द्विघात सूत्र

Not to be confused with द्विघात फलन or द्विघात समीकरण.

द्विघात फलन y = 1/2x2 − 5/2x + 2, जड़ों के साथ x = 1 तथा x = 4.

प्रारंभिक बीजगणित में, द्विघात सूत्र द्विघात समीकरण का हल प्रदान करता है। द्विघात सूत्र का उपयोग करने के बजाय द्विघात समीकरण को हल करने के अन्य तरीके हैं, जैसे गुणनखंडन (प्रत्यक्ष गुणनखंडन, समूहीकरण, एसी विधि), वर्ग को पूरा करना, रेखांकन और अन्य।

प्रपत्र के सामान्य द्विघात समीकरण को देखते हुए

$ax^{2}+bx+c=0$

x के साथ अज्ञात का प्रतिनिधित्व करता है, a, b और c स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करता है, और a ≠ 0 के साथ, द्विघात सूत्र है:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \$

जहाँ धन–ऋण चिह्न ± इंगित करता है कि द्विघात समीकरण के दो समाधान हैं। अलग से लिखे जाने पर वे बन जाते हैं:

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{or}}\quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

इन दो समाधानों में से प्रत्येक को द्विघात समीकरण का मूल (या शून्य) भी कहा जाता है। ज्यामितीय रूप से, ये मूल x-मानों का प्रतिनिधित्व करती हैं जिस पर कोई परवलय, जिसे स्पष्ट रूप से y = ax² + bx + c,के रूप में दिया गया है, x-अक्ष को पार करता है।

साथ ही सूत्र होने के नाते जो किसी भी परवलय के शून्य उत्पन्न करता है, द्विघात समीकरण का उपयोग परवलय की समरूपता के धुरी की सर्वसमिका के लिए भी किया जा सकता है,और वास्तविक संख्या शून्य की संख्या में द्विघात समीकरण शामिल है।

यदि b² − 4ac को विविक्तकर के रूप में जाना जाता है। यदि b² − 4ac ≥ 0 तो विविक्तकर का वर्गमूल एक वास्तविक संख्या होगी, अन्यथा यह सम्मिश्र संख्या होगी। यदि a ≠ 0, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं तो

1. अगर b² − 4ac > 0 तो हमारे पास समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल/समाधान हैं ax² + bx + c= 0.
2. अगर b² − 4ac = 0 तो हमारे पास पुनरावृत्त वास्तविक हल है।
3. अगर b² − 4ac < 0 तो हमारे पास दो अलग-अलग जटिल समाधान हैं, जो एक दूसरे के जटिल संयुग्म हैं।

समतुल्य सूत्रीकरण

द्विघात सूत्र को इस रूप में भी लिखा जा सकता है

$x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\ ,$

जिसे सरल बनाया जा सकता है

$x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}}\ .$

सूत्र का यह संस्करण कैलकुलेटर (गणक यंत्र) का उपयोग करते समय मूल को खोजना आसान बनाता है।
मामले में विभेदक $b^{2}-4ac$ ऋणात्मक है, सम्मिश्र संख्याएँ मूल शामिल होती हैं। द्विघात सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$x=-{\frac {\ b}{2a}}\pm i{\sqrt {\left|\left({\frac {\ b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}\right|}}\ .$

मुलर की विधि

कम ज्ञात द्विघात सूत्र, जिसका उपयोग मुलर की विधि में किया जाता है और जिसे वीटा के सूत्रों से पाया जा सकता है, समीकरण के माध्यम से समान मूल प्रदान करता है (मानते हुए) a ≠ 0, c ≠ 0):

$x={\frac {-2c}{b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}={\frac {2c}{-b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}}\ .$

वैकल्पिक प्राचलीकरण पर आधारित सूत्रीकरण

द्विघात समीकरण का मानक प्राचलीकरण है

$ax^{2}+bx+c=0\ .$

कुछ स्रोत, विशेष रूप से पुराने स्रोत, द्विघात समीकरण के वैकल्पिक प्राचलीकरण का उपयोग करते हैं जैसे कि

$ax^{2}-2b_{1}x+c=0$, जहाँ $b_{1}=-b/2$,

या

$ax^{2}+2b_{2}x+c=0$, जहाँ $b_{2}=b/2$.

इन वैकल्पिक प्राचलीकरण के परिणामस्वरूप समाधान के लिए थोड़ा अलग रूप होते हैं, लेकिन जो अन्यथा मानक प्राचलीकरण के बराबर होते हैं।

सूत्र की व्युत्पत्ति

साहित्य में द्विघात सूत्र को प्राप्त करने के लिए कई अलग-अलग तरीके उपलब्ध हैं। मानक वर्ग वर्ग तकनीक को पूरा करने का सरल अनुप्रयोग है। वैकल्पिक विधियाँ कभी-कभी वर्ग को पूरा करने की तुलना में सरल होती हैं, और गणित के अन्य क्षेत्रों में दिलचस्प अंतर्दृष्टि प्रदान कर सकती हैं।

'पूरा वर्ग' तकनीक का उपयोग करके

मानक विधि

द्विघात समीकरण को $a$ द्वारा विभाजित करें, क्योंकि $a$ गैर-शून्य है:

$x^2+\frac{}{}$