स्थिर सिद्धांत

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मॉडल सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, सिद्धांत (गणितीय तर्क) को स्थिर (स्टेबल) कहा जाता है यदि यह अपनी सम्मिश्रता पर कुछ संयुक्त प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है। स्थिर सिद्धांत (स्टेबल थ्योरी) मॉर्ले की श्रेणीबद्धता प्रमेय के प्रमाण में निहित हैं और सहारों शेलाह के वर्गीकरण सिद्धांत (मॉडल सिद्धांत) के हिस्से के रूप में बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया था, जिसने विरोधाभास दिखाया कि या तो किसी सिद्धांत के मॉडल उचित वर्गीकरण को स्वीकार करते हैं या मॉडल इतने अधिक हैं कि उचित वर्गीकरण की कोई उम्मीद नहीं है। इस का पहला चरण यह दर्शा रहा था कि यदि कोई सिद्धांत स्थिर नहीं है तो उस योजना के मॉडल वर्गीकृत करने के लिए बहुत अधिक हैं।

1970 से 1990 के दशक तक स्थिर सिद्धांत शुद्ध मॉडल सिद्धांत का गणनसंख्या विषय थे, इसलिए उनके अध्ययन ने आधुनिक मॉडल सिद्धांत को आकार दिया और उनका विश्लेषण करने के लिए समृद्ध रूपरेखा और उपकरणों का समुच्चय सम्मिलित है। मॉडल सिद्धांत में गणनसंख्या दिशा "नवस्थिरता सिद्धांत" है, जो स्थिरता सिद्धांत की अवधारणाओं को सरल और एनआईपी (मॉडल सिद्धांत) सिद्धांतों जैसे व्यापक संदर्भों में सामान्यीकृत करने का प्रयास करता है।

प्रेरणा और इतिहास

मॉडल सिद्धांत में सामान्य लक्ष्य अपने मॉडलों में (मापदण्ड) निश्चित समुच्चय के बूलियन बीजगणित की सम्मिश्रता का विश्लेषण करके प्रथम-क्रम सिद्धांत का अध्ययन करना है। कोई इन बूलियन बीजगणित के स्टोन द्वंद्व की सम्मिश्रता का समान रूप से विश्लेषण कर सकता है, जो टाइप (मॉडल सिद्धांत) समष्टि हैं। स्थिरता इस टाइप के समष्टि की गणनांक को सीमित करके उनकी सम्मिश्रता को सीमित करती है। चूंकि टाइप किसी सिद्धांत के मॉडल में तत्वों के संभावित व्यवहार का प्रतिनिधित्व करते हैं, इसलिए टाइप की संख्या सीमित करने से इन मॉडलों की सम्मिश्रता सीमित हो जाती है।

स्थिरता सिद्धांत की जड़ें माइकल डी. मॉर्ले के 1965 में स्पष्ट सिद्धांतों पर लोस के अनुमान के प्रमाण में हैं। इस प्रमाण में, मुख्य धारणा पूरी तरह से पारलौकिक सिद्धांत की थी, जिसे टाइप समष्टि की सांस्थितिक सम्मिश्रता को सीमित करके परिभाषित किया गया था। चूंकि, मॉर्ले ने दिखाया कि (गणनीय सिद्धांतों के लिए) यह सांस्थितिक प्रतिबंध गणनांक प्रतिबंध के बराबर है, स्थिरता का दृढ़ रूप जिसे अब $\omega$-स्थिरता कहा जाता है, और उन्होंने इस तुल्यता का महत्वपूर्ण उपयोग किया था। अनगिनत सिद्धांतों के लिए मॉर्ले की श्रेणीबद्धता प्रमेय को सामान्य बनाने के क्रम में, फ्रेडरिक रोबॉटम ने कुछ गणनसंख्या $\kappa$ के लिए $\kappa$-स्थिर सिद्धांतों को पेश करके, $\omega$ -स्थिरता को सामान्यीकृत किया, और अंत में शेला ने स्थिर सिद्धांतों को पेश किया था।

शेला के वर्गीकरण सिद्धांत योजना के दौरान स्थिरता सिद्धांत को और अधिक विकसित किया गया था। इस योजना का मुख्य लक्ष्य द्वंद्व दिखाना था कि या तो प्रथम-क्रम सिद्धांत के मॉडल को गणनसंख्या-अपरिवर्तनीय के तरु का उपयोग करके समरूपता तक अच्छी तरह से वर्गीकृत किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, उनके आयाम (सदिश समष्टि) द्वारा निश्चित क्षेत्र (गणित) पर सदिश रिक्त समष्टि का वर्गीकरण), या इतने जटिल हैं कि कोई उचित वर्गीकरण संभव नहीं है। इस वर्गीकरण सिद्धांत के ठोस परिणामों में सिद्धांत के संभावित स्पेक्ट्रम फलन पर प्रमेय थे, जिसमें $\kappa$ के फलन के रूप में गणनांक $\kappa$ के मॉडलों की संख्या की गणना की गई थी। शेला का दृष्टिकोण सिद्धांतों के लिए "विभाजन रेखाओं" की श्रृंखला की पहचान करना था। विभाजन रेखा सिद्धांत का ऐसा गुण है कि इसके और इसके निषेध दोनों के दृढ़ संरचनात्मक परिणाम होते हैं; एक को यह मानना ​​चाहिए कि सिद्धांत के मॉडल अव्यवस्थित हैं, जबकि दूसरे को सुनिश्चित संरचना सिद्धांत प्राप्त करना चाहिए। वर्गीकरण सिद्धांत योजना में स्थिरता पहली ऐसी विभाजन रेखा थी, और चूंकि इसकी विफलता किसी भी उचित वर्गीकरण को खारिज करने में दिखाई गई थी, इसलिए आगे के सभी कार्य सिद्धांत को स्थिर मान सकते थे। इस प्रकार अधिकांश वर्गीकरण सिद्धांत स्थिर सिद्धांतों और अतिस्थिर सिद्धांतों जैसे आगे की विभाजन रेखाओं द्वारा दिए गए स्थिर सिद्धांतों के विभिन्न उपसमूहों का विश्लेषण करने से संबंधित था।

शेला द्वारा विकसित स्थिर सिद्धांतों की गणनसंख्या विशेषताओं में से एक यह है कि वे स्वतंत्रता की सामान्य धारणा को स्वीकार करते हैं जिसे फोर्किंग विस्तार स्वतंत्रता कहा जाता है, सदिश रिक्त समष्टि से रैखिक स्वतंत्रता और क्षेत्र सिद्धांत से बीजगणितीय स्वतंत्रता को सामान्यीकृत किया जाता है। यद्यपि गैर-फोर्किंग स्वतंत्रता मनमाने सिद्धांतों में समझ में आती है, और स्थिर सिद्धांतों से परे महत्वपूर्ण उपकरण बनी हुई है, इसमें स्थिर सिद्धांतों में विशेष रूप से उचित ज्यामितीय और संयोजक गुण हैं। रैखिक स्वतंत्रता की तरह, यह स्वतंत्र समुच्चय और स्थानीय आयामों की परिभाषा को इन स्वतंत्र समुच्चय के अधिकतम उदाहरणों की गणनांक के रूप में परिभाषित करने की अनुमति देता है, जो अतिरिक्त परिकल्पनाओं के अनुसार अच्छी तरह से परिभाषित हैं। ये स्थानीय आयाम तब समरूपता तक मॉडल को वर्गीकृत करने वाले गणनसंख्या-अपरिवर्तनीय को वृद्धि देते हैं।

परिभाषा और वैकल्पिक लक्षण

मान लीजिए कि T पूर्णता (तर्क) प्रथम-क्रम सिद्धांत है।

किसी दिए गए अनंत गणनसंख्या $\kappa$ के लिए, T, $\kappa$-स्थिर है यदि T के मॉडल में गणनांक $\kappa$ के प्रत्येक सेट A के लिए, A पर पूर्ण प्रकार के सेट S(A) में भी गणनांक $\kappa$ है। यह S(A) की सबसे छोटी गणनांक है, जबकि यह $2^{\kappa }$जितनी बड़ी हो सकती है। मामले $\kappa =\aleph _{0}$ के लिए, यह कहना आम बात है कि T, $\omega$-स्थिर के अतिरिक्त $\aleph _{0}$-स्थिर है।

यदि T स्थिर है $\kappa$ कुछ अनंत गणनसंख्या के लिए $\kappa$-स्थिर है।

गणनसंख्या $\kappa$ पर प्रतिबंध जिसके लिए सिद्धांत एक साथ हो सकता है $\kappa$-स्थिरता को स्थिरता स्पेक्ट्रम द्वारा वर्णित किया गया है, जो अतिस्थिर सिद्धांतों के सम-संयमी उपसमुच्चय को अलग करता है।

स्थिर सिद्धांतों की सामान्य वैकल्पिक परिभाषा यह है कि उनके पास क्रम गुण नहीं है। यदि कोई सूत्र है तो सिद्धांत में क्रम गुण होता है $\phi ({\bar {x}},{\bar {y}})$ और टुपल्स $A=({\bar {a}}_{i}:i\in \mathbb {N} )$,$B=({\bar {b}}_{j}:j\in \mathbb {N} )$ के दो अनंत अनुक्रम होते हैं, जैसे कि M में ऐसा है $\phi$ पर अनंत आधे ग्राफ़ को परिभाषित करता है $A\times B$, अर्थात। $\phi ({\bar {a}}_{i},{\bar {b}}_{j})$ M$\iff i\leq j$ में सत्य है। यह सूत्र $\psi ({\bar {x}},{\bar {y}})$ होने के बराबर है और टुपल्स का अनंत क्रम $A=({\bar {a}}_{i}:i\in \mathbb {N} )$ कुछ मॉडल M में $\psi$ A ऐसा है पर अनंत रैखिक क्रम को परिभाषित करता है, अर्थात $\psi ({\bar {a}}_{i},{\bar {a}}_{j})$ M$\iff i\leq j$ में सत्य है।

स्थिरता की और भी कई विशेषताएँ हैं। मॉर्ले के पूरी तरह से प्रागनुभविक सिद्धांतों के साथ, स्थिरता की गणनांक प्रतिबंध कैंटर-बेंडिक्सन रैंक के संदर्भ में टाइप समष्टि की सांस्थितिक सम्मिश्रता को सीमित करने के बराबर हैं। एक अन्य लक्षण वर्णन उन गुणों के माध्यम से है जो गैर-फोर्किंग स्वतंत्रता स्थिर सिद्धांतों में होती है, जैसे कि सममित होता है। यह इस अर्थ में स्थिरता की विशेषता है कि इनमें से कुछ गुणों को संतुष्ट करने वाले अमूर्त स्वतंत्रता संबंध वाला कोई भी सिद्धांत स्थिर होना चाहिए और स्वतंत्रता संबंध गैर-विभाजनकारी स्वतंत्रता होना चाहिए।

अमूर्त स्वतंत्रता संबंध को छोड़कर, इनमें से किसी भी परिभाषा का उपयोग यह परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है कि किसी दिए गए सिद्धांत T में एकल सूत्र के स्थिर होने का क्या मतलब है। तब T को स्थिर होने के रूप में परिभाषित किया जा सकता है यदि प्रत्येक सूत्र T में स्थिर है। स्थिर सूत्रों में परिणामों का स्थानीयकरण इन परिणामों को अस्थिर सिद्धांतों में स्थिर सूत्रों पर लागू करने की अनुमति देता है, और एकल सूत्रों के लिए यह स्थानीयकरण अधिकांशतः स्थिर सिद्धांतों के मामले में भी उपयोगी होता है।

उदाहरण और गैर-उदाहरण

अस्थिर सिद्धांत के लिए, अंतिम बिंदुओं के बिना सघन क्रम के सिद्धांत डीएलओ पर विचार करें। तब परमाणु सूत्र क्रम संबंध में क्रम गुण होता है। वैकल्पिक रूप से, समुच्चय A पर अवास्तविक 1-टाइप, A के क्रम में कट (सामान्यीकृत डेडेकाइंड कट, इस आवश्यकता के बिना कि दोनों समुच्चय गैर-खाली हों और निचले समुच्चय में कोई सबसे बड़ा तत्व नहीं है) के अनुरूप हैं, और किसी भी गणनांक $\kappa$ साथ $2^{\kappa }$-कई कट के सघन क्रम सम्मिलित हैं।

अन्य अस्थिर सिद्धांत राडो ग्राफ का सिद्धांत है, जहां परमाणु किनारे संबंध में क्रम गुण होती है।

स्थिर सिद्धांत के लिए, सिद्धांत पर विचार करें $ACF_{p}$ विशेषता (बीजगणित) p के बीजगणितीय रूप से सवृत क्षेत्रों की अनुमति $p=0$ है। फिर यदि K का मॉडल $ACF_{p}$ है , समुच्चय पर टाइप की गिनती $A\subset K$, K में A द्वारा उत्पन्न क्षेत्र k पर टाइप की गिनती के बराबर है। k के ऊपर n-टाइप के समष्टि से बहुपद वलय $k[X_{1},\dots ,X_{n}]$में अभाज्य आदर्शों के समष्टि तक (निरंतर) आक्षेप है, चूँकि ऐसे आदर्श सीमित रूप से उत्पन्न होते हैं, केवल $|k|+\aleph _{0}$ बहुत होते हैं, तो $ACF_{p}$, $\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; --></}$