कनेक्शन (गणित)

ज्यामिति में, संयोजन की धारणा स्थानीय ज्यामितीय वस्तुओं के अभिगमन के विचार को सटीक बनाती है, जैसे स्पर्शरेखा स्थान में स्पर्शरेखा सदिश या प्रदिश, वक्र या वक्र के परिवार के साथ 'समानांतर' और सुसंगत तरीके से सटीक बनाती है। आधुनिक ज्यामिति में विभिन्न प्रकार के संयोजन हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि कोई किस प्रकार के आंकड़ों को अभिगमन करना चाहता है। उदाहरण के लिए, सजातीय संयोजन, सबसे प्राथमिक प्रकार का संयोजन, वक्र के साथ एक बिंदु से दूसरे तक विविध स्पर्शरेखा स्थान के समानांतर अभिगमन के लिए एक साधन देता है। एक सजातीय संबंध सामान्यतः एक सहसंयोजक व्युत्पन्न के रूप में दिया जाता है, जो सदिश क्षेत्रों के दिशात्मक यौगिक लेने के लिए एक साधन देता है, सदिश क्षेत्र के विचलन को किसी दिए गए दिशा में समानांतर होने से मापता है।

बड़े हिस्से में आधुनिक ज्यामिति में संयोजन केंद्रीय महत्व के हैं क्योंकि वे एक बिंदु पर स्थानीय ज्यामिति और दूसरे बिंदु पर स्थानीय ज्यामिति के बीच तुलना की अनुमति देते हैं। विभेदक ज्यामिति संयोजन विषयवस्तु पर कई भिन्नताओं को स्वीकारती है, जो दो प्रमुख समूहों में आती हैं: अति सूक्ष्म और स्थानीय सिद्धांत। स्थानीय सिद्धांत मुख्य रूप से समानांतर अभिगमन और पवित्रता की धारणाओं से संबंधित है। अतिसूक्ष्म सिद्धांत स्वयं को ज्यामितीय आंकड़ों के विभेदीकरण से संबंधित करता है। इस प्रकार एक सहसंयोजक व्युत्पन्न एक सदिश क्षेत्र के व्युत्पन्न को एक अन्य सदिश क्षेत्र के साथ कई गुना निर्दिष्ट करने का एक तरीका है। एक कार्टन संयोजन अंतर रूपों और लाइ समूहों का उपयोग करके संयोजन सिद्धांत के कुछ पहलुओं को उद्यत करने का एक तरीका है। क्षेत्र की गति की अनुमत दिशाओं को निर्दिष्ट करके एक एह्रेसमैन संयोजन एक तंतु पूल या एक सिद्धांत समूह में एक संयोजन है। कोज़ुल संयोजन एक संयोजन है जो स्पर्शरेखा समूह की तुलना में अधिक सामान्य सदिश समूह के वर्गों के लिए दिशात्मक व्युत्पन्न को परिभाषित करता है।

संयोजन भी 'ज्यामितीय निश्चर' के सुविधाजनक योगों की ओर ले जाते हैं, जैसे कि वक्रता (रीमैन वक्रता प्रदिश और वक्रता रूप भी देखें), और आघूर्ण बल प्रदिश।

प्रेरणा: निर्देशांक की अनुपयुक्तता

एक वृत्त पर समानांतर अभिगमन (काले तीर का) नीले और लाल तीर अलग-अलग दिशाओं में समानांतर अभिगमन का प्रतिनिधित्व करते हैं लेकिन एक ही निचले दाएं बिंदु पर समाप्त होते हैं। तथ्य यह है कि वे अंत में अलग-अलग दिशाओं में इंगित करते हैं, वृत्त की वक्रता का परिणाम है।

निम्नलिखित समस्या पर विचार करें। मान लीजिए कि वृत्त S के लिए एक स्पर्शरेखा सदिश उत्तरी ध्रुव पर दिया गया है, और हमें इस सदिश को वृत्त के अन्य बिंदुओं पर सुसंगततः ले जाने के तरीके को परिभाषित करना है। स्वाभाविक रूप से, यह एक विशेष समन्वय प्रणाली का उपयोग करके किया जा सकता है। हालांकि, जब तक उचित देखभाल लागू नहीं की जाती है, समन्वय की एक प्रणाली में परिभाषित समांतर अभिगमन किसी अन्य समन्वय प्रणाली से सहमत नहीं होगा। एक अधिक उपयुक्त समानांतर अभिगमन प्रणाली क्रमावर्तन के तहत वृत्त की समरूपता का लाभ उठाती है। समानांतर अभिगमन का यह अनुवर्ती साधन क्षेत्र पर लेवी-सिविता संयोजन है। यदि एक ही प्रारंभिक और अंतिम बिंदु के साथ दो अलग-अलग वक्र दिए गए हैं, और एक सदिश v को एक घुमाव द्वारा पहले वक्र के साथ अनुशासनपूर्वक स्थानांतरित किया जाता है, तो अंतिम बिंदु पर परिणामी सदिश उस सदिश से भिन्न होगा, दूसरे वक्र के साथ कठोरतापूर्वक चलने वाले v से उत्पन्न होता है। यह घटना वृत्त की वक्रता को दर्शाती है। एक साधारण यांत्रिक उपकरण जिसका उपयोग समानांतर अभिगमन की कल्पना करने के लिए किया जा सकता है, दक्षिण-इंगित रथ है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि S त्रिविम प्रक्षेपण द्वारा दिए गए निर्देशांकों वाला एक गोला है। S के संबंध में R^{3 में ईकाई सदिश सम्मिलित हैं। तब S उत्तरी ध्रुव और दक्षिणी ध्रुव के अनुमानों के अनुरूप समन्वय पट्टी की एक जोड़ी को वहन करता है।}

${\begin{aligned}\varphi _{0}(x,y)&=\left({\frac {2x}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {2y}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)\\[8pt]\varphi _{1}(x,y)&=\left({\frac {2x}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {2y}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {x^{2}+y^{2}-1}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)\end{aligned}}$

क्रमशः उत्तरी ध्रुव के प्रतिवैस U₀ और दक्षिणी ध्रुव के U₁ को आच्छादित करती है। X, Y, Z को R^{3 में परिवेश निर्देशांक होने दें। तब φ0 और φ1 के निम्न व्युत्क्रम होते हैं}

${\begin{aligned}\varphi _{0}^{-1}(X,Y,Z)&=\left({\frac {X}{Z+1}},{\frac {Y}{Z+1}}\right),\\[8pt]\varphi _{1}^{-1}(X,Y,Z)&=\left({\frac {-X}{Z-1}},{\frac {-Y}{Z-1}}\right),\end{aligned}}$

ताकि समन्वय परिवर्तन कार्य एक वृत्त में व्युत्क्रमण हो:

$\varphi _{01}(x,y)=\varphi _{0}^{-1}\circ \varphi _{1}(x,y)=\left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right)$

आइए अब एक सदिश क्षेत्र $v$ का प्रतिनिधित्व स्थानीय निर्देशांक S पर (S में प्रत्येक बिंदु के लिए एक स्पर्शरेखा सदिश का समनुदेशन) करते हैं। यदि P, U₀ ⊂ S का एक बिंदु है, तो एक सदिश क्षेत्र को R² पर $\varphi _{0}$ द्वारा सदिश क्षेत्र v₀ के पुशफॉरवर्ड (अवकलन) द्वारा दर्शाया जा सकता है :

$v(P)=J_{\varphi _{0}}\left(\varphi _{0}^{-1}(P)\right)\cdot {\mathbf {v} }_{0}\left(\varphi _{0}^{-1}(P)\right)$

(1)

जहाँ $J_{\varphi _{0}}$ φ₀ ($d{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0}_x(\mathbf{u})=J_{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{}}$