्थान से पहले कारक तक केवल प्रक्षेपण है। इसे साधारण बंडल कहा जाता है। गैर-साधारण फाइबर बंडलों के उदाहरणों में मोबियस स्ट्रिप और [[क्लेन की बोतल]], साथ ही असतहीय [[अंतरिक्ष को कवर करना|अंतराल को कवर करना]] सम्मिलित हैं। फाइबर बंडल, जैसे [[विविध]] के [[स्पर्शरेखा बंडल]] और अन्य अधिक सामान्य [[वेक्टर बंडल|सदिश बंडल]] , मुख्य बंडल के रूप में [[अंतर ज्यामिति]] और [[अंतर टोपोलॉजी]] में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।
+'साधारण' परिस्थिति में, <math>E</math> सिर्फ <math>B \times F,</math> और मानचित्र <math>\pi</math> उत्पाद स्थान से पहले कारक तक केवल प्रक्षेपण है। इसे साधारण बंडल कहा जाता है। गैर-साधारण फाइबर बंडलों के उदाहरणों में मोबियस स्ट्रिप और [[क्लेन की बोतल]], साथ ही असतहीय [[अंतरिक्ष को कवर करना|अंतराल को संरक्षित करना]] सम्मिलित हैं। फाइबर बंडल, जैसे [[विविध]] के [[स्पर्शरेखा बंडल]] और अन्य अधिक सामान्य [[वेक्टर बंडल|सदिश बंडल]] , मुख्य बंडल के रूप में [[अंतर ज्यामिति]] और [[अंतर टोपोलॉजी]] में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।
-प्रक्षेप मानचित्र के साथ यात्रा करने वाले फाइबर बंडलों के कुल स्थानों के बीच मैपिंग को [[बंडल नक्शा|बंडल मानचित्र]]्स के रूप में जाना जाता है, और फाइबर बंडलों की श्रेणी ऐसे मैपिंग के संबंध में एक [[श्रेणी सिद्धांत]] बनाती है। बेस स्पेस से ही एक बंडल मैप(प्रक्षेपण के रूप में आइडेंटिटी मैपिंग के साथ)। <math>E</math> का एक भाग(फाइबर बंडल) कहलाता है <math>E.</math> फाइबर बंडलों को कई तरीकों से विशिष्ट किया जा सकता है, जिनमें से सबसे आम है कि स्थानीय साधारण पैच के बीच संक्रमण मानचित्र एक निश्चित [[टोपोलॉजिकल समूह]] में होते हैं, जिसे संरचना समूह के रूप में जाना जाता है, जो फाइबर पर कार्य करता है। <math>F</math>.
+प्रक्षेप मानचित्र के साथ यात्रा करने वाले फाइबर बंडलों के कुल स्थानों के बीच मैपिंग को [[बंडल नक्शा|बंडल मानचित्र]]्स के रूप में जाना जाता है, और फाइबर बंडलों की श्रेणी ऐसे मैपिंग के संबंध में एक [[श्रेणी सिद्धांत]] बनाती है। आधार स्पेस से ही एक बंडल मैप(प्रक्षेपण के रूप में आइडेंटिटी मैपिंग के साथ)। <math>E</math> का एक भाग(फाइबर बंडल) कहलाता है <math>E.</math> फाइबर बंडलों को कई तरीकों से विशिष्ट किया जा सकता है, जिनमें से सबसे साधारण है कि स्थानीय साधारण पैच के बीच संक्रमण मानचित्र एक निश्चित [[टोपोलॉजिकल समूह]] में होते हैं, जिसे संरचना समूह के रूप में जाना जाता है, जो फाइबर पर कार्य करता है। <math>F</math>.
 == इतिहास ==
-टोपोलॉजी में, ''फाइबर''(जर्मन: ''फेजर'') और ''फाइबर स्पेस''(''गेफसेर राउम'') शब्द पहली बार 1933 में [[हर्बर्ट सीफर्ट]] के एक पृष्ठ में दिखाई दिए,<ref>{{cite journal|title=त्रि-आयामी फाइबरयुक्त रिक्त स्थान की टोपोलॉजी|first=Herbert|last= Seifert|author-link=Herbert Seifert| journal=[[Acta Mathematica]]| volume=60|year=1933|pages=147–238|doi=10.1007/bf02398271|doi-access=free}}</ref><ref>[https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485887992 "Topologie Dreidimensionaler Gefaserter Räume"] on [[Project Euclid]].</ref> लेकिन उनकी परिभाषाएँ एक विशेष परिस्थिति तक ही सीमित हैं। हालांकि, फाइबर स्पेस की वर्तमान अवधारणा से मुख्य अंतर यह था कि सीफर्ट के लिए जिसे अब फाइबर(टोपोलॉजिकल) स्पेस ''E'' का बेस स्पेस(टोपोलॉजिकल स्पेस) कहा जाता है, वह संरचना का हिस्सा नहीं था, लेकिन इसे 'E' के भागफल स्थान के रूप में प्राप्त किया गया है। फाइबर स्पेस की पहली परिभाषा [[हस्लर व्हिटनी]] ने 1935 में दी थी <ref>{{cite journal|title=गोलाकार स्थान|first=Hassler|last= Whitney|author-link=Hassler Whitney| journal=[[Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]]|volume=21|issue=7|year=1935|pages=464–468|doi=10.1073/pnas.21.7.464|doi-access=free|pmid=16588001|pmc=1076627|bibcode=1935PNAS...21..464W}}</ref> स्फीयर स्पेस नाम के तहत, लेकिन 1940 में व्हिटनी ने नाम परिवर्तित कर स्फीयर बंडल कर दिया।<ref>{{cite journal|title=गोलाकार बंडलों के सिद्धांत पर|first=Hassler|last= Whitney|author-link=Hassler Whitney|  journal= [[Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]] |volume=26|issue=2|year=1940|pages=148–153|doi=10.1073/pnas.26.2.148|pmid=16588328|pmc=1078023|bibcode=1940PNAS...26..148W|doi-access=free}}</ref>
+टोपोलॉजी में, ''फाइबर''(जर्मन: ''फेजर'') और ''फाइबर स्पेस''(''गेफसेर राउम'') शब्द पहली बार 1933 में [[हर्बर्ट सीफर्ट]] के एक पृष्ठ में दिखाई दिए,<ref>{{cite journal|title=त्रि-आयामी फाइबरयुक्त रिक्त स्थान की टोपोलॉजी|first=Herbert|last= Seifert|author-link=Herbert Seifert| journal=[[Acta Mathematica]]| volume=60|year=1933|pages=147–238|doi=10.1007/bf02398271|doi-access=free}}</ref><ref>[https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485887992 "Topologie Dreidimensionaler Gefaserter Räume"] on [[Project Euclid]].</ref> लेकिन उनकी परिभाषाएँ एक विशेष परिस्थिति तक ही सीमित हैं। हालांकि, फाइबर स्पेस की वर्तमान अवधारणा से मुख्य अंतर यह था कि सीफर्ट के लिए जिसे अब फाइबर(टोपोलॉजिकल) स्पेस ''E'' का आधार स्पेस(टोपोलॉजिकल स्पेस) कहा जाता है, वह संरचना का हिस्सा नहीं था, लेकिन इसे 'E' के भागफल स्थान के रूप में प्राप्त किया गया है। फाइबर स्पेस की पहली परिभाषा [[हस्लर व्हिटनी]] ने 1935 में दी थी <ref>{{cite journal|title=गोलाकार स्थान|first=Hassler|last= Whitney|author-link=Hassler Whitney| journal=[[Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]]|volume=21|issue=7|year=1935|pages=464–468|doi=10.1073/pnas.21.7.464|doi-access=free|pmid=16588001|pmc=1076627|bibcode=1935PNAS...21..464W}}</ref> स्फीयर स्पेस नाम के तहत, लेकिन 1940 में व्हिटनी ने नाम परिवर्तित कर स्फीयर बंडल कर दिया।<ref>{{cite journal|title=गोलाकार बंडलों के सिद्धांत पर|first=Hassler|last= Whitney|author-link=Hassler Whitney|  journal= [[Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]] |volume=26|issue=2|year=1940|pages=148–153|doi=10.1073/pnas.26.2.148|pmid=16588328|pmc=1078023|bibcode=1940PNAS...26..148W|doi-access=free}}</ref>
 फाइबर वाले रिक्त स्थान का सिद्धांत, जिनमें से सदिश बंडल, सिद्धांत बंडल, टोपोलॉजिकल [[कंपन]] और [[फाइबर कई गुना]] एक विशेष परिस्थिति है, जिसको सीफर्ट, [[हेंज हॉफ]], [[जैक्स फेल्डबाउ]], के लिए उत्त्तरदायी ठहराया गया है।<ref>{{cite journal|title=फाइबर रिक्त स्थान के वर्गीकरण पर|first=Jacques| last=Feldbau|author-link=Jacques Feldbau|journal=[[Comptes rendus de l'Académie des Sciences]]|volume=208|year=1939|pages=1621–1623}}</ref> व्हिटनी, [[नॉर्मन स्टीनरोड]], [[चार्ल्स एह्रेसमैन]],<ref>{{cite journal|title=बंडल रिक्त स्थान के सिद्धांत पर|first=Charles|last= Ehresmann|author-link=Charles Ehresmann |journal=Coll. Top. Alg. Paris|volume=C.N.R.S.|year=1947|pages=3–15}}</ref><ref>{{cite journal|title=अलग-अलग बंडल किए गए स्थानों पर|first=Charles|last= Ehresmann|author-link=Charles Ehresmann | journal=[[Comptes rendus de l'Académie des Sciences]] |volume=224|year=1947|pages=1611–1612}}</ref><ref>{{cite journal|title=अलग-अलग बंडल किए गए स्थान का विस्तार|first=Charles|last= Ehresmann|author-link=Charles Ehresmann |journal=[[Comptes rendus de l'Académie des Sciences]]|volume=240|year=1955|pages=1755–1757}}</ref> [[जीन पियरे सेरे]],<ref>{{cite journal|title=बंडल्ड स्पेस का सिंगुलर होमोलॉजी। ऐप्स|first=Jean-Pierre|last= Serre|author-link=Jean-Pierre Serre|journal=[[Annals of Mathematics]] |volume=54|issue=3|year=1951|pages=425–505|doi=10.2307/1969485|jstor=1969485}}</ref> और दूसरे वैज्ञानिकों ने इसका समर्थन किया।
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 एक फाइबर बंडल एक संरचना है <math>(E,\, B,\, \pi,\, F),</math> जहाँ पर <math>E, B,</math> तथा <math>F</math> [[टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान]] हैं और <math>\pi : E \to B</math> एक सतत(टोपोलॉजी) प्रक्षेपण है जो नीचे उल्लिखित स्थानीय साधारणता की स्थिति को संतुष्ट करता है, अंतराल <math>B</math> कहा जाता है आधार स्पेस बंडल का, <math>E</math> {{visible anchor|संपूर्ण स्पेस}}, तथा <math>F</math> {{visible anchor|फाइबर}}. मानचित्र <math>\pi</math> कहा जाता है। {{visible anchor|प्रक्षेपण मानचित्र}}(या {{visible anchor|बण्डल प्रक्षेपण}}) को आधार स्थान के बाद यह मानते हैं कि <math>B</math> [[जुड़ा हुआ स्थान]] है।
-इसकी आवश्यकता प्रत्येक <math>x \in B</math> के लिए है, एक संवृत्त [[पड़ोस (टोपोलॉजी)|सन्निकट(टोपोलॉजी)]] [[पड़ोस (टोपोलॉजी)|<math>U \subseteq B</math>]] है  जिसका <math>x</math>(जिसे एक साधारण सन्निकट कहा जाएगा) ऐसा है कि वह एक [[होमियोमोर्फिज्म]] है, <math>\varphi : \pi^{-1}(U) \to U \times F</math>(जहाँ पर <math>\pi^{-1}(U)</math> उप-स्थान टोपोलॉजी दी गई है, और <math>U \times F</math> उत्पाद स्थान है) इस तरह से <math>\pi</math> पहले कारक पर प्रक्षेपण से सहमत हैं। अर्थात्, निम्नलिखित आरेख को [[क्रमविनिमेय आरेख]] होना चाहिए।
+इसकी आवश्यकता प्रत्येक <math>x \in B</math> के लिए है, एक संवृत्त [[पड़ोस (टोपोलॉजी)|सन्निकट(टोपोलॉजी)]] [[पड़ोस (टोपोलॉजी)|<math>U \subseteq B</math>]] है  जिसका <math>x</math>(जिसे एक साधारण सन्निकट कहा जाएगा) ऐसा है कि वह एक [[होमियोमोर्फिज्म|होमियोआकारिता]] है, <math>\varphi : \pi^{-1}(U) \to U \times F</math>(जहाँ पर <math>\pi^{-1}(U)</math> उप-स्थान टोपोलॉजी दी गई है, और <math>U \times F</math> उत्पाद स्थान है) इस तरह से <math>\pi</math> पहले कारक पर प्रक्षेपण से सहमत हैं। अर्थात्, निम्नलिखित आरेख को [[क्रमविनिमेय आरेख]] होना चाहिए।
-जहाँ पर <math>\operatorname{proj}_1 : U \times F \to U</math> प्राकृतिक प्रक्षेपण है और <math>\varphi : \pi^{-1}(U) \to U \times F</math> एक होमियोमॉर्फिज्म है। सभी {{visible anchor|सार्वजनिक तुच्छीकरण}} बंडल का सम्मुचय <math>\left\{\left(U_i,\, \varphi_i\right)\right\}</math> A कहा जाता है।
+जहाँ पर <math>\operatorname{proj}_1 : U \times F \to U</math> प्राकृतिक प्रक्षेपण है और <math>\varphi : \pi^{-1}(U) \to U \times F</math> एक होमियोआकारिता है। सभी {{visible anchor|सार्वजनिक तुच्छीकरण}} बंडल का सम्मुचय <math>\left\{\left(U_i,\, \varphi_i\right)\right\}</math> A कहा जाता है।
 इस प्रकार किसी के लिए <math>p \in B</math>, पूर्व चित्र <math>\pi^{-1}(\{p\})</math> के लिए होमियोमॉर्फिक है, <math>F</math>(चूंकि यह सच है <math>\operatorname{proj}_1^{-1}(\{p\})</math>) और इसे फाइबर ओवर <math>p.</math>कहा जाता है, हर फाइबर बंडल <math>\pi : E \to B</math> एक [[खुला नक्शा|संवृत्त मानचित्र]] है, क्योंकि उत्पादों के अनुमान संवृत्त मानचित्र हैं। इसलिए <math>B</math> मानचित्र द्वारा निर्धारित [[भागफल टोपोलॉजी]] <math>\pi.</math> वहन करती है, जो कि एक फाइबर बंडल<math>(E,\, B,\, \pi,\, F)</math>निरूपित किया जाता है
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 [[File:Moebius Surface 1 Display Small.png|thumb|right|मोबियस स्प्लीन वृत्त के ऊपर एक गैर-साधारण बंडल है।]]अनुमानतः एक गैर-साधारण बंडल का सबसे सरल उदाहरण <math>E</math> मोबियस स्प्लीन(पट्टी) है। इसमें एक वृत्त होता है जो आधार के रूप में स्प्लीन के केंद्र के साथ लंबाई में चलता है <math>B</math> और फाइबर के लिए एक लाइन अनुभाग <math>F</math>, इसलिए मोबियस स्प्लीन वृत्त के ऊपर रेखा अनुभाग का एक बंडल है। एक [[पड़ोस (गणित)|सन्निकट(गणित)]] <math>U</math> का <math>\pi(x) \in B</math>(जहाँ पर <math>x \in E</math>) एक [[गोलाकार चाप]] है; तस्वीर में, यह वर्गों में से एक की लंबाई है। [[छवि (गणित)|छवि(गणित)]] <math>\pi^{-1}(U)</math> तस्वीर में स्प्लीन का एक(कुछ वक्राकार) टुकड़ा है जो चार वर्ग चौड़ा और लंबा है(अर्थात वे सभी बिंदु जो प्रोजेक्ट करते हैं <math>U</math>).
-होमियोमोर्फिज्म(<math>\varphi</math> में {{sectionlink||साधारण परिभाषा}}) उपस्थित है जो कि प्री इमेज को मैप करता है <math>U</math>(साधारण सन्निकट) एक सिलेंडर के टुकड़े के लिए: घुमावदार, लेकिन वक्र नहीं। यह जोड़ी स्थानीय रूप से स्प्लीन को साधारण बनाती है। यह साधारण बंडल <math>B\times F</math> एक [[सिलेंडर (ज्यामिति)|सिलेंडर(ज्यामिति)]] होगा, लेकिन मोबियस स्प्लीन में एक समग्र वक्र है। यह वक्र विश्व स्तर पर ही दिखाई देता है; स्थानीय रूप से मोबियस स्ट्रिप और सिलेंडर समान हैं(दोनों में से एक ही ऊर्ध्वाधर कट बनाने से समान स्थान मिलता है)।
+होमियोआकारिता(<math>\varphi</math> में {{sectionlink||साधारण परिभाषा}}) उपस्थित है जो कि प्री इमेज को मैप करता है <math>U</math>(साधारण सन्निकट) एक सिलेंडर के टुकड़े के लिए: घुमावदार, लेकिन वक्र नहीं। यह जोड़ी स्थानीय रूप से स्प्लीन को साधारण बनाती है। यह साधारण बंडल <math>B\times F</math> एक [[सिलेंडर (ज्यामिति)|सिलेंडर(ज्यामिति)]] होगा, लेकिन मोबियस स्प्लीन में एक समग्र वक्र है। यह वक्र विश्व स्तर पर ही दिखाई देता है; स्थानीय रूप से मोबियस स्ट्रिप और सिलेंडर समान हैं(दोनों में से एक ही ऊर्ध्वाधर कट बनाने से समान स्थान मिलता है)।
 ==== क्लेन बोतल ====
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-=== [[कवरिंग नक्शा|कवरिंग मानचित्र]] ===
+=== [[कवरिंग नक्शा|संरक्षितिंग मानचित्र]] ===
-एक कवरिंग मैप एक फाइबर बंडल है जैसे कि बंडल प्रक्षेपण एक [[स्थानीय होमोमोर्फिज्म]] है। इस प्रकार फाइबर एक [[असतत स्थान]] है।
+एक संरक्षितिंग मैप एक फाइबर बंडल है जैसे कि बंडल प्रक्षेपण एक [[स्थानीय होमोमोर्फिज्म|स्थानीय होमोआकारिता]] है। इस प्रकार फाइबर एक [[असतत स्थान]] है।
 === सदिश और प्रमुख बंडल ===
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 === मैपिंग टोरी ===
-यदि <math>X</math> एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] है और <math>f : X \to X</math> एक होमोमोर्फिज्म है तो [[मानचित्रण टोरस]] <math>M_f</math> फाइबर के साथ वृत्त के ऊपर एक फाइबर बंडल की एक प्राकृतिक संरचना है <math>X.</math> सतहों के होमोमोर्फिज्म के मानचित्रण टोरी का [[3-कई गुना]]|3-मैनिफोल्ड टोपोलॉजी में विशेष महत्व है।
+यदि <math>X</math> एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] है और <math>f : X \to X</math> एक होमोआकारिता है तो [[मानचित्रण टोरस]] <math>M_f</math> फाइबर के साथ वृत्त के ऊपर एक फाइबर बंडल की एक प्राकृतिक संरचना है <math>X.</math> सतहों के होमोआकारिता के मानचित्रण टोरी का [[3-कई गुना]]|3-मैनिफोल्ड टोपोलॉजी में विशेष महत्व है।
 === भागफल स्थान ===
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 सबसे प्रसिद्ध उदाहरण [[बालों वाली गेंद प्रमेय]] है, जहां यूलर वर्ग 2-गोले के स्पर्शरेखा बंडल के लिए बाधा है, जो कहीं भी अदृश्य नहीं हो रहा है।
-प्रायः कोई केवल स्थानीय रूप से अनुभागों को परिभाषित करना चाहता है(विशेषकर जब वैश्विक अनुभाग उपस्थित नहीं होते हैं)। फाइबर बंडल का 'स्थानीय अनुभाग' एक निरंतर मानचित्र है <math>f : U \to E</math> जहाँ U, B में एक विवृत्त समुच्चय है <math>\pi(f(x)) = x</math> U में सभी x के लिए। यदि <math>(U,\, \varphi)</math> एक स्थानीय साधारणीकरण चार्ट है तो यू पर स्थानीय अनुभाग हमेशा उपस्थित होते हैं। ऐसे अनुभाग निरंतर मानचित्रों के साथ 1-1 पत्राचार में हैं <math>U \to F</math>. अनुभाग एक [[शीफ (गणित)|शीफ(गणित)]] बनाते हैं।
+प्रायः कोई केवल स्थानीय रूप से अनुभागों को परिभाषित करना चाहता है(विशेषकर जब वैश्विक अनुभाग उपस्थित नहीं होते हैं)। फाइबर बंडल का 'स्थानीय अनुभाग' एक निरंतर मानचित्र है <math>f : U \to E</math> जहाँ U, B में एक विवृत्त समुच्चय है <math>\pi(f(x)) = x</math> U में सभी x के लिए। यदि <math>(U,\, \varphi)</math> एक स्थानीय साधारणीकरण चार्ट है तो यू पर स्थानीय अनुभाग सदैव उपस्थित होते हैं। ऐसे अनुभाग निरंतर मानचित्रों के साथ 1-1 पत्राचार में हैं <math>U \to F</math>. अनुभाग एक [[शीफ (गणित)|शीफ(गणित)]] बनाते हैं।
 == संरचना समूह और संक्रमण कार्य ==
-फाइबर बंडल प्रायः समरूपता के एक [[समूह (गणित)|समूह(गणित)]] के साथ आते हैं जो अतिव्यापी स्थानीय साधारणीकरण चार्ट के बीच मिलान की स्थिति का वर्णन करते हैं। विशेष रूप से, G को एक सामयिक समूह होने दें जो बाईं ओर फाइबर स्पेस F पर लगातार समूह क्रिया(गणित) करता है। हम कुछ भी नहीं खोते हैं यदि हम चाहते हैं कि G, F पर कार्यान्वन करें ताकि इसे F के होमोमोर्फिज्म के समूह के रूप में माना जा सके। बंडल के लिए A 'G-[[एटलस (टोपोलॉजी)|एटलस(टोपोलॉजी)]]' <math>(E, B, \pi, F)</math> स्थानीय साधारणीकरण चार्ट का एक समुच्चय है <math>\{(U_k,\, \varphi_k)\}</math> ऐसा कि किसी के लिए <math>\varphi_i,\varphi_j</math> अतिव्यापी चार्ट के लिए <math>(U_i,\, \varphi_i)</math> तथा <math>(U_j,\, \varphi_j)</math> कार्यक्रम
+फाइबर बंडल प्रायः समरूपता के एक [[समूह (गणित)|समूह(गणित)]] के साथ आते हैं जो अतिव्यापी स्थानीय साधारणीकरण चार्ट के बीच मिलान की स्थिति का वर्णन करते हैं। विशेष रूप से, G को एक सामयिक समूह होने दें जो बाईं ओर फाइबर स्पेस F पर लगातार समूह क्रिया(गणित) करता है। हम कुछ भी नहीं खोते हैं यदि हम चाहते हैं कि G, F पर कार्यान्वन करें ताकि इसे F के होमोआकारिता के समूह के रूप में माना जा सके। बंडल के लिए A 'G-[[एटलस (टोपोलॉजी)|एटलस(टोपोलॉजी)]]' <math>(E, B, \pi, F)</math> स्थानीय साधारणीकरण चार्ट का एक समुच्चय है <math>\{(U_k,\, \varphi_k)\}</math> ऐसा कि किसी के लिए <math>\varphi_i,\varphi_j</math> अतिव्यापी चार्ट के लिए <math>(U_i,\, \varphi_i)</math> तथा <math>(U_j,\, \varphi_j)</math> कार्यक्रम
 <math display=block>\varphi_i\varphi_j^{-1} : \left(U_i \cap U_j\right) \times F \to \left(U_i \cap U_j\right) \times F</math>
 द्वारा दिया गया है
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 == बंडल मैप्स ==
 {{Main article|बंडल मैप्स}}
-दो फाइबर बंडलों के बीच मानचित्रण की धारणा होना उपयोगी है। मान लीजिए कि M और N आधार स्थान हैं, और <math>\pi_E : E \to M</math> तथा <math>\pi_F : F \to N</math> क्रमशः एम और एन पर फाइबर बंडल हैं। ए '{{visible anchor|bundle map}}या{{visible anchor|bundle morphism}}निरंतर की एक जोड़ी के होते हैं<ref>Depending on the category of spaces involved, the functions may be assumed to have properties other than continuity.  For instance, in the category of differentiable manifolds, the functions are assumed to be smooth.  In the category of algebraic varieties, they are regular morphisms.</ref> कार्यों
+दो फाइबर बंडलों के बीच मानचित्रण की धारणा होना उपयोगी है। मान लीजिए कि M और N आधार स्थान हैं, और <math>\pi_E : E \to M</math> तथा <math>\pi_F : F \to N</math> क्रमशः M और N पर फाइबर बंडल हैं। A '{{visible anchor|बंडल मैप्स}} या {{visible anchor|बण्डल आकारिता}} निरंतर कार्यों की एक जोड़ी होते हैं<ref>Depending on the category of spaces involved, the functions may be assumed to have properties other than continuity.  For instance, in the category of differentiable manifolds, the functions are assumed to be smooth.  In the category of algebraic varieties, they are regular morphisms.</ref>
 <math display=block>\varphi : E \to F,\quad f : M \to N</math>
 ऐसा है कि <math>\pi_F\circ \varphi = f \circ \pi_E.</math> अर्थात्, निम्न क्रमविनिमेय आरेख:
-[[File:BundleMorphism-04.svg|150px|center]]संरचना समूह जी के साथ फाइबर बंडलों के लिए और जिनके कुल रिक्त स्थान(दाएं) जी-स्पेस(जैसे कि एक प्रमुख बंडल) हैं, फाइबर पर जी-समरूप होने के लिए बंडल मोर्फिज्म की भी आवश्यकता होती है। इस का मतलब है कि <math>\varphi : E \to F</math> एक जी-स्पेस से दूसरे जी-स्पेस में जी-मॉर्फिज्म भी है, अर्थात, <math>\varphi(xs) = \varphi(x)s</math> सभी के लिए <math>x \in E</math> तथा <math>s \in G.</math>
+[[File:BundleMorphism-04.svg|150px|center]]संरचना समूह जी के साथ फाइबर बंडलों के लिए और जिनके कुल रिक्त स्थान(दाएं) जी-स्पेस(जैसे कि एक प्रमुख बंडल) हैं, फाइबर पर जी-समरूप होने के लिए बंडल आकारिता की भी आवश्यकता होती है। इस का मतलब है कि <math>\varphi : E \to F</math> एक जी-स्पेस से दूसरे जी-स्पेस में जी-आकारिता भी है, अर्थात, <math>\varphi(xs) = \varphi(x)s</math> सभी के लिए <math>x \in E</math> तथा <math>s \in G.</math>
-यदि आधार स्थान M और N मेल खाते हैं, तो फाइबर बंडल से M के ऊपर एक बंडल मोर्फिज्म होता है <math>\pi_E : E \to M</math> प्रति <math>\pi_F : F \to M</math> एक मानचित्र है <math>\varphi : E \to F</math> ऐसा है कि <math>\pi_E = \pi_F \circ \varphi.</math> इसका मतलब है कि बंडल मैप <math>\varphi : E \to F</math> एम की पहचान को कवर करता है। अर्थात, <math>f \equiv \mathrm{id}_{M}</math> और आरेख यात्रा करता है
+यदि आधार स्थान M और N समानता रखतें हैं, तो फाइबर बंडल से M के ऊपर एक बंडल आकारिता होता है <math>\pi_E : E \to M</math> प्रति <math>\pi_F : F \to M</math> एक मानचित्र है <math>\varphi : E \to F</math> ऐसा है कि <math>\pi_E = \pi_F \circ \varphi.</math> इसका मतलब है कि बंडल मैप <math>\varphi : E \to F</math> M की पहचान को संरक्षित करता है। अर्थात, <math>f \equiv \mathrm{id}_{M}</math> और आरेख यात्रा करता है
-[[File:BundleMorphism-03.svg|120px|center]]मान लीजिए कि दोनों <math>\pi_E : E \to M</math> तथा <math>\pi_F : F \to M</math> एक ही बेस स्पेस एम पर परिभाषित हैं। एक बंडल आइसोमोर्फिज्म एक बंडल मैप है <math>(\varphi,\, f)</math> के बीच <math>\pi_E : E \to M</math> तथा <math>\pi_F : F \to M</math> ऐसा है कि <math>f \equiv \mathrm{id}_M</math> और ऐसा है <math>\varphi</math> एक होमियोमॉर्फिज्म भी है।<ref> Or is, at least, invertible in the appropriate category; e.g., a diffeomorphism.</ref>
+[[File:BundleMorphism-03.svg|120px|center]]मान लीजिए कि दोनों <math>\pi_E : E \to M</math> तथा <math>\pi_F : F \to M</math> एक ही आधार स्पेस M पर परिभाषित हैं। एक बंडल आइसोआकारिता एक बंडल मैप है <math>(\varphi,\, f)</math> के बीच <math>\pi_E : E \to M</math> तथा <math>\pi_F : F \to M</math> ऐसा है कि <math>f \equiv \mathrm{id}_M</math> और ऐसा है <math>\varphi</math> एक होमियोआकारिता भी है।<ref> Or is, at least, invertible in the appropriate category; e.g., a diffeomorphism.</ref>
 == विभेदक फाइबर बंडल ==
-अलग-अलग मैनिफोल्ड्स की श्रेणी में, फाइबर बंडल स्वाभाविक रूप से एक से दूसरे मैनिफोल्ड के जलमग्न(गणित) के रूप में उत्पन्न होते हैं। हर(अलग-अलग) डुबकी नहीं <math>f : M \to N</math> एक अलग करने योग्य मैनिफोल्ड एम से दूसरे अलग करने योग्य कई गुना एन एक अलग फाइबर बंडल को जन्म देता है। एक बात के लिए, मानचित्र विशेषण होना चाहिए, और <math>(M, N, f)</math> फाइबरयुक्त मैनिफोल्ड कहा जाता है। हालाँकि, यह आवश्यक शर्त काफी पर्याप्त नहीं है, और आम उपयोग में कई तरह की पर्याप्त शर्तें हैं।
+अलग-अलग मैनिफोल्ड्स की श्रेणी में, फाइबर बंडल स्वाभाविक रूप से एक से दूसरे मैनिफोल्ड के जलमग्न(गणित) के रूप में उत्पन्न होते हैं। हर(अलग-अलग) नहीं <math>f : M \to N</math> एक अलग करने योग्य मैनिफोल्ड M से दूसरे अलग करने योग्य कई गुना N एक अलग फाइबर बंडल को जन्म देता है। एक बात के लिए, मानचित्र विशेषण होना चाहिए, और <math>(M, N, f)</math> फाइबरयुक्त मैनिफोल्ड कहा जाता है। हालाँकि, यह आवश्यक शर्त काफी पर्याप्त नहीं है, और साधारण उपयोग में कई तरह की पर्याप्त शर्तें हैं।
-यदि एम और एन कॉम्पैक्ट और जुड़े हुए हैं, तो कोई सबमर्सिबल <math>f : M \to N</math> एक फाइबर बंडल को इस अर्थ में जन्म देता है कि प्रत्येक फाइबर के लिए एक फाइबर स्पेस F डिफियोमॉर्फिक है जैसे कि <math>(E, B, \pi, F) = (M, N, f, F)</math> एक फाइबर बंडल है।(सरजेक्टिविटी ऑफ <math>f</math> इस परिस्थिति में पहले से दी गई मान्यताओं का अनुसरण करता है।) अधिक सामान्यतः, कॉम्पैक्टनेस की धारणा को शिथिल किया जा सकता है यदि डूबना <math>f : M \to N</math> एक विशेषण उचित मानचित्र माना जाता है, जिसका अर्थ है <math>f^{-1}(K)</math> एन के प्रत्येक कॉम्पैक्ट सबसमुच्चय के के लिए कॉम्पैक्ट है। एक और पर्याप्त स्थिति, के कारण {{harvtxt|Ehresmann|1951}}, क्या वह है <math>f : M \to N</math> एम और एन डिफरेंशियल मैनिफोल्ड्स के साथ एक विशेषण सबमर्सियन(गणित) है जैसे कि प्रीइमेज <math>f^{-1}\{x\}</math> सभी के लिए [[कॉम्पैक्ट सेट|कॉम्पैक्ट समुच्चय]] और [[कनेक्शन (गणित)|कनेक्शन(गणित)]] है <math>x \in N,</math> फिर <math>f</math> एक संगत फाइबर बंडल संरचना को स्वीकार करता है {{harv|Michor|2008|loc=§17}}.
+यदि M और N सघन और जुड़े हुए हैं, तो कोई सबमर्सिबल <math>f : M \to N</math> एक फाइबर बंडल को इस अर्थ में जन्म देता है कि प्रत्येक फाइबर के लिए एक फाइबर स्पेस F डिफियोमॉर्फिक है जैसे कि <math>(E, B, \pi, F) = (M, N, f, F)</math> एक फाइबर बंडल है।(<math>f</math> इस परिस्थिति में पहले से दी गई मान्यताओं का अनुसरण करता है।) अधिक सामान्यतः, सघन की धारणा को शिथिल किया जा सकता है यदि <math>f : M \to N</math> एक विशेषण उचित मानचित्र माना जाता है, जिसका अर्थ है <math>f^{-1}(K)</math> N के प्रत्येक सघन सबसमुच्चय के के लिए सघन है। एक और पर्याप्त स्थिति, के कारण {{harvtxt|हरेस्मान्न|1951}}, क्या वह है <math>f : M \to N</math> M और N डिफरेंशियल मैनिफोल्ड्स के साथ एक विशेषण सबमर्सियन(गणित) है जैसे कि प्री इमेज <math>f^{-1}\{x\}</math> सभी के लिए [[कॉम्पैक्ट सेट|सघन समुच्चय]] और [[कनेक्शन (गणित)|कनेक्शन(गणित)]] है <math>x \in N,</math> फिर <math>f</math> एक संगत फाइबर बंडल संरचना को स्वीकार करता है।
 == सामान्यीकरण ==
-* एक [[बंडल (गणित)|बंडल(गणित)]] की धारणा गणित में कई और श्रेणियों पर लागू होती है, स्थानीय साधारणता की स्थिति को उचित रूप से संशोधित करने की कीमत पर; सीएफ सिद्धांत सजातीय स्थान और टॉर्सर(बीजगणितीय ज्यामिति)।
+* एक [[बंडल (गणित)|बंडल(गणित)]] की धारणा गणित में कई और श्रेणियों पर लागू होती है, स्थानीय साधारणता की स्थिति को उचित रूप से संशोधित करने की कीमत पर CF सिद्धांत सजातीय स्थान और टॉर्सर(बीजगणितीय ज्यामिति)।
-* टोपोलॉजी में, एक फ़िब्रेशन एक मैपिंग है <math>\pi : E \to B</math> जिसमें कुछ [[होमोटॉपी सिद्धांत]] है | फाइबर बंडलों के साथ समरूपता-सैद्धांतिक गुण समान हैं। विशेष रूप से, हल्की तकनीकी धारणाओं के तहत एक फाइबर बंडल में हमेशा [[होमोटॉपी उठाने की संपत्ति]] या होमोटॉपी को कवर करने वाली संपत्ति होती है(देखें {{harvtxt|Steenrod|1951|loc=11.7}} ब्योरा हेतु)। यह एक फाइब्रेशन की परिभाषित संपत्ति है।
+* टोपोलॉजी में, एक फ़िब्रेशन एक मैपिंग है <math>\pi : E \to B</math> जिसमें कुछ [[होमोटॉपी सिद्धांत|समस्थेयता सिद्धांत]] है | फाइबर बंडलों के साथ समरूपता-सैद्धांतिक गुण समान हैं। विशेष रूप से, हल्की तकनीकी धारणाओं के तहत एक फाइबर बंडल में सदैव [[होमोटॉपी उठाने की संपत्ति|समस्थेयता गुणधर्म]] या समस्थेयता को संरक्षित करने वाली गुणधर्म होती है(देखें {{harvtxt|स्टीनरायड|1951|loc=11.7}} ब्योरा हेतु)। यह एक फाइब्रेशन की परिभाषित गुणधर्म है।
-* फाइबर बंडल का एक अनुभाग एक ऐसा कार्य है जिसका आउटपुट रेंज लगातार इनपुट पर निर्भर होता है। यह संपत्ति औपचारिक रूप से [[आश्रित प्रकार]] की धारणा में पकड़ी जाती है।
+* फाइबर बंडल का एक अनुभाग एक ऐसा कार्य है जिसका आउटपुट रेंज लगातार इनपुट पर निर्भर होता है। यह गुणधर्म औपचारिक रूप से [[आश्रित प्रकार]] की धारणा में संगृहीत किये जाते हैं।
 == यह भी देखें ==
@@ Line 265: / Line 265: @@
 {{DEFAULTSORT:Fiber Bundle}}
+[[Category:AC with 0 elements|Fiber Bundle]]
+[[Category:All Wikipedia articles written in American English|Fiber Bundle]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Fiber Bundle]]
+[[Category:Articles with invalid date parameter in template|Fiber Bundle]]
+[[Category:Articles with short description|Fiber Bundle]]
+[[Category:CS1]]
+[[Category:CS1 français-language sources (fr)|Fiber Bundle]]
+[[Category:CS1 maint|Fiber Bundle]]
+[[Category:CS1 Ελληνικά-language sources (el)|Fiber Bundle]]
+[[Category:Citation Style 1 templates|W]]
+[[Category:Collapse templates|Fiber Bundle]]
+[[Category:Lua-based templates|Fiber Bundle]]
+[[Category:Machine Translated Page|Fiber Bundle]]
+[[Category:Multi-column templates|Fiber Bundle]]
+[[Category:Navigational boxes| ]]
+[[Category:Navigational boxes without horizontal lists|Fiber Bundle]]
+[[Category:Pages using div col with small parameter|Fiber Bundle]]
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+[[Category:Short description with empty Wikidata description|Fiber Bundle]]
+[[Category:Sidebars with styles needing conversion|Fiber Bundle]]
+[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
+[[Category:Templates based on the Citation/CS1 Lua module|Fiber Bundle]]
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+[[Category:Templates generating microformats|Fiber Bundle]]
+[[Category:Templates that add a tracking category|Fiber Bundle]]
+[[Category:Templates that are not mobile friendly|Fiber Bundle]]
+[[Category:Templates used by AutoWikiBrowser|Cite web]]
+[[Category:Templates using TemplateData|Fiber Bundle]]
+[[Category:Templates using under-protected Lua modules|Fiber Bundle]]
+[[Category:Use American English from March 2021|Fiber Bundle]]
+[[Category:Use mdy dates from March 2021|Fiber Bundle]]
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इतिहास

औपचारिक परिभाषा

उदाहरण

साधारण बंडल

गैर-साधारण बंडल

मोबियस स्ट्रिप

क्लेन बोतल

संरक्षितिंग मानचित्र

सदिश और प्रमुख बंडल

क्षेत्र बंडल

मैपिंग टोरी

भागफल स्थान

अनुभाग

संरचना समूह और संक्रमण कार्य

बंडल मैप्स

विभेदक फाइबर बंडल

सामान्यीकरण

यह भी देखें

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साधारण बंडल

गैर-साधारण बंडल

मोबियस स्ट्रिप

क्लेन बोतल

संरक्षितिंग मानचित्र

सदिश और प्रमुख बंडल

क्षेत्र बंडल

मैपिंग टोरी

भागफल स्थान

अनुभाग

संरचना समूह और संक्रमण कार्य

बंडल मैप्स

विभेदक फाइबर बंडल

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