विभेदक

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गणित में, बहुपद का विभेदक एक राशि है जो गुणांकों पर निर्भर करता है और किसी फलन के शून्य के कुछ गुणों को उनकी गणना किए बिना निकालने की अनुमति देता है। अधिक यथार्थ रूप से, यह मूल बहुपद के गुणांकों का बहुपद फलन है। विभेदक बहुपद गुणनखंडन, संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

द्विघात बहुपद $ax^{2}+bx+c$ का विभेदक

$b^{2}-4ac,$

है, वह राशि जो द्विघात सूत्र में वर्गमूल के अंतर्गत प्रकट होती है। यदि $a\neq 0,$ यह विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद का दोहरा मूल है। वास्तविक संख्या गुणांक के विषय में, यदि बहुपद की दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो यह धनात्मक है और यदि दो अलग-अलग जटिल संयुग्मी मूल हैं तो यह ऋणात्मक है। इसी प्रकार, एक त्रिघात बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक वाले घन के विषय में, यदि बहुपद के तीन अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो विभेदक धनात्मक होता है, और यदि इसके एक वास्तविक मूल और दो अलग-अलग जटिल संयुग्म मूल होते हैं, तो ऋणात्मक होता है।

अधिक सामान्यतः, बहुपद की धनात्मक घात के अविभाजित बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक और कोई बहुमूल नहीं होने के लिए, विभेदक धनात्मक होता है यदि गैर-वास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज(गणित) है(कोई भी नहीं सहित), और अन्यथा ऋणात्मक है।

कई सामान्यीकरणों को विभेदक भी कहा जाता है: एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक; द्विघात रूप का विभेदक; और अधिक सामान्यतः, एक सजातीय बहुपद, या प्रक्षेपी ऊनविम सतह के रूप(गणित) का विभेदक(ये तीन अवधारणाएँ अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं)।

उत्पत्ति

विभेदक शब्द 1851 में ब्रिटिश गणितज्ञ जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर द्वारा निर्मित किया गया था।

परिभाषा

मान लीजिए

$A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$

घात n का बहुपद(इसका अर्थ है $a_{n}\neq 0$), जैसे कि गुणांक $a_{0},\ldots ,a_{n}$ एक क्षेत्र(गणित) से संबंधित हैं, या अधिक सामान्यतः, एक क्रमविनिमेय वलय के लिए हैं। A और उसके रूपात्मक व्युत्पन्न,

$A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1}$का परिणामी, पूर्णांक गुणांकों के साथ $a_{0},\ldots ,a_{n}$ में एक बहुपद है, जो A और A′ सिल्वेस्टर आव्यूह का सारणिक है। सिल्वेस्टर आव्यूह के प्रथम स्तंभ की गैर-शून्य प्रविष्टियाँ $a_{n}$ और $na_{n}$ हैं, और परिणामी इस प्रकार $a_{n}$ का गुणक है। इसलिए विभेदक - इसके संकेत तक - को $a_{n}$:

$\operatorname {Disc} _{x}(A)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}\operatorname {Res} _{x}(A,A')$

द्वारा A और A' के परिणाम के भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है

ऐतिहासिक रूप से, इस संकेत को इस प्रकार चुना गया है कि, वास्तविक के ऊपर, विभेदक धनात्मक होगा जब बहुपद के सभी मूल वास्तविक हों। यदि गुणांकों के वलय(गणित) में शून्य विभाजक होते हैं तो $a_{n}$ द्वारा विभाजन ठीक रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। सारणिक की गणना करने से पूर्व सिल्वेस्टर आव्यूह के प्रथम स्तंभ में $a_{n}$ को 1- से बदलकर ऐसी समस्या से बचा जा सकता है। किसी भी विषय में, विभेदक पूर्णांक गुणांक वाले $a_{0},\ldots ,a_{n}$ में एक बहुपद है।

मूलों के संदर्भ में अभिव्यक्ति

जब उपरोक्त बहुपद को एक क्षेत्र(गणित) पर परिभाषित किया जाता है, तो क्षेत्र के बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार में इसके n मूल, $r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}$ होती हैं, आवश्यक नहीं कि सभी अलग हों।(यदि गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं, तो मूलों को जटिल संख्याओं के क्षेत्र में लिया जा सकता है, जहां बीजगणित का मौलिक प्रमेय लागू होता है।)

मूलों के संदर्भ में, विभेदक

$\operatorname {Disc} _{x}(A)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(r_{i}-r_{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{2n-2}\prod _{i\neq j}(r_{i}-r_{j})$

के बराबर है।

इस प्रकार यह वेंडरमोंडे बहुपद गुणा $a_n^{2n-<!--\; -\; -->}$