आयतन समाकलन

गणित में (विशेष रूप से बहुभिन्नरूपी कैलकुलस), एक आयतन समाकल (∭) एक त्रि-आयामी स्थान पर एक समाकल को संदर्भित करता है|3-आयामी डोमेन; अर्थात्, यह अनेक समाकलों की एक विशेष स्थिति है। कई अनुप्रयोगों के लिए भौतिक विज्ञान में वॉल्यूम अभिन्न विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं, उदाहरण के लिए, फ्लक्स घनत्व की गणना करने के लिए।

निर्देशांक में

इसका मतलब एक क्षेत्र के भीतर एक बहु अभिन्न अंग भी हो सकता है $D\subset \mathbb {R} ^{3}$ एक समारोह के (गणित) $f(x,y,z),$ और आमतौर पर इस प्रकार लिखा जाता है:

$$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.$$

बेलनाकार निर्देशांकों में आयतन समाकल है

$$\iiint _{D}f(\rho ,\varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz,$$

और गोलीय निर्देशांकों में एक आयतन समाकल (के साथ कोणों के लिए आईएसओ सम्मेलन का उपयोग करके $\varphi$ दिगंश के रूप में और $\theta$ ध्रुवीय अक्ष से मापा जाता है (गोलाकार समन्वय प्रणाली # कन्वेंशन पर अधिक देखें)) का रूप है

$$\iiint _{D}f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .$$

उदाहरण

समीकरण का एकीकरण $f(x,y,z)=1$ एक इकाई घन पर निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होता है:

$$\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(1-0)\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\left(1-0\right)dz=1-0=1$$

अतः इकाई घन का आयतन उम्मीद के मुताबिक 1 है। हालांकि यह अपेक्षाकृत तुच्छ है, और एक वॉल्यूम इंटीग्रल कहीं अधिक शक्तिशाली है। उदाहरण के लिए यदि हमारे पास यूनिट क्यूब पर एक स्केलर डेंसिटी फंक्शन है तो वॉल्यूम इंटीग्रल क्यूब का कुल द्रव्यमान देगा। उदाहरण के लिए घनत्व समारोह के लिए:

$${\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \\f:(x,y,z)\mapsto x+y+z\end{cases}}$$

घन का कुल द्रव्यमान है:

$$\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(x+y+z)\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{2}}+y+z\right)dy\,dz=\int _{0}^{1}(1+z)\,dz={\frac {3}{2}}$$

यह भी देखें

• विचलन प्रमेय
• भूतल अभिन्न
• मात्रा तत्व

बाहरी संबंध

• "Multiple integral", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Volume integral". MathWorld.