फाइबर बंडल

Not to be confused with एक ऑप्टिकल फाइबर बंडल.

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एक बेलनाकार कंघी शब्द फाइबर बंडल के पीछे के अंतर्ज्ञान को दर्शाता है। यह हेयरब्रश फाइबर बंडल की तरह होता है जिसमें बेस स्पेस एक सिलेंडर होता है और फाइबर(बाल खड़े) लाइन सेगमेंट होते हैं। मानचित्रण $\pi :E\to B$ किसी भी ब्रिस्टल पर एक बिंदु लेगा और इसे सिलेंडर पर अपनी जड़ में मैप करेगा।

गणित और विशेष रूप से टोपोलॉजी में, एक फाइबर बंडल(या राष्ट्रमंडल राष्ट्रों में अंग्रेजी में: फाइबर बंडल) एक अंतराल(गणित) है जो है स्थानीय तौर पर एक उत्पाद स्थान, लेकिन व्यापक रूप से एक अलग सामयिक संरचना हो सकती है। विशेष रूप से, एक स्थान के बीच समानता $E$ और एक उत्पाद स्थान $B\times F$ एक सतत कार्य(टोपोलॉजी) विशेषण कार्य मानचित्र(गणित) का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, $\pi :E\to B,$ कि के छोटे क्षेत्रों में $E$ के संबंधित क्षेत्रों से प्रक्षेपण की तरह ही व्यवहार करता है $B\times F$ प्रति $B.$ मानचित्र $\pi ,$ बंडल का प्रक्षेपण या आप्लावन(गणित) कहलाता है, इसे बंडल की संरचना का भाग माना जाता है। अंतराल $E$ फाइबर बंडल के कुल स्थान के रूप में जाना जाता है, $B$ आधार स्थान के रूप में, और $F$ फाइबर के रूप में।

'साधारण' परिस्थिति में, $E$ सिर्फ $B\times F,$ और मानचित्र $\pi$ उत्पाद स्थान से पहले कारक तक केवल प्रक्षेपण है। इसे साधारण बंडल कहा जाता है। गैर-साधारण फाइबर बंडलों के उदाहरणों में मोबियस स्ट्रिप और क्लेन की बोतल, साथ ही असतहीय अंतराल को कवर करना सम्मिलित हैं। फाइबर बंडल, जैसे विविध के स्पर्शरेखा बंडल और अन्य अधिक सामान्य वेक्टर बंडल , मुख्य बंडल के रूप में अंतर ज्यामिति और अंतर टोपोलॉजी में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

प्रक्षेप मानचित्र के साथ यात्रा करने वाले फाइबर बंडलों के कुल स्थानों के बीच मैपिंग को बंडल मानचित्र्स के रूप में जाना जाता है, और फाइबर बंडलों की श्रेणी ऐसे मैपिंग के संबंध में एक श्रेणी सिद्धांत बनाती है। बेस स्पेस से ही एक बंडल मैप(प्रोजेक्शन के रूप में आइडेंटिटी मैपिंग के साथ)। $E$ का एक भाग(फाइबर बंडल) कहलाता है $E.$ फाइबर बंडलों को कई तरीकों से विशिष्ट किया जा सकता है, जिनमें से सबसे आम है कि स्थानीय साधारण पैच के बीच संक्रमण मानचित्र एक निश्चित टोपोलॉजिकल समूह में होते हैं, जिसे संरचना समूह के रूप में जाना जाता है, जो फाइबर पर कार्य करता है। $F$.

इतिहास

टोपोलॉजी में, फाइबर(जर्मन: फेजर) और फाइबर स्पेस(गेफसेर राउम) शब्द पहली बार 1933 में हर्बर्ट सीफर्ट के एक पृष्ठ में दिखाई दिए, लेकिन उनकी परिभाषाएँ एक विशेष परिस्थिति तक ही सीमित हैं। हालांकि, फाइबर स्पेस की वर्तमान अवधारणा से मुख्य अंतर यह था कि सीफर्ट के लिए जिसे अब फाइबर(टोपोलॉजिकल) स्पेस E का बेस स्पेस(टोपोलॉजिकल स्पेस) कहा जाता है, वह संरचना का हिस्सा नहीं था, लेकिन इसे 'E' के भागफल स्थान के रूप में प्राप्त किया गया है। फाइबर स्पेस की पहली परिभाषा हस्लर व्हिटनी ने 1935 में दी थी स्फीयर स्पेस नाम के तहत, लेकिन 1940 में व्हिटनी ने नाम परिवर्तित कर स्फीयर बंडल कर दिया। फाइबर वाले रिक्त स्थान का सिद्धांत, जिनमें से वेक्टर बंडल, प्रिंसिपल बंडल, टोपोलॉजिकल कंपन और फाइबर कई गुना एक विशेष परिस्थिति है, जिसको सीफर्ट, हेंज हॉफ, जैक्स फेल्डबाउ, के लिए उत्त्तरदायी ठहराया गया है। व्हिटनी, नॉर्मन स्टीनरोड, चार्ल्स एह्रेसमैन, जीन पियरे सेरे, और दूसरे वैज्ञानिकों ने इसका समर्थन किया।

1935-1940 की अवधि में फाइबर बंडल अध्ययन का अपना उद्देश्य बन गया। व्हिटनी की रचनाओं में पहली सामान्य परिभाषा सामने आई। व्हिटनी एक गोले के बंडल की अधिक विशेष धारणा के अपने अध्ययन से फाइबर बंडल की सामान्य परिभाषा पर आया, वह एक फाइबर बंडल है जिसका फाइबर स्वइच्छित आयाम का एक गोला है।

औपचारिक परिभाषा

एक फाइबर बंडल एक संरचना है $(E,\,B,\,\pi ,\,F),$ जहाँ पर $E,B,$ तथा $F$ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान हैं और $\pi :E\to B$ एक सतत(टोपोलॉजी) प्रक्षेपण है जो नीचे उल्लिखित स्थानीय साधारणता की स्थिति को संतुष्ट करता है, अंतराल $B$ कहा जाता है आधार स्पेस बंडल का, $E$ संपूर्ण स्पेस, तथा $F$ फाइबर. मानचित्र $\pi$ कहा जाता है। प्रक्षेपण मानचित्र(या बण्डल प्रक्षेपण) को आधार स्थान के बाद यह मानते हैं कि $B$ जुड़ा हुआ स्थान है।

इसकी आवश्यकता प्रत्येक $x\in B$ के लिए है, एक संवृत्त सन्निकट(टोपोलॉजी) $U\subseteq B$ है जिसका $x$(जिसे एक साधारण सन्निकट कहा जाएगा) ऐसा है कि वह एक होमियोमोर्फिज्म है, $\varphi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F$(जहाँ पर $\pi ^{-1}(U)$ उप-स्थान टोपोलॉजी दी गई है, और $U\times F$ उत्पाद स्थान है) इस तरह से $\pi$ पहले कारक पर प्रक्षेपण से सहमत हैं। अर्थात्, निम्नलिखित आरेख को क्रमविनिमेय आरेख होना चाहिए।

जहाँ पर $\operatorname {proj} _{1}:U\times F\to U$ प्राकृतिक प्रक्षेपण है और $\varphi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F$ एक होमियोमॉर्फिज्म है। सभी सार्वजनिक तुच्छीकरण बंडल का सम्मुचय $\left\{\left(U_{i},\,\varphi _{i}\right)\right\}$ A कहा जाता है।

इस प्रकार किसी के लिए $p\in B$, पूर्व चित्र $\pi ^{-1}(\{p\})$ के लिए होमियोमॉर्फिक है, $F$(चूंकि यह सच है $\operatorname {proj} _{1}^{-1}(\{p\})$) और इसे फाइबर ओवर $p.$कहा जाता है, हर फाइबर बंडल $\pi :E\to B$ एक संवृत्त मानचित्र है, क्योंकि उत्पादों के अनुमान संवृत्त मानचित्र हैं। इसलिए $B$ मानचित्र द्वारा निर्धारित भागफल टोपोलॉजी $\pi .$ वहन करती है, जो कि एक फाइबर बंडल$(E,\,B,\,\pi ,\,F)$निरूपित किया जाता है

${\begin{matrix}{}\\F\longrightarrow E\ \xrightarrow {\,\ \pi \ } \ B\\{}\end{matrix}}$

(1)

एक संक्षिप्त सटीक अनुक्रम के अनुरूप, यह इंगित करता है कि कौन सा स्थान फाइबर, कुल स्थान और आधार स्थान है, साथ ही कुल से आधार स्थान तक का मानचित्र।

एsmooth fiber bundleचिकनी कई गुना की श्रेणी(गणित) में एक फाइबर बंडल है। वह है, $E,B,$ तथा $F$ चिकने मैनिफोल्ड होने की आवश्यकता है और ऊपर दिए गए सभी कार्यों को सुचारू मानचित्र बनाने की आवश्यकता है।

उदाहरण

साधारण बंडल

होने देना $E=B\times F$ और जाने $\pi :E\to B$ पहले कारक पर प्रक्षेपण हो। फिर $\pi$ एक फाइबर बंडल है(का $F$) ऊपर $B.$ यहां $E$ न केवल स्थानीय रूप से एक उत्पाद है बल्कि विश्व स्तर पर एक है। ऐसे किसी फाइबर बंडल को 'कहा जाता है।trivial bundle. अनुबंधित स्थान स.ग.-जटिल पर कोई भी फाइबर बंडल साधारण है।

गैर-साधारण बंडल

मोबियस स्ट्रिप

File:Moebius Surface 1 Display Small.png

मोबियस पट्टी वृत्त के ऊपर एक गैर-साधारण बंडल है।

शायद एक गैर-साधारण बंडल का सबसे सरल उदाहरण $E$ मोबियस पट्टी है। इसमें एक वृत्त होता है जो आधार के रूप में पट्टी के केंद्र के साथ लंबाई में चलता है $B$ और फाइबर के लिए एक लाइन खंड $F$, इसलिए मोबियस पट्टी वृत्त के ऊपर रेखा खंड का एक बंडल है। एक सन्निकट(गणित) $U$ का $\pi (x)\in B$(जहाँ पर $x\in E$) एक गोलाकार चाप है; तस्वीर में, यह वर्गों में से एक की लंबाई है। छवि(गणित) $\pi ^{-1}(U)$ तस्वीर में पट्टी का एक(कुछ मुड़ा हुआ) टुकड़ा है जो चार वर्ग चौड़ा और एक लंबा है(यानी वे सभी बिंदु जो प्रोजेक्ट करते हैं $U$).

एक होमियोमोर्फिज्म($\varphi$ में § Formal definition) मौजूद है जो कि प्रीइमेज को मैप करता है $U$(साधारण सन्निकट) एक सिलेंडर के एक टुकड़े के लिए: घुमावदार, लेकिन मुड़ नहीं। यह जोड़ी स्थानीय रूप से पट्टी को साधारण बनाती है। इसी साधारण बंडल $B\times F$ एक सिलेंडर(ज्यामिति) होगा, लेकिन मोबियस पट्टी में एक समग्र मोड़ है। यह मोड़ विश्व स्तर पर ही दिखाई देता है; स्थानीय रूप से मोबियस स्ट्रिप और सिलेंडर समान हैं(दोनों में से एक ही ऊर्ध्वाधर कट बनाने से समान स्थान मिलता है)।

क्लेन बोतल

क्लेन बोतल एक समान गैर-साधारण बंडल है, जिसे दूसरे सर्कल पर एक मुड़ सर्कल बंडल के रूप में देखा जा सकता है। संबंधित गैर-मुड़(साधारण) बंडल 2-टोरस्र्स है, $S^{1}\times S^{1}$.

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कवरिंग मानचित्र

एक कवरिंग मैप एक फाइबर बंडल है जैसे कि बंडल प्रोजेक्शन एक स्थानीय होमोमोर्फिज्म है। यह इस प्रकार है कि फाइबर एक असतत स्थान है।

वेक्टर और प्रमुख बंडल

फाइबर बंडलों का एक विशेष वर्ग, जिसे वेक्टर बंडल कहा जाता है, वे हैं जिनके फाइबर वेक्टर रिक्त स्थान हैं(वेक्टर बंडल के रूप में अर्हता प्राप्त करने के लिए बंडल का संरचना समूह - नीचे देखें - एक सामान्य रैखिक समूह होना चाहिए)। सदिश बंडलों के महत्वपूर्ण उदाहरणों में स्पर्शरेखा बंडल और चिकने मैनिफोल्ड के कोटेंगेंट बंडल सम्मिलित हैं। किसी भी वेक्टर बंडल से, आधार(गणित) के फ्रेम बंडल का निर्माण किया जा सकता है, जो एक प्रमुख बंडल है(नीचे देखें)।

फाइबर बंडलों का एक अन्य विशेष वर्ग, जिसे प्रमुख बंडल कहा जाता है, वे बंडल होते हैं जिनके तंतुओं पर एक समूह द्वारा एक स्वतंत्र और संक्रमणीय समूह क्रिया(गणित) होती है। $G$ दिया जाता है, ताकि प्रत्येक फाइबर एक प्रमुख सजातीय स्थान हो। बंडल को अक्सर समूह के साथ प्रिंसिपल के रूप में संदर्भित करके निर्दिष्ट किया जाता है $G$-बंडल। समूह $G$ बंडल का संरचना समूह भी है। एक समूह प्रतिनिधित्व दिया $\rho$ का $G$ एक वेक्टर स्थान पर $V$, एक वेक्टर बंडल के साथ $\rho (G)\subseteq {\text{Aut}}(V)$ एक संरचना समूह के रूप में निर्मित किया जा सकता है, जिसे संबंधित बंडल के रूप में जाना जाता है।

क्षेत्र बंडल

Main article: Sphere bundle

स्फेयर बंडल एक फाइबर बंडल है जिसका फाइबर एक हाइपरस्फेयर|एन-स्फीयर है। एक वेक्टर बंडल दिया गया $E$ एक मीट्रिक टेंसर के साथ(जैसे कि रीमैनियन कई गुना के लिए स्पर्शरेखा बंडल) कोई संबंधित इकाई क्षेत्र बंडल का निर्माण कर सकता है, जिसके लिए एक बिंदु पर फाइबर $x$ में सभी यूनिट वैक्टर का सेट है $E_{x}$. जब प्रश्न में सदिश बंडल स्पर्शरेखा बंडल है $TM$, इकाई गोले के बंडल को इकाई स्पर्शरेखा बंडल के रूप में जाना जाता है।

एक गोले के बंडल को आंशिक रूप से उसके यूलर वर्ग द्वारा चित्रित किया जाता है, जो कि एक डिग्री है $n+1$ बंडल के कुल स्थान में सह-समरूपता वर्ग। यदि $n=1$ स्फेयर बंडल को एक सर्कल बंडल कहा जाता है और यूलर वर्ग पहले चेर्न वर्ग के बराबर होता है, जो बंडल की टोपोलॉजी को पूरी तरह से चित्रित करता है। किसी के लिए $n$, एक बंडल के यूलर वर्ग को देखते हुए, गाइसिन अनुक्रम नामक एक लंबे सटीक अनुक्रम का उपयोग करके इसके कोहोलॉजी की गणना कर सकता है।

See also: Wang sequence

मैपिंग टोरी

यदि $X$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस है और $f:X\to X$ एक होमोमोर्फिज्म है तो मानचित्रण टोरस $M_{f}$ फाइबर के साथ सर्कल के ऊपर एक फाइबर बंडल की एक प्राकृतिक संरचना है $X.$ सतहों के होमोमोर्फिज्म के मानचित्रण टोरी का 3-कई गुना|3-मैनिफोल्ड टोपोलॉजी में विशेष महत्व है।

भागफल स्थान

यदि $G$ एक सामयिक समूह है और $H$ एक बंद उपसमूह है, तो कुछ परिस्थितियों में भागफल स्थान(टोपोलॉजी) $G/H$ भागफल मानचित्र के साथ $\pi :G\to G/H$ एक फाइबर बंडल है, जिसका फाइबर टोपोलॉजिकल स्पेस है $H$. के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त($G,\,G/H,\,\pi ,\,H$) एक फाइबर बंडल बनाने के लिए मैपिंग है $\pi$ #Sections|स्थानीय क्रॉस-सेक्शन स्वीकार करता है (Steenrod 1951, §7).

सबसे सामान्य स्थितियाँ जिसके तहत भागफल मानचित्र स्थानीय क्रॉस-सेक्शन को स्वीकार करेगा, ज्ञात नहीं है, हालाँकि यदि $G$ एक झूठ समूह है और $H$ एक बंद उपसमूह(और इस प्रकार बंद उपसमूह प्रमेय | कार्टन की प्रमेय द्वारा एक लाइ उपसमूह), तो भागफल मानचित्र एक फाइबर बंडल है। इसका एक उदाहरण हॉफ फिब्रेशन है, $S^{3}\to S^{2}$, जो गोले के ऊपर एक फाइबर बंडल है $S^{2}$ जिसका कुल स्थान है $S^{3}$. झूठ समूहों के दृष्टिकोण से, $S^{3}$ विशेष एकात्मक समूह के साथ पहचाना जा सकता है $SU(2)$. विकर्ण मेट्रिसेस का एबेलियन उपसमूह सर्कल समूह के लिए आइसोमोर्फिक है $U(1)$, और भागफल $SU(2)/U(1)$ गोले के लिए डिफियोमॉर्फिक है।

अधिक सामान्यतः, यदि $G$ कोई सामयिक समूह है और $H$ एक बंद उपसमूह जो तब एक झूठ समूह भी होता है $G\to G/H$ एक फाइबर बंडल है।

खंड

Main article: Section (fiber bundle)

एsection(या क्रॉस सेक्शन) एक फाइबर बंडल का $\pi$ एक सतत मानचित्र है $f:B\to E$ ऐसा है कि $\pi (f(x))=x$ बी में सभी एक्स के लिए। चूंकि बंडलों में सामान्य रूप से विश्व स्तर पर परिभाषित खंड नहीं होते हैं, सिद्धांत के उद्देश्यों में से एक उनके अस्तित्व के लिए खाता है। एक खंड के अस्तित्व के लिए बाधा सिद्धांत को अक्सर सह-विज्ञान वर्ग द्वारा मापा जा सकता है, जो बीजगणितीय टोपोलॉजी में विशेषता वर्गों के सिद्धांत की ओर जाता है।

सबसे प्रसिद्ध उदाहरण बालों वाली गेंद प्रमेय है, जहां यूलर वर्ग 2-गोले के स्पर्शरेखा बंडल के लिए बाधा है, जो कहीं नहीं गायब हो रहा है।

अक्सर कोई केवल स्थानीय रूप से अनुभागों को परिभाषित करना चाहता है(विशेषकर जब वैश्विक खंड मौजूद नहीं होते हैं)। फाइबर बंडल का 'स्थानीय खंड' एक निरंतर मानचित्र है $f:U\to E$ जहाँ U, B में एक विवृत्त समुच्चय है $\pi (f(x))=x$ U में सभी x के लिए। यदि $(U,\,\varphi )$ एक स्थानीय साधारणीकरण चार्ट है तो यू पर स्थानीय खंड हमेशा मौजूद होते हैं। ऐसे खंड निरंतर मानचित्रों के साथ 1-1 पत्राचार में हैं $U\to F$. अनुभाग एक शीफ(गणित) बनाते हैं।

संरचना समूह और संक्रमण कार्य

फाइबर बंडल अक्सर समरूपता के एक समूह(गणित) के साथ आते हैं जो अतिव्यापी स्थानीय साधारणीकरण चार्ट के बीच मिलान की स्थिति का वर्णन करते हैं। विशेष रूप से, G को एक सामयिक समूह होने दें जो बाईं ओर फाइबर स्पेस F पर लगातार समूह क्रिया(गणित) करता है। हम कुछ भी नहीं खोते हैं यदि हम चाहते हैं कि जी एफ पर वफादार कार्रवाई करे ताकि इसे एफ के होमोमोर्फिज्म के समूह के रूप में माना जा सके। बंडल के लिए ए 'जी-एटलस(टोपोलॉजी)' $(E,B,\pi ,F)$ स्थानीय साधारणीकरण चार्ट का एक सेट है $\{(U_{k},\,\varphi _{k})\}$ ऐसा कि किसी के लिए $\varphi _{i},\varphi _{j}$ अतिव्यापी चार्ट के लिए $(U_{i},\,\varphi _{i})$ तथा $(U_{j},\,\varphi _{j})$ कार्यक्रम

$$\varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}:\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\times F\to \left(U_{i}\cap U_{j}\right)\times F$$

द्वारा दिया गया है

$$\varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}(x,\,\xi )=\left(x,\,t_{ij}(x)\xi \right)$$

जहाँ पर $t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G$ एक सतत मानचित्र है जिसे ए कहा जाता हैtransition function. दो 'जी'-एटलस समकक्ष हैं यदि उनका मिलन भी एक 'जी'-एटलस है। एक जी-बंडल जी-एटलस के समतुल्य वर्ग के साथ एक फाइबर बंडल है। समूह 'जी' को कहा जाता हैstructure groupबंडल का; भौतिकी में समान शब्द गेज समूह है।

चिकनी श्रेणी में, एक जी-बंडल एक चिकना फाइबर बंडल है जहां जी एक झूठ समूह है और एफ पर संबंधित कार्रवाई सुचारू है और संक्रमण कार्य सभी चिकने मानचित्र हैं।

संक्रमण कार्य करता है $t_{ij}$ निम्नलिखित शर्तों को पूरा करें

1. $t_{ii}(x)=1\,$
2. $t_{ij}(x)=t_{ji}(x)^{-1}\,$
3. $t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x).\,$

तीसरी शर्त ट्रिपल ओवरलैप्स यू पर लागू होती है_i∩ यू_j∩ यू_kऔर इसे 'चेक कोहोमोलॉजी#कोसाइकल कंडीशन' कहा जाता है(चेक कोहोमोलॉजी देखें)। इसका महत्व यह है कि संक्रमण कार्य फाइबर बंडल को निर्धारित करता है(यदि कोई सीच चक्रीय स्थिति मानता है)।

एक प्रमुख बंडल | प्रिंसिपल जी-बंडल एक जी-बंडल है जहां फाइबर एफ स्वयं जी की बाईं क्रिया के लिए एक प्रमुख सजातीय स्थान है(समरूप रूप से, कोई यह निर्दिष्ट कर सकता है कि फाइबर एफ पर जी की क्रिया मुक्त और संक्रामक है, अर्थात ग्रुप एक्शन(गणित) #नियमित)। इस परिस्थिति में, अक्सर G के साथ F की पहचान करना सुविधा की बात है और इसलिए मुख्य बंडल पर G की(दाएं) क्रिया प्राप्त करें।

बंडल मैप्स

Main article: Bundle map

दो फाइबर बंडलों के बीच मानचित्रण की धारणा होना उपयोगी है। मान लीजिए कि M और N आधार स्थान हैं, और $\pi _{E}:E\to M$ तथा $\pi _{F}:F\to N$ क्रमशः एम और एन पर फाइबर बंडल हैं। ए 'bundle mapयाbundle morphismनिरंतर की एक जोड़ी के होते हैं कार्यों

$$\varphi :E\to F,\quad f:M\to N$$

ऐसा है कि $\pi _{F}\circ \varphi =f\circ \pi _{E}.$ अर्थात्, निम्न क्रमविनिमेय आरेख:

File:BundleMorphism-04.svg

संरचना समूह जी के साथ फाइबर बंडलों के लिए और जिनके कुल रिक्त स्थान(दाएं) जी-स्पेस(जैसे कि एक प्रमुख बंडल) हैं, फाइबर पर जी-समरूप होने के लिए बंडल मोर्फिज्म की भी आवश्यकता होती है। इस का मतलब है कि $\varphi :E\to F$ एक जी-स्पेस से दूसरे जी-स्पेस में जी-मॉर्फिज्म भी है, यानी, $\varphi (xs)=\varphi (x)s$ सभी के लिए $x\in E$ तथा $s\in G.$

यदि आधार स्थान M और N मेल खाते हैं, तो फाइबर बंडल से M के ऊपर एक बंडल मोर्फिज्म होता है $\pi _{E}:E\to M$ प्रति $\pi _{F}:F\to M$ एक मानचित्र है $\varphi :E\to F$ ऐसा है कि $\pi _{E}=\pi _{F}\circ \varphi .$ इसका मतलब है कि बंडल मैप $\varphi :E\to F$ एम की पहचान को कवर करता है। यानी, $f\equiv \mathrm {id} _{M}$ और आरेख यात्रा करता है

File:BundleMorphism-03.svg

मान लीजिए कि दोनों $\pi _{E}:E\to M$ तथा $\pi _{F}:F\to M$ एक ही बेस स्पेस एम पर परिभाषित हैं। एक बंडल आइसोमोर्फिज्म एक बंडल मैप है $(\varphi ,\,f)$ के बीच $\pi _{E}:E\to M$ तथा $\pi _{F}:F\to M$ ऐसा है कि $f\equiv \mathrm {id} _{M}$ और ऐसा है $\varphi$ एक होमियोमॉर्फिज्म भी है।

विभेदक फाइबर बंडल

अलग-अलग मैनिफोल्ड्स की श्रेणी में, फाइबर बंडल स्वाभाविक रूप से एक से दूसरे मैनिफोल्ड के जलमग्न(गणित) के रूप में उत्पन्न होते हैं। हर(अलग-अलग) डुबकी नहीं $f:M\to N$ एक अलग करने योग्य मैनिफोल्ड एम से दूसरे अलग करने योग्य कई गुना एन एक अलग फाइबर बंडल को जन्म देता है। एक बात के लिए, मानचित्र विशेषण होना चाहिए, और $(M,N,f)$ फाइबरयुक्त मैनिफोल्ड कहा जाता है। हालाँकि, यह आवश्यक शर्त काफी पर्याप्त नहीं है, और आम उपयोग में कई तरह की पर्याप्त शर्तें हैं।

यदि एम और एन कॉम्पैक्ट और जुड़े हुए हैं, तो कोई सबमर्सिबल $f:M\to N$ एक फाइबर बंडल को इस अर्थ में जन्म देता है कि प्रत्येक फाइबर के लिए एक फाइबर स्पेस F डिफियोमॉर्फिक है जैसे कि $(E,B,\pi ,F)=(M,N,f,F)$ एक फाइबर बंडल है।(सरजेक्टिविटी ऑफ $f$ इस परिस्थिति में पहले से दी गई मान्यताओं का अनुसरण करता है।) अधिक सामान्यतः, कॉम्पैक्टनेस की धारणा को शिथिल किया जा सकता है यदि डूबना $f:M\to N$ एक विशेषण उचित मानचित्र माना जाता है, जिसका अर्थ है $f^{-1}(K)$ एन के प्रत्येक कॉम्पैक्ट सबसेट के के लिए कॉम्पैक्ट है। एक और पर्याप्त स्थिति, के कारण Ehresmann (1951), क्या वह है $f:M\to N$ एम और एन डिफरेंशियल मैनिफोल्ड्स के साथ एक विशेषण सबमर्सियन(गणित) है जैसे कि प्रीइमेज $f^{-1}\{x\}$ सभी के लिए कॉम्पैक्ट सेट और कनेक्शन(गणित) है $x\in N,$ फिर $f$ एक संगत फाइबर बंडल संरचना को स्वीकार करता है (Michor 2008, §17).

सामान्यीकरण

• एक बंडल(गणित) की धारणा गणित में कई और श्रेणियों पर लागू होती है, स्थानीय साधारणता की स्थिति को उचित रूप से संशोधित करने की कीमत पर; सीएफ प्रिंसिपल सजातीय स्थान और टॉर्सर(बीजगणितीय ज्यामिति)।
• टोपोलॉजी में, एक फ़िब्रेशन एक मैपिंग है $\pi :E\to B$ जिसमें कुछ होमोटॉपी सिद्धांत है | फाइबर बंडलों के साथ समरूपता-सैद्धांतिक गुण समान हैं। विशेष रूप से, हल्की तकनीकी धारणाओं के तहत एक फाइबर बंडल में हमेशा होमोटॉपी उठाने की संपत्ति या होमोटॉपी को कवर करने वाली संपत्ति होती है(देखें Steenrod (1951, 11.7) ब्योरा हेतु)। यह एक फाइब्रेशन की परिभाषित संपत्ति है।
• फाइबर बंडल का एक खंड एक ऐसा कार्य है जिसका आउटपुट रेंज लगातार इनपुट पर निर्भर होता है। यह संपत्ति औपचारिक रूप से आश्रित प्रकार की धारणा में पकड़ी जाती है।

यह भी देखें

• एफ़िन बंडल
• बीजगणित बंडल
• विशेषण वर्ग
• कवरिंग मैप
• समतुल्य बंडल
• फाइबरयुक्त कई गुना
• कंपन
• गेज सिद्धांत
• हॉपफ बंडल
• मैं-बंडल
• प्राकृतिक बंडल
• प्रधान बंडल
• प्रोजेक्टिव बंडल
• पुलबैक बंडल
• क्वासिफीब्रेशन
• यूनिवर्सल बंडल
• वेक्टर बंडल

संदर्भ

• Steenrod, Norman (1951), The Topology of Fibre Bundles, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08055-0
• Steenrod, Norman (April 5, 1999). The Topology of Fibre Bundles. Princeton Mathematical Series. Vol. 14. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00548-5. OCLC 40734875.
• Bleecker, David (1981), Gauge Theory and Variational Principles, Reading, Mass: Addison-Wesley publishing, ISBN 978-0-201-10096-9
• Ehresmann, Charles. "Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable". Colloque de Topologie (Espaces fibrés), Bruxelles, 1950. Georges Thone, Liège; Masson et Cie., Paris, 1951. pp. 29–55.
• Husemoller, Dale (1994), Fibre Bundles, Springer Verlag, ISBN 978-0-387-94087-8
• Michor, Peter W. (2008), Topics in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, vol. 93, Providence: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2003-2
• Voitsekhovskii, M.I. (2001) [1994], "Fibre space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

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• निमज्जन(गणित)
• उचित मानचित्र
• टोरसर(बीजीय ज्यामिति)

बाहरी संबंध

• Fiber Bundle, PlanetMath
• Rowland, Todd. "Fiber Bundle". MathWorld.
• Making John Robinson's Symbolic Sculpture `Eternity'
• Sardanashvily, Gennadi, Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lectures for theoreticians, arXiv:0908.1886