बहुपद वलय

गणित में, विशेष रूप से बीजगणित के क्षेत्र में, एक बहुपद वलय या बहुपद बीजगणित एक वलय है (जो एक क्रमविनिमेय बीजगणित भी है) जो एक या अधिक अनिश्चित (पारंपरिक रूप से चर भी कहा जाता है) में बहुपदों के सेट से बनता है, जिसका गुणांक अधिकांशतः दूसरे वलय में एक क्षेत्र होता है।

अधिकांशतः बहुपद वलय शब्द का तात्पर्य क्षेत्र में अनिश्चित बहुपद वलय के विशेष स्थितियों से है। ऐसे बहुपद वलय का महत्व उन गुणों की उच्च संख्या पर निर्भर करता है जो पूर्णांकया बीजगणितीय_गुणों के वलय के साथ समान होते हैं।

बहुपद वलय होते हैं और अधिकांशतः गणित के कई भागो जैसे संख्या सिद्धांत, क्रमविनिमेय बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति में मौलिक होते हैं। वलय सिद्धांत में, बहुपद वलय के कुछ गुणों को सामान्य बनाने के लिए वलय के कई वर्ग, जैसे अद्वितीय गुणनखंड डोमेन, नियमित वलय, समूह वलय, औपचारिक शक्ति श्रृंखला, अयस्क बहुपद, श्रेणीबद्ध वलय, प्रस्तुत किए गए हैं।

एक निकट संबंधी धारणा सदिश समष्टि पर बहुपद फलनों के वलय की है और अधिक सामान्यतः, बीजगणितीय विविधता पर नियमित फलनों के वलय की है।

परिभाषा (एकविभिन्न स्थितिया )

बहुपद वलय, K[X], X में एक क्षेत्र पर (या, अधिक सामान्यतः एक क्रमविनिमेय वलय) K को कई समकक्ष विधियों से परिभाषित किया जा सकता है। उनमें से एक है K[X] को व्यंजकों के समुच्चय के रूप में परिभाषित करना, जिसे X रूप में बहुपद कहा जाता है

$p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m-1}X^{m-1}+p_{m}X^{m},$

जहाँ p₀, p₁, …, p_m, के गुणांक p के तत्व हैं K, p_m ≠ 0 यदि m > 0, और X, X², …, प्रतीक हैं, जिन्हें शक्तियों के रूप में माना जाता है जहाँ X और घातांक के सामान्य नियमों का पालन करें: X⁰ = 1, X¹ = X, और $X^{k}\,X^{l}=X^{k+l}$ किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए k और l. प्रतीक X को अनिश्चित या परिवर्तनशील कहा जाता है (चर का पद बहुपद फलनों की शब्दावली से आता है। चूंकि यहाँ X का कोई मूल्य नहीं है (स्वयं के अतिरिक्त ) और बहुपद वलय में स्थिरांक होने के कारण भिन्न नहीं हो सकता है।)

दो बहुपद समान होते हैं जब प्रत्येक X^k के संगत गुणांक समान होते हैं।

कोई व्यक्ति K से बाहर एक नया तत्व X जोड़कर वलय K[X] के बारे में सोच सकता है, K के सभी तत्वों के साथ संचार करता है, और इसमें कोई अन्य विशिष्ट गुण नहीं हैं। इसका उपयोग बहुपद वलय की समतुल्य परिभाषा के लिए किया जा सकता है।

K के ऊपर X में बहुपद वलय जोड़, गुणन और अदिश गुणन से सुसज्जित है जो इसे क्रमविनिमेय बीजगणित (संरचना) बनाता है। इन संक्रियाओं को बीजीय व्यंजकों में हेरफेर करने के सामान्य नियमों के अनुसार परिभाषित किया गया है। विशेष रूप से, यदि

$p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m}X^{m},$

और

$q=q_{0}+q_{1}X+q_{2}X^{2}+\cdots +q_{n}X^{n},$

तब

$p+q=r_{0}+r_{1}X+r_{2}X^{2}+\cdots +r_{k}X^{k},$

और

$pq=s_0+s_{1}X+s_2{X}^2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+$